08立體幾何

一、選擇題

1.安徽3）.已知“，〃是兩條不同直線，a,是三個不同平面，下列命題中正確的是省

（B）

A.若則J_y,aH（3B.若刪mHn

C.若刪〃d,ii/a,mnD.若刪〃d,信/3,a/3

2.（」原8）如圖，動點P在正方體ABC?！狧AG，的對角線8,匕過點尸作垂直于

平面8片3。的直線，與正方體表面相交于M,N.設(shè)BP=x,MN=y，貝函數(shù)y=/（x）

的圖象大致是（B）

3.（福建6）如圖，在長方體ABC?A|B|C|D|中，AB=BC=2,AAt=\,則AG與平面A/B/GD

所成角的正弦值為（D）

到兒何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（A）

R2

5.（寧夏12）已知平面平面an〃=/，點Awa,A^l,直線48〃/,直線

AC，/,直線加〃a"刀夕，則下列四種位置關(guān)系中，不二室成立的是（D）

A.AB//mB.AC±m(xù)C.AB//pD.AC±/?

6.（湖南5）已知直線m,n和平面a,/?滿足〃?_Lm_L/,則（D）

A.B.n//0,或nu/3C.n±aD/2〃a,或〃ua

7.湖南9）長方體ABC。-Aga，的8個頂點在同一個球面上，且AB=2,AD=JJ,

A4i=1，則頂點A、B間的球面距離是（B）

A.叵B.叵C.叵兀D.2叵兀

42

8.（江西9）.設(shè)直線機與平面a相交但不垂直，則下列說法中正確的是（B）

A.在平面a內(nèi)有且只有一條直線與直線機垂直

B.過直線加有且只有一個平面與平面a垂直

C.與直線機垂直的直線不可能與平面a平行

D.與直線機平行的平面不可能與平血a垂直

9.（遼寧12）在正方體ABCO—AgGA中，E,尸分別為棱A4「CQ的中點，則在空

間中與三條直線44，EF,CO都相交的直線（D）

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數(shù)條

10.（全國Ill）已知三棱柱ABC-A/。］的側(cè)棱與底面邊長都相等，4在底面ABC內(nèi)的

射影為△ABC的中心，則AB】與底面ABC所成角的正弦值等于（B）

1V2V32

A.-B.---C.--D.一

3333

11.（全國H8）正四棱錐的側(cè)棱長為2JL側(cè)棱與底面所成的角為60°,則該棱錐的體積

為（B）

A.3B.6C.9D.18

12.（全國n12）已知球的半徑為2,相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓.若兩圓的

公共弦長為2,則兩圓的圓心距等于（C）

A.1B.V2C.73D.2

13.（山東6）右圖是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，八

斗A

可得該幾何體的表面積是（D）

0一F一

俯視圖正（主）視圖側(cè)（左）視圖

A.9TIB.10K

C.1IKD.12兀

14.（上海13）給定空間中的直線/及平面a.條件“直線/與平面a內(nèi)兩條相交直線都垂

直”是“直線/與平面a垂直”的（C）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

15.（四川8）設(shè)M是球心。的半徑OP的中點，分別過M,。作垂直于OP的平面，截球

血得兩個圓，則這兩個圓的面積比值為：（D）

1|23

（A）-（B）-（C）-（D）-

4234

16.（四川10）設(shè)直線/u平面a,過平面a外一點A與/,a都成30°角的直線有且只有:

(B)

(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條

17.（四川12）若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個側(cè)面都是有?個內(nèi)角為

60°的菱形，則該棱柱的體積等于（B）

(A)V2(B)272(C)372(D)472

18.（天津5）設(shè)a,b是兩條直線，a,夕是兩個平面，則a匕的一個充分條件是（C）

A.aLa,W,（3aL（3B.aLa,b\L/{5a0

C.QUa,bV/pa°D.aua,切，0al。

19.（浙江9）對兩條不相交的空間直線。和。，必定存在平面a,使得（B）

（A）aua,bua（B）a<za.blla

（C）a±a,b±a（D）a<za,b±a

20.（重慶11）如題（11）圖，模塊①一⑤均由4個校長為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15

