試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第六章計數(shù)原理過關(guān)練習(xí)-2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊一、單選題1．某學(xué)校課外活動小組研究植物生長習(xí)性，現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從柳樹、桂花樹、奕樹中選擇一種進行研究，則不同的選擇方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．腸粉是廣東一種非常出名的傳統(tǒng)小吃，屬于粵菜系，源于唐朝時的瀧州．已知廣東一家腸粉店制作銷售的腸粉時，先讓顧客從“放青菜”“放雞蛋”“青菜與雞蛋都不放”“青菜與雞蛋都放”中四選一，再讓顧客從牛肉、蝦仁、香菇等七種食材中選其一，則這家腸粉店的腸粉共有（

）A．7種 B．11種 C．28種 D．32種3．12名學(xué)生與4名老師站成一排拍照，要求4名老師兩兩不相鄰，則不同的排法數(shù)為（

）A． B． C． D．4．下列公式錯誤的是（

）A． B． C． D．5．上古時代神話傳說中，伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出了“八卦”，而龍馬身上的圖案就叫作“河圖”（如圖所示）．河圖把一到十這十個數(shù)分成五組，其口訣為：一六共宗，為水居北；二七同道，為火居南；三八為朋，為木居?xùn)|；四九為友，為金居西；五十同途，為土居中．現(xiàn)從這十個數(shù)中隨機抽取六個數(shù)，則能成為三組的個數(shù)是（

）A．5 B．10 C．21 D．426．若，則的值為（

）A．12 B．11 C．10 D．97．已知的展開式的二項式系數(shù)和為32，則其展開式中項系數(shù)為（

）A．24 B．120 C．-120 D．-108．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，m為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為．若，則的值可以是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024二、多選題9．為弘揚我國古代“六藝”文化，某研學(xué)旅行夏令營主辦單位計劃在暑假開設(shè)“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗課程，若甲乙丙三名同學(xué)各只能體驗其中一門課程．則（

）A．甲乙丙三人選擇課程方案有120種方法B．甲乙丙三人選擇同樣課程有6種方案C．恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中的選課方案有120種D．若有五名教師教這6門課程，每名老師至少教一門，且老師不教“數(shù)”，則有1440種排課方式.10．若，且，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．011．在學(xué)校舉辦的“龍騰盛世、福滿中華”晚會上，共有6個節(jié)目表演，其中有2個不同的演唱節(jié)目，3個不同的舞蹈節(jié)目，1個小品節(jié)目．在如下選項的條件下計算排法種數(shù)，正確答案的是（

