第十章靜電場中的能量課時(shí)10.3電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系知道公式U=Ed的推導(dǎo)過程。理解勻強(qiáng)電場中電勢差與電場強(qiáng)度的定性、定量關(guān)系。能夠熟練應(yīng)用U=Ed解決有關(guān)問題。（一）電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系關(guān)系式：UAB=E1.勻強(qiáng)電場中兩點(diǎn)間的電勢差等于電場強(qiáng)度與這兩點(diǎn)沿電場強(qiáng)度方向的距離的乘積，用公式表示為UAB=Ed。當(dāng)電場中的兩點(diǎn)不在同一條電場線上時(shí)，d應(yīng)為兩點(diǎn)在場強(qiáng)方向上的投影的距離2.在非勻強(qiáng)電場中，可以用公式定性比較電勢差的大小，此時(shí)E表示平均電場強(qiáng)度。（二）電場強(qiáng)度的另一種表達(dá)1.表述：在勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度的大小等于兩點(diǎn)之間的電勢差與兩點(diǎn)沿電場強(qiáng)度方向的距離之比。2.公式：3.物理意義：在勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度在數(shù)值上等于沿電場線方向單位距離上降低的電勢。4.應(yīng)用：關(guān)系式表明兩相鄰等勢線之間的電勢差U相同時(shí)，電場強(qiáng)度E越大的地方，兩相鄰等勢線之間的距離d越小，這就是電場線較密的地方等勢線也較密的原因。（三）電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系1.電勢降低最快的方向是電場強(qiáng)度的方向，但電勢降低的方向不一定是電場強(qiáng)度的方向。如圖所示，B、C、D三點(diǎn)處在同一等勢面上，沿A→B、A→C、A→D都是電勢降低的方向，其中A→C電勢降低得最快，該方向即電場強(qiáng)度的方向。2.電場強(qiáng)度的大小與電勢的高低并無直接關(guān)系，如圖所示的三種情景（圖中帶箭頭的線段代表電場線）。基礎(chǔ)過關(guān)練題組一對(duì)公式UAB=Ed的理解1.(2024海南陵水期中)對(duì)公式E=UABd和UAB=Ed的理解，A.由公式E=UABd得，電場強(qiáng)度E與電勢差UAB成正比B.由公式E=UABd得，在勻強(qiáng)電場中A、B兩點(diǎn)沿電場線的距離越大C.由公式UAB=Ed得，在勻強(qiáng)電場中，A、B兩點(diǎn)間的電勢差等于電場強(qiáng)度與這兩點(diǎn)間距離的乘積D.公式UAB=Ed中的d是勻強(qiáng)電場中A、B兩點(diǎn)所在的兩等勢面之間的距離2.(2024江蘇連云港期末)關(guān)于電場強(qiáng)度的三個(gè)公式：①E=kqr2、②E=Fq、③E=UdA.三個(gè)公式都只對(duì)點(diǎn)電荷的電場成立B.①②式只對(duì)點(diǎn)電荷的電場成立，③式只對(duì)勻強(qiáng)電場成立C.①式只對(duì)點(diǎn)電荷的電場成立，②式對(duì)任何電場都成立，③式只對(duì)勻強(qiáng)電場成立D.①式只對(duì)點(diǎn)電荷的電場成立，②③式對(duì)任何電場都成立題組二勻強(qiáng)電場中公式UAB=Ed的應(yīng)用3.(2024江蘇鎮(zhèn)江期中)如圖所示，勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度E=100V/m，A、B兩點(diǎn)相距10cm，A、B連線與電場線的夾角為60°，若取A點(diǎn)電勢為0，則B點(diǎn)電勢為()A.10VB.10VC.5VD.3V4.(2024北京西城第十三中學(xué)期中)帶有等量異種電荷、相距10cm的平行板A和B之間有勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E=2×104V/m，方向向下。電場中C點(diǎn)距B板3cm，D點(diǎn)距A板2cm。