個棱長為1的小正方體構(gòu)成.現(xiàn)從模塊①一⑤中選出三個放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一

個棱長為3的大正方體.則下列選擇方案中，能夠完成任務的為（A）

模塊①模塊②模塊③

18(")圖

（A）模塊①，②，⑤（B）模塊①，③，⑤

（C）模塊②，④，⑥（D）模塊③，④，⑤

21.（湖北4）.用與球必距離為1的平面去截面面積為乃，則球的體積為（D）

A*c8不8缶

B.—

33

22.（陜西8）長方體ABC。-的各頂點都在半徑為1的球面上，其中

=2:1:Ji,則兩A,B點的球面距離為（C）

23.（陜西10）如圖，aV/3,。自力弓/AeaBw/3A6至此的距離分別是。和b,

A8與。，，所成的角分別是。和夕,A8在a,，內(nèi)的射影分別是機和〃，若a>b,則

(D)

A.0>(p,m>nB.0>(p,m<n

C.0<(p,m<nD.0<(p,m>n

二、填空題_

1.（安徽16）已知點A,S,C,。在同一個球面匕平面BCD,若48=6,

AC=2岳，AD=8,則B,C兩點間的球面距離是—

3

2.（福建15）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為73.則其外接球的表面

積是,9兀

3.（廣東15）（幾何證明選講選做題）已知P4是圓。的切點，切點為4,P4=2.AC是圓

。的直徑，PC與圓。交于2點，PB=l,則圓。的半徑/?=忑

4.（寧夏14）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.己知該六棱柱的頂點都在

同一個球面上,且該六棱柱的高為V3,底面周長為3,則這個球的體積為____________.-Tt

3

5.（江西15）連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦.半徑為4的球的兩條弦43、CO的長度

分別等于2近、46，每條弦的兩端都在球面上運動，則兩弦中點之間距離的最大值

為.5

6.（遼寧14）在體積為4G兀的球的表面上有A、B,C三點，AB=\,BC=41,A,C兩點

的球面距離為且兀，則球心到平面A8C的距離為.-

32

7.（全國I16）已知菱形A8CO中，A6=2,44=120°,沿對角線8。將△48。折起,

使二面角A—8?！?20°,則點4到△8CO所在平面的距離等于.—

2

8.（全國n16）平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行,

類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：

充要條件①_________________________________________________:

充要條件②.

（寫出你認為正確的兩個充要條件）

兩組相對側(cè)面分別平行；一組相對側(cè)面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形.

注：上面給出了四個充要條件.如果考生寫出其他正確答案，同樣給分.

9.（浙江15）已知球O的面上四點A、B、C、D,DA_L平面ABC,AB1BC,DA=AB=BC=73,

9兀

則球O點體積等于o——

2

10.（天津13）若一個球的體積為46兀，則它的表面積為.12TT

三、解答題

［（安徽19）.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐?！狝8CO中，底面A8CO四邊長為1的

JT_

菱形，=—,OA_L底面ABC。，OA=2,M為OA

4

的中點。

（I）求異面直線AB與MD所成角的大??；

（II）求點B到平面OCD的距離。

方法一（綜合法）

(1)?：CDHAB,

...NMOC為異面直線AB與朋。所成的角(或其補角)

作AP1于P,連接MP

VOAZLCpjil-MIBCD,1

MD=VMA2+AD2=V2

/.cosNMDP="=NMDC=NMDP=-

MD23

TT

所以A8與〃。所成角的大小為一

3

(2)?.."〃冽點A和點B到平面OCD的距離相等,

連接OP,過點A作4。，。尸于點Q,

A.P1CD,OA1CD,CD1平面。AP,

A.Qu平面。"，AQ1CD

又A.Q1OP,A。_L平面。CO,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離

OP=ylOD1-DP'=y/OA2+AD2-DP2=^4+l-1=,AP=DP=]

2農(nóng)

.OAAP/22b,……g3田上心2

..AQ=-----------=—2=一，所以點B到平面OCD的距離為一

OP37233

士

方法二(向量法)