）A．小品節(jié)目不排在第一個和最后一個，共有120種排法 B．舞蹈節(jié)目不相鄰，共有種排法C．第一個和最后一個節(jié)目都要排舞蹈，共有種排法 D．小品排在第四個，且同類型的節(jié)目都不得相鄰，共有24種三、填空題12．小李想去他大伯家借書，他除了對經(jīng)濟類的書不感興趣，對其他類別的書都感興趣．他大伯家的書有四種，文學(xué)類的有15本，經(jīng)濟類的有10本，歷史類的有16本，心理學(xué)與勵志類的有9本，同一類的書每本都不相同，則他按照興趣借1本書，共有種選擇．13．二項式展開式，則.14．陶瓷藝術(shù)源遠流長，人們的日常生活中隨處可見，尤其房屋裝飾中瓷磚拼接的藝術(shù)頗具美感.當(dāng)一些縱向長度為1，橫向長度為2的矩形瓷磚在垂直或水平方向上沒有間隙即恰好拼成矩形時，其鋪設(shè)方法被稱為瓷磚的“布置”.設(shè)縱向長度為3，橫向長度為的長方形為.使用片磚的的“布置”方法總數(shù)為，則.四、解答題15．晚會上共有7個節(jié)目，其中有4個不同的歌唱節(jié)目，2個不同的舞蹈節(jié)目和1個相聲節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單.(1)其中舞蹈節(jié)目第一個出場，相聲節(jié)目不能最后一個出場；(2)2個舞蹈節(jié)目不相鄰；(3)前3個節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目又要有舞蹈節(jié)目.16．“一花一世界，一葉一追尋.”為慶祝建校120周年，激發(fā)同學(xué)們對校園的熱愛?對藝術(shù)的追求，學(xué)校某學(xué)生社團舉辦了“校園一隅”自然景觀攝影比賽.經(jīng)過初賽的激烈角逐，有3名女生和2名男生的攝影作品（每人一件）闖入決賽.決賽采用抽簽的方式?jīng)Q定順序，由5名選手依次對自己的攝影作品進行創(chuàng)作陳述，最終評出特等獎2件（事先假定每件作品獲獎的可能性相同）.(1)求至少有1名男生的攝影作品最終獲得特等獎的概率；(2)求決賽時，恰好有2名女生相鄰進行創(chuàng)作陳述的概率；(3)若當(dāng)2名男生都陳述結(jié)束時，還有名女生沒有陳述的概率為0.2，求.17．混放在一起的6件不同的產(chǎn)品中，有2件次品，4件正品．現(xiàn)需通過檢測將其區(qū)分，每次隨機抽取一件進行檢測，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出4件正品時檢測結(jié)束．(1)一共抽取了4次檢測結(jié)束，有多少種不同的抽法?(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，檢測結(jié)束時有多少種不同的抽法?（要求：解答過程要有必要的說明和步驟）18．用二項式定理展開，(1)求展開式中的常數(shù)項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．19．已知．(1)當(dāng)時，若的展開式中第3項與第8項的二項式系數(shù)相等，求展開式中的系數(shù)；(2)設(shè)．①求的系數(shù)（用表示）：②求（用表示）．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】每名同學(xué)各有3種選法，利用分步計數(shù)原理計算即可.【詳解】由題可知，每名同學(xué)都有3種選法，故不同的選擇方式有種．故選：D2．C【分析】由分步乘法原理計算．【詳解】根據(jù)分步乘法原理這家腸粉店的腸粉有，故選：C．3．B【分析】不相鄰問題用插空法，先將12名學(xué)生全排列，再將4名老師插入到12名學(xué)生所形成的個空（包括首、尾）中的個空中即可.【詳解】首先將12名學(xué)生全排列有種排法，再將4名老師插入到12名學(xué)生所形成的個空（包括首、尾）中的個空中，有種排法，按照分步乘法計數(shù)原理可知一共有種排法.故選：B4．D【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式，逐項判斷即可．【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：因為，，，所以，即，故C正確；對于D：，，所以，故D錯誤.故選：D5．B【分析】依題意，將這十個數(shù)分成了兩兩在一起的五組，從中任意抽取三組即得.【詳解】因從一到十這十個數(shù)中被分成“一六，二七，三八，四九和五十”共五組，從中隨機抽取六個數(shù)，能成為三組的個數(shù)即從這五組中抽取三組的組合數(shù)，即.故選:B．6．A【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)有，再由可求解.【詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)知，，因為，所以，所以，所以.故選：A.7．D【分析】由題得，由二項式定理的展開式求得參數(shù)，進一步即可得解.【詳解】根據(jù)題意，，解得，則，設(shè)x項為第項，故其展開式為．所以，則，所以，故選：D．8．A【分析】利用二項式定理化簡得，再利用二項式定理說明被10除得的余數(shù)為0，即可判斷.【詳解】由，則，所以，即被10除得的余數(shù)為0，結(jié)合選項可知只有2020被10除得的余數(shù)為0.故選：A9．BCD【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解A，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可求解B，根據(jù)排列組合，結(jié)合分類即可求解CD.【詳解】對于A，甲乙丙三人每人都有6種選擇，共有種，故A錯誤，對于B,甲乙丙三人選擇同樣課程有6種方案，故B正確，對于C,恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中即3名學(xué)生選擇了不同的三門，故有種方案，故C正確，對于D，若老師教2門課程，則有種，若老師教1門課程，且教2門課的老師教“數(shù)”，則有種，若老師教1門課程，且教2門課的老師不教“數(shù)”，則有種，因此一共有種方案，故D正確，故選：BCD．