琴生不等式琴生不等式1/8琴生不等式琴生不等式是由琴生發(fā)覺主要不等式，它在處理相關函數(shù)不等式方面問題含有主要作用。它也有各種變通形式，利用時要依據(jù)詳細情況而定。琴生不等式與函數(shù)或曲線凹凸性相關，其判定有各種方法，主要是定義法和二階導數(shù)法。若為?(χ)下凸函數(shù)則(?(χ?)+?(χ?))?2≥?((χ?+χ?)?2)，類似有λ?(χ?)+(1-λ)?(χ?)≤?(λχ?+(1-λ)χ?)若為?(χ)上凸函數(shù)則(?(χ?)+?(χ?))?2≤?((χ?+χ?)?2)，類似有λ?(χ?)+(1-λ)?(χ?)≤?(λχ?+(1-λ)χ?)琴生不等式2/8琴生不等式函數(shù)凹凸性判定定理：設在?(χ)區(qū)間(a,b)內(nèi)含有二階導數(shù)，1若在區(qū)間(a,b)內(nèi)??(χ)>0（??(χ)為二階導數(shù)，下同），則函數(shù)?(χ)在(a,b)是下凸；2若在區(qū)間(a,b)內(nèi)??(χ)<0，則函數(shù)?(χ)(a,b)是上凸。這個定理高訴我們，要定出函數(shù)凹凸性，只要在函數(shù)考查內(nèi)，定出同號區(qū)間以及對應符號。琴生不等式3/8試題分析一若?(χ)滿足λ?+λ?=1λ??(χ?)+λ??(χ?)≥?(λ?χ?+λ?χ?)1求證Σλ??(χ?)≥?(∑λ?χ?)，其中∑λ?=1,λ?>0。2求證?(m)+?(n)>?(p)+?(q)，其中m+n=p+q，m>p>q>n3求證∑?(χ?)?n≥?(∑χ?)?n。試題分析4/8試題分析在1問中，怎樣利用數(shù)學歸納法來證實是，而主要問題也是集中在對第k→第k+1處理，而怎樣利用所假設更是成了重中之重，難中之難。在這問中更是包括到了在數(shù)學歸納中對換元思想利用，這是在高中數(shù)學比較少見，表達著數(shù)學歸納中蘊涵著有限與無限思維方式。在2問中宜直接對提設不等式進行變換，有點定比分點味道。在3問中是1問特例。試題分析5/8高考中考查05年全國卷（22）1?(χ)=χ㏒?χ+(1-χ)㏒?(1-χ)，求其最小值。2若p?滿足∑p?(1~2?)=1,p?>0。求證∑p?㏒?p?≥-n。1問借助導函數(shù)很輕易判定。2問要用數(shù)學歸納原理，有一定難度，實際上就是琴生不等式一個形式。08年江西卷（22）簡化高考中的考查6/8高考中考查若x,y,z>0,且xyz=8。求證1?√(1+x)+1?√(1+y)+1?√(1+z)<2。作為壓軸型難題，其思維方式也大為迥異。對考生思維能力有很高要求。我們再來看一道相類似試題?；诖耍覀儾浑y發(fā)覺高考與競賽之間有著緊密聯(lián)絡。這也就提醒著我們同學在平時學習過程中要對競賽類試題也要有所接觸，但不宜鉆過深。造成基礎不扎實，影響整體水平發(fā)揮。只需要對競賽類試題處理方法有一定了解，掌握這類試題分析和討論切入點，以提升本身應變能力。因為大多數(shù)競賽試題在思維上，還是在創(chuàng)新上，都有著一定技巧。高考中的考查7/8高考中考查05年國家集訓隊試題1求證1?√(1+λp)+1?√(1+λq)+1?√(1+λr)≤3?√（1+λ2），其中0<λ≤3?2，p,q,r>0。2求證1?√(1+λp)+1?√(1+λq)+1?√(1+λr)）<2，其中p,q,r>0，λ>3?2。在集訓隊解釋中，其結構了函數(shù)?(χ)=1?