1/12022北京四十三中初二（下）期中數(shù)學一、選擇題（本題共30分，每小題3分。第1-10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）1．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．2．下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形三邊長的是A．10，8，6 B．1，1， C．5，12，13 D．1，2，33．下列二次根式中，最簡二次根式是A． B． C． D．4．下列運算中正確的是A． B． C． D．5．如圖，是的中位線，若，則的長為A．8 B．7 C．6 D．7.56．下列的值中，能判定四邊形是平行四邊形的是A． B． C． D．7．如圖，在中，，點是的中點．連接，若，，則的長度是A．1.5 B．2 C．2.5 D．58．下列命題中是真命題的選項是A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 C．對角線相等的平行四邊形是矩形 D．三條邊都相等的四邊形是菱形9．如下圖，數(shù)軸上點所表示的數(shù)是A． B． C． D．10．如圖，四邊形中，，，且，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，，如此進行下去，得到四邊形．下列結(jié)論正確的有①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長是；④四邊形的面積是．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本題共21分，第11～15每小題3分，第16～18每小題3分）11．．12．在平行四邊形中，若，．13．如圖，矩形的對角線，，則的長為．14．三國時期，數(shù)學家趙爽繪制了“勾股圓方圖”，又叫“趙爽弦圖”，如圖所示，、、和是四個全等的直角三角形，四邊形和四邊形都是正方形，如果，，那么四邊形的面積等于．15．中國結(jié)，象征著中華民族的歷史文化與精致．小明家有一中國結(jié)掛飾，他想知道周長，利用所學知識抽象出如圖所示的菱形，測得，，則菱形的周長為．16．（2分）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線對折，使它落在斜邊上，且與重合，的長為．17．（2分）如果表示、的實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡的結(jié)果是．18．（2分）如圖，正方形的邊長為8，點在上且，是上的一動點，則的最小值是．三、解答題（本題共49分）19．（8分）計算：（1）；（2）．20．（4分）已知，，求代數(shù)式的值．21．（4分）已知：如圖，中，，是，上兩點，且．求證：．22．（5分）《九章算術(shù)》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問葭長幾何．其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，求蘆葦?shù)拈L度．丈尺）解決下列問題：（1）示意圖中，線段的長為尺，線段的長為尺；（2）求蘆葦?shù)拈L度．23．（7分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，，，為格點．（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求邊上的高．24．（6分）閱讀材料，然后作答：在化簡二次根式時，有時會碰到形如，這一類式子，通常進行這樣的化簡：，，這種把分母中的根號化去叫做分母有理化．還有一種方法也可以將進行分母有理化：例如：．請仿照上述方法解決下面問題：（1）分母有理化的結(jié)果是．（2）分母有理化的結(jié)果是．（3）分母有理化的結(jié)果是．25．（8分）已知正方形，點是延長線上一點，位置如圖所示，連接，過點作于點，連接．（1）求證：；（2）作點關(guān)于直線的對稱點，連接，．①依據(jù)題意補全圖形；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．26．（7分）定義：有一個內(nèi)角為，且對角線相等的四邊形稱為準矩形．（1）如圖1，準矩形中，，若，，則；（2）如圖2，正方形中，點，分別是邊，上的點，且，求證：四邊形是準矩形；（3）如圖3，準矩形中，，，，，求這個準矩形的面積．四、選做題（滿分10分）27．（4分）《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑．恒等變形，是代數(shù)式求值的一個很重要的方法．利用恒等變形，可以把無理數(shù)運算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式．如：當時，求的值．若直接把代入所求的式中，進行計算，顯然很麻煩，我們可以通過恒等變形，對本題進行解答．方法：將條件變形，因，得，再把等式兩邊同時平方，把無理數(shù)運算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運算．由平方得，整理可得：，即．所以．請參照以上的解決問題的思路和方法，解決以下問題：（1）若，則，；（2）若，求的值．28．（6分）已知正方形，點，分別在射線，射線上，，與交于點．（1）如圖1，當點，分別在線段，上時，則線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）如圖2，當點在線段延長線上時，將線段沿進行平移至，連接．①依題意將圖2補全；②請你通過實驗和觀察，試猜想在點運動的過程中線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題（本題共30分，每小題3分。第1-10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個）1．【分析】二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．【解答】解：依題意得，解得．故選：．【點評】考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．2．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，求出兩小邊的平方和，再求出大邊的平方，看是否相等，即可得出答案．【解答】解：、，三角形是直角三角形，故本選項錯誤；、，三角形是直角三角形，故本選項錯誤；、，三角形是直角三角形，故本選項錯誤；、，三角形不是直角三角形，故本選項正確．故選：．【點評】本題考查了對勾股定理的逆定理的運用，勾股定理的逆定理是：如果一個三角形的三邊分別是、、最大）滿足，則三角形是直角三角形．3．【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．【解答】解：、是最簡二次根式，符合題意；、，不滿足題意；、，不滿足題意；、，不滿足題意．故選：．【點評】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．4．【分析】利用二次根式的相應的運算法則對各項進行運算即可．【解答】解：、，故符合題意；、與不屬于同類二次根式，不能運算，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意；故選：．【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握．5．【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：是的中位線，，，故選：．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．6．【分析】兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以和是對角，和是對角，對角的份數(shù)應相等．只有選項符合．【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有符合條件．故選：．【點評】本題考查了平行四邊形的判定，在應用判定定理判定平行四邊形時，應仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法．7．【分析】先用勾股定理求得的長，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得的長度．【解答】解：，，，，點是的中點，．故選：．【點評】本題考查了勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．8．【分析】利用平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后，即可確定正確的選項．【解答】解：、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；、對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題；、對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題；、四條邊都相等的四邊形是菱形，原命題是假命題；故選：．