作AP1CD于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標系

A(0,0,0),B(l,0,0),P(0,g,0),O(—,，烏,0),0(0,0,2),M(0,0,1),

222

Z

⑴設(shè)48與〃。所成的角為仇A

?.?麗=(1,0,0)詬=(一冬冬一1)*7\\

..，畫國T…/,M\\

…”畫畫W""\\

I.A8與所成角的大小為?/\

⑵：麗=(。,*,-2),而=(—冬冬—2)~~

二設(shè)平面OCD的法向量為〃=(x,y,z),則“麗=0,"麗=0

—y-2z=0

即\23

V2V2

XHy-2z=()

2--2

取2=血，解得〃=(0,4,后)

設(shè)點B到平面0CD的距離為d，則d為0B在向量"=(0,4,72)上的投影的絕對值,

一\0B-n\2

V=(1,0,-2),：.d='..

同3

2

所以點B到平面OCD的距離為一

3

2.比京16)(本小題共14分)

如圖，在三棱錐P—A8C中，AC=8C=2,ZACB=90°,AP=BP=AB,PC1AC.

(I)求證：PCIAB；

(II)求二面角8—4P—C的大小.

解法一：

(I)取A6中點O,連結(jié)P。，CD.

VAP=BP,

PDA.AB.

?：AC=BC,

CDVAB.

???PDC\CD=D,

.?.A3,平面PCO.

,/PCu平面PCD,

PCVAB.

(II)vAC=BC,AP=BP,

BPC.

又PCLAC,

PCIBC.

又ZAG5=90°,即ACJ.8C,且ACnPC=C，

BC,平面PAC.

取AP中點E.連結(jié)BE,CE.

?：AB=BP,BEA.AP.

???EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，

CELAP.

：.NBEC是二面角B-AP-C的平面角.

BE=立AB二娓,

在△BCE中，NBCE=90",BC=2,

2

sinNBEC=—=—

BE3

二面角8-AP-C的大小為arcsin——.

3

解法二：

(I)-：AC=BC,AP=BP,

:.△窿&BPC.

又PCJ.AC,

PCVBC.

???ACfW=C，

.?.PC,平面ABC.

???ABu平面ABC,

PCVAB.

(ID如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-盯Z.

則C(0,00),A(02Q)B(200).

設(shè)尸(0,0,f).

?/\PB\=IM=2V2,

:.t=2,P(0,02).

取4P中點E,連結(jié)BE,CE.

---\AC\=\PC\,|AB|=|BP|,

CELAP,BELAP.

：.NBEC是二面角B-AP-C的平面角.

v￡(0,1L),EC=(0,-J-1),而=(2,—J—l),

\EC\\EB\V2V63

二二面角B-AP-C的大小為arccos

3.(福建19)(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—4BCC中，側(cè)面底面

ABCD,側(cè)棱以=尸。=后，底面ABCD為直角梯

形，其中BC//ADABA.AD,AD^2AB^2BC=2,O

為AD中點.

(1)求證:POJ?平面ABC。；

(II)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

(III)求點A到平面PCD的距離.B

解法一：

(I)證明：在△力。卡中心=PO,。為4。中點，所以

又側(cè)面B4O_L底面ABCD,平面B4OC平面ABCD^AD,POu平面PAD,

所以POJ_平面ABCD

(II)連結(jié)30,在直角梯形ABCQ中，BC//ADAD=2AB=2BC,

有OO〃BC且OO=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以O(shè)B//DC.

由(I)知POJ_OB,NPBO為銳角,

所以NPB。是異面直線PB與CD所成的角.

因為AC=2A8=28C=2,在Rtz^AOB中，AB=\,AO=\,所以。8=血,

在RtaPOA中，因為AP=JI,AO=\,所以O(shè)P=1,

在Rt△尸8。中，PB=y/OP2+OB2=V3,

,八0B6展

cosNPBO=—=-=^=—

PB63

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為—.

