第06講事件的相互獨立性、條件概率、全概率及貝葉斯公式（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第21題,12分利用全概率公式求概率求離散型隨機變量的均值2023年新Ⅱ卷，第12題,5分獨立事件的乘法公式獨立重復(fù)試驗的概率問題利用互斥事件的概率公式求概率2023年全國甲卷（理），第6題,5分計算條件概率無2022年新I卷，第20題,12分計算條件概率獨立性檢驗解決實際問題2022年新Ⅱ卷，第19題,12分計算條件概率頻率分布直方圖的實際應(yīng)用由頻率分布直方圖估計平均數(shù)利用對立事件的概率公式求概率2021年新I卷，第8題,5分獨立事件的判斷無2020年全國甲卷（理），第19題,12分獨立事件的實際應(yīng)用及概率無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握事件的相互獨立性關(guān)系及其辨析2.會獨立事件的乘法公式計算3.會條件概率的計算全概率及貝葉斯概率的計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合條件概率、全概率及貝葉斯概率綜合考查，需重點強化復(fù)習(xí)知識講解事件的相互獨立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立．互斥事件強調(diào)兩事件不可能同時發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨立事件則強調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有考點一、獨立事件的判斷1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某家庭有三個孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨立的．記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩；則下列說法中正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對立 B．事件A與事件互斥且對立C．事件與事件相互獨立 D．事件A與事件相互獨立2．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有同副牌中的5張數(shù)字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則（

）A．乙與丙相互獨立 B．乙與丁相互獨立C．甲與丙相互獨立 D．甲與乙相互獨立3．（2023春·廣東深圳·高三深圳市福田區(qū)福田中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點”，“第二次的點數(shù)小于5點”，“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（

）A．與不互斥且相互獨立 B．與互斥且不相互獨立C．與互斥且不相互獨立 D．與不互斥且相互獨立4．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（

）A．與互為對立 B．與互斥C．與相互獨立 D．與相互獨立1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）有6個大小相同的小球，其中1個黑色，2個藍色，3個紅色．采用放回方式從中隨機取2次球，每次取1個球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則（

）A．甲與乙相互獨立 B．甲與丙相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．乙與丁相互獨立2．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A，B，C是三個隨機事件，“A，B，C兩兩獨立”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，A表示事件“第一次向上一面的數(shù)字是1”，B表示事件“第二次向上一面的數(shù)字是2”，C表示事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是7”，D表示事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是8”，則（

）A．C與D相互獨立 B．A與D相互獨立C．B與D相互獨立 D．A與C相互獨立4．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）（多選）有4個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件D表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（

）A．A與B互斥 B．C與D對立C．B與C相互獨立 D．B與D相互獨立考點二、獨立事件的乘法公式1．（2023·全國·模擬預(yù)測）某老師為了獎勵考試成績優(yōu)異的同學(xué)，在微信群里發(fā)了一個拼手氣紅包.已知甲、乙、丙三人搶到的紅包金額超過1元的概率分別為，則這三人中至少有兩人搶到的紅包超過1元的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則甲獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）甲箱中有2個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機取兩個球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個球．假設(shè)事件“從乙箱中取出的兩球都是白球”，“從乙箱中取出的兩球都是黑球”，“從乙箱中取出的兩球一個是白球一個是黑球”，其對應(yīng)的概率分別為，，，則（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）對于一個事件E，用表示事件E中樣本點的個數(shù)．在一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D中，，，則（

）A．A與D不互斥 B．A與B互為對立 C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立6．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）若三個元件、、按照如圖的方式連接成一個系統(tǒng)，每個元件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)元件正常工作且、中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)就正常工作，若元件、正常工作的概率依次為、，且這個系統(tǒng)正常工作的概率為，則元件正常工作的概率為.7．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測），甲、丙兩位同學(xué)都答錯的概率是，乙、丙兩位同學(xué)都答對的概率是.若各同學(xué)答題正確與否互不影響.則甲、乙、丙三位同學(xué)中至少2位同學(xué)答對這道題的概率為.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.9．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．同時，在保持40個大項目不變的前提下，增設(shè)了電子競技項目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設(shè)最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制．假設(shè)四支隊伍分別為，其中對陣其他三個隊伍獲勝概率均為，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為．最初分組時同組，同組．(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？1．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知某口袋中放有大小、質(zhì)地完全相同的紅球和白球各若干個，若有放回地從口袋中每次摸取1個球，連續(xù)摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，則（

