專題09全等三角形核心知識點精講1.掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式；3.善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等，靈活選擇適當?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€三角形全等.【知識網(wǎng)絡(luò)】考點一、基本概念1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形對應邊相等；（2）全等三角形對應角相等.要點詮釋：全等三角形的周長、面積相等；對應的高線，中線，角平分線相等.3.全等三角形的判定方法（1）三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS)；（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）；（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)；（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)；（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL).考點二、靈活運用定理三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來．應用三角形全等的判別方法注意以下幾點：1.條件充足時直接應用判定定理要點詮釋：在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等.這種情況證明兩個三角形全等的條件比較充分，只要認真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．2.條件不足，會增加條件用判定定理要點詮釋：此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案．3.條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判定定理要點詮釋：在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關(guān)系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．常見的幾種輔助線添加：①遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”；②遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”；③遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；④過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；⑤截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分之類的題目．【題型1：全等三角形】【典例1】在中，是的中點．(1)如圖1，在邊上取一點，連接，過點作交的延長線于點，求證：．(2)如圖2，將一直角三角板的直角頂點與點重合，另兩邊分別與相交于點，，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）運用證明即可解題；（2）如圖，過點作交延長線于點，連接．推導，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）是的中點，．，，，．（2）如圖，過點作交延長線于點，連接．由（1）知．．，，．在中，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的不等關(guān)系，能作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．1．如圖，在中，，將沿方向向右平移得到交于G，已知，則陰影部分的面積為．

【答案】42【分析】由平移得，于是陰影部分面積等于梯形的面積，求得梯形的面積=，于是陰影部分的面積．【詳解】解：∵沿著點A到點C的方向平移到的位置，∴，∴陰影部分面積等于梯形的面積，由平移的性質(zhì)得，，∴，∴，∵，∴，∴梯形的面積=，∴陰影部分的面積．故答案為：42．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，全等的性質(zhì)；由平移得到三角形全等、線段相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線經(jīng)過點E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，則∠AFE＝°．【答案】85【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝25°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，∴∠BAC＝25°，∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，故答案為：85．【點睛】本題考查了全等三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，，D是坐標平面上一點，若以A，B，D為頂點的三角形與全等，則點D的坐標是．【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）【分析】若要，則D點可在AB的上方或下方，分別討論即可．【詳解】如圖，要和全等，且有一邊為AB的三角形，D點可為：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）故答案為：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．【點睛】本題考查判定全等三角形的概念，注意不要遺漏可能的情況是解題關(guān)鍵．【題型2：靈活運用定理】【典例2】如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接E，F(xiàn)．給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】①③⑤【分析】可以作PG⊥AB，證明△APG≌△FEP即可.【詳解】如圖，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，則△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，運用旋轉(zhuǎn)的知識易知AP⊥EF，所以正確結(jié)論的序號是①③⑤.【點睛】做輔助線證明全等是解題的關(guān)鍵.1．如圖，已知正方形中，邊長為，點E在邊上，，如果點P在線段上以秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上以a厘米/秒的速度由C點向D點運動，設(shè)運動的時間為t秒，（1）厘米，厘米.（用含t的代數(shù)式表示）（2）若以E、B、P為頂點的三角形和以P、C、Q為頂點的三角形全等，則a的值為.答案】或4【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程等知識，分類討論的思想思考問題．（1）根據(jù)路程與速度的關(guān)系求解即可；（2）分兩種情形，利用全等三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：點P在線段上以秒的速度由B點向C點運動，運動的時間為t秒，∴，∵，∴，故答案為：，；（2）∵點Q在線段上以a厘米/秒的速度由C點向D點運動，運動的時間為t秒，∴，當時,∴,即,即,∴,∴,解得:;當時,∴,即,∴,∴,∴即,綜上,以E、B、P為頂點的三角形和以P、C、Q為頂點的三角形全等，則a的值為或，故答案為：或4.2．如圖，已知．若，則．【答案】【解析】略3．如圖，兩個全等的直角三角板重疊在一起，將其中的一個三角板沿著方向平移到的位置，與交于點O．若，則四邊形的面積為．