10．AC【分析】利用賦值法，令，可得，令，可得，再利用平方差公式即可求解.【詳解】令，得到，令，得到，∴，即，，解得或.故選：AC11．CD【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先法可判定A，根據(jù)插空法可判定B，由全排列可判定C，利用分步乘法計數(shù)原理可判定D.【詳解】選項A，先排小品節(jié)目，從中間四個位置中選擇，然后全排剩下的5個節(jié)目，共有種排法，故A不正確；選項B，先排兩個演唱節(jié)目和1個小品節(jié)目，有種排法，再在所得4個位置中選擇3個插入3個舞蹈節(jié)目，有種，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有種排法，但是，故B錯誤；選項C，第一個和最后一個都要排舞蹈節(jié)目，則有種，剩下4個節(jié)目全排，所以共有種排法，故C正確；選項D，小品排在第四個節(jié)目，第五和第六個節(jié)目需要各排一個演唱和舞蹈，共，剩下三個節(jié)目排前三個位置，那么演唱只能在三個舞蹈中間，共有種，根據(jù)分布計數(shù)原理，所以共有=24種．故選：CD．12．40【分析】根據(jù)分類加法原理計算．【詳解】由題意小李借的書可分為3類，由分類加法原理得：，故答案為：40.13．81【分析】利用賦值法求解.【詳解】解：令x=?1，則81=．故答案為：81．14．11【分析】通過列舉法列出所有情況即可得出結(jié)果.【詳解】因為n=2,所以需要用6塊瓷磚鋪成縱向長度為3，橫向長度為4的矩形，如圖所示：我們按水平瓷磚數(shù)量逐漸遞減的方式枚舉全部布置方法（6水平水平水平）.故.故答案為：11.15．(1)1200(2)3600(3)3456【分析】（1）采用分步計數(shù)原理，特殊元素先排計算出結(jié)果即可；（2）采用分步計數(shù)原理，特殊元素先排，再用插空法即可；（3）先分三類，一種為1個歌唱節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目；另外一種為2個歌唱節(jié)目，1個舞蹈節(jié)目；最后一種為歌唱節(jié)目，舞蹈節(jié)目?相聲節(jié)目各1個；再分步計算，最后求和即可.【詳解】（1）按特殊位置或特殊元素優(yōu)先安排的原則分3步：先排第1個節(jié)目，有種安排方法，再排最后一個節(jié)目，可以從余下的5個非相聲節(jié)目中選一個排在最后，有種排法，最后余下的節(jié)目隨便排，有種排法，由分步計數(shù)原理得共有種排法.（2）先排非舞蹈節(jié)目，有種排法，將2個舞蹈節(jié)目插到6個空中，有種排法，故種排法.（3）前3個節(jié)目共三種情況：一種為1個歌唱節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目，有種排法，另外一種為2個歌唱節(jié)目，1個舞蹈節(jié)目，有種排法，最后一種為歌唱節(jié)目，舞蹈節(jié)目?相聲節(jié)目各1個，有種排法，故共有種排法.16．(1)0.7(2)0.6(3)【分析】（1）法1：根據(jù)題意結(jié)合對立事件概率求法運算求解；法2：根據(jù)題意結(jié)合互斥事件概率求法運算求解；（2）根據(jù)題意分別求樣本空間和所求事件包含的基本事件個數(shù)，結(jié)合古典概型運算求解；（3）根據(jù)題意求所求事件包含的基本事件個數(shù)，結(jié)合古典概型列式運算求解即可.【詳解】（1）法1：設(shè)事件A：“2名女生的攝影作品獲得特等獎”.則，因為事件的對立事件為：“至少有1名男生的攝影作品獲得特等獎”，則.，所以至少有1名男生的攝影作品獲得特等獎的概率為0.7.法2：設(shè)事件A：“恰有1名男生的攝影作品獲得特等獎”.則.設(shè)事件：“有2名男生的攝影作品獲得特等獎”.則.因為A與為互斥事件，所以至少有1名男生的攝影作品獲得特等獎的概率為.（2）設(shè)事件“名同學(xué)依次進行創(chuàng)作陳述”，則.設(shè)事件：“恰好有2名女生相鄰進行創(chuàng)作陳述”.則.所以決賽時，恰好有2名女生相鄰進行創(chuàng)作陳述的概率.（3）設(shè)事件：“在2名男生都陳述結(jié)束時，還有名女生沒有陳述”.則.由已知，，解得，所以的值為2.17．(1)96種(2)120種【分析】（1）分兩種情形：第一種是4次抽到的全是正品，第二種前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分類加法原理計算；（2）由題意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，檢測結(jié)束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不論正品還是次品）都可以結(jié)束，由此計算可得．【詳解】（1）有以下兩種情況：4次均為正品，共有種；前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共種；則共有96種．（2）由題意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次檢測結(jié)束，當(dāng)抽取4次結(jié)束時，第4次抽到的必是次品，共有種抽法；當(dāng)抽取5次結(jié)束時，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，則共有種抽法；若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，則共有種抽法；共120種抽法．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)展開式的通項公式，令的次數(shù)為0，即可解得常數(shù)項.（2）根據(jù)通項公式，列出系數(shù)最大項的不等關(guān)系，解出的值，代