）A． B．C． D．，大小不確定2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在一段時間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率0.6，乙去參觀市博物館的概率為0.5，且甲乙兩人各自行動，則在這段時間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個去參觀博物館的概率是（

）3．（2023·河南·校聯(lián)考二模）某知識問答競賽需要三人組隊參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段，每個階段比賽中，如果一支隊伍中至少有一人通過，則這支隊伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊參加，若甲通過每個階段比賽的概率均為，乙通過每個階段比賽的概率均為，丙通過每個階段比賽的概率均為，且三人每次通過與否互不影響，則這支隊伍進入決賽的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）（多選）甲、乙兩人參加消防安全知識競賽活動．活動共設(shè)三輪，在每輪活動中，甲、乙各回答一題，若一方答對且另一方答錯，則答對的一方獲勝，否則本輪平局．已知每輪活動中，甲、乙答對的概率分別為和，且每輪活動中甲、乙答對與否互不影響，各輪活動也互不影響，則（

）．A．每輪活動中，甲獲勝的概率為B．每輪活動中，平局的概率為C．甲勝一輪乙勝兩輪的概率為D．甲至少獲勝兩輪的概率為5．（2023·貴州遵義·?？寄M預(yù)測）公司要求甲、乙、丙3個人在各自規(guī)定的時間內(nèi)完成布置的任務(wù)，已知甲、乙、丙在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)的概率分別為，，，則3個人中至少2人在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)的概率為．6．（2023·安徽合肥·二模）第十九屆亞洲運動會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行．為了讓更多的同學(xué)了解亞運會，學(xué)校團委舉行了“迎亞運，猜謎語”活動．甲、乙兩位同學(xué)組隊代表班級參加此次迷語競猜活動．比賽共兩輪，每人每輪各猜一個謎語．已知甲每輪猜對謎語的概率為，乙每輪猜對謎語的概率為，若甲、乙兩人每輪猜對謎語與否互不影響，前后兩輪猜對謎語結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在此次比賽中共猜對3個謎語的概率為．7．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·統(tǒng)考二模）甲、乙、丙三個學(xué)校進行籃球比賽，各出一個代表隊，簡稱甲隊、乙隊、丙隊．約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩個隊，另一隊輪空；每場比賽的勝隊與輪空隊進行下一場比賽，負(fù)隊下一場輪空，直至有一隊被淘汰；當(dāng)一隊被淘汰后，剩余的兩隊繼續(xù)比賽，直至其中一隊被淘汰，另一隊最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙兩隊首先比賽，丙隊輪空．設(shè)甲隊與乙隊每場比賽，甲隊獲勝概率為0.5，甲隊與丙隊每場比賽，甲隊獲勝概率為0.6，乙隊與丙隊每場比賽，乙隊獲勝概率為0.4．記事件A為甲隊輸，事件B為乙隊輸，事件C為丙隊輸，(1)寫出用A，B，C表示“乙隊連勝四場”的事件，并求其概率；(2)寫出用A，B，C表示“比賽四場結(jié)束”的事件，并求其概率；(3)求“需要進行第五場比賽”的概率．8．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進入淘汰賽的兩支球隊如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進行點球大戰(zhàn).點球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球為一輪,球員每罰進一球則為本方獲得1分,未罰進不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進也不能追上的時候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進而另一方未罰進的局面,則罰進的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊進入點球大戰(zhàn),由甲隊球員先罰球,甲隊每位球員罰進點球的概率均為,乙隊每位球員罰進點球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中,兩隊進球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.(1)求每一輪罰球中,甲、乙兩隊打成平局的概率;(2)若在點球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球員均未得分,甲隊暫時以2:0領(lǐng)先,求甲隊第5個球員需出場罰球的概率.考點三、條件概率的計算1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（

）A． B． C． D．2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A，B為互斥事件，事件C滿足：，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）算盤是我國一類重要的計算工具．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左前四位分別表示個位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，即五粒下珠的代表數(shù)值等于同組一粒上珠的代表數(shù)值，例如，個位撥動一粒上珠至梁上，十位未撥動，百位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字105．現(xiàn)將算盤的千位撥動一粒珠子至梁上，個位、十位、百位至多撥動一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動．設(shè)事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則（

）A． B． C． D．4．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第二高級中學(xué)?？级＃ǘ噙x）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機抽取道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023·廣東揭陽·惠來縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，：“甲分配到學(xué)校”；事件：“乙分配到學(xué)校”，則（