如果把A板接地(即電勢φA=0)，關(guān)于C、D兩點(diǎn)的電勢φC、φD和兩點(diǎn)間電勢差UCD，下列說法正確的是()A.φC=1400V，φD=400V，UCD=1000VB.φC=1400V，φD=400V，UCD=1000VC.φC=600V，φD=1600V，UCD=1000VD.φC=600V，φD=1600V，UCD=1000V5.(2024山東東營期末)如圖所示，在直角三角形abc中，∠b=90°，∠c=30°，bc=4cm。勻強(qiáng)電場的電場線平行于△abc所在平面，且a、b、c三點(diǎn)的電勢分別為3V、1V、3V。下列說法正確的是()A.電場強(qiáng)度的方向沿ac方向B.電場強(qiáng)度的大小為200V/mC.電子從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，電勢能減少了4eVD.電子從c點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，電場力做功為4eV6.(2024廣東廣州聯(lián)考)在勻強(qiáng)電場中有一圓，如圖所示，ab和cd是圓的兩條直徑，并交于O點(diǎn)，圓的直徑為0.2m，ab與電場方向的夾角為60°，cd與電場方向平行，取O點(diǎn)電勢為0，則d點(diǎn)電勢為20V。求：(1)電場強(qiáng)度的大小；(2)a、b兩點(diǎn)間的電勢差Uab；(3)電荷量為4×105C的電荷在c點(diǎn)的電勢能。題組三非勻強(qiáng)電場中公式UAB=Ed的應(yīng)用7.(2024江蘇泗陽月考)如圖所示，實(shí)線為電場線，虛線為等勢面，已知φa=50V，φc=20V，則a、c連線中點(diǎn)b的電勢φb為()A.等于35VB.大于35VC.小于35VD.等于15V8.(2024海南?？谄谥?在圓錐體空間的頂點(diǎn)O固定一正點(diǎn)電荷，底面圓周上有三點(diǎn)a、b、c，O'是底面圓心，OO'與底面垂直，d點(diǎn)為Oc的中點(diǎn)。在該點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場中，下列判斷正確的是()A.a、b、c三點(diǎn)的電場強(qiáng)度相同B.O、d點(diǎn)的電勢差和d、c點(diǎn)電勢差的關(guān)系為UOd=UdcC.帶正電的試探電荷沿直線從a移動(dòng)至O'過程中受到的電場力逐漸增大，電勢能也逐漸增大D.帶負(fù)電的試探電荷沿直線從a移動(dòng)至b過程中電勢能不變題組四勻強(qiáng)電場中電勢差、電勢的比例關(guān)系9.(2024北京海淀北京交通大學(xué)附屬中學(xué)期中)如圖所示，a、b、c、d是勻強(qiáng)電場中的四個(gè)點(diǎn)，它們正好是一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，電場線與矩形所在的平面平行。已知a點(diǎn)的電勢是20V，b點(diǎn)的電勢是24V，d點(diǎn)的電勢是8V。下列說法正確的是()A.c點(diǎn)的電勢為12VB.ad中點(diǎn)的電勢為12VC.bc中點(diǎn)的電勢為20VD.電場線方向由b指向d10.(2024江蘇南京六校聯(lián)合體聯(lián)合調(diào)研)如圖所示，在勻強(qiáng)電場中，將帶電荷量為6×106C的點(diǎn)電荷從電場中的A點(diǎn)移到B點(diǎn)，電場力做了2.4×105J的功，再從B點(diǎn)移到C點(diǎn)，電場力做了1.2×105J的功。已知電場的方向與△ABC所在的平面平行。下列說法正確的是()A.A、B兩點(diǎn)的電勢差UAB=4VB.B、C兩點(diǎn)的電勢差UBC=2VC.A點(diǎn)的電勢比C點(diǎn)的電勢高D.場強(qiáng)方向垂直于AC指向B11.(2022重慶巴蜀中學(xué)期中，改編)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一底角是60°的等腰梯形，空間有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場，其中O(0，0)點(diǎn)電勢為12V，A(1，3)點(diǎn)電勢為9V，B(3，3)點(diǎn)電勢為3V，則由此可判定()A.C點(diǎn)電勢為3VB.C點(diǎn)電勢為3VC.該勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為300V/mD.該勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為1003V/m能力提升練題組一“等分法”確定勻強(qiáng)電場的方向和電勢1.(經(jīng)典題)(2024湖南長沙月考，改編)如圖所示，在勻強(qiáng)電場中，A、B、C、D、E、F位于邊長為L=2cm的正六邊形的頂點(diǎn)上，勻強(qiáng)電場的方向平行于正六邊形所在的平面。已知A、B、D、E的電勢分別為2V、0、6V、4V。則()A.C點(diǎn)電勢φC=2VB.A、F間電勢差UAF=2VC.C、F間電勢差UCF=6VD.該勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小E=200V/m2.(2024河南商丘期中，改編)有一勻強(qiáng)電場的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c、d四點(diǎn)的位置如圖所示，cd、cb分別垂直于x軸、y軸，其中a、b、c三點(diǎn)電勢分別為2V、6V、8V，一電荷量為q=1×104C的正點(diǎn)電荷由a點(diǎn)開始沿abcd路線運(yùn)動(dòng)，則下列判斷正確的是()A.坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢為6VB.勻強(qiáng)電場場強(qiáng)的大小為1002V/mC.點(diǎn)電荷q在d點(diǎn)的電勢能為2×104JD.點(diǎn)電荷q從a點(diǎn)移到c點(diǎn)的過程中，電場力做功為6×104J3.(2024廣東惠州期中)如圖所示，勻強(qiáng)電場中某平面內(nèi)有一矩形ABCD區(qū)域，電荷量為e的正粒子從B點(diǎn)沿BD方向以5eV的動(dòng)能射入該區(qū)域，恰好從A點(diǎn)射出該區(qū)域，已知?jiǎng)驈?qiáng)電場的方向平行于該平面，矩形區(qū)域的邊長分別為AB=4cm、BC=3cm，A、B、D三點(diǎn)的電勢分別為1V、2V、2V，不計(jì)粒子重力，求：(1)B、A間的電勢差；(2)粒子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；(3)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小，并在圖中畫出場強(qiáng)的方向。題組二φx圖像的應(yīng)用4.(2023河南濮陽月考)如圖甲所示，在勻強(qiáng)電場中，虛線為電場線，與Ox軸成θ=37°角，Ox軸上有a、b、c三點(diǎn)，Oa=bc=12ab=2cm，Ox軸上各點(diǎn)的電勢φ的變化規(guī)律如圖乙所示。取sin37°=0.6。下列說法正確的是A.電場線方向斜向上B.場強(qiáng)大小為800V/mC.c點(diǎn)的電勢為16VD.電子在a點(diǎn)的電勢能為32eV5.(2024湖北襄陽期中，改編)在光滑的水平面內(nèi)有一沿x軸方向的靜電場，其電勢φ隨坐標(biāo)x變化的圖線如圖所示(φ0、d均為已知量)。現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電小球從O點(diǎn)以某一初速度v0沿x軸正方向射出，則下列說法正確的是()A.d~2d間的場強(qiáng)沿x軸負(fù)方向，大小為φB.0~d間與4d~6d間電場強(qiáng)度不同C.只要v0>0，帶電小球就能運(yùn)動(dòng)到6d處D.只要v0>2qφ0

