湖北省黃石市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.集合A={－1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，則AB=

（

）

A．{0}

B．{1}

C．{0，1}

D．{－1，0，1}參考答案：B略2.向量若b與b—a的夾角等于，則的最大值為

A．4

B．2

C．2

D．參考答案：A4.集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各取任意一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是A

B.C.

D.參考答案：C4.若向量與的夾角為120°，且，則有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.若點(diǎn)M（）為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.已知雙曲線的漸進(jìn)線方程為，則m=（

）A． B． C．3 D．9參考答案：D顯然，令，則，因?yàn)殡p曲線的漸進(jìn)線方程為，則；故選D.點(diǎn)睛：研究雙曲線的漸近線的方法往往是先確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，再去確定漸近線的形式，比較容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，記住下列結(jié)論可較好的避免錯(cuò)誤：①雙曲線的漸近線方程為；②以為漸近線的雙曲線方程可設(shè)為.7.F1和F2分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x+x﹣3，則f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)確定0是一個(gè)零點(diǎn)，再令x＞0時(shí)的函數(shù)f（x）的解析式等于0轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為判斷兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，最后根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性確定答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，所以0是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=2x+x﹣3=0，則2x=﹣x+3，分別畫(huà)出函數(shù)y=2x，和y=﹣x+3的圖象，如圖所示，有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，又根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x＜0時(shí)函數(shù)f（x）也有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題是個(gè)基礎(chǔ)題，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，同時(shí)函數(shù)的奇偶性往往會(huì)和其他函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用，此題就與函數(shù)的零點(diǎn)結(jié)合，符合高考題的特點(diǎn)．9.當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（

）A.

(0，)

B.

(，1)

C.(1，)

D.(，2)參考答案：B10.一個(gè)樣本容量為8的樣本數(shù)據(jù)，它們按一定順序排列可以構(gòu)成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3=5，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：C【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】設(shè)公差為d，則（5﹣d）2=（5﹣2d）×（5+2d），由公差d不為0，解得d=2，a1=5﹣2d=1，由此能求出此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【解答】解：一個(gè)樣本容量為8的樣本數(shù)據(jù)，它們按一定順序排列可以構(gòu)成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an}，a3=5，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，設(shè)公差為d，則，即（5﹣d）2=（5﹣2d）×（5+2d），又公差d不為0，解得d=2，a1=5﹣2d=1，∴此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：==8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、中位數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)且，如果對(duì)任意，都有成立,則的取值范圍是____________.參考答案：≤12.在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則.推廣到空間幾何體中可以得到類(lèi)似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則=___________.參考答案：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為，四個(gè)面的面積為，內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，則由，得；由相似三角形的性質(zhì)，可求得，所以13.已知中，,，若線段的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)，使，則____________．

參考答案：.因?yàn)榫€段的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)，使，，所以，即，所以，所以，中，根據(jù)正弦定理.14.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則.參考答案：2倍的根號(hào)下315.有如右的三視圖，均是由邊長(zhǎng)為1的正方形和其中的一條對(duì)角線構(gòu)成。其對(duì)應(yīng)的立體圖形的體積為

．參考答案：16.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=﹣圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q（2a，a﹣3）（a∈R），則|PQ|的最小值為．參考答案：﹣2考點(diǎn)： 兩點(diǎn)間的距離公式．專題： 直線與圓．分析： 將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線的特點(diǎn)，利用直線和圓的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．解答： 解：由函數(shù)y=﹣，得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），對(duì)應(yīng)的曲線為圓心在C（1，0），半徑為2的圓的下部分，∵點(diǎn)Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直線x﹣2y﹣6=0上，過(guò)圓心C作直線的垂線，垂足為A，則|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式確定對(duì)應(yīng)曲線是解決本題的關(guān)鍵．17.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），則a7=．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），可得數(shù)列{}是等差數(shù)列，通過(guò)求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，求得an，再求a7．解答：解：由2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），可得數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差d==3，首項(xiàng)=1，所以=1+3×（n﹣1）=3n﹣2，an=，∴a7=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)求解，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

-----1分所以

------2分即曲線在點(diǎn)處的切線方程為；

-----4分（Ⅱ）

------5分若，則當(dāng)，不滿足題意；

------6分若，則當(dāng)時(shí)，

------7分在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意

-----8分當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)為，-----10分在上單調(diào)遞減，而，，不滿足題意。

-----11分綜上所述，.

------12分19.已知數(shù)列{an}中，，，設(shè).（Ⅰ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）證明（為常數(shù)）即可；（Ⅱ）將采用裂項(xiàng)的方式先拆開(kāi)，然后利用裂項(xiàng)相消的求和方法求解.【詳解】（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，所以.【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消形式：（1）；（2）；（3）；（4）.20.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線x=﹣2與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線x=﹣2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A，B滿足∠APQ=∠BPQ時(shí)，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），由已知得b=2，e==，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①先求出|PQ|=6，設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立，得x2+mx+m2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知能求出四邊形APBQ面積的最大值．②設(shè)PA斜率為k，則PB斜率為﹣k．分別設(shè)出PA的直線方程和PB的直線方程，分別與橢圓聯(lián)立，能求出直線AB的斜率是為定值．【解答】解：（1）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），∵橢圓離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=8y的焦點(diǎn)．焦點(diǎn)為，∴b=2…e==，a2﹣b2=c2，∴解得a2=16，b2=12∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．…（2）①直線x=﹣2與橢圓交點(diǎn)P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，…設(shè)A（x1，y1

），B（x2，y2），直線AB的方程為，與聯(lián)立，得x2+mx+m2﹣12=0，由△=m2﹣4（m2﹣12）＞0，得﹣4＜m＜4，由韋達(dá)定理得x1+x2=﹣m，，…由A，B兩點(diǎn)位于直線x=﹣2兩側(cè)，得（x1+2）（x2+2）＜0，即x1x2+2（x1+x2）+4＜0∴m2﹣2m﹣8＜0解得﹣2＜m＜4，…∴S=?|PQ|?|x1﹣x2|=?|PQ|?=3，∴當(dāng)m=0時(shí)，S最大值為．…②當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí)直線PA，PB斜率之和為0．設(shè)PA斜率為k，則PB斜率為﹣k．當(dāng)P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）時(shí)，PA的直線方程為y﹣3=k（x+2）…與橢圓聯(lián)立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0∴；同理∴…y1﹣y2=k（