選擇性必修第一冊(cè)全冊(cè)綜合測(cè)試卷

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：

①零向量沒(méi)有方向；

②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

③若空間向量日石滿足同=\b\,則a=b-,

④若空間向量或元，/滿足沅=元，元=濟(jì)則沅=濟(jì)

⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3

C.2D.1

【解題思路】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義判斷可得答案.

【解答過(guò)程】零向量的方向是任意的，但并不是沒(méi)有方向，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等.但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相

同，故②錯(cuò)誤；

根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量益與用勺方向

不一定相同，故③錯(cuò)誤；

命題④顯然正確；

對(duì)于命題⑤，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1,但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)誤.

故選：D.

2.（5分）（2023秋?高一單元測(cè)試）在正四面體4-PBC中，過(guò)點(diǎn)4作平面PBC的垂線，垂足為Q點(diǎn)，點(diǎn)M滿

足前=三而，則麗=（）

4

A.-PA--PB+-PCB.-PA+-PB+-PC

444444

C.-PA+-PB+-PCD.-PA--PB+-PC

444444

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解.

【解答過(guò)程】由題知，在正四面體4一PBC中，

因?yàn)?Q1平面PBC,

所以。是4PBC的中心,

連接PQ,則而=|x［（而+麗），

所以麗=同+俞=~PA+-AQ

4

—>3,一一>、一3一3—>

=PA+-x（AP+PQ）=PA--PA+-PQ

=-P2+-x-xi（PB+PC）=-PA+-~PB+-PC.

4432k7444

故選：B.

3.（5分）（2023春?上海徐匯?高二?？计谀┮阎猰CR,則方程（2-m）/+（血+i）y2=1所表示的曲

線為C,則以下命題中正確的是（）

A.當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí)，m的取值范圍是（2,+8）

B.當(dāng)租=2時(shí)，曲線C表示一條直線

C.當(dāng)me6,2）時(shí)，曲線C表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓

D.存在meR,使得曲線C為等軸雙曲線

【解題思路】根據(jù)直線、橢圓以及雙曲線方程的特征逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A：曲線。表示雙曲線時(shí)，則（2-7n）（m+1）<0,解得zn<-1或m>2,

所以zn的取值范圍是（一8,-1）u（2,+8）,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)?71=2時(shí)，則3y2=1,解得y=±f,

所以曲線C表示兩條直線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)zneC，2）時(shí)，貝以一血€（0,|）,血+1E（|,3）,

即0v2—+可得」一>」一>0,

2-mm+1

曲線C：至+至=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故C正確；

2-mm+1

22

對(duì)于選項(xiàng)D：若曲線C為等軸雙曲線，且方程可整理為主+至=1,

2-mm+1

可得±=一/？則士+高=（7n+i；（2-m）=3無(wú)解'

所以不存在巾CR,使得曲線C為等軸雙曲線，故D錯(cuò)誤;

故選：C.

4.（5分）（2023春?廣西南寧?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）直線，過(guò)點(diǎn)（-1,2）且與直線2x-3y+4=0垂直，貝〃的

方程是（）

A.2%—3y+5=0B.3%+2y+7=0

C.3%+2y—1=0D.2%—3y+8=0

【解題思路】求出直線I的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出直線/的方程，化為一般式可得出答案.

【解答過(guò)程】直線2久-3、+4=0的斜率為京則直線I的斜率為-|,

因此，直線/的方程為y-2=—1(%+1),即3%+2y—1=0.

故選：C.

5.（5分）（2023春?江西九江?高二?？计谥校┰O(shè)直線/被圓C：%2+、2一2%-4'二0所截得弦/3的中點(diǎn)

為M（2,l）,則直線2的方程為（）

A.%+y+3=0B.%—y+3=0

C.%+y—3=0D.x—y—1=0

【解題思路】求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)得到CM1Z,利用垂直求出直線/的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)

果.

【解答過(guò)程】圓％2+y2-2x-4y=0的圓心為C（l,2）,

設(shè)直線/的斜率為匕

由已知直線/與CM垂直，又kcM=~~——1，

1—2

所以k?kcM=-1，解得：k=1,

所以，的方程為y—1=久一2,即％-y-1=0.

故選：D.

