2023-2024學(xué)年信陽(yáng)市光山縣高一數(shù)學(xué)（下）期中考試卷（分值：150分時(shí)間：150分鐘）2024年4月一、單選題：本題共8道小題，每一題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)滿足，則的模等于（

）A． B．0 C．1 D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．若，則的最小值是（

）A．2 B．a(chǎn) C．3 D．44．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE＝CD，若點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，且，則（

）A．3B．C．2 D．15．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上是減函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．或6．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．78．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有8個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題：本題3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.9．用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱柱，可以得到的幾何體是（

）A．四棱臺(tái) B．四棱柱 C．三棱柱 D．三棱錐10．已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為1B．若，則C．若，與垂直的單位向量只能為D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為11．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．是函數(shù)的一個(gè)周期B．是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸C．函數(shù)的最大值為，最小值為D．函數(shù)在上單調(diào)遞減三、填空題：本題共3道小題，每小題5分，共15分12．如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)直三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，且底面是正三角形，如果三棱柱的體積，圓柱的底面直徑與母線長(zhǎng)相等，則圓柱的側(cè)面積為13．設(shè)向量、滿足，，且，則向量在向量方向上的投影向量是.14．設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足關(guān)系式，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答瑩寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．一個(gè)幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示．（1）求此幾何體的表面積；（2）如果點(diǎn)在直觀圖中所示位置，為所在母線中點(diǎn)，為母線與底面圓的交點(diǎn)，求在幾何體表面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)．16．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，面積為2，求．17．已知向量滿足.(1)求向量的夾角；(2)求向量與的夾角的余弦值.18．如圖，在中，已知，，為銳角，是線段的中點(diǎn)，在線段上，且，，相交于點(diǎn)，的面積為．

(1)求的長(zhǎng)度；(2)求的余弦值．19．某公園擬對(duì)一扇形區(qū)域進(jìn)行改造，如圖所示，平行四邊形為休閑區(qū)域，陰影部分為綠化區(qū)，點(diǎn)在弧上，點(diǎn)，分別在，上，且米，，設(shè).

(1)請(qǐng)求出顧客的休息區(qū)域的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，最大值為多少平方米？(2)設(shè)，求的取值范圍.1．C【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)的模，得到答案.【詳解】由，可得，所以.故選：C.2．B【分析】判斷出，，，即可求解.【詳解】，故；，故，故.故選：B.3．C【解析】由，根據(jù)基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.4．B【分析】以向量為基底，將分別表示出來(lái)，可得到關(guān)于的方程，即可求出和.【詳解】由題知,,,，,,解得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算、向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.5．C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念得即或，再根據(jù)性質(zhì)可得時(shí)符合題意.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，得或，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞減，滿足題意，故選：C6．C【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.7．D【分析】如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，所以，，，分別表示出，，再由向量的模長(zhǎng)公式代入即可得出答案.【詳解】如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，因?yàn)?，，所以，，，所以，，，所以，所以，所以?dāng)，即時(shí)，的最小值為7，故選：D．8．A【分析】利用十字相乘法法進(jìn)行因式分解，然后利用換元法，作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合判斷根的個(gè)數(shù)即可，【詳解】

