第四單元平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

本欄目為教師專用

1.編寫意圖

本單元內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中的工具性知識，在近幾年高考中主要考查三個方面:一是平面向量本

身知識的基礎(chǔ)題，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大;二是以向量作為工具，考查與其他

知識點的交匯與整合，以解答題為主;三是復(fù)數(shù)的概念及其運算,大多為選擇題，較為簡單.

因此,編寫時主要考慮以下幾方面:(1)每課時的例題、習(xí)題以鞏固基礎(chǔ)知識為主,重點是引導(dǎo)學(xué)

生用向量知識解決有關(guān)長度、夾角、垂直等問題,掌握應(yīng)用向量知識解決這類問題的方法;(2)

適當配備平面向量綜合問題的“新熱點”題型，其形式為向量與其他知識的綜合，但嚴格控制

難度，用于加強學(xué)生對各個知識點之間聯(lián)系的滲透,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)提高綜合應(yīng)用能力;(3)復(fù)數(shù)

考查基本運算，要掌握常規(guī)方法和常規(guī)運算.

2.教學(xué)建議

本單元的內(nèi)容著重體現(xiàn)其應(yīng)用性、工具性，復(fù)習(xí)中應(yīng)注意下面幾點：

(1)向量的運算在高考中一定會有考查，并且難度較大，在復(fù)習(xí)中要注意對該部分知識進行拓

展和提升;(2)向量的數(shù)量積在高考中一般會考查一道選擇題或者填空題,在大題中也有涉及，

但是考查難度不大,注意常規(guī)方法和常規(guī)運算的訓(xùn)練;(3)復(fù)數(shù)在高考中一般位于前幾道題的

位置，難度不大,注意基本概念的理解和基本運算的DI練.

3.課時安排

本單元共4講和一個小題必刷卷(七)，每講建議1課時完成，小題必刷卷(七)課外完成，共需4

課時.

第24講平面向量的概念及其線性運算

考試說明L了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義.

2.理解向量的幾何意義.

3.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.

4.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義.

5.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

本欄目為教師專用

考情分析

考點考查方向考例考查熱度

平面向量的概

概念辨析、應(yīng)用等

念

平面向量的線力口、減、數(shù)乘運算及其2016全國卷773,2015

性運算應(yīng)用全國卷17

根據(jù)向量共線確定參數(shù)

共線向量2015全國卷〃13

值、應(yīng)用等

真題再現(xiàn)

■［2017-2013］課標全國真題再現(xiàn)

1.［2015?全國卷刀設(shè)。為"交所在平面內(nèi)一點或=3而廁（）

A?前二?屈哆后

SAD^-AB-AC

33

CAD=-AB+-AC

33

DAD=-AB-AC

33

［解析］A由題意知而=尼+方=前若近=前+|（尼-麗=3前號北

2.［2015?全國卷27］設(shè)向量4。不平行,向量加+。與”2。平行/實數(shù)/1=.

［答案］|

［解析］因為加"與a+26平行，所以存在唯一實數(shù)力使得加+。=標+2功,所以仁Z以解得

A=t=~.

2

■［2016-2015］其他省份類似高考真題

［2016?北京卷］設(shè)a,。是向量則"http://二/〃’是"/a"/=/a-“的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］D若/a/=/6/成立，則以a,6為鄰邊組成的平行四邊形為菱形,a",a-b表示的是該菱

形的對角線,而菱形的對角線不一定相等，所以/a+5/=/a-5/不一定成立，從而不是充分條件;反

之，若/a+6/=/a-例或立，則以為鄰邊組成的平行四邊形為矩形，矩形的鄰邊不一定相等，所

以/a/=/偽不一定成立，從而不是必要條件.故選D.

【課前雙基鞏固】

知識聚焦

1.大小方向大小長度句質(zhì)/0011

相同長度相同長度相反-a不確定的任意的

平行

2和三角形平行四邊形b+aa+(b+G相反向量

三角形”(-6)向量數(shù)乘而囚同相同相反

0Aa+Ab

3.b=Aa

對點演練

1.D1［解析］AC-RD+CD-AB+DE+EF+FA^(AC+CD+DE+EF+FA)-(AB+BD)^DA.

2.(4)［解析］根據(jù)向量的概念可知(4)錯誤.

3.|(a+Z?)［解析］AB+BM=AM,AC+CM=AM,CM=-W,.-AM=^(AB+AC)=^a+b］.

4.2［解析］因為豉與e不共線，且a=豉e與b=-2豉Me共線，所以存在gR,使

豉但市-2豉3㈤=-2〃豉+心也得［1=如，所以4=2.

5.②［解析］對于。由于刀與瓦?是相反向量,所以而+BA=0,。昔誤;對于②，由于ail。且

/a/>/勿>0,所以當a,6同向時,a+b的方向與a的方向相同，當a,6反向時,a+b的方向仍與a

的方向相同，②正確;對于③，因為不確定沅的方向與a的方向是否相同,所以③e昔誤.

