浙江省瑞安市四校2023-2024學年高三第三次測評數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．2．設為的兩個零點，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．體育教師指導4個學生訓練轉身動作，預備時，4個學生全部面朝正南方向站成一排.訓練時，每次都讓3個學生“向后轉”，若4個學生全部轉到面朝正北方向，則至少需要“向后轉”的次數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．65．設函數(shù)的定義域為，命題：，的否定是（）A．， B．，C．， D．，6．的內(nèi)角的對邊分別為，若，則內(nèi)角（）A． B． C． D．7．設集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)是（）A． B． C． D．9．若函數(shù)在處取得極值2，則（）A．-3 B．3 C．-2 D．210．拋物線方程為，一直線與拋物線交于兩點，其弦的中點坐標為，則直線的方程為（）A． B． C． D．11．半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形為面的半正多面體.如圖所示，圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形，粗線部分是某二十四等邊體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．雙曲線C：（，）的離心率是3，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（）A．3 B． C．6 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．14．設實數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則實數(shù)的最大值為______.15．若的展開式中所有項的系數(shù)之和為，則______，含項的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.16．已知實數(shù)滿約束條件，則的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.19．（12分）設為等差數(shù)列的前項和，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個，求正實數(shù)的取值范圍．20．（12分）設函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點；（2）在上恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式：；（2）求證：．22．（10分）已知，.（1）當時，證明：；（2）設直線是函數(shù)在點處的切線，若直線也與相切，求正整數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故選D.2、A【解析】

先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個零點，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題．3、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當最小時，，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結合可得的取值范圍為．故選：A.【點睛】該題考查的是有關函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題目.4、B【解析】

通過列舉法，列舉出同學的朝向，然后即可求出需要向后轉的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)第1次“向后轉”第2次“向后轉”第3次“向后轉”第4次“向后轉”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選：B.【點睛】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎題.5、D【解析】

根據(jù)命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因為：，是全稱命題，所以其否定是特稱命題，即，.故選：D【點睛】本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.6、C【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關鍵．7、C【解析】

作出韋恩圖，數(shù)形結合，即可得出結論.【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關系及充要條件，注意數(shù)形結合方法的應用，屬于基礎題.8、B【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算法則和共軛復數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法的運算法則，考查了復數(shù)的共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題.9、A【解析】

對函數(shù)求導,可得,即可求出,進而可求出答案.【詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)的導數(shù)與極值,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.10、A【解析】

設，，利用點差法得到，所以直線的斜率為2，又過點，再利用點斜式即可得到直線的方程.【詳解】解：設，∴，又，兩式相減得：，∴，∴，∴直線的斜率為2，又∴過點，∴直線的方程為：，即，故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線相交的中點弦問題，解題方法是“點差法”，即設出弦的兩端點坐標，代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點坐標建立關系．11、D【解析】

根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示，求出該幾何體的棱長，可以將該幾何體看作是相應的正方體沿各棱的中點截去8個三棱錐所得到的，可求出其體積.【詳解】如下圖所示，將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中，由三視圖可知，該幾何體的棱長為，它是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，該幾何體的體積為，故選：D.【點睛】本題考查三視圖，幾何體的體積，對于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點得到，屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離，可得，然后根據(jù)，可得結果.【詳解】由題可知：雙曲線的漸近線方程為取右焦點，一條漸近線則點到的距離為，由所以，則又所以所以焦距為：故選：A【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程，以及之間的關系，識記常用的結論：焦點到漸近線的距離為，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20.2【解析】

分別求出隨機變量ξ1和ξ2的分布列，根據(jù)期望和方差公式計算得解.【詳解】設a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【點睛】此題考查隨機變量及其分布，關鍵在于準確求出隨機變量取值的概率，根據(jù)公式準確計算期望和方差.14、【解析】

根據(jù)，則當時，，即.當時，顯然成立；當時，由，轉化為，令，用導數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因為，又當時，，即.當時，顯然成立；當時，由等價于，令，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，，則，又，得，因此的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.15、【解析】的展開式中所有項的系數(shù)之和為，，，項的系數(shù)是，故答案為（1），（2）.16、8【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移計算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件，畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.又目標函數(shù)表示直線在軸上的截距，由圖可知當經(jīng)過點時截距最大，故的最大值為8.故答案為：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進而可推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論；（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，在中，，，，、、、，設平面的一個法向量，，，由，得，令，則，，.設平面的一個法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為，求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析：（I）當時，化為，當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為．由題設得，故．所以a的取值范圍為19、（1）；（2）．【解析】

（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得出關于和的方程組，解出這兩個量的值，然后利用等差數(shù)列的通項公式可得出數(shù)列的通項公式；（2）求出，可得出，可知當為奇數(shù)時不等式不成立，只考慮為偶數(shù)的情況，利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷數(shù)列中偶數(shù)項構成的數(shù)列的單調(diào)性，由此能求出正實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，整理得，解得，，因此，；（2），滿足不等式的正整數(shù)恰有個，得，由于，若為奇數(shù)，則不等式不可能成立.只考慮為偶數(shù)的情況，令，則，．.當時，，則；當時，，則；當時，，則.所以，，又，，，，.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查正實數(shù)的取值范圍的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先利用導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點；（2）由題意可將轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當時，，，這時，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當時，.綜上，當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點.（2），由，所以恒成立，若，則，設，.故當時，，又，所以當時，，滿足題意；當時，有，與條件矛盾，舍去；當時，令，則，又，故在區(qū)間上有無窮多個零點，設最小的零點為，則當時，，因此在上單調(diào)遞增.，所以.于是，當時，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式的應用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應用，難度較大，意在考查學生的數(shù)學建模能力，數(shù)學運算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．21、（1）；（2）見解析