3

(IH)由(II)得CD=OB=V2,

在Rt^POC中，PC=y]0C2+OP2=V2,

所以PC=a)=QP,5APCD=-

4

又SZ\=LAZ)?AB=1,

2

設(shè)點A到平面PCD的距離力，

由VP-ACD-VA-PCD>

得—S&ACD*0P=-SAPCD,h,

33

nr,11V3

即一XIX1=-X二Xh,

332

解得/2=述.

3

解法二：

（I）同解法一,

（H）以。為坐標原點，。。、。。、。產(chǎn)的方向分

別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐

標系O-xyz.

則A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),

D(0,1,0),P(0,0,1).

所以C￡>=(-1,1,0),PB—(f,-1,-1),

8〈麗、3)=畫①=浮=_"

PBCDJ3?423

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為—,

3

（III）設(shè)平面PC。的法向量為〃=（xo,yo/o），

由（II）知方=（-1,0,1）,CD=（-1,1,0）,

則Cn,CP=0,所以r-x0+x（）=0,

、〃?CD=0,1-x（）+）'o=O,

即xo=yo=x（）,

取xo=l,得平面的一個法向量為

又就=（1],0）.

AC?n

從而點A到平面PC。的距離d=-—=亍=-

nH733

4.（廣東18）（本小題滿分14分）

如圖5所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接

四邊形，其中BD是圓的直徑，ZABD=60°,ZBDC=45°

BAD.

⑴求線段尸。的長：

⑵若PC=JITR求三棱錐/M8C的體積.

解：（1）：8。是圓的直徑

ZBAD=90°又ADP-BAD,

4GX3

ADDPDpAD^_一（孫in60。丫

:——^=3R;

BA~AD-BA—（BDsin30°）一

2Rx-

2

（2）在MBCD中,CD=BDcos45°=6R

PD2+CD2=9R2+2R2=1R2Tpe2

PDLCD又ZPDA=90°

PO_L底面ABC。

S^-AB8Csin（60"+451=。

ABBCC2''2（222214

三棱錐P-ABC的體積為

23

ABC=-^ASCPD=-^^-R3R=^^-R.

PABC

-3ABe344

5.（寧夏18）（本小題滿分12分）

如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖.它的正視圖和俯視

圖在下面畫出（單位：cm）

（I）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；

（II）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；

（HI）在所給直觀圖中連結(jié)BC',證明：BC'〃面EFG.

解（I）如圖

....................................................................................................3分

（II）所求多面體體積

V=丫長方體態(tài)呈錐

=4x4x6——x—x2x2x2

3(2J

=等(cn?).......................................................

(Ill)證明：在長方體ABC?！狝B'C'D'中,

連結(jié)AO',WiJAD'//BC'.

因為E,G分別為AA',A'。'中點，

所以4。'〃EG,

從而EG〃BC'.又BC'<X平面EFG,

所以BC'〃面EfG.12分

6.（江蘇16）（14分）

在四面體ABC。中，CB=CD,ADLBD,且E、F分別是AB、BD的中點,

求證：(1)直線EF//面ACD

(2)面EFC±[fi|BCD

【解析】：本小題考查空間直線于平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定，

考查空間想象能力、推理論證能力。

（1）,:E、F分別是AB、BD的中點，EF是4ABD的中位線，EF//AD

又EF<Z面ACD,ADu血ACDA直線EF//面ACD

EF//AD

(2)1BD

AD1BD

CB=CD

^=>CF1BD

F為西點

=BDL面CEF

>=>面肺C!BCD

BDu面BCD

CFC\EF=F

7.（江西20）如圖，正三棱錐。-ABC的三條側(cè)棱。A、OB、OC兩兩垂直，且長度均

為2.E、尸分別是48、AC的中點，”是的中點，過EP的平面與側(cè)棱04、OB、

3

oc或其延長線分別相交于4、與、G，已知=萬.

（1）求證:B￡_L面。AH；

（2）求二面角。一4氏—G的大小.