6.等腰梯形［解析］而言而表示而與正共線，但兩件甌/所以四邊形28。是梯形，又

而/孤/所以四邊形26。是等腰梯形.

7.［2,6］［解析］當a與6方向相同時任勿=2,當a與6方向相反時,/a-勿=6,當a與b不共

線時,2</a-勿<6,所以/a-切的取值范圍為［2,6］.此題易忽視a與。方向相同和a與6方向相

反兩種情況.

【課堂考點探究】

例1［思路點撥］(1)將已知等式整理成a4b的形式，再根據(jù)向量共線定理判斷;(2)利用平面

向量的有關(guān)概念判斷.

(1)C⑵②②［解析］(1)由已q=0得力得，0,即a=卷/附0,則a與6共線且方向相反,

因此當向量a與6共線且方向相反時，能使卷珞=0成立.選項A中向量a與6的方向相同,

選項B中向量a與6共線，方向相同或相反，選項C中向量a與5的方向相反，選項D中向量

a與?；ハ啻怪保蔬xC.

⑵?F正確.兩個向量的長度相等,但它們的方向不一定相同.

正確.當b=0時ailb,b\\c但a與c不一定平行.

③正確.a與6是非零向量,6與-6反向，若a與5同向廁a與-6反向.

@正確.因為荏與前共線，且荏與前有公共點民所以4日。三點在同一條直線上.

變式題⑴D(2)A［解析］⑴A中,四與灰的長度相等，但方向不同，所以A錯誤;B中,而

與麗的長度相等，但方向不同，所以B錯誤;C中，即與方的長度相等，但方向相反，所以C錯

誤;D中，而與方的長度相等，方向也相同，即麗麗.故選D.

(2)對于⑦因為屈屈，所以兩/孤原說與反共線，又因為48C。是不共線的四個點，

所以四邊形26。為平行四邊形;反之，若四邊形26。為平行四邊形，則而與反共線且

質(zhì)/孤/所以說=反，故⑦正確根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一

定相同，故兩個單位向量不一定相等，故多昔誤.向量都與瓦?互為相反向量，故,昔誤.對于④

因為a=b,所以a力的長度相等且方向相同，又6=G所以&c的長度相等且方向相同，所以a,c

的長度相等且方向相同，即a=C故④正確.故選A.

例2［思路點撥］(1)首先根據(jù)條件4A0=屈+2前構(gòu)造平行四邊形歷然后結(jié)合三角形相

似的性質(zhì)求解;(2)以向量4B/C為鄰邊作平行四邊形，通過判斷平行四邊形的形狀來確定△

/踩的形狀.

⑴D⑵直角三角形［解析］(1)如圖所示，延長ZC至I」點￡使ZC="以Z8/尸為鄰邊作平

行四邊形26歷對角線交6c于點口故4A0=荏+2AC=旗，即點。在AEh.^AOB

與必。C的高分別為8c至U的距離.由平行四邊形的性質(zhì)得△/口＞△&四目相似比為

1/2,即CD:BD=1:2,又因為的底邊均為ZO,高的比等于BD:DC=2:1,所

以"06與"OC的面積之比為2.1.

⑵由兩+AC/^/AB及何知，以向量屈，而為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等,則此平

行四邊形為矩形，故AC,即8c為直角三角形.

例3［思路點撥］(1)首先利用三角形法則與向量共線的性質(zhì)表示出向量4E,然后利用三角形

法則表示出而.(2)由前三屈號左確定點。的位置，從而確定兩三角形面積的關(guān)系.

(1)B(2)B［解析］(1)由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得

AE^AD,AD=屈+BD^D=BA+冠貝麗=^(BA,福，所以

AD=荏+BD=荏瓦?若森所以荏三(前瓦?若前)，所以

次兄?+族年5號通亭1亭?=|麗卓荏一幅故選B.

⑵由4。=己"8g/C得點。在平行于的中位線上,從而有SAABD^SRABG又S^ACD^S^ABC1

所以￡so=（1-）￡48cWS“8G所以產(chǎn)=點故選B.

z363□4BO3

例4［思路點撥］利用戶是直線6/V上一點，可設(shè)加=〃前,然后用Z77,n及屈，前表示出向量

存，對照已知條件即可求得。的值.

A［解析］：AN^NC,.'ANW前；P是直線BN上一點，.設(shè)麗="前廁

AP-ZB=〃（前漏），即Q=（1-n）AB+nAN=（1-ri）ABdAC^mAB￡前，則〃=3,所以

44

/77-1-0=-2.故選A.

強化演練

1.A［解析］麗+FC=（EC-BC）+（FB+BC）=EC+FB=^AB-f-AC=^（AB+AC）=前，故選A.

2.A［解析］由題意得赤+0C=20D,X0B+0C^-20A=2而,所以而=而，故選A.

3.D［解析］而=而-標=|而+正=|（近+|而）~|（同+而）=］同?阮，故選D.