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．9．【分析】先根據(jù)勾股定理計算出，則，然后計算出的長，接著計算出的長，即可得到點所表示的數(shù)．【解答】解：如圖，，，，，，，點表示的數(shù)為．故選：．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應關(guān)系．也考查了勾股定理．10．【分析】首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形中各邊長的長度關(guān)系規(guī)律，然后對以下選項作出分析與判斷：①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷；③由四邊形的周長公式：周長邊長之和，來計算四邊形的周長；④根據(jù)四邊形的面積與四邊形的面積間的數(shù)量關(guān)系來求其面積．【解答】解：①連接，．在四邊形中，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，，，，；，，四邊形是平行四邊形；，四邊形是矩形，（矩形的兩條對角線相等）；（中位線定理），四邊形是菱形；故本選項錯誤；②由①知，四邊形是菱形；根據(jù)中位線定理知，四邊形是菱形；故本選項正確；③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，，，四邊形的周長是，故本選項正確；④四邊形中，，，且，；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，四邊形的面積是，故本選項正確．綜上所述，②③④正確．故選：．【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系是最關(guān)鍵的．二、填空題（本題共21分，第11～15每小題3分，第16～18每小題3分）11．【分析】直接利用二次根式乘法運算法則求出即可．【解答】解：．故答案為：20．【點評】此題主要考查了二次根式的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等求得；然后由平行四邊形的對邊平行和平行線的性質(zhì)解答．【解答】解：在中，，，則．在中，，則，所以．故答案是：．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的對角相等，平行四邊形的對邊平行．13．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，求出是等邊三角形，即可求出．【解答】解：，，四邊形是矩形，，，，，是等邊三角形，，故答案為：4【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)矩形的性質(zhì)求出是解此題的關(guān)鍵．14．【分析】由題意知，在中，由勾股定理得，，從而得出答案．【解答】解：、、和是四個全等的直角三角形，，在中，由勾股定理得，，四邊形的面積為25，故答案為：25．【點評】本題主要考查了“趙爽弦圖”，勾股定理等知識，利用勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．15．【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出兩對角線的一半，再利用勾股定理列式求出邊長，然后根據(jù)菱形的四條邊都相等解答．【解答】解：，，兩對角線的一半分別為，，由勾股定理得，邊長，所以，菱形的周長．故答案為：40．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟記菱形的對角線互相垂直平分并求出邊長是解題的關(guān)鍵．16．【分析】先根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得，的長，從而利用勾股定理可求得的長．【解答】解：，，，（折疊的性質(zhì)），，設，則在中，，．故答案為：．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、一元二次方程的運用以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．17．【分析】根據(jù)差的絕對值是大數(shù)減小數(shù)，可化簡絕對值，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可化簡二次根式．【解答】解：由題意得．故答案為：．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，利用了二次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)．18．【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化，的值，從而找出其最小值求解．【解答】解：正方形是軸對稱圖形，點與點是關(guān)于直線為對稱軸的對稱點，連接，，，，連接交于點，點為上的動點，由三角形兩邊和大于第三邊，知當點運動到點時，，的最小值為的長度，四邊形為正方形，，，，，的最小值是10．故答案為：10．【點評】考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用．三、解答題（本題共49分）19．【分析】（1）先算除法，再算加減，即可解答；（2）先算乘法，再算加減，即可解答．【解答】解：（1）；（2）．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．20．【分析】先將題目中所求式子化簡，然后再根據(jù)，，求出、的值，再代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：，，，，解得，當，時，原式．【點評】本題考查二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．21．【分析】要證，只需證四邊形是平行四邊形，而很快證出，，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證出．【解答】證明：在平行四邊形中，，，，，．四邊形是平行四邊形．．【點評】本題考查了平行四邊形的判定．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．22．【分析】（1）直接利用水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，且邊長為10尺的正方形，為中點，即可得出答案；（2）根據(jù)題意，可知的長為10尺，則尺，設蘆葦長尺，表示出水深，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L．【解答】解：（1）由題意可得：尺，尺，故答案為：5，1；（2）設蘆葦長尺，則水深尺，在中，，解得：，則（尺，答：蘆葦長13尺．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合以及表示出直角三角形的各邊長．23．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進行計算即可解答；（2）設的邊上的高為，然后利用等面積法進行計算即可解答．【解答】解：（1）是直角三角形，理由：由勾股定理得：，，，，是直角三角形；（2）設的邊上的高為，在中，，，，的面積，，，邊上的高是2．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．24．【分析】（1）根據(jù)平方差公式可以將題目中的式子分母有理化；（2）根據(jù)平方差公式可以將題目中的式子分母有理化；（3）根據(jù)平方差公式可以將題目中的式子分母有理化．【解答】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3），故答案為：．【點評】本題考查二次根式的混合運算、分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用平方差公式將分母有理化．25．【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可．（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可．②結(jié)論：．在上截取點，使得，連接．證明，推出，，再證明四邊形為平行四邊形，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：，，四邊形是正方形，，，，又，，，．（2）①如圖：圖形即為所求作．②解：結(jié)論：．理由：在上截取點，使得，連接．四邊形是正方形，．在和中，，，，，是等腰直角三角形，．點關(guān)于直線的對稱點是點，，，，，，，．，，，四邊形為平行四邊形，，．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理