答案與分層梯度式解析3電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)練1.D2.C3.C4.B5.B7.C8.C9.A10.C11.C1.D公式E=UABd只適用于勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度處處相等，場強(qiáng)E與A、B兩點(diǎn)間電勢差和兩點(diǎn)間的距離無關(guān)，故A、B錯(cuò)誤；公式UAB=Ed中的d是勻強(qiáng)電場中A、B兩點(diǎn)所在的兩等勢面之間的距離，即沿電場線方向的距離，A、B兩點(diǎn)間的電勢差等于電場強(qiáng)度與A、B兩點(diǎn)沿電場線方向距離的乘積，故C錯(cuò)誤歸納總結(jié)電場強(qiáng)度E和電勢差U的兩種關(guān)系2.C公式②是電場強(qiáng)度的定義式，適用于所有電場；兩個(gè)點(diǎn)電荷間的相互作用力F=kQqr2，代入②式得出①式，因此①式只適用于點(diǎn)電荷的電場；③式是根據(jù)電荷在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)電場力做功W=qEd=qU推出的，因此③式只適用于勻強(qiáng)電場，C正確3.CA、B兩點(diǎn)沿電場線方向的距離為d=AB×cos60°=0.05m，根據(jù)E=UABd可得UAB=Ed=5V；結(jié)合UAB=φAφB，且已知φA=0，可得φB=UAB=5V4.B由公式UAB=Ed可得，A板、C點(diǎn)間的電勢差為UAC=EdAC=2×104×(103)×102V=1400V=φAφC，解得φC=1400V，同理可得A板、D點(diǎn)間的電勢差為UAD=EdAD=2×104×2×102V=400V=φAφD，則φD=400V，故C、D兩點(diǎn)間的電勢差為UCD=φCφD=1400V(400)V=1000V，故選B。5.B在勻強(qiáng)電場中，由于a、c兩點(diǎn)的電勢相等，知ac為一條等勢線；電場方向與等勢線垂直，且由高電勢指向低電勢，可知電場方向垂直于ac，且指向斜上方，如圖所示，則場強(qiáng)大小為E=Ucbcbsin30°=44×12Vcm=200Vm，A錯(cuò)誤，B正確。電子從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，電場力做功Wab=eUab=4eV，“”表示電場力做負(fù)功，電勢能增加了4eV，C錯(cuò)誤。電子從c點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，電場力做功為Wcb=6.答案(1)200Vm(2)20V(3)8×104J解析(1)O、d兩點(diǎn)間的電勢差U=φOφd=0(20V)=20VOd與電場方向平行，O、d兩點(diǎn)間的距離d=r=0.1m電場強(qiáng)度E=Ud(2)由題圖可知φa<φb即Uab<0a、b沿電場線方向的距離d1=2rcos60°=0.1m則a、b間的電勢差為Uab=Ed1=20V(3)由φcφO=φOφd得φc=20V所以電荷量為4×105C的電荷在c點(diǎn)的電勢能為Ep=qφc=8×104J7.C從電場線的疏密可以看出Ea>Eb>Ec，由公式UAB=Ed可以得出Uab>Ubc，所以φb<φa+φ8.C由于a、b、c三點(diǎn)到點(diǎn)電荷的距離相等，根據(jù)E=kQr2可知三點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小相等，但方向不同，故A錯(cuò)誤；根據(jù)點(diǎn)電荷的電場分布規(guī)律可知，O、d點(diǎn)之間的任意位置的電場強(qiáng)度均大于d、c點(diǎn)之間的任意位置的電場強(qiáng)度，由于d點(diǎn)為Oc的中點(diǎn)，根據(jù)E=Ud可知，UOd>Udc，故B錯(cuò)誤；帶正電的試探電荷沿直線從a移動(dòng)至O'過程中，到O點(diǎn)的距離逐漸減小，受到的電場力逐漸增大，正試探電荷受到斥力作用，速度與電場力的夾角為鈍角，電場力做負(fù)功，故試探電荷的電勢能增大，C正確；帶負(fù)電的試探電荷沿直線從a移動(dòng)至b過程中，其到O點(diǎn)的距離先減小后增大，受到的電場力先增大后減小，電場力對(duì)負(fù)電荷先做正功后做負(fù)功，9.A由于ab與cd相互平行且相等，有Uab=Udc，即φaφb=φdφc，代入數(shù)據(jù)可得c點(diǎn)電勢為φc=12V，A正確；在勻強(qiáng)電場中，任意兩點(diǎn)連線中