4.V2［解析］設(shè)立?=a,赤=6,以瓦?，礪為鄰邊作平行四邊形。4c耳則

］BAl=la-bl，］OCl=la+bl.:加/=/勿=1,且任勿=/〃：畫片/句=//%.平行四邊形OACB

是正方形〃:庇/二庭/=讓,即后+勿=僅

5.2［解析］因為。是6C的中點所以荏+AC=2而，即mAM+nAN=2前廁

而=刎前+|〃前.又因為。，例，三點共線，所以刎6〃=1,即m+n=2.

例5［思路點撥］根據(jù)平面向量共線定理，引入實數(shù)〃使得2豉市豉”le）,然后通過比較

系數(shù)建立方程組求解.

A［解析］若向量a與6共線,則存在實數(shù)〃使得2豉-改豉則有e［2：］解得a=方

故選A.

例6［思路點撥］(1)首先根據(jù)向量加減法法則尋找ABCQ四點中任意三個點對應(yīng)向量間

的關(guān)系，然后利用共線定理進行判斷;⑵首先將A6c三點共線問題轉(zhuǎn)化為前與無共線問題,

然后利用向量共線定理求解.

(1)A(2)D［解析］

(1)AB=a+5b豌=-3a+6b而=4a-b,.^BD=BC+CD=(-3a+6b)+(4a-Z?)=a+Sb=AB,..A,

8。三點共線，故選A.

⑵由A8C三點共線相荏與亞共線，則存在實數(shù)，，使得荏=屈，則有］解得

?=〃=-1或2,故選D.

強化演練

1-A［解析］②a=|b,.：a,Z?共線;②a=-6(T611Tti.)=-66,.：a力共線;③6=-2(a-㈤不存在

/leR,使得a=Ab成立〃不共線.故選A.

2.D［解析］由前向+撰?得而出=緇,.,前=金抽〃:點戶在射線26上，故選D.

\/X.D\/\.D

3.D［解析］由題意知，存在實數(shù)4使a=Xb^豉+kez與伙會+0),由向量相等得解

得《=土1,故選D.

4.B［解析］設(shè)F是6C邊的中點,則/初+0C)=或由題意得而=甌所以

而三荏=；須而?)=；荏嚀礪,又因為8,。。三點共線所以：4=1,解得鳥故選B.

2444C44C3

熟您篦賺嚼本欄目為教師專用

【備選理由】例1對共線定理加深理解，例2、例3是兩個綜合性較強的題目,可供學(xué)有余力

的學(xué)生選用.

H1［配合例5使用］［2017?北京海淀區(qū)期中］在必交中，點。滿足前=2荏寂顧)

A.點。不在直線8c上

B.點。在線段6c的延長線上

C.點。在線段8c上

D.點。在線段）的延長線上

［解析］D由同=2屈就=前-AB=AB-/今BD與瓦故點。在線段CB的延長線上，故選

D.

例2［配合例4使用］［2017?上海黃浦區(qū)二模］如圖所示/胡C=拳圓M與Z6/C分別相

切于點D,EAD=1點戶是圓例內(nèi)任意一點（含邊界），且Q=而5+加（％yGR）廁x+y的取

值范圍為)

A.[l,4+2V3]B.[4-2V3,4+2網(wǎng)

C.[l,2+V3]D.[2-V3,2+V3]

［解析］B連接Z"并延長，線段2股及其延長線分別交圓河于Q,7兩點，連接?！昱c交

于點凡顯然航吊標號裾此時x+y=l.由于/。=/￡=1/必［=*,.乂例=2,。例=遮；點P

是圓河內(nèi)任意一點（含邊界）,；2/4力走2瓶,且當4月例三點共線時x+y取得最值.當P

位于Q點時/Q=2廁而=竽版=（4-2百）版=（2方）前+（2/）版，此時x+p

2

取得最小值4-2低同理可得，當點Q位于7■點時，市=（2+V3）AD+（2+百）荏，此時x+y取得

最大值4+2遮.故選B.

例3［配合例3使用］［2017樂山調(diào)研］如圖，已知26是圓。的直徑，點C。是圓弧Z6的

兩個三等分點，屈=2而=/?,則前=()

K.a—bB±a-6

22

C.a-6D^a+b

22

［解析］D連接0c由點C。是圓弧26的兩個三等分點彳導(dǎo)N/OC=NCO0=N

600=60。,且A。4c和人。。均為邊長等于圓。的半徑的等邊三角形，所以四邊形OACD為

菱形,所以同=A0+AC=^AB+AC=m+匕,故選D.

第25講平面向量基本定理及坐標表示

考試說明L了解平面向量的基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.

3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.

4.理解用坐標表示平面向量共線的條件.