6.（5分）（2023?河南新鄉(xiāng)??？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓。:，+3=19>6>0）的左頂點(diǎn)為人,點(diǎn)”,可是橢

圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn).若直線AM,4V的斜率之積為|,則C的離心率為（）

A.叵B.KD.更

22c13

【解題思路】設(shè)貝UN（-%。①），得到心M心N=2°2=由橢圓的方程，得到勺=|,結(jié)合u=-=

CL—XQJCLJCl

,即可求解.

【解答過(guò)程】由題意，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-a,O）,

因?yàn)辄c(diǎn)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，可設(shè)MQo，%），則N（—x。，%），

所以/fa”==言]，可得%核可=聾^，=念乒=|，

?Ctctx（）十a(chǎn)a“0a40J

又因?yàn)榕c+9=1,即詔=竺哼乳

22

ab,口a2

代入可得與=I，所以離心率為e=￡=ll-^=fl^|=v.

a23aya2yj33

故選：D.

7.（5分）（2023?吉林通化??？寄M預(yù)測(cè)）直三棱柱ABC—如圖所示，48=4,BC=3,4。=5,。為

棱4B的中點(diǎn)，三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為61m則異面直線&D和B]C所成的角的余弦

值為（）

A.逗B.白C?延D.小

55525

【解題思路】先根據(jù)已知條件求出側(cè)棱長(zhǎng)，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線4〃和BiC的方向向量，從

而可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)樵谥比庵鵄BC-中，所以球心到底面的距離&=等，

又因?yàn)?8=4,8C=3,4C=5,所以AB?+BC?=a/,所以ABJ.BC,所以底面外接圓半徑r=|,

又因?yàn)榍虻谋砻娣e為61ir,所以R=手,

而夫2=72+d2,所以B%=6,

以BI為原點(diǎn)，BiG為x軸，Bi4為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

81(0,0,0),4(0,4,0),C(3,0,6),￡>(0,2,6),

B^C=(3,0,6),碩=(0,-2,6),

|麗=3國(guó)初|=2410,B^C-A^D=36,

設(shè)直線&D和&C所成的角為8,則

cos。=\C0S(B^,A^)\=|^^|==￥'

故選：A.

8.(5分)(2023秋?廣西河池?高二統(tǒng)考期末)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得

到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦

點(diǎn).已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,一條平行于久軸的光線從點(diǎn)「(4,4魚)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)4反射后，

再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)8射出，則APAB的面積為()

A.4B.6V2C.12V2D.24或

【解題思路】由題意求出a點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線4B過(guò)焦點(diǎn)的直線，聯(lián)立拋物線方程求出8點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋

物線的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)镻(4,4A⑵，所以以="=4a所以次=率=2,

所以4(2,4&),又F(4,0),所以。B：y—0=若2。-心,

即人:y=-2或0-4),又

(yz=16x,

所以％2—10%+16=0,解得％=2或%=8,所以%B=8,

又因?yàn)閨/例=\AF\+|8川=4+P=2+8+8=18,

點(diǎn)P(4,4&)到直線3：y=-2V2(x-4)的距離d|8V24-4V2-8A/2|_4版

所以△P4B的面積S=||XF|.d=|xl8x^=12V2.

故選：C.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.(5分)(2023秋?高一單元測(cè)試)已知向量江=(m,2zn,2),b=(2m—5,—m,—1),則下列結(jié)論正確的

是()

A.若石〃3,則m=2B.若五1石,則？7i=—：

C.同的最小值為2D.同的最大值為4

【解題思路】根據(jù)空間向量共線定理即可判斷A；根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模

的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷CD.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,若五〃丸且五=(皿2m,2),b=(2m—5,—m,—1),

則存在唯一實(shí)數(shù)2使得,=焉，即(zn,2m,2)=((2m-5)尢一血尢一2),

(m=(2m—5)2

則2m=—mA，解得｛丁=3故A正確;

=—2

<2=-A

對(duì)于B,若五J.3,則=0,

即m(2m—5)—2m2—2=0,解得m=—|,故B正確；

|a|=7m2+47n2+4=V5m2+4,

故當(dāng)m=0時(shí)，|B|取得最小值2,無(wú)最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.(5分)(2023秋?高一單元測(cè)試)點(diǎn)P在圓Q：/+丫2=1上，點(diǎn)Q在圓。2：x2+y2-6x+4y+9=0

上，則()