【答案】27【分析】本題考查的是平移的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及梯形的面積計算，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)梯形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：∵三角板沿著方向平移到的位置，∴，∴∴∴四邊形的面積等于=．故答案為：27．4．如圖，在中，為邊的中線，為上一點，連接并延長交于點，若，，，則的長為．.【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．延長至，使，連接，根據(jù)證明，則，根據(jù)可得，由此可得，即可得出，然后利用線段的和差即可求出的長．正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，延長至G，使，連接，在和中，，．，，，，，．，，．故答案為：5．如圖，是的中線，，，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的常見模型—倍長中線模型及三角形三邊關(guān)系的應用，熟記模型的構(gòu)成及結(jié)論是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長至H，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，∴，故答案為：．【題型3：全等三角形綜合運用】【典例3】如圖，在中，，，，且AE=AB，連接交的延長線于點，，則．【答案】【分析】在CD上截取CG=CF，連接AG，可得，設(shè)AC=CD=3x，則CF=CG=2x，GD=x，再證明，進而即可求解．【詳解】解：在CD上截取CG=CF，連接AG，∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，∴，∴∠AGC=∠CFD，設(shè)AC=CD=3x，則CF=CG=2x，GD=x，∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，∴∠EAF=∠B，∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB，又∵AE=AB，∴，∴AF=BG=5x，∴BD=BG-GD=4x，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．1．在四邊形ABCD中，，，，將線段CD以點D為中心逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接AE，CE，的面積為6，則BC的長為．【答案】7或1【分析】過D作DF⊥BC于F，過E作EG⊥AD，交AD延長線于G，求出∠EGD=∠DFC，∠EDG=∠CDF，根據(jù)AAS證△EDG≌△CDF，求出EG=CF=3，即可求出答案．【詳解】①當時，如圖，過點D作于點F，作交AD的延長線于點G．由題意可得四邊形ABFD是矩形，則．△的面積為6，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，，．在△和中，，△△．，．②當時，過點C作CF⊥AD于F，過點E作EG⊥AD于G，易證△EGD≌△DFC，∴EG=FD，∵△的面積為6，AD=4，∴DG=3，∴FD=3，∴．綜上，BC的長為7或1．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．2．如圖，含有的直角三角形，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使得點落在邊上的點處，過點的直線，則．【答案】30°【分析】旋轉(zhuǎn)前后的三角形全等，對應角和對應邊也相等，因此△ABM是等邊三角形，∠AMB＝60°，進而求得∠NMC＝60°，再利用平行線得到的內(nèi)錯角相等，進行計算.【詳解】∵在中，，，∴，∵繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故填：30°.【點睛】本題是角度計算的問題，利用到旋轉(zhuǎn)全等與平行線的性質(zhì)的結(jié)合，判定等邊三角形是關(guān)鍵.3．如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，把邊AC繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得AD，把邊BC繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得BE，作DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，若AB＝5，EN＝2，則DM＝．【答案】3【分析】過點C作CF⊥AB于點F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一線三等角”證得∠D＝∠CAF，從而可判定△DAM≌△ACF（AAS），則DM＝AF．同理可證，△BFC≌△ENB（AAS），則BF＝EN＝2，再由AB＝5，可得AF，即DM的值．【詳解】解：過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示：∵旋轉(zhuǎn)，∴AD＝AC，BE＝BC，∵DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，CF⊥AB于點F，∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，∴∠D+∠DAM＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAF+∠DAM＝90°，∴∠D＝∠CAF，∴在△DAM和△ACF中，∴△DAM≌△ACF（AAS），∴DM＝AF．同理可證，△BFC≌△ENB（AAS），∴BF＝EN＝2，∵AB＝5，∴AF＝3，∴DM＝3．故答案為：3．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．如圖，正三角形和，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結(jié)論有．并寫出3對全等三角形．