本欄目為教師專用

考情分析

考點考查方向考例考查熱度

平面向量的基

基本定理的應(yīng)用2017全國卷血2

本定理

計算、求參數(shù)值等

平面向量的坐2017全國卷m2,2017

標運算全國卷R12

共線向量的坐判斷共線、根據(jù)共線

2014全國卷110

標表示求參數(shù)值等

真題再現(xiàn)

■[2017-2013]課標全國真題再現(xiàn)

1.[2017?全國卷期在矩形Z6C。中,26=1,20=2,動點。在以點C為圓心且與6。相切的

圓上.若衣=AAB+//而，則A+/J的最大值為()

A.3B.2V2

C.V5D.2

[解析]A如圖，建立平面直角坐標系則40,1),以0,0),a2,0),以2,1),設(shè)外%勿,根據(jù)等面積公

式可得圓的半徑是即圓的方程是(片2)2=(又族=(x,y-l),AB=(0,-1),ZD=(2,0),若滿足

-_X

AP=A4B+由，則解得“=5'所以X+〃W-P+1.設(shè)Z=9P+L即白y+1-z=0,又點

,A=1-y,222

也勿在圓(片2)2切力上，所以圓心到直線|-y+l-z=0的距離比。即措.，解得l<z<3,

所以z的最大值為3,即X+4的最大值為3,故選A.

2.[2014?全國卷1｝已知拋物線C/=8x的焦點為￡準線為/P是/上一點,Q是直線PF與C

的一個交點者而=4而，則/07=()

A；B.3

C.2-D.2

［解析］B由題知42,0),設(shè)凡-2,4府，次)，則而=(4。而=%2次),由麗=4的，得

-4=4(加-2),解得x0=1,根據(jù)拋物線定義得/Q〃=/+2=3.

?［2017-2016］其他省份類似高考真題

【課前雙基鞏固】

知識聚焦

L不共線有且只有2=九豉+/2&基底

2.(1)(AI+x2,yi+y2］(M-迎＞1夕)(彳所以四)

⑵(9-xi,yz-yi)J(X2-*I)2+(%-乃)2

3.M度-及總=0

對點演練

1.(-3,5)［解析］設(shè)Q%力則所=(x-2,片3)=(-5,2),.,｛：；二2'解得匕二5'即點Q的坐標

為(35).

2.-2豉［解析］以向量3!的起點為原點，向量豉的箭頭方向為x軸的正方向建立平面直

角坐標系.設(shè)網(wǎng)格正方形的邊長為L則豉=(1,0),。=(1,1)Q=(-3,1).設(shè)8=/m+外,則

(31)=ML0)+M-Ll)=(x?M，.?心;3解得匕=；2,4=-2剪」改.

3.g,-0［解析］設(shè)M%勸，由條件知荏=(4,-1),AM=(x+Ly-2).由屈=3萬1得屋：:=：，

解得［［則4M1條"!).

4.0［解析］因為”不共線，所以附3解得《則,+片0.

5.2［解析］易知all與c不共線力與c不共線，所以能構(gòu)成基底的組數(shù)為2.

6.土GI，*)［解析］由已知得說=(12,-5),所以質(zhì)/=13,因此與近共線的單位向量為

紜南=土(||,京).本題在求同的坐標時易出現(xiàn)用4點坐標減去6點坐標的錯誤.

7.4［解析］由a=Q,2),6=(-2,M),且allb,得1xm-2x(-2)=0,解得6=4本題在利用向量

平行的條件列方程時，易出現(xiàn)1xm+2x(-2)=0的錯誤.

【課堂考點探究】

例1［思路點撥］⑴基底中的向量不能共線;(2)利用點F為直線踩上一點,設(shè)出屁=XBC,

然后結(jié)合條件利用向量相等得出系數(shù)的關(guān)系,從而解得系數(shù)的值.

(1)C(2)C［解析］(1)根據(jù)平面向量基本定理知,臼,無不能共線，選項A,B,D中的豉，改均為

共線向量，故可以排除A,B,D,驗證知選項C中的向量符合題意.

⑵點F為直線跋上一點，可設(shè)而=嬴，因為前=而，所以

AD=AE+ED=(1+A)AE=(1+A)(AB+xBC)=(1+A)AB+(1+^xBC=(1+A)(l-x)AB+(1+A)xAC

=3屈+4/.由平面向量基本定理得收+々(>2=3,解得，一?看攵選C.

((1+A)x=4,(,x=7-

變式題C［解析］設(shè)通=a,而=6,貝!J荏=|9+/?,荏=9號6.又因為正二^+為所以

AC=l(AE+硝，則A=〃=|,所以A+〃專故選C.

例2［思路點撥］(1)利用向量的加減法與數(shù)乘的坐標運算法則直接計算即可;(2)設(shè)Rx,〃，利

用已知條件得出關(guān)于％產(chǎn)的方程組，進而求解.

⑴B(2)D［解析］⑴)夕=(R-(泊)=(-L2).

⑵設(shè)點R為為則麗=(10-%-2-勸,西=(-2-%7-”,所以A"”=一2(2辦解得憑二:故選D.

l-2-y=-2(7-y),U-由

變式題(1)B(2)D［解析］⑴因為”6=(2,"析，所以僅；.=t,解得t=￡故選B.