）A．事件與互斥 B．C．事件與相互獨立 D．6．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選）記A，B為隨機事件，下列說法正確的是（

）A．若事件A，B互斥，，，B．若事件A，B相互獨立，，，則C．若，，，則D．若，，，則7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）（多選）設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（

）A． B．C． D．8．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）1886年5月1日，芝加哥的二十一萬六千余名工人為爭取實行八小時工作制而舉行大罷工，經(jīng)過艱苦的流血斗爭，終于獲得了勝利.為紀(jì)念這次偉大的工人運動，1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會，會議上宣布將五月一日定為國際勞動節(jié).五一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是9．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知隨機事件A，B，，，，則.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，那么．1．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．兩兩不互斥 B．C．與B是相互獨立事件 D．2．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）某校團委組織“喜迎二十大、永遠跟黨走”主題征文比賽，評審結(jié)果顯示，獲得一、二、三等獎的征文數(shù)量之比為，男生的征文獲獎數(shù)量分別占一、二、三等獎?wù)魑目倲?shù)的，，.現(xiàn)從所有獲獎?wù)魑闹腥稳∫黄?，記“取出一等獎的征文”為事件，“取出男生的征文”為事件，“取出女生的征文”為事件，則（

）A． B． C． D．3．（2023秋·廣東佛山·高三佛山市順德區(qū)容山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)隨機安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運會跳高、跳遠、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項比賽，每項比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠比賽”，則（

）A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C為互斥事件C． D．4．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）設(shè)甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件A＝“從甲袋中任取1球是紅球”，記事件B＝“從乙袋中任取2球全是白球”，則（

）A．事件A與事件B相互獨立 B．C． D．5．（2023秋·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（多選）設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（

）A． B．C． D．6．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）一個袋子中有編號分別為的4個球，除編號外沒有其它差異.每次摸球后放回，從中任意摸球兩次，每次摸出一個球.設(shè)“第一次摸到的球的編號為2”為事件，“第二次摸到的球的編號為奇數(shù)”為事件，“兩次摸到的球的編號之和能被3整除”為事件，則下列說法正確的是（

）A． B．事件與事件相互獨立C． D．事件與事件互為對立事件7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）表示“政府推出購買電動汽車優(yōu)惠補貼政策”；事件表示“電動汽車銷量增加”，，.一般來說，推出購車優(yōu)惠補貼政策的情況下，電動汽車銷量增加的概率會比不推出優(yōu)惠補貼政策時增加的概率要大.基于以上情況，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．.8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┈F(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個人到九嶷山?陽明山?云冰山?舜皇山4處景點旅游，每人只去一處景點，設(shè)事件為“4個人去的景點各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則.9．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從裝有3個紅球和4個藍球的袋中，每次不放回地隨機摸出一球．記“第一次摸球時摸到紅球”為A，“第二次摸球時摸到藍球”為B，則．10．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知甲罐中有個紅球、個黑球，乙罐中有個紅球、個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則．考點四、全概率公式及應(yīng)用1．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某餐館在網(wǎng)站有200條評價，好評率為，在網(wǎng)站有100條評價，好評率為．綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，這家餐館的好評率為（

）A． B． C． D．2．（2023春·云南·高三階段練習(xí)）有張獎券，其中張可以中獎，現(xiàn)有個人從中不放回地依次各隨機抽取一張，設(shè)每張獎券被抽到的可能性相同，記事件“第個人抽中中獎券”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與互斥 B．C． D．3．（2023·河北衡水·河北棗強中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)甲乘汽車?動車前往某目的地的概率分別為，汽車和動車正點到達目的地的概率分別為，則甲正點到達目的地的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）有兩個書架，第一個書架上有4本語文書，6本數(shù)學(xué)書，第二個書架上有6本語文書，4本數(shù)學(xué)書．先從第一個書架上隨機取出一本書放到第二個書架上，分別以和表示從第一個書架上取出的書是語文書和數(shù)學(xué)書的事件；再從第二個書架上隨機取出一本書，以表示第二個書架上取出的書是語文書的事件，則（

