湖南省永州市何家洞鄉(xiāng)蔡里口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)z滿足（z﹣2）（1﹣i）=2（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)為（） A．1﹣i B． 1+i C． 3﹣i D． 3+i參考答案：C略2.已知集合，則集合N的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．3；B．4C．7D．8參考答案：B3.展開(kāi)式中的系數(shù)是（A）6

（B）2

（C）

（D）參考答案：B略4.函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為，則A．1

B．

C．2

D．3參考答案：B略5.已知函數(shù)在，點(diǎn)處取到極值，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，在曲線上，則曲線的切線的斜率的最大值的最大值是A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則A.20

B.28

C.36

D.4參考答案：B故選B.7.若，且，則的最小值等于A．2

B．3

C．5

D．9參考答案：B8.集合，，則（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：C9.若拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和拋物線的對(duì)稱軸的距離分別為10和6，則p的值為（）A．2 B．18 C．2或18 D．4或16參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由拋物線上點(diǎn)P到的對(duì)稱軸的距離6，設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，±6）．根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)適合拋物線方程及點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為10，聯(lián)列方程組，解之可得p與x0的值，從而得到本題的答案．【解答】解：∵拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)到的對(duì)稱軸的距離6，∴設(shè)該點(diǎn)為P，則P的坐標(biāo)為（x0，±6）∵P到拋物線的焦點(diǎn)F（，0）的距離為10∴由拋物線的定義，得x0+=10…（1）∵點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，∴2px0=36…（2）（1）（2）聯(lián)解，得p=2，x0=2或p=18，x0=1故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和到對(duì)稱軸的距離，求拋物線的焦參數(shù)p，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，輸出的，則空白判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件為A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（1，+∞）【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】由題知f（x）為分段函數(shù)，當(dāng)x大于0時(shí)，由f（x）=f（x﹣1）可知當(dāng)x大于1時(shí)，f（x）=0，小于1大于0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x小于等于0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=a的圖象，利用數(shù)形結(jié)合，易求出滿足條件實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=的圖象如圖所示，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a的圖象有唯一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）﹣a=0有唯一解，．故答案為（1，+∞）．12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則

參考答案：

略13.隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則_______________

參考答案：略14.某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女學(xué)生人數(shù)如右表示，已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二年級(jí)女生的概率是0.19，現(xiàn)用分層抽樣的方法（按年級(jí)分層）在全校學(xué)生中抽取100人，則應(yīng)在高三年級(jí)中抽取的學(xué)生人數(shù)為

.參考答案：2515.如圖，在ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D，切線DEAC，垂足為點(diǎn)E，則_______．

參考答案：略16.一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了1萬(wàn)人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這1萬(wàn)人中用分層抽樣方法抽100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（元）月收入段應(yīng)抽出

人．參考答案：25

17.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則z=的最大值是

．參考答案：2【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖則z=的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Q（﹣1，﹣1）的斜率，由圖象可知當(dāng)P位于A（0，1）時(shí)，直線AQ的斜率最大，此時(shí)z==2，故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若a=2，求函數(shù)f（x）的極小值；（Ⅲ）若存在實(shí)數(shù)a使f（x）在區(qū)間（）（n∈N*，且n＞1）上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求n的最小值．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的表達(dá)式，利用函數(shù)的最小值求出a的范圍．（Ⅱ）通過(guò)a=2，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極小值．（Ⅲ）判斷aln2x+lnx﹣1=0在上有兩個(gè)不等實(shí)根，法一：構(gòu)造函數(shù)，推出，求出n的最小值．法二：利用，推出a的表達(dá)式，列出然后求解n的最小值．解答：（本小題滿分13分）解：（Ⅰ），由題意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵x∈（1，+∞），∴l(xiāng)nx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴時(shí)函數(shù)t=的最小值為，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）

當(dāng)a=2時(shí)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0∴f（x）的極小值為﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）原題等價(jià)于f′（x）=0在，且n＞1）上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；由題意可知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）即aln2x+lnx﹣1=0在上有兩個(gè)不等實(shí)根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法一：令，g（u）=au2+u﹣1∵g（0）=﹣1＜0，根據(jù)圖象可知：，整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）即，解得n＞2，∴n的最小值為3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）法二：令，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由題意可知解得解得n＞2，∴n的最小值為3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．19.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+3)+x2①討論f(x)的單調(diào)性；②求f(x)在區(qū)間[-1，0]的最大值和最小值.參考答案：f(x)的定義域?yàn)椋?，+∞）(1）f′(x)==當(dāng)-＜x＜-1時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)-1＜x＜-時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞-時(shí)，f′(x)＞0.從而，f(x)在區(qū)間（-，-1），（-，+∞）單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，-）單調(diào)遞減(2）由（1）知f(x)在區(qū)間[-1，0]的最小值為f(-)=ln2+,又f(-1)=1,f(0)=ln3＞1,∴最大值為f(0)=ln320.選修4﹣1：幾何證明選講如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的割線交圓于B、C兩點(diǎn)，弦CD∥AP，AD、BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF?EC．（1）求證：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長(zhǎng)．參考答案：考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題．分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行線的性質(zhì)可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用對(duì)頂角的性質(zhì)即可證明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，進(jìn)而證明結(jié)論；（II）利用（I）的結(jié)論可得BP=，再利用切割線定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．解答： （I）證明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP；（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切線，∴PA2=PB?PC，∴，解得．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、相交弦定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵．21.（本小題滿分10分）已知集合，

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：…………2分

（1）∵，∴………5分

（2）

………..7分

∵，∴，或……….9分

∴，或

……….10分22.平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立的極坐標(biāo)系中，曲線C2的方程為ρ=2sinθ．（1）求C1和C2的普通方程；（2）其C1和C2公共弦的垂直平分線的極坐標(biāo)方程．參考答案：考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：（1）利用三角函數(shù)的運(yùn)算公式化簡(jiǎn)cos2α+sin2α=1，即可得出普通方程．（2）C1的普通方程：（x﹣1）2+y2=1，曲線C2的方程為x2+y2=2y．相減得出y=x，AB的垂直平分線的方程：x+y=1，利用極坐標(biāo)方程求解．解答： 解：（1）∵，（α為參數(shù)），∴，cos2α+sin2α=1，∴C1的普通方程：（x﹣1