(2)由題意可得a-26+3c=(5,-2)-2(4,-3)+3(%.=(13+3%4+3勸=0,則解得

f17即c=(號,故選D.

V—3，

例3［思路點撥］Q)利用兩向量共線的坐標運算求解;(2)利用向量共線的坐標運算建立關(guān)于

力的等式求解.

⑴C(2)B［解析］⑴由條件知2無6=(1,1),對于C,：癖+l+N+l=2F+2>0,.?.向量c與

2a也一定不共線，故選C.

⑵由題知所=(5,4),因為而II6,所以5/1+5=-8A+4,解得/!=/故選B.

變式題(1)A(2)C［解析］⑴由題得荏=(5,-5)X=(|,6-3)；46C三點共線，二荏與

前共線,?：5("3)=§,解得加耳故選A.

⑵由已知得〃a"=(2〃-l,3〃+2),a-26=(4,-1),則(口>(2〃-1)4(3〃+2)=0,解得〃=由故選

C.

勰篦相需本欄目為教師專用

【備選理由】向量坐標化后，幾何問題就化為代數(shù)計算問題,下面兩例題據(jù)此而選，供在適當考

點使用.

例1［配合例1使用］如圖所示，在△OAB中，反=^OA^D三礪/。與8c交于點例設(shè)

4Z

OA-a^OB=b，以a,b為基底表示麗.

解:設(shè)力^=ma+nb^m,n^.R)則詢=OM:OA=(m-?a+nb,父而=OD-j?=^b-a,AM,D三氤

共線,所以吧=7,即6+2"=1.而而=前況=(a+nb,CB=OB-反=^a+b,又因為

-1-44

2

1

C例8三點共線，所以學(xué)音即4m+a=l.由圖I:解得m=_,__

37'所以麗=”土也

71=5，

例2［配合例2使用］如圖所示，平面內(nèi)有三個向量雙麗，樂而與萬的夾角為120。,市與

方的夾角為150。,且?7/=廊/=1,甌/=2W,若前^AOA+/MB(4〃WR)廁A+p=()

A.lB.-6

C.-D.6

2

［解析］B以。為坐標原點，函的方向為x軸正方向，與就垂直向上的方向為y軸正方向，建

立平面直角坐標系.由尻/=屐/=1,何/=2再可得4L0),6(1耳),0-3,羽)，又

心1C

__A.--〃=-3,(_n

OC=AOA甌可得方程組/解得"—'所以A+〃=6故選B.

例3［配合例2使用］已知a0,0),4L2),6(4,5)及而向，漏試問：

(1)1為何值時,P在x軸上?在y軸上?在第二象限？

(2)四邊形046『能否成為平行四邊形?若能，求出相應(yīng)的？值;若不能，請說明理由.

解:⑴90,0),41,2),6(4,5),

.,.OA=(1,2),AB=(3,3),

OP=OA+tAB^l+3t,2+3f).

若。在x軸上，則2+3￡0,解得手號

若戶在y軸上，則1+3仁0,解得t=5

若戶在第二象限，則

解得■!＜［＜■!.

⑵色?=(1,2),PB=P0+0B=(3-343-33

若四邊形》仍為平行四邊形，

則耐=而，而產(chǎn)*=1，無解,

(3-3t=2

二四邊形。482不能成為平行四邊形.

第26講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

考試說明1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.

2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.

3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.

4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.

6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.

本欄目為教師專用

考情分析

考點考查方向考例考查熱度

2017全國卷

713,2017全國卷

1712,2016全國卷

平面向量的求向量的數(shù)量積、夾角、

713,2016全國卷★★★

數(shù)量積模等相關(guān)問題

M3,2014全國卷

715,2014全國卷

“3,2013全國卷〃13

平面向量垂判斷垂直、根據(jù)垂直求2016全國卷〃3,2013

直的條件參數(shù)值等全國卷113

平面向量的在三角函數(shù)、解析幾何

綜合應(yīng)用中的應(yīng)用等

真題再現(xiàn)

■［2017-2013］課標全國真題再現(xiàn)

U2017?全國卷〃］已知6c是邊長為2的等邊三角形,為平面Z6C內(nèi)一點，則

腐?(而+麗)的最小值是()

A.-2B《

C'D.-l

［解析］B建立如圖所示的平面直角坐標系則2(0,0)42,0),01,㈣設(shè)/刀外則

PX-(PB+PC)=(-%j/)-[(2-x,-y}+(1-A;V3=(x,y)-(2x-3,2y-V3)=X2x-3)+y(2y-^3)=2*-3

3月在平面ABC

內(nèi)部,此時而?(而+而)取得最小值，最小值為橙

2.[2016?全國卷刃已知向量a=(l,M),6=(3,-2),且(”為，6,則6=()

A.-8B.-6

C.6D.8

[解析]Da+b=&m2)「.(a+gb,.{a+b)-b=12-2(m-2)=0,解得m=8.

