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文檔簡介

旋度與散度的區(qū)別

一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)，而一個矢量場的散度是一個標量函數(shù)；旋度描述的是矢量場中各點的場量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場中各點的場量與通量源的關(guān)系；如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）；在旋度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對與其垂直方向的坐標變量求偏導數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；在散度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對x、y、z求偏導數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。

旋度與散度的區(qū)別因為旋度代表單位面積的環(huán)量,因此矢量場在閉曲線l上的環(huán)量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和,即此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分,或反之。邊條件決定場點，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度。任何旋度場一定是無散場任一矢量場A的旋度的散度一定等于零

柱坐標中矢量A的散度和旋度

為了對矢量函數(shù)求導,一個常用的公式是球坐標中矢量A的散度和旋度將散度定理中矢量A表示為某標量函數(shù)的梯度ψ與另一標量函數(shù)φ的乘積,則有取上式在體積V內(nèi)的積分,并應用散度定理,得(1)沿n方向的方向?qū)?shù)格林(G.Green)第一恒等式

Green’sfirstidentity

把式中的φ與ψ交換位置,

格林第二恒等式

Green’sfirstidentity

(1)(2)兩式相減得(1)矢量格林定理矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以將體積V中場的求解問題變換為邊界S上場的求解問題。如果已知其中一個場的分布特性,便可利用格林定理求解另一場的分布特性。亥姆霍茲定理的簡化表述如下:若矢量場F在無限空間中處處單值,且其導數(shù)連續(xù)有界,而源分布在有限區(qū)域中,則矢量場由其散度和旋度唯一地確定。并且,它可表示為一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和,即如果，則稱矢量場F為無旋場。無旋場F可以表示為另一個標量場的梯度，即函數(shù)u稱為無旋場F的標量位函數(shù)，簡稱標量位。

無旋場F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即這一

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