A.|PQ|的最小值為舊一3

B.IPQI的最大值為vn

C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為-1

D.兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為6x-4y-10=0

【解題思路】根據(jù)圓心距結(jié)合兩圓半徑可判斷兩圓的位置關(guān)系，故可判斷D的正誤，求出|PQ|的最值后可

判斷AB的正誤，利用公式可求連心線的斜率，故可判斷C的正誤.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，圓G：/+丫2=1,其圓心G（0,0）,半徑R=l,

圓C2：%2+y2-6%+4y+9=0,即（％-3尸+（y+2尸=4,其圓心。2（3,—2）,半徑r=2,

則圓心距|C|=，9+4=>R+r=3,兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；

|PQ|的最小值為IGC2I-=3,最大值為IGC2I+/?+r=V13+3,

故A正確，B不正確；

對(duì)于C,圓心G（0,0）,圓心。2（3,-2）,

則兩個(gè)圓心所在直線斜率憶=會(huì)=-；，故C正確，

3—03

故選：AC.

2

11.（5分）（2023春?河南許昌?高二統(tǒng)考期末）橢圓C:v?+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為出、？2，。為坐標(biāo)

4

原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）

A.橢圓C的離心率為］

B.過(guò)點(diǎn)尻的直線與橢圓C交于力、B兩點(diǎn)，則AABF2的周長(zhǎng)為8

C.橢圓C上存在點(diǎn)P,使得APF1F2的面積為2

2

D.P為橢圓丁v+y2=1上一點(diǎn)，M為圓％2+y2=1上一點(diǎn)，則|PM|的最大值為3

4

【解題思路】求出橢圓C的離心率，可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的定義可判斷B選項(xiàng)；求出的取值范

圍，可判斷C選項(xiàng)；利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).

【解答過(guò)程】在橢圓C中，a=2,b=1,貝！Jc=y/a2—b2=V4—1=V3,

對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓C的離心率為e=￡="，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，△力的周長(zhǎng)為（MKI+3尸2|）+（舊&|+IBF2I）=4a=8,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸的端點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為：x2cxb=bc=W,

所以，OVSAP&FZW%，故橢圓C上不存在點(diǎn)P，使得APFIB的面積為2,B錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，圓久2+y2=1的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,該圓的半徑為1,

設(shè)點(diǎn)尸（%,y）,則一24%42,貝J第2+y2=%2+1-y

當(dāng)且僅當(dāng)*=±2時(shí)，等號(hào)成立,

所以，\PM\<\P0\+\0M\<2+1=3,

當(dāng)且僅當(dāng)P、0、M三點(diǎn)共線，且。為線段PM上的點(diǎn)，以及點(diǎn)P為橢圓C的長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),

|PM|取最大值3,D對(duì).

故選：BD.

12.（5分）（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上

畫了具有視覺(jué)效果的正方體圖案，如圖1,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成

圖3所示的空間幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則下列結(jié)論正確的是（）

（圖1）（圖2）

A.點(diǎn)G到直線CQ的距離是?

B.CQ=-2AB-AD+2AA^

C.平面ECG與平面BQD的夾角余弦值為］

D.異面直線CQ與BD所成角的正切值為舊

【解題思路】通過(guò)空間向量的基底運(yùn)算可得B的正誤，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得A、C、D的正誤.

【解答過(guò)程】依題意我=方+麗=一而+2瓦仁=一而+2（理一同）=一2荏一而+2麗（,所以選

項(xiàng)B正確；

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A/,所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則Bl(0,1,0),QC-1,1,0),DiC-1,0,0),(2(0,-U),C(-l,l,-l),

E(l,-1,—1),G(—1,—1,1),8(0,1,-1),。(一1,0,—1),

對(duì)于A：祠=(—1,2,-1),的=(1,—2,2),設(shè)爪=專型=一彳

則點(diǎn)G到直線C。的距離d=J|西『一小2=16一L所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：EC=(-2,2,0),EG=(-2,0,2),麗=(-1,-l,0),BC\=(-1,0,1)；

設(shè)平面ECG的法向量的一個(gè)法向量為瓦=(x,y,z),則［溫,絲=-2x+2y=0,

Ei?EG=-2x+2z=0

令汽=1可得為％=(1,1,1),

設(shè)平面8的法向量為近=(a,b,c),貝三.嗎=一°一"=°,則有=(—1,1,一1)

所以|cos〈溫，石)|=魯署=；,即平面ECG與平面BC1D的夾角余弦值為;，所以C正確;

l^llln2l33

對(duì)于D,因?yàn)槲?(1,-2,2),BD=

所以cos(衣，麗)=中言/=今所以tan質(zhì)，麗)=717,

所以異面直線CQ與BD所成角的正切值為VT7,所以D正確.