3.[2016?全國卷①]已知向量瓦?=(冷),阮=(莪)，則()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

［解析］AcosN，SC=g^甘《好乂；與又?。?。,180。］〃2/跋=30。.

4.[2014?全國卷〃]設(shè)向量a力滿足/a"/=VTU,/a-6/=V^,則ab=()

A.lB.2

C.3D.5

［解析］A由已知得=10,/a-"=6,兩式相減彳導(dǎo)4a0=4,所以a-b=l.

5.［2017?全國卷I］已知向量a,6的夾角為60。,間=2陽=\,則a+2bl=.

［答案］2V3

［解析］la+2bl=^!~a2+4ab+4b2=j4+4x2xlx|+4-2V3.

6.［2016?全國卷刀設(shè)向量a=(6,l),b=(l,2),且白+紗=舒+沖廁m=.

［答案-2

［解析］由已知條件彳導(dǎo)才6=0,即〃+2=0,即m=-2.

7.［2013?全國卷1｝已知兩個單位向量a力的夾角為60°,c=fa+Q-姐若bc-0,則

t=.

［答案］2

［解析］因為何=/勿=106苦,所以6右=回治+(1-姐所以t=2.

8.［2013?全國卷77］已知正方形28。的邊長為2,￡為。的中點，則荏?麗=.

［答案2

［解析］如圖，建立直角坐標系，則荏=(L2),麗=(22),獲-BD=2.

■［2017-2016］其他省份類似高考真題

1.［2016?山東卷］已知非零向量Z77,"滿足4/m/=3阿cos<m,">W若"_L("7切廁實數(shù)t

的值為()

A.4B.4

C.-D.-

44

［解析］B由4/切=3/〃可設(shè)/6/=3,//7/=4.

又77±(f/77+/7),COS<m,n>

.,./7-(f/77+/7)=O,BP及4x3苫+16=0,解得t=A.

2.［2016?天津卷］已知△/女；是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊286C的中點，連接

并延長到點￡使得?！?2日測初詼的值為()

A［B1

’8

QD.裝

［解析］BBC=前-AB,AF=AD+DF=^AB-1-DE^AB-t^AC<BC蕭=(尼-萬)?(

|荏封)=』xlxlxi--4-xlxl，=工1心=2

22244244288

3.［2017?天津卷］在"8C中/Z=60°/8=3/C=2.若麗=2尻，荏=/l前-荏(/IGR),且

力D/E=4,則A的值為.

［答案］看

［解析］:海-XC=3x2xcos60°=3,AD=|AB+|^4C,.-.AD-AE=(|^B+|lC

){AAC-XB)=(x3嚀x43x9(x3=4解得X三.

4.［2017?山東卷］已知⑶會是互相垂直的單位向量若舊備-改與豉+/會的夾角為60°,則實

數(shù)力的值是.

［答案］f

［解析］由題意不妨取豉=(l,0)e=(0,l),由條件可設(shè)3=百豉-改=(遮,-1)力=豉+/。=(1/),

所以cos<a,b>=cos60。所以遮4MT中,解得力二￡

22V1+443

5.［2016浙江卷］已知向量a,b,/a/=l,/勿=2.若對任意單位向量e,均有/a-e/+/Z>e/4倔則a-b

的最大值是.

［答案］|

［解析］由人a")-e/4/a-e"汝e/wV^得白"/4逐,即//+%+2/bw6,所以故a-b的

最大值為去

【課前雙基鞏固】

知識聚焦

1.(1)勵例tos8/a//b/cos000-a=0(2)②勵:os/例:os。②b在a的方向上的

投影而tos6⑶韭零31.b

2.①ab=ba②X(3b)a-{Ab)③ac+bc

3.①Ia"os0②ab=0③/a〃勿-/a〃勿/a尸V^a然含@<

4.J*+及x1xi+yvyiM熱+兌"=0

久1%2+%%

J*+比J指+光

對點演練

1.-6［解析］.a-6=(-2,2),.aa-6)=-2xl+2x(-2)=-6.

2.60°［解析］設(shè)向量a與6的夾角為＜9.由a-b-\a\\b\cos6?=V3*yCOS8號得cos夕節(jié),

又先［0°,180°］〃?.向量a與5的夾角為60°.

3.2遮［解析］

fla-b/=J12a-b/=^4|a|2-4ab+\b\2-^4xl2-4x1x2cosl200+22=2V3.

4.V2［解析］由單位向量ae的夾角為45：得ae=lxlxcos45°考.由ft±（/Ift-ft）

可得4（/lee）=0,即1豉eW-0,則爭1-1=0,解得/l=vi

5.北偏西30°［解析］如圖所示，設(shè)渡船速度為麗，水流速度為UX渡船實際垂直過江的速度

為赤.依題意知|瓦5|=12.5,痂/=25；VD=0B+0A,.-^0D-0A^OB-OA+瓦溟.又；而±

就,.^1=25X12.5COS（N6O0+9O。）*12.52=0,.2600=30°,二渡船的航向為北偏西

30°.