【答案】①②③⑤△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ【分析】①可證明△ACD≌△BCE,從而得出AD=BE；②可通過證明△BCQ≌△ACP，從而可證明△PCQ為等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可證明PQ∥AE．③由②中△BCQ≌△ACP，可證AP=BQ；④通過證明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由圖可知DE＞QE，從而④錯誤；⑤通過三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得該結(jié)論．由前面的證明過程可得出三個全等三角形．【詳解】解：①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點A，C，E在同一條直線上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，故本選項正確；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本選項正確；③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本選項正確；④∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴DP=EQ，∵DE＞QE∴DE＞DP，故本選項錯誤；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本選項正確；∴正確的有：①②③⑤．由上面證明過程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．故答案為：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定定理，并能依據(jù)等邊三角形三邊相等，三角相等都是60°的特征判斷三角形全等是解題關(guān)鍵．1．如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【詳解】∵在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故選B．【點睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形對應角相等．2．如圖，和關(guān)于直線l對稱，連接，在直線l上任取一點O，連接，，下列結(jié)論中，不一定正確的是（

）

A． B．C．l垂直平分 D．【答案】A【分析】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及全等三角形的概念進行求解．【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對稱，∴，l垂直平分，，∴只有A選項不一定成立；故選A．3．如圖，，，則的對應邊是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形中對應角所對的邊是對應邊，可知BC=DA．【詳解】解：∵ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∴∠BAC與∠DCA是對應角，∴BC與DA是對應邊（對應角對的邊是對應邊）．故選A．【點睛】本題考查了全等三角形中對應邊的找法，解題的關(guān)鍵是掌握書寫的特點．4．如圖，沿直角邊所在的直線向右平移得到，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項進行一一分析，選擇正確答案．【詳解】解：A、沿直角邊所在的直線向右平移得到，則成立，故正確，不符合題意；B、為直角三角形，則成立，故正確，不符合題意；C、不能成立，故錯誤，符合題意；D、為對應角，正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．1．如圖，，，與交于點，于，于，那么圖中全等三角形有（

）A．4對 B．5對 C．6對 D．7對【答案】D【分析】從已知條件開始，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定方法由易到難逐個尋找．【詳解】解：∵，∴，∵，∴；∴，∵，∴，∵，∴；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴；綜上分析可知，全等的三角形共有7對．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關(guān)鍵．注意：、不能判定兩個三角形全等．判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角相等時，角必須是兩邊的夾角．2．如圖：，，，，連接與交于，則：①；②；③；正確的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用垂直的定義得到，則，于是可對①進行判斷；利用“”可證明，于是可對②進行判斷；利用全等的性質(zhì)得到，則根據(jù)三角形內(nèi)角和和對頂角相等得到，于是可對③進行判斷．【詳解】解：，，，，，即，所以①正確；在和中，，，所以②正確；，∵∠AFD=∠MFB，，，所以③正確．故選：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．3．作一個三角形與已知三角形全等：已知：．求作：，使得．作法：如圖．（1）畫；（2）分別以點，為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點；（3）連接線段，，則即為所求作的三角形．這種作一個三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是（