故選：BCD.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)(2023?湖南長(zhǎng)沙?周南中學(xué)?？级?若圓(久-a)2+(y-3)2=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線2x—y+1=

0的距離為有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-職).

【解題思路】由題意得，圓心到直線2x—y+l=0的距離d<4,列式求解即可.

【解答過(guò)程】圓(％-。)2+0-3)2=20的圓心為((1,3),半徑為2遍，

因?yàn)閳A(x-a)2+(y-3產(chǎn)=20上有四個(gè)點(diǎn)到直線2x-y+l=0的距離為近，

所以圓心到直線2x-y+1=0的距離d<V5,

所以4=胃<遮，解得一

V522

故答案為：(一ID

14.(5分)(2023春?上海奉賢?高二?？茧A段練習(xí))已知兩點(diǎn)力(2,-3),8(-3,2),直線/過(guò)點(diǎn)P(l,l)且與線

段A8相交，則直線I斜率k的取值范圍是(―8,—4]U卜％+8).

【解題思路】數(shù)形結(jié)合法，討論直線/過(guò)A、8時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率，進(jìn)而判斷率k的范圍.

【解答過(guò)程】如下圖示，

當(dāng)直線I過(guò)2時(shí)，々==^=一；，

由圖知：kW(-8,-4]U[—],+8).

故答案為：(―8,—4]U[―],+8).

22

15.(5分)(2023春?四川涼山?高二校聯(lián)考期末)已知雙曲線C：2—巳=1，(a>0，b>0)的左、右

a2b2

焦點(diǎn)分別為F2,過(guò)點(diǎn)P(-a,0)作一條斜率為曰的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)且上F21=尸2時(shí)],

則雙曲線c的離心率為:.

【解題思路】由雙曲線的焦半徑公式結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)計(jì)算即可.

如圖所示，設(shè)MOo，yo)，&(c,0)，則*/=設(shè)

x222ex2

所以IM&I=V（o-c）+7o=J（1+版）瑞一2cx0+c-b=7（o-a）=|ex0-M，

又M在第一象限，即％0＞。，故|M&I=e%o-。，

因?yàn)镹MPF2=30。，過(guò)M作MD1%軸于。，\PF2\=\F2M\=＞￡.MF2D=60°,

故|P&I=Q+c=IMF2I=2尸2。1今。(|。+|,0)，

即久0=故^^---a=a+c=>3c2—ac—4a2=0=3e2—e—4=0,

u22a

解之得e=g(負(fù)值舍去).

故答案為：

16.（5分）（2023春?四川成都?高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體4BCD-4i8iG￡）i的棱長(zhǎng)為2,若空間中

的動(dòng)點(diǎn)P滿足4P=44B++vAAi，A,“，vG[0,1]＞則下列命題正確的是②.（請(qǐng)用正確命題

的序號(hào)作答）

①若4=M=V=|,則點(diǎn)P到平面力BiC的距離為手;

②若4=4=v=；,則二面角P-4B-C的平面角為:;

2.4

③若2+/z+v=%則三棱錐P—BD4的體積為2.

【解題思路】分別以4B,AD,所在直線為％，V，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于①：直接應(yīng)用點(diǎn)到平

面距離的向量公式，即可判斷；對(duì)于②：直接應(yīng)用面面角的向量公式，即可判斷；對(duì)于③：先求出點(diǎn)P到平

面BD4的距離，即可計(jì)算出Vp_BD4,得出判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于①：由空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

所以Bi(2,0,2),C(2,2,0),￡>(0,2,0),4式0,0,2),

向量9=（1,1,1）,設(shè)平面ZB4的法向量近=（勺,乃,zi）,

由福=(2,0,2),AC=(2,2,0),

ABr-n^=0即(2/+2zi=0

則1⑵1+2月=0取%i=-1則五=(一1,1,1),

.AC-n^=0

則點(diǎn)P與平面2B1C的距離為4=嚅^=a=日，故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②：設(shè)平面4BP的法向量爪=。2，丫2*2)，