解：（1）證明：依題設(shè)，EF是A4BC的中

位線，所以EF〃BC,

則EF〃平面OBC,所以EF〃B￡。

又“是EF的中點，所以

則AH14G。

因為0AL08,OA±OC,

所以04上面08C,則04,用G，

因此81G_1_面0AHo

（2）作ONLA4于N,連GN。

因為。。1_1_平面。4/],

根據(jù)三垂線定理知，C}N±AtBt,

NONG就是二面角O-AB]-G的平面角。

作而，。隹于〃，則EM//0A,則

M是。8的中點，則EM=OM=1。

OB,x_3

設(shè)0月=x,由f一L得,解得x=3,

MB、EMx-l2

3

在RtAOA片中，Ag=dOA；+OB；=」指,則，ONJ\"

2A[Bi

所以tan/ONG=煞=下，故二面角。一為arctanJ5。

解法二：（1）以直線04、OC0B分別為x、yz軸，建立空間直角坐標系，。-盯z

則

4(2,0,0),8(0,0,2),C(0,2,0),E(l,0,1),尸(L1,0),〃(U

22

——11—■11—?

所以A"=(—1,5,-),OH=(1,萬,萬),8C=(0,2,-2)

所以而標=0,而.前=0

所以8c_L平面OA”

由E尸〃得8ci〃BC，故：?平面。A”

3

⑵由已知4(5,0,0)設(shè)國(0,0,Z)

則m=(—g,0,l),函=(—l,0,z-1)

由AE與EB｝共線得:存在aeR有4E=/IE4得

,2

??.5.(0,0,3)

同理:G(0,3,0)

——-33——3

.?.A4=(一1,0,3)，4G=(-5,3,0)

設(shè)〃1=（占,％,Z1）是平面4B￡的一個法向量,

一二x+3z=0

則《2令1=2得y=x=l

一*|x+3y=0

=(2,1,1).

又n=（0,1,0）是平面。4片的一個法量

1V6

COS<〃],%>=

J4+1+16

所以二面角的大小為arccos如

6

8.（江蘇選修）記動點P是棱長為1的正方體ABC3-A4G2的對角線上一點，記

^=/l.當NAPC為鈍角時，求力的取值范圍.

D】B

解：由題設(shè)可知，以方、DC＞西為單位正交基底，

建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則有

41,0,0),6(1,1,0),C(0,l,0),D(0,0,l)

由麗=(1,1,一1),得麻=2而=(九兒—幾)，所以

=+5^4=(-2,-2,2)+(1,0,-1)=(1-2,-2,2-1)

斤=西+麻=(-2,-2,2)+(0,1,-1)=(-2,1-2,2-1)

顯然N4PC不是平角，所以N4PC為鈍角等價于

PAFC

cosZAPC-cos<PA,PC＜0,則等價于西定＜0

即(1-2)(-2)+(-2)(1-2)+(2-1)2=(2-1)(32-1)<0,得g</l<]

因此，/l的取值范圍是(；/)

9.湖南18)(本小題滿分12分)

如圖所示，四棱錐P-ABC。的底面積A8CO是邊長為1的菱形，ZBCD=60°,E是

CZ)的中點，以J_底面積ABC。，PA=6.

(I)證明：平面尸8E，平面以8；

(II)求二面角A-BE-P的大小.

解解法-(I)如圖年示，連結(jié)8￡),由48c3是菱形且N8CQ=60°

知，A8CO是等邊三角形.因為E是C￡＞的中點，所以BELCD,又

AB//CD,所以BE_LA8.又因為鞏_L平面ABC。，8仁平面ABC。，所以出_L8E.而朋CA8

=A,因此BE_L平面力比

又8￡U平面尸8E,所以平面平面以8.

(H)由(I)知，BE_L平面以8,尸仁平面所以尸8_L8E.

5LABVBE,所以/尸54是二面角A—BE-P的平面角.

PAL

在RSB4B中，tan/P84=—=43,ZPBA=60°.

AB

故二面角4-3E-P的大小是60°.

解法二如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關(guān)各

3-751J3

點的坐標分別是A(0,0,0),8(1,0,0),C(—,---,0),￡)(—,---,0),

2222

P(0,0,向,夙1,￡,0).