）A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)SSS證明三角形全等即可．【詳解】解：根據(jù)傻得，A′B′=AB，A′C′=AC；在△A′B′C′和△ABC中，，∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．故選：D．【點睛】本題考查作圖-應用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．二、填空題4．如圖繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點在上．延長，交于．則．【答案】30°【分析】先根據(jù)∠BCB=95°，求出∠BCA=180°-95°=85°，根據(jù)繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，得到≌，可得∠BAC=∠BAC，∠BCA=∠C=85°，∠B=∠B，根據(jù)∠B+∠BAC+∠BAC=160°，∠B+∠BAC=180°-85°=95°，可得∠BAC=160°-95°=65°，即可得出∠B．【詳解】解：∵∠BCB=95°，∴∠BCA=180°-95°=85°，∵繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴≌，∴∠BAC=∠BAC，∠BCA=∠C=85°，∠B=∠B，∴∠B+∠BAC+∠BAC=160°，∠B+∠BAC=180°-85°=95°，∴∠BAC=160°-95°=65°，∴∠B=160°-2∠BAC=30°，故答案為：30°．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握這些知識點靈活運用是解題關(guān)鍵．5．如圖，在中，，D，E是斜邊上BC上兩點，且，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接EF，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有(填序號)【答案】①②④【分析】根據(jù)等腰直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】∵在中，，∴∠ABC=∠ACB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠ABF=∠ACD=45°，∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=45°+45°=90°，∴，①正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠CAD=∠BAF，AF=AD，∴∠EAF=∠BAF+∠BAE,∵，∴，又∵AE=AE，∴，②正確；由旋轉(zhuǎn)可知CD=BF，由可知DE=EF，∴，故③錯誤；④正確.故答案為①②④.【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應角和對應邊相等.6．如圖所示，等腰直角三角形中，，，為的中點，．則四邊形的面積為．【答案】【分析】連接BO，根據(jù)的等腰直角三角形的性質(zhì)證明△BEO≌△CFO，即可推出，推出，即可求得答案．【詳解】（1）連接BO．∵是等腰三角形，，，∴，又∵O是AC中點，∴BO⊥AC，∠ABO=∠CBO=∠A=∠C=45°，BO=AO=CO=，∵∠EOB+∠FOB=90°，∠FOB+∠COF=90°，∴∠EOB=∠COF，在△BEO和△CFO中，，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理的運用，本題中連接BO是解題的關(guān)鍵．7．問題背景：如圖，點為線段外一動點，且，若，，連接，求的最大值．解決方法：以為邊作等邊，連接，推出，當點在的延長線上時，線段取得最大值．問題解決：如圖，點為線段外一動點，且，若，，連接，當取得最大值時，的度數(shù)為．【答案】【分析】以AC為直角邊，作等腰直角三角形CEA，CE=CA，∠ECA=90°，連接EB，利用SAS證出△ECB≌△ACD，從而得出EB=AD，然后根據(jù)兩點之間線段最短即可得出當AD取得最大值時，E、A、B三點共線，然后求出∠CAB的度數(shù)，根據(jù)等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ACB，從而求出∠ACD．【詳解】解：以AC為直角邊，作等腰直角三角形CEA，CE=CA，∠ECA=90°，連接EB∵∴∠ECA＋∠ACB=∠BCD＋∠ACB∴∠ECB=∠ACD在△ECB和△ACD中∴△ECB≌△ACD∴EB=AD∴當AD取得最大值時，EB也取得最大值根據(jù)兩點之間線段最短可知EB≤EA＋EB，當且僅當E、A、B三點共線時取等號即當AD取得最大值時，E、A、B三點共線，∵△CEA為等腰直角三角形∴∠CAE=45°∴此時∠CAB=180°―CAE=135°∵∴∠ACB=∠ABC=（180°－∠CAB）=°∴∠ACD=∠ACB＋∠BCD=故答案為：．【點睛】此題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和兩點之間線段最短的應用，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、構(gòu)造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性質(zhì)和兩點之間線段最短是解決此題的關(guān)鍵．8．如圖，將繞著直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，則度．【答案】70【分析】首先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)等角轉(zhuǎn)換，即可得解.【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△ABC≌△A′B′C，∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°，∴∠CAA′=∠CA′A=45°∵∴∠BAC=25°∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70°故答案為：70.【點睛】此題主要考查利用全等三角形，旋轉(zhuǎn)求解角度，熟練掌握，即可解題.9．如圖，中，，，，在上截取，使，過點作的垂線，交于點，連接，交于點，交于點，，則.【答案】【分析】過點D作DM⊥BD，與BF延長線交于點M，先證明△BHE≌△BGD得到∠EHB=∠DGB，再由平行和對頂角相等得到∠MDG=∠MGD，即MD=MG，在△△BDM中利用勾股定理算出MG的長度，得到BM，再證明△ABC≌△MBD，從而得出BM=AB即可.【詳解】解：∵AC∥BD，∠ACB=90°，∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，又∵BF⊥AB，∴∠ABF=90°，即∠8+∠2=90°，∵BE=BD，∴∠8=∠1，在△BHE和△BGD中，，∴△BHE≌△BGD（ASA），∴∠EHB=∠DGB∴∠5=∠6，∠6=∠7，∵MD⊥BD∴∠BDM=90°，∴BC∥MD，∴∠5=∠MDG，∴∠7=∠MDG∴MG=MD，∵BC=7，BG=4，設(shè)MG=x，在△BDM中，BD2+MD2=BM2，即，解得x=，在△ABC和△MBD中,∴△ABC≌△MBD（ASA）AB=BM=BG+MG=4+=.故答案為：.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，適當添加輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求出待求的線段，難度中等.10．如圖，已知在中，于點，為上一點，且，，若，，則.