又AP=(1,1,1),AB=(1,0,0),

，償％=,即『2+"’=0,取先一,財(cái)=(0,-1,1),

VAB-n2=0(冷一u

易得平面的一個(gè)法向量詬=(0,0,1),

設(shè)二面角P-AB-C的平面角為8,

則3"骷=專='

。是銳角,

??二面角P—AB—C的平面角為%故②正確;

對(duì)于③：???AP=XAB+nAD+vAA^,AB=(2,0,0),AD=(0,2,0),標(biāo)=(0,0,2),

AP=(22,2/z,2v),則審=AP-AA1=(24,2〃,21/-2),

設(shè)平面B￡Mi的法向量為"=(x4,y4,z4),

由麗=(-2,2,0),砧=(-2,0,2),

則層總二)取“1甌=(1，LD，

則點(diǎn)p到平面的距離為d=哨^=吆等m,

|n4|V3

由a+〃+v==g

易知SABDA=弓X(2V2)2=2V3,

則三棱錐匕_皿1=匏——d=|,故③錯(cuò)誤;

故答案為：②.

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)(2023?江蘇?高二假期作業(yè))根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程:

(1)斜率為2,在y軸上的截距是5；

⑵傾斜角為150。，在y軸上的截距是一2；

(3)傾斜角為60°,與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.

【解題思路】(1)由直線的斜截式可得直線方程；

(2)由已知求得直線的斜率，再由直線的斜截式可得直線方程.

(3)由已知求得直線的斜率和直線在y軸上的截距，再由直線的斜截式求得直線的方程.

【解答過(guò)程】(1)由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為y=2x+5.

(2)由于直線的傾斜角為150。，所以斜率％=tan150。=一日，

故所求直線的斜截式方程為y=一爭(zhēng)一2.

(3)因?yàn)橹本€的傾斜角為60。，所以斜率％=tan6(T=8.

因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3,

所以直線在y軸上的截距b=3或b=-3,

故所求直線的斜截式方程為了=伍+3或y=d放一3.

18.(12分)(2023春?四川成都?高二校聯(lián)考期中)如圖，在平行六面體ABCD-4a的￡?1中，E,尸分別

為棱的中點(diǎn)，記近=a,~BA=3,西=冷滿足N81BC=LB^BA=\^CBA=\BC\=2,

⑵計(jì)算而-~FE.

【解題思路】(1)根據(jù)空間向量對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系，用瓦I西,正表示出而；

(2)應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得麗?麗=^BC-BA+~BC-BC,結(jié)合已知即可求數(shù)量積.

【解答過(guò)程】⑴而=前+西+庠+-jfo+c-ja；

(2)~BC-FE=JC-+=^BC-~BA+^C-~BB1-^BC-BC

=:園同|cos]+|園|西|cos^-||BC|2=04-3-2=1.

19.(12分)(2023秋?高一單元測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系％0y中，已知圓M的圓心在直線y=-2%上，且

圓M與直線x+y—1=0相切于點(diǎn)P(2,—1).

⑴求圓M的方程；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/被圓M截得的弦長(zhǎng)為逐，求直線/的方程.

【解題思路】(1)求出過(guò)點(diǎn)P(2,—1)且與直線x+y-1=0垂直的直線方程，與y=-2x聯(lián)立求出圓心M,

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求出半徑，即可得圓M的方程；

(2)分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合過(guò)原點(diǎn)。的直線/被圓M截得的弦長(zhǎng)為痣，求直線I的方程.

【解答過(guò)程】(1)過(guò)點(diǎn)P(2,—1)且與直線x+y—1=0垂直的直線方程為x—y—3=0,

聯(lián)立「二二1°,解得:I,所以陽(yáng)1，一2),

所以圓M的半徑為|MP|=J(2-1)2+(—1+2)2=V2,

所以圓M的方程為(x-I)2+(y+2尸=2.