2

(I)因為BE=(0,—,0),平面PAB的一個法向量是鼠=(0,1,0),

2

所以8E和〃()共線.從而8EJ"平面以8.又因為8￡C平面BEF,所以平面PBEJ_平面PAB.

(H)易知麗=(1,0,-6),B￡=(0,-—,0),

22

/4-Oxy,=0,

設(shè)％=(X|,y1,zi)是平面PBE的一個法向量，則有，0x%+乎y+0xZ1=0.

所以y=0內(nèi)=Zi.故可取％=(

而平面ABE的一個法向量是萬2二(0,。，1).

于是,

故二面角A-BE-P的大小是60°

10.(遼寧19)(本小題滿分12分)

如圖，在棱長為1的正方體ABC?！狝B'C'。中，AP=8Q=h(0<6<l),順PQEF//A'D,

截面PQGH//AD'.

(I)證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

(II)證明：截面P0EF和截面PQGH面積之和是定值,

并求出這個值；

(ni)若。=’,求O'E與平面PQE尸所成角的正弦值

2

解法一：

(I)證明：在正方體中，AD'1A'D,AD'IAB,

又由已知可得

PF//A'D,PH//AD',PQ//AB,

所以PHJ.PF,PH1PQ,

所以尸”，平面PQEF.

所以平面PQE/和平面PQG”互相垂直....................................4分

(II)證明：由(I)知

PF=yflAP,PH=41PA',又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1,所以截面

PQEF和截面PQGH面積之和是

(y[2AP+V2PA,)xPQ=V2,是定值..........................................8分

(III)M：設(shè)交PF于點N,連結(jié)EN,

因為A。'，平面PQEF,

所以ND'EN為D'E與平面PQEF所成的角.

因為/>=；,所以尸，Q,E尸分別為44',BB',BC,AO的中點.

可知。加=逑，D'E=~.

42

372

所以sinNO'EN=-^-=也................................................12分

32

2

解法二：

以。為原點，射線D4,DC,分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標系

D-xyz.由已知得Z)/7=l-b,故

A(LO0),A(l,01),0(0,00),Df(0,01),

F(l,0,b),2(L1,b),￡(1-WO),

尸(1—6,00),G(b,\1),4(6,01).

(I)證明：在所建立的坐標系中，可得

x

7Q=(0,10)PF,=,(-/>0-b),

麗=3-1,01-6),

彷=(-1,0l)X^^(-10-1).

因為初而=0,而即=0,所以正是平面PQEF的法向量.

因為了萬麗=0,而麗=0,所以H萬是平面PQGH的法向量.

因為訪為5=0,所以松，彷，

所以平面PQE尸和平面PQGH互相垂直.........................................4分

(H)證明：因為而=(0,—,10),所以即〃麗|司忸@,又而J.而，所以PQEF

為矩形，同理PQGH為矩形.

在所建立的坐標系中可求得兩=血(1->)，\PF\=yflb,

所以兩+忸同=血，又忸0=1,

所以截面PQEF和截面PQG”面積之和為0,是定值...........................8分

(III)解：由(I)知彷=(一1,01)是平面PQE尸的法向量.

由P為AA'中點可知，Q,E尸分別為85',BC,AO的中點.

所以方%=因此O'E與平面尸QEF所成角的正弦值等于

Icos<AD',WE>1=—.12分

2

11.(全國I18)(本小題滿分12分)

四棱錐A-BCDE由底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC±底面BCDE,BC=2,CD=C，

AB=AC.

(I)證明：ADICE；

(II)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形，求二面角C—AO—E的大小.4

解(1)取3C中點/，連接。/交CE于點。，

?/AB=AC,//人弋二》E

AF±BC,Z

又面ABC±面BCDE,D

/.AQ上面8cOE,

AFICE.

tanZCED=tanZFDC=—，

2

NOED+NODE=90°,

:.ZDOE=90°,即CE_LD尸,

??.CEJL面AZ)F,

CEVAD.

(2)在面ACO內(nèi)過。點做AO的垂線，垂足為G.