【答案】【分析】由證明，得出，再由勾股定理求出，然后利用三角形面積求出AC邊的高BE即可．【詳解】解：，，在和中，，，，，∵，∴，即BE⊥AC，∴，在中，，，∴故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用；熟記斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．11．如圖中，，D、E為BC上兩點，且．將繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接EF，下列結(jié)論：①AE平分②③④，正確的有（序號）．【答案】①②③【分析】由△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判斷∠FAE=∠DAE，可證△AED≌△AEF．由已知條件可證△BEF為直角三角形，則有BE2+DC2=DE2是正確的．【詳解】解：∵△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，∴AD=AF，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°-∠DAE=45°，∴∠DAE=∠FAE，∴AE平分，故①正確；在△AED與△AEF中，∴△AED≌△AEF（SAS），故②正確；∴ED=FE，∠ACB=∠ABF，在Rt△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，∴BE2+BF2=FE2，即BE2+DC2=DE2，故③正確；∵∠ABC=45°，設(shè)∴∠BEF=45°∵∠FBE=90°∴∠BFE=45°∴BF=BE∴DC=BE又∵D、E為BC上兩點∴BE不一定等于DC，即④錯誤.故答案為：①②③.【點睛】本題考查的是三角形的判定與性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，難度適中．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出變角的相關(guān)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三、解答題12．（1）【教材呈現(xiàn)】以下是某數(shù)學教材某頁的部分內(nèi)容（請?zhí)顚憴M線中的依據(jù)）：例4、如圖，在中，D是邊的中點，過點C畫直線，使，交的延長線于點E，求證：．

證明：∵（已知），∴，．∵D為邊中點，∴．在與中，∵，∴（）∴（）

（2）【方法應用】如圖①，在中，，，則邊上的中線長度的取值范圍是．（3）【猜想證明】如圖②，在四邊形中，，點E是的中點，若是的平分線，試猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

【答案】（1），全等三角形的對應邊相等；（2）；（3），證明見解析【分析】本題是“倍長中線”模型綜合應用，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識點；（1）根據(jù)前后邏輯關(guān)系填空即可；（2）延長到，使，連接，證，推出，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出，代入求出即可．（3）結(jié)論：．延長，交于點，證明，推出，再證明即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵（已知），∴，．∵D為邊中點，∴．在與中，∵，∴∴（全等三角形的對應邊相等）;故答案為：，全等三角形的對應邊相等；（2）延長到，使，連接，

是邊上的中線，，在和中，，，，在中，，，，故答案為：；（3）結(jié)論：．理由：如圖②中，延長，交于點，

，，在和中，，，，是的平分線，，，，，．13．閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：在中，，求邊上的中線的取值范圍．(1)小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長到Q使得；②再連接，把、、集中在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得，則的取值范圍是___________．感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．(2)請寫出圖1中與的位置關(guān)系并證明；(3)思考：