BD

6.-|［解析］依題意有a'b+b'C+ca='\.xlxcos120°^1x1xcos120°^lxlxcos

120°=（-3乂-3乂-3二9本題在計算時，容易把向量夾角取作60。而致誤.

7.券［解析］因為點q-LO）,以4,5）,所以麗=（5,5）,又說=（2,1）,所以向量近在加方向上的

投影為畫3＜麗麗＞帚嗡岑

8.菱形［解析］由四邊形26。滿足屈+CD=0知,四邊形26。為平行四邊形，又

（AB-前）?/=0,即麗?尼印,可知該平行四邊形的對角線互相垂直，故該四邊形一定是菱形.

【課堂考點探究】

例1［思路點撥］(1)利用向量的數(shù)量積公式建立關(guān)于X的方程求解;(2)根據(jù)條件以正三角形

的邊6c所在直線為x軸,垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，然后寫出相關(guān)點的坐標，確

定出向量前，麗的坐標,最后利用向量的數(shù)量積公式求解.

(1)3⑵?［解析］⑴因為a6=6-x=3,所以x=3.

(2)由題意建立如圖所示的平面直角坐標系.因為A/6C的邊長為1,所以，(0片),6(5。).因

為麗=2說,所以點。為交的中點則以0,0).因為*=2/,所以點E為/C的三等分點，則

(巖)，所以前布=(0,1).(膂)

變式題⑴A⑵三［解析］(1)因為菱形28。的邊長為2/83所以

瓦??前-2x2cosg=2,所以

BD-CP=(BA+BC\(BP-BC)=(BA+BCy(AP-XB-BC)=(BA+BC\[[A-1]AB-BC]=(1-A)/BA/1-

BA-BC+(1-A)BA-BC限p=(1J)x4-2+2(1-/I)-4=-6力=-3,所以才與故選A.

(2)由題意可得/a-6/=J(a-b)2=J

a2+b2-2ab=9+25-2ab=7,.,.a-b=15

2

例2［思路點撥］(1)首先利用向量平行的條件求得參數(shù)m的值，然后利用模的坐標公式求

解;⑵由加，=(而1+JMBY建立甌產(chǎn)關(guān)于A的函數(shù)，求其最值即可.

(1)D(2)D[解析]⑴：allC,?.加6=0,解得〃=￡則

5=(2,-6)〃電26=(-3,9),.?.白-26/=(-3)2+92=3同,故選D.

⑵配，+/MB)2=［AOA+(1->I)OB］2=4X+4(1->l)2+2)(1-TI)01-0B,OX-OB=2〃,辰F

=4不+4(1<)2+2)(1-/l)-2=4/4/|+4=4(a?)2+3,當A=時，胸儆得最小值值.

例3［思路點撥］(1)求出a+6,然后通過向量的數(shù)量積求解即可;(2)先求出a+b,再利用向量

垂直的條件列出關(guān)于m的方程求解;(3)由已知可得<AD,BC>=60。,再求出

荏?礪，荏尻，而說的值，結(jié)合平面向量的運算法則及族?麗力求得A的值

(1)C(2)B(3)空［解析］⑴向量a=(2,-l)力=(1,7),則a+6=(3,6);a(a+b)=6-6=0,.：a

4

Ma的故選C.

(2)由題意可得a+6=(7,6-2),結(jié)合向量垂直的充要條件得7x2+(m-2)x(-2)=0,解得6=9.

故選B.

⑶由/6=4,8C=Q?=2,可得現(xiàn)>=60。,則

AB-AD=4x2尺=4,荏說=4x2=4,前?前=2x2，=2.：.=竺=4.麗=>品於=/

2V2/2BCAB

福則

AE=AB+BE=AB+ABC,DF=AF-AD=AAB-AD,.-AE-DF=(AB+ABC)\AAB-AD)=入廂F標，

AD+^AB-BC-AAD-BC=0,即16/144不與a=0,.-.2^-7A+2=0,解得A舍)或A=出.

44

例4［思路點撥］(1)利用兩個向量的數(shù)量積的定義和兩個向量坐標形式的運算法則，求得

cos。號警的值，進而可得e的值.(2)利用兩個向量的數(shù)量積的定義和兩個向量的數(shù)量積

\CL\\CL+D\

公式，求得6的值.(3)根據(jù)題意利用夾角公式列出關(guān)于6的方程求解.

(1)B⑵百(3)3［解析］(1)設(shè)a與a"的夾角為8：向量a=(l,0),6=(￥^」a+b=(

押),.aa")=(L0)?(淳鳥則cos。令匕與由所防］可得一故選B.

(2)：3=(刃3)力=(遍,1),向量a,6的夾角為30°,..a-b^m+3=V^T9x2cos30°,解得

/77-V3.

m+6+4m+6_67?1+36+6??2+9/刀,日

依題意有根據(jù)夾角公式有-3V5V(m+6)2+(2m+3)2/牛寸

(3)c=(m+6,2m+3),限/(m+6)2+(2m+3)2

m=3.