）A．事件與事件相互獨立 B．C． D．5．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)一模）（多選）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，．隨機取一個零件，記“零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在某地A、B、CA、B、C三個縣區(qū)的人數(shù)比分別為4：3：3，先從這三個地區(qū)中任意選取一個人，這個人患流感的概率是.7．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得.現(xiàn)有抽獎人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機打開甲的選擇之外的一個空箱子.(1)計算主持人打開4號箱的概率；(2)當(dāng)主持人打開4號箱后，現(xiàn)在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選1號或3號箱？（以獲得獎品的概率最大為決策依據(jù)）8．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床所加工的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(3)參照第（2）問給出判斷，求第1，2，3臺車床操作員對加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.1．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機選取一箱，再從該箱中隨機取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎幪枮?，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，設(shè)事件為第一次取出的球為i號，事件為第二次取出的球為i號，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件與事件相互獨立 D．，，兩兩互斥4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考二模）（多選）甲箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，事件和分別表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，事件表示由乙箱取出的球是紅球，則（

）A．事件與事件相互獨立 B．C． D．5．（2023·吉林·吉林省實驗?？寄M預(yù)測）（多選）現(xiàn)有甲?乙兩個箱子，甲中有2個紅球，2個黑球，6個白球，乙中有5個紅球和4個白球，現(xiàn)從甲箱中取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是紅球，黑球和白球的事件，再從乙箱中隨機取出一球，則下列說法正確的是（

）A．兩兩互斥.B．根據(jù)上述抽法，從乙中取出的球是紅球的概率為.C．以表示由乙箱中取出的是紅球的事件，則.D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同時再從甲箱取出一球，則取出的兩球都是紅球的概率為.6．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）一位飛鏢運動員向一個目標(biāo)投擲三次，記事件“第次命中目標(biāo)”，，，，則.7．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）在二十大報告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強國是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的一個重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動，加強學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.8．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在問卷調(diào)查中，被采訪人有可能出于隱私保護而不愿意如實填寫問卷，導(dǎo)致調(diào)查數(shù)據(jù)失真.某校高三級調(diào)查學(xué)生對飯?zhí)梅?wù)滿意情況，為保護學(xué)生隱私并得到真實數(shù)據(jù)，采取如下“隨機化回答技術(shù)”進行問卷調(diào)查：一個袋子中裝有五個大小相同的小球，其中2個黑球，3個白球、高三級所有學(xué)生從袋子中有放回的隨機摸兩次球，每次摸出一球.約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式Ⅰ回答問卷，若相同則按方式Ⅱ回答問卷”.方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，則在問卷中答“是”，否則答“否”；方式Ⅱ：若學(xué)生對飯?zhí)梅?wù)滿意，則在問卷中答“是”，否則答“否”.當(dāng)所有學(xué)生完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計答“是”，答“否”的比例，用頻率估計概率，由所學(xué)概率知識即可求得該校高三級學(xué)生對飯?zhí)梅?wù)滿意度的估計值.(1)若某班有50名學(xué)生，用X表示其中按方式Ⅰ回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)若該年級的所有調(diào)查問卷中，答“是”與答“否”的比例為，試估計該年級學(xué)生對飯?zhí)玫臐M意度.（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）考點五、貝葉斯概率公式及應(yīng)用1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“狼來了”的故事大家小時候應(yīng)該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預(yù)測）甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．事件與事件B相互獨立C． D．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件相互獨立 B．C． D．4．（2023秋·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率為．1．（2023·湖北武漢·湖北省武昌實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為（

）2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（

）A．在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為B．第二次抽到3號球的概率為C．如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內(nèi)，每個盒子至少放1個，則不同的放法有300種3．（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）學(xué)校給每位教師隨機發(fā)了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數(shù)的40％，次品率為5％，第2份占總數(shù)的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機拿了一個發(fā)現(xiàn)是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為．4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某考生回答一道有4個選項的選擇題，設(shè)會答該題的概率是，并且會答時一定能答對，若不會答，則在4個答案中任選1個.已知該考生回答正確，則他確實會答該題的概率是.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校對高三男生進行體能抽測，每人測試三個項目，1000米為必測項目，再從“引體向上，仰臥起坐，立定跳遠”中隨機抽取兩項進行測試，則某班參加測試的5位男生測試項目恰好相同的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號0和1是等可能的，則接受信號為1的概率為（

）3．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）一個不透明的袋中裝有4個紅球，4個黑球，2個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機抽取3個球，事件A：“這3個球的顏色各不相同”，事件B：“這3個球中至少有1個黑球”，則（

）A． B． C． D．4．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有甲?乙?丙三個工廠加工的同種產(chǎn)品各100件，按標(biāo)準(zhǔn)分為一?二兩個等級?其中甲?乙?丙三個工廠的一等品各有60件?70件?80件.從這300件產(chǎn)品中任選一件產(chǎn)品，則下列說法錯誤的是（