(2)由(1)可知圓時(shí)的方程為0—1)2+。+2)2=2,

因?yàn)橹本€/被圓“截得的弦長(zhǎng)為迎，

所以M到直線/的距離為d=丘二=巡，

若直線1的斜率不存在，則方程為x=0,此時(shí)圓心到直線的距離為1,不符合題意;

若直線I的斜率存在，設(shè)方程為y=kx,

則d=翳=刎2+■+7=。，解得k=-1或-7,

所以直線/的方程為x+y=0或7x+y=0.

yi

22

20.(12分)(2023春?陜西西安?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓會(huì)+卷=1的左，右焦點(diǎn)分別為Fi(-c,0),F2(c,0),

垂直于x軸的直線與該橢圓交于尸，。兩點(diǎn)，且P61P七.

(1)求該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率；

⑵求AaPF2的面積及弦長(zhǎng)IPQI的值.

【解題思路】(1)由橢圓的方程可得答案；

(2)由|P0|2+|PF2|2=|F/2|2、橢圓定義、三角形的面積公式計(jì)算可得答案.

22

【解答過(guò)程】⑴由橢圓的方程獲+卷=1,可得。2=25,62=9,c2=25—9=16,

.??該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±4,0),離心率e=￡=&

a5

(2),：PF11PF2,

222

|PF/2+\PF2\=\F1F2\=(2c)=64,

2

即(|PFil+|PF2|)-2|PFI||P&I=64，

：.2\PF1\\PF2\=100-64=36,即|PFd|P&|=18.

.?.△尸止尸2的面積為卻F/IPBI=[x18=9,

設(shè)點(diǎn)P(xp,yp),則AF]P尸2的面積為；|F/211ypi=9,可得％,=±p

24

21.(12分)(2023春?廣東湛江?高一校考階段練習(xí))如圖所示，在三棱錐P-2BC中，已知P41平面ABC,

平面PAB1平面PBC,點(diǎn)。為線段PC上一點(diǎn)，且PD=2DC,

(1)證明：8C_L平面P4B；

(2)若4B=6,BC=3,且三棱錐P-力BC的體積為18,求二面角B-AD-C的正切值.

【解題思路】(1)過(guò)點(diǎn)4作4E1PB于點(diǎn)E,由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理可得4E1BC,PA1BC,

再由線面垂直的判定定理可得答案；

(2)由體積求出P4以B為原點(diǎn)，分別以瓦，瓦5為x軸、y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系8-xyz,求出

平面力8D、平面4CD的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案.

【解答過(guò)程】(1)證明：過(guò)點(diǎn)2作4E1PB于點(diǎn)E,如圖所示，

P

因?yàn)槠矫鍼4B1平面PBC,且平面P4Bn平面PBC=PB,AEu平面/MB,

所以力E_L平面PBC,又BCu平面PBC,所以4E1BC,

又P41平面ABC,BCu平面ABC,貝l|P41BC,

又因?yàn)镻4CiAE=4AE,PAu平面R4B,

所以8c，平面PAB；

(2)由(1)知BC_L平面P4B,48<=平面P48,得BC_L4B,

又VP_ABC=18,AB-6,BC=3,

所以：X［義ABxBCxPA=18,解得P4=6,

以B為原點(diǎn)，分別以灰，瓦?為x軸、y軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系B-xyz,

R

Az

D

y

B

則4(0,6,0),B(0,0,0),P(0,6,6),C(3,0,0),

又因?yàn)镻D=2DC,所以D(2,2,2),

則有前=(3,-6,0),AD=(2,-4,2),ZB=(0,-6,0),

設(shè)沅=01，%,Zi)是平面SBC的一個(gè)法向量，

則一i"i,令%=-i,則%=0,Z1=1,

IAB-m^-6yr=0

所以可取記=(-1,0,1),

設(shè)元=(如先0)是平面ac。的一個(gè)法向量，

則產(chǎn)三二,2-4%+2：=0,令冷=2,則%=1，Z2=0,,所以可取元=(2,1,0),

(AC,71—3%2—6y2=0

則|cos優(yōu)曲=黑=懸=尊所以二面角B-AD-C的余弦值為雷，

可得二面角B-AD-C的正切值為當(dāng)

22

22.(12分)(2023春?貴州遵義?高二統(tǒng)考期中)己知雙曲線C：今—為=l(a>0,6>0)的左、右頂點(diǎn)分

別為且頂點(diǎn)到漸近線的距離為雪，點(diǎn)是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)(不與重合)，且滿足尸&，PA

4,A2,P