點(diǎn)的電勢等于這兩點(diǎn)電勢的平均值，故ad中點(diǎn)的電勢為φ中=φa+φd2=14V，bc中點(diǎn)的電勢為φ中'=φb+φc2=18V，故B、C錯(cuò)誤；取ad邊的三等分點(diǎn)，可知圖中e點(diǎn)的電勢為12V10.C根據(jù)UAB=WABq可得，A、B兩點(diǎn)間的電勢差為UAB=WABq=-2.4×10-5-6×10-6V=4V，B、C兩點(diǎn)間的電勢差為UBC=WBCq=1.2×10-5-6×10-6V=2V，則A、C兩點(diǎn)間的電勢差為UAC=UAB+UBC=2V，知A點(diǎn)的電勢比C點(diǎn)的電勢高，A、B錯(cuò)誤，C正確；由于該電場為勻強(qiáng)電場，所以電勢在任意直線上均勻變化，取AB中點(diǎn)設(shè)為D11.C圖形剖析從圖中可獲得的信息如下：因?yàn)锳B平行于OC，并且四邊形ABCO為底角是60°的等腰梯形，其中坐標(biāo)O(0，0)，A(1，3)，B(3，3)，故有UOC=2UAB，即12VφC=2×(93)V，解得φC=0，A、B錯(cuò)誤；將OC四等分，如圖所示，根據(jù)勻強(qiáng)電場的特點(diǎn)可知D點(diǎn)電勢為3V，由幾何關(guān)系可知，BD垂直于DC，UDC=3V，LDC=1cm，BD為3V等勢線，故電場強(qiáng)度大小為E=UDCLDC=30.01Vm=300Vm方法技巧(1)在勻強(qiáng)電場中，沿任意方向相互平行且相等的線段兩端點(diǎn)的電勢差相等。當(dāng)線段與場強(qiáng)方向平行時(shí)，由U=Ed可知，d相等，U相同；當(dāng)線段與場強(qiáng)方向不平行時(shí)，只要沿場強(qiáng)方向的長度相等，則U相同。如圖甲所示，?ABCD中，UAB=UDC，UBC=UAD。(2)勻強(qiáng)電場中的任一線段AB的中點(diǎn)C的電勢φC=φA+能力提升練1.D2.B4.D5.D1.D連接A、D，B、F，C、E，AD與BF、CE的交點(diǎn)分別為M、N，設(shè)正六邊形的中心為O，如圖所示。由圖可知，AD與BF、CE都垂直，由正六邊形的特點(diǎn)可知AM=MO=ON=ND，可知M、O、N的電勢分別是0、2V、4V，又E點(diǎn)電勢為4V，則EN為一條等勢線，故C點(diǎn)的電勢為4V，A錯(cuò)誤；M點(diǎn)電勢為0，B點(diǎn)電勢為0，則BM為一條等勢線，F(xiàn)點(diǎn)的電勢也為0，所以有UAF=φAφF=2V，B錯(cuò)誤；點(diǎn)C、F之間的電勢差為UCF=φCφF=4V，C錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系可知AD垂直于BM，AD為一條電場線，AD=2L=4cm，所以電場強(qiáng)度的大小為E=UDAAD=8V4cm2.B由于xOy平面內(nèi)存在的是勻強(qiáng)電場，所以沿同一方向上相同距離電勢的變化相等，可得φbφc=φaφO，解得φO=4V，故A錯(cuò)誤；設(shè)ab中點(diǎn)為e，其電勢為φe=4V，則O、e連線為等勢線，如圖所示，由幾何關(guān)系可知，ab垂直于Oe，則ab為電場線，且方向由b指向a，電場強(qiáng)度大小為E=Ubedbe=1002Vm，B正確；連接b、d，由幾何關(guān)系知bd∥Oe，即bd為等勢線，φd=φb=6V，點(diǎn)電荷q在d點(diǎn)的電勢能為Epd=qφd=6×104J，故C錯(cuò)誤；點(diǎn)電荷q從a點(diǎn)移動(dòng)到c點(diǎn)電場力做功Wac=qUac=(1×104)×(28)J=6×1043.答案(1)3V(2)8eV(3)1.25Vcm，圖見解析解析(1)B、A間的電勢差為UBA=φBφA=2V(1V)=3V(2)根據(jù)動(dòng)能定理可得eUBA=EkAEkB可得粒子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為EkA=eUBA+EkB=3eV+5eV=8eV(3)由于φB=φD=2V可知B、D連線為一條等勢線，則電場方向如圖所示由圖中幾何關(guān)系可知FA=AB·ADBD=4×3則電場強(qiáng)度大小為E=UFAFA=方法技巧