）A．選中的產(chǎn)品是甲廠的一等品與選中的產(chǎn)品是乙廠的二等品互斥B．選中的產(chǎn)品是一等品的概率為C．選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的二等品的概率為D．選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品與選中的產(chǎn)品是二等品相互獨立5．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測）某人周一至周五每天6：30至6：50出發(fā)去上班，其中在6：30至6：40出發(fā)的概率為0.4，在該時間段出發(fā)上班遲到的概率為0.1；在6：40至6：50出發(fā)的概率為0.6，在該時間段出發(fā)上班遲到的概率為0.2，則小王某天在6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為（

）6．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風(fēng)的概率為0.4，既發(fā)生中度霧霾又刮四級以上大風(fēng)的概率為0.2，則在刮四級以上大風(fēng)的情況下，發(fā)生中度霧霾的概率為（

）二、填空題7．（2023·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┠硨W(xué)習(xí)小組共有11名成員，其中有6名女生，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，隨機從這11名成員中抽選2名任小組組長，協(xié)助老師了解情況，表示“抽到的2名成員都是女生”，表示“抽到的2名成員性別相同”，則.8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，.則謎題被破解的概率為.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知某產(chǎn)品的一類部件由供應(yīng)商和提供，占比分別為和，供應(yīng)商提供的部件的良品率為，若該部件的總體良品率為，則供應(yīng)商提供的部件的良品率為．10．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）從1，2，3，4，5，6，7中任取兩個不同的數(shù)，事件為“取到的兩個數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則．11．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）“五一”假期期間，小明和小紅兩位同學(xué)計劃去四川省圖書館與老師探討作業(yè)試卷上的圓錐曲線大題.如圖，小紅在街道處，小明在街道處，四川省圖書館位于處.二人均選擇最短路線并約定在天府廣場匯合，記事件：小紅經(jīng)過，事件：小紅經(jīng)過，則.三、解答題12．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）某批規(guī)格相同的產(chǎn)品由甲、乙、丙三個工廠共同生產(chǎn)，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為2%，乙廠和丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率均為4%，三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品混放在一起，已知甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的40%，40%，20%.(1)任選一件產(chǎn)品，計算它是次品的概率；(2)如果取到的產(chǎn)品是次品，分別計算此次品出自甲廠、乙廠和丙廠的概率.13．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結(jié)束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結(jié)束）.(1)若選擇方案一，求甲獲勝的概率；(2)用拋擲骰子的方式?jīng)Q定比賽方案，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點數(shù)，若“兩枚骰子向上的點數(shù)之和不大于6”則選擇方案一；否則選擇方案二.判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說明理由.四、雙空題14．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測），第一次沒有摸到紅球且第二次摸到紅球的概率是.15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點，且，，，則A，B，C三個事件（填“是”或“不是”）兩兩獨立，且.【能力提升】一、單選題1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）用五個數(shù)字排成一個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，設(shè)事件{數(shù)字在的左邊}，事件{與相鄰}，則等于（

）A． B． C． D．2．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）根據(jù)某機構(gòu)對失蹤飛機的調(diào)查得知：失蹤的飛機中有70%的后來被找到，在被找到的飛機中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發(fā)送信號，讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，則它被找到的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）籃球隊的5名隊員進行傳球訓(xùn)練，每位隊員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年3月24日是第28個“世界防治結(jié)核病日”，我國的宣傳主題是“你我共同努力，終結(jié)結(jié)核流行”，呼吁社會各界廣泛參與，共同終結(jié)結(jié)核流行，維護人民群眾的身體健康.已知某種傳染疾病的患病率為5%通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者中有2%的人診斷為陰性.隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結(jié)果為陽性的概率為（

）5．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知顏色分別是紅、綠、黃的三個大小相同的口袋，紅色口袋內(nèi)裝有兩個紅球，一個綠球和一個黃球；綠色口袋內(nèi)裝有兩個紅球，一個黃球；黃色口袋內(nèi)裝有三個紅球，兩個綠球（球的大小質(zhì)地相同）．若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機抽取1個球，然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi)，第二次從該口袋內(nèi)任取一個球，則第二次取到黃球的概率為（

）A． B． C． D．6．（2023·河南·統(tǒng)考三模）設(shè)，是兩個隨機事件，且發(fā)生必定發(fā)生，，，給出下列各式，其中正確的是（