CGVAD,CEYAD,

：.ADimCEG,

EGVAD,

則/CGE即為所求二面角.

rrACCD273”V6

AD33

EG=y/DE2-DG2=—,

3

CE=布,

CG2+GE2-CE2

則cos/CGE=

2CGGE10

NCGE-Ttafccos

12.（全國n20）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCO—AgG，中，=2A8=4,點E在CG上且GE=3EC.

（I）證明：4。_1_平面5￡。；

（II）求二面角4一OE—6的大小.

解法一：

依題設(shè)，A8=2,CE=1.

（I）連結(jié)AC交8。于點F,則BOLAC.

由三垂線定理知，BDLA.C........................3分

在平面內(nèi)，連結(jié)E尸交4。于點G,

,AA.AC人rr

由于一L=——=2j2，

FCCE

故Rt△碑ATRtFCE,AAA}C=ZCFE,

ZCFE與ZFCAt互余.

于是.

4c與平面5E0內(nèi)兩條相交直線80,EE都垂直,

所以4。_L平面BED....................................................6分

(II)作垂足為H,連結(jié)4”.由三垂線定理知4〃LOE,

故NAi”G是二面角4—DE—6的平面角.......................................8分

EF=YICF2+CE2=V3,

rrCExCFV2ICF2CC2

CG=------=—}=,乜G=7C乜—CG=?

EFy/33

EG11EFxFDV2

EF33￡)￡715

又4c=7AA；+AC?=2遙,4G=4?！狢G=￥

tanZA.HG=，4G-=5?I-.

HG

所以二面角4一OE-8的大小為arctan5指...................................12分

解法二：

以D為坐標原點，射線D4為x軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標系。-xyz.

依題設(shè)，B(2,20>C(02,0)￡(021)4,(204).

詼=(0,21)麗弓(220),而=(-2,2.4)班=(204)...................3分

(I)因為4COB=0,A.CDE=0,

故A}C±DE.

又DBCDE=D,

所以A。，平面QBE....................................................6分

(ID設(shè)向量〃=(x,yz)是平面ORE的法向量，則

n_LDE,nJ_DA1.

故2y+z=0,2x+4z=0.

令y=l,則z=-2,x=4,n=(4,1T-2)..................................9分

<n^C>等于二面角A-DE-B的平面角，

nACV14

cos>=X

HM

V14

所以二面角A1—OE—B的大小為arccos^—...............................12分

'42

13.(山東19)(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸—A8CO中，平面PAO_L平面ABC。，AB//DC,△24。是等邊三

角形，已知8O=2AO=8,AB=2OC=4百.

(I)設(shè)M是PC上的一點，證明：平面〃80,平面尸A0；

(II)求四棱錐P-4BC。的體積.

(I)證明：在△ABO中，

由于AO=4,80=8,AB=475,

所以4￡>2+8。2=AB2.

故AOO

又平面尸4。_L平面A5CO,平面/MOD平面=，

BDu平面ABCD,

所以60_L平面PAO,

又BDu平面MBD,

故平面MBD±平面PAD.

(H)解：過尸作尸。J.A￡>交于0,

由于平面PADJ_平面ABCD,

所以P。J?平面ABC。.

因此P。為四棱錐P—ABCO的高，

又△PAO是邊長為4的等邊三角形.

因此p。

在底面四邊形ABC。中，AB//DC,AB=2DC,

4x8Xx/s

所以四邊形A6CO是梯形，在RtZVIOB中，斜邊48邊上的高為一U=

4755

此即為梯形ABC。的高,

所以四邊形ABCD的面積為S=2亞+4亞里L=24.

25

故也2*4x26=16"

14.（上海16）（本題滿分12分）

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-4中，E是BG的中點.求直線DE與平面ABCD

所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

【解】過E作E尸上BC,交BC于F,連接。E

,/EF_L平面ABCD,

?./EOF是直線DE與平面ABCD所成的角..4分

由題意，得EF=；CG=L

???CF=-CB=1,：.DF=4^............8分

2

EFJ5

,/EFLDF,：.tanZ.EDF=——=—10分

DF5

故直線DE與平面ABCD所成角的大小是arctan或….12分