強化演練

1.C［解析］由題意得/a-6/=J|a-b|2=Ja2-2a-b+垓=近,故選C.

2.B［解析］cos<2*=部多巖又曰所以a與。的夾角為髓攵選B.

\CL\￡zJ.XZN3

3.-V15［解析］^/a/=l,/b/=2,a+b=(l,V3),^ma+b)2=1+4+2xlx2cos0=^cos

叫廁sin8=平，所以tan8=皿.

4.-1［解析］：AP=AAB+AC,AP±

AC,.-AP-AC=(AAB+IC)-XC=AAB-AC+AC2=Ax2xlxcos60°+1=A+1=O,.J=-1.

5.5［解析］以。為原點所在直線分別為x軸/軸建立平面直角坐標系，如圖所示.

設(shè)CO=a,RO必可得

Z(2,0),6(l,a),.,.用+3麗=(2,y+3Q,ay=(5,3a4M.,.廊+3而/=《25+^a-4y)2,.-./PA+

3而網(wǎng)最小值為5.

6.3［解析］如圖所示，由20C+CB+CA=0,得。為28的中點即26為圓的直徑，所以AB=2.

由于CB=OC^AB,^UA^,AC^,^UC-AB=\AC\-\AB\-COS^3.

例5[思路點撥](1)由aJ_6可得a-6=(sin%*V5>(l,cosM=siny-V3cosx=0,從而可得tan

x域，再根據(jù)二倍角公式可得結(jié)果;(2)由題可得AM=2sin(x?),再

根據(jù)平移變換可得=2sin(2x+1),利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得結(jié)果.

解:Q)「8J_6,/a6=(sinA;-V3)-(1ZCOSA)-sinx-V3cosx=O,「.tanx-V3z

2tanx

/.tan2x==-V3.

l-tan2x

(2)由題可得[M=ab=(sinA;V3)-(1,COSM=sinx-V3cosx=2sin(x~1),

貝！]g[必=2sin(2x().

令2而￡<2x^42而去式Z￡Z)彳導(dǎo)而號WxW而吟QteZ),

.以⑼的單調(diào)遞增區(qū)間為［如號例吟］

g).

由2x小山比Z)得(莊Z),即函數(shù)的圖像的對稱中心為(如弓0)(AGZ).

32626

變式題解:(l)(d+6)II(sinx-1)-(V3cosx+1)=0,

/.sin%-V3cosx=2今2|sin/cos32=sin(W)=1,

又XG[0,T[],.次1￡[g與]

7171571

/.%---=>%--.

326

1

4r

又XW[0,m〃：X(G(爭r),

?：cos(x嚀)=￥，；sin(xR=sin[(x+R目=-cos(x§)學(xué).

熟您篦賺嚼本欄目為教師專用

【備選理由】與平面向量相關(guān)的最值問題是高考的熱點，具有綜合性強的特點,下面提供三道

題可在適當考點中使用.

01［配合例1使用］如圖所示/8=2,。為圓心,C為半圓上不同于48的任意一點，若P為

半徑上的動點則畫+而）?麗的最小值為（）

AOB

A.-B.-2

2

C.-1D.-

4

［解析］A因為。為Z6的中點，所以西+PB=2同廁

（PA+麗）?麗=2P0較=-2/PO/-/PC/=-2/PO/-（l-/pd/）=2國p-2/PO/=2^/PO/^2當

\P0\三時，（市+麗）?麗取得最小值方故選A.

例2［配合例2使用］［2017?石家莊二中三模］已知G為所在平面上一點，且

GA+GB+GC=0,AA=60°,AB-AC=2,則|E|的最小值為.

［答案乎

［解析］由題意得點G為A/SC的重心，則

AG昔（而+AC）,.'AG2=（屈舒衣）^（AB2+AC2ABAC^/AB/-/AC/cos

2++2AB+4）/.

60°=2,.:廂/質(zhì)/=4〃?前2號（2房/履"4）《當且僅當而/=質(zhì)/=2時，等號成立，.:質(zhì)/

2即向^版最小值為號|.

例3［配合例4使用］［2017?湖州調(diào)研］已知a,6,e是同一平面內(nèi)的三個向量，且⑻=1,九

6,ae=2,be=L當/a-切取得最小值時,a與e夾角的正切值為（）

A.河

C.1D日

［解析］D根據(jù)題意,分別以a,6為x軸/軸建立平面直角坐標系，設(shè)e與a的夾角為86為

銳角廁e與b的夾角為1-6：/e/=La_Lb,a-e=2,6e=L」/a/8se=2,/6/a）s（；-6）=/6/sin

0-1,."./a-bp-/dp-2ab+/b/^=4+.1—（—.1）

''cosd''sm0''''''cos20sin20cos20sin20

（sin20+cos26D=5+^^+^>5+2］也粵?苦=9,當且僅當2sin20=cos2a即tan8巫