）A． B．C． D．7．（2023春·遼寧·高三遼師大附中?？茧A段練習(xí)）已知事件A、B滿足，，則（

）A． B．C．事件相互獨立 D．事件互斥二、多選題8．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)校考一模）紅、黃、藍被稱為三原色，選取其中任意幾種顏色調(diào)配，可以調(diào)配出其他顏色，已知同一種顏色混合顏色不變，等量的紅色加黃色調(diào)配出橙色；等量的紅色加藍色調(diào)配出紫色；等量的黃色加藍色調(diào)配出綠色.現(xiàn)有紅、黃、藍顏料各兩瓶，甲從六瓶顏料中任取兩瓶，乙再從余下四瓶顏料中任取兩瓶，兩人分別進行等量調(diào)配，表示事件“甲調(diào)配出紅色”；表示事件“甲調(diào)配出綠色”；表示事件“乙調(diào)配出紫色”，則下列說法正確的是（

）A．事件與事件是獨立事件 B．事件與事件是互斥事件C． D．9．（2023春·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)M=“該家庭中有男孩、又有女孩”，N=“該家庭中最多有一個女孩”，則下列結(jié)論正確的是()A．若該家庭中有兩個小孩，則M與N互斥B．若該家庭中有兩個小孩，則M與N不相互獨立C．若該家庭中有三個小孩，則M與N不互斥D．若該家庭中有三個小孩，則M與N相互獨立10．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）已知A，B為兩個隨機事件，且，，則（

）A．B．若A，B為互斥事件，則C．若，則A，B為相互獨立事件D．若A，B為相互獨立事件，則三、填空題11．（2023·福建福州·校考模擬預(yù)測）在排球比賽的小組循環(huán)賽中，每場比賽采用五局三勝制．甲、乙兩隊小組賽中相見，積分規(guī)則如下：以或獲勝的球隊積3分，落敗的球隊積0分；以獲勝的球隊積2分，落敗的球隊積1分．若甲隊每局比賽獲勝的概率為0.6，則在甲隊本場比賽所得積分為3分的條件下，甲隊前2局比賽都獲勝的概率是．(用分?jǐn)?shù)表示)12．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）有甲、乙、丙三個開關(guān)和A，B，C三盞燈，各開關(guān)對燈的控制互不影響．當(dāng)甲閉合時A，B亮，當(dāng)乙閉合時B，C亮，當(dāng)丙閉合時A，C亮．若甲、乙、丙閉合的概率分別為，，，且相互獨立，則在A亮的條件下，B也亮的概率為．13．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有甲、乙兩個口袋，其中甲口袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球；乙口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球，一個3號球．第一次從甲口袋中任取1個球，將取出的球放入乙口袋中，第二次從乙口袋中任取一個球，則第二次取到2號球的概率為．14．（2023·江蘇南京·校考二模）某企業(yè)的一批產(chǎn)品由一等品零件、二等品零件混裝而成，每包產(chǎn)品均含有10個零件．小張到該企業(yè)采購，利用如下方法進行抽檢：從該企業(yè)產(chǎn)品中隨機抽取1包產(chǎn)品，再從該包產(chǎn)品中隨機抽取4個零件，若抽取的零件都是一等品，則決定采購該企業(yè)產(chǎn)品；否則，拒絕采購．假設(shè)該企業(yè)這批產(chǎn)品中，每包產(chǎn)品均含1個或2個二等品零件，其中含2個二等品零件的包數(shù)占，則小張決定采購該企業(yè)產(chǎn)品的概率為．四、解答題15．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有四關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項，參加活動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)?第三關(guān)的通過率均為0.5，第四關(guān)的通過率為0.3，四關(guān)全部通過可以獲得一等獎（獎金為500元），通過前三關(guān)就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，獎金可以累加.假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨立，現(xiàn)有甲?乙兩位選手參加本次活動.(1)求甲最后沒有得獎的概率；(2)已知甲和乙都通過了前兩關(guān)，求甲和乙最后所得獎金總和為900元的概率.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結(jié)束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個選擇題的概率.17．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預(yù)測）（先驗概率）.(1)求首次試驗結(jié)束的概率；(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行調(diào)整.①求選到的袋子為甲袋的概率，②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進行第二次試驗時有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結(jié)束的概率更大.18．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某校舉行“強基計劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評，要求以班級為單位參賽，最終高三一班（45人）和高三二班（30人）進入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4個選擇題和2個填空題，乙箱中有3個選擇題和3個填空題，決賽由兩個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級每位同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答，作答后放回原箱．并分別統(tǒng)計兩班級學(xué)生測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長王剛和二班班長