由得則或，作出的圖象如圖，則若，則或，設(shè)，由得，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)根，則必須有，有5個(gè)根，設(shè)，由得，若，由得，或，有一個(gè)根，有兩個(gè)根，此時(shí)有3個(gè)根，不滿足條件．若，由得，有一個(gè)根，不滿足條件．若，由得，有一個(gè)根，不滿足條件．若，由得，或或，，當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)根，此時(shí)有個(gè)根，滿足條件．故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合以及利用分類(lèi)討論的思想是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，難度較大．已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．9．BCD【分析】根據(jù)棱柱，棱錐和棱臺(tái)的定義結(jié)合圖形分析判斷即可【詳解】如圖三棱柱，連接，則可得平面截三棱柱，得到一個(gè)三棱錐，所以D正確，若用一個(gè)平行于平面的平面去截三棱柱，如圖平面，則得到一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱柱，所以BC正確，因?yàn)樗睦馀_(tái)的上下底面要平行，所以要得到四棱臺(tái)，則截面要與三棱柱的上下底面相交，而四棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交與一點(diǎn)，棱柱的側(cè)棱是相互平行的，所以用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱柱，不可能得到一個(gè)四棱臺(tái)，所以A錯(cuò)誤，故選：BCD10．AB【分析】對(duì)A：根據(jù)模的運(yùn)算公式代入計(jì)算，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對(duì)B：利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可判斷；對(duì)C：舉反例即可判斷；對(duì)D：根據(jù)向量夾角是鈍角，得到且向量與向量不反向共線，即可判斷．【詳解】對(duì)A：，則當(dāng)時(shí)，取最小值1，故A正確；對(duì)B：若，則，解得，故B正確；對(duì)C：若,，易知也是與垂直的單位向量，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若與的夾角為鈍角，則，且向量與向量不反向共線，即，解得且，故D錯(cuò)誤；故選：AB．11．ABC【分析】利用函數(shù)周期性及對(duì)稱(chēng)性的定義可得A、B，使用換元法，令，可得，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得C、D.【詳解】對(duì)A：，故是函數(shù)的一個(gè)周期，故A正確；對(duì)B：，故是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，故B正確；對(duì)C、D：令，有，因?yàn)?，所以，則，由，則函數(shù)的最大值為，最小值為，故C正確；函數(shù)由和復(fù)合而成，函數(shù)在上先增后減，在上遞減，且，則函數(shù)在上不是單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．【分析】先根據(jù)三棱柱的體積求圓柱的底面半徑與母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓柱的側(cè)面積求結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為母線為，則底面正三角形邊長(zhǎng)為由三棱柱的體積得，因此圓柱的側(cè)面積為【點(diǎn)睛】若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．關(guān)鍵是求出高.13．【分析】利用投影向量的公式，即可求解.【詳解】向量、滿足，，且，則向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：.14．【分析】由題意將已知中的向量都用為起點(diǎn)來(lái)表示，從而得到，分別取的中點(diǎn)為，可得，利用平面知識(shí)可得S△AOB與S△AOC及S△BOC與S△ABC的關(guān)系，可得所求.【詳解】∵，∴，∴，分別取的中點(diǎn)為，∴，∴；；.∴故答案為：．15．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)幾何體的組成，應(yīng)用圓錐、圓柱側(cè)面積及底面積的求法，求幾何體的表面積.（2）將所在的平面，延兩點(diǎn)所在的母線剪開(kāi)平展，應(yīng)用平面圖形的性質(zhì)及勾股定理求到的最短路徑長(zhǎng)．【詳解】（1）由題設(shè)，此幾何體是一個(gè)圓錐加一個(gè)圓柱，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積與圓柱的一個(gè)底面積之和．圓錐側(cè)面積；圓柱側(cè)面積；圓柱底面積，∴幾何體表面積為．（2）沿點(diǎn)與點(diǎn)所在母線剪開(kāi)圓柱側(cè)面，展開(kāi)如圖．則．∴、兩點(diǎn)間在側(cè)面上的最短路徑長(zhǎng)為．16．（1）；（2）2．【詳解】試題分析：（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理即可求出.試題解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．17．(1)(2)【分析】（1）將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案；（2）求出向量與的數(shù)量積，求得的模，根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】（1）由，得，即，故，則，而，所以；（2），，所以.18．(1)(2)．【分析】（1）由面積公式求出，依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得；（2）用、表示，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)樵诰€段上，且，所以，所以，所以，即.（2）因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以的余弦值為．19．(1)，時(shí)，；(2).【分析】（1）由正弦定理、三角形面積公式以及三角恒等變換可得