圓錐曲線中的定點、定直線問題（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新Ⅱ卷，第21題,12分雙曲線中的定直線問題直線的點斜式方程及辨析根據a、b、c求雙曲線的標準方程2023年全國乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的定點問題根據離心率求橢圓的標準方程2022年全國乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的直線過定點問題根據圓過的點求標準方程2021年新Ⅱ卷，第20題,12分橢圓中的直線過定點問題根據離心率求橢圓的標準方程求橢圓中的弦長根據弦長求參數(shù)2023年全國甲卷（理科），第20題,12分橢圓中的直線過定點問題無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的常考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的定點問題及其相關計算2.理解、掌握圓錐曲線的定直線問題及其相關計算【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的?？純热?，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算，需強化訓練復習考點一、橢圓中的定點、定直線問題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據題意列式求解，進而可得結果；（2）設直線的方程，進而可求點的坐標，結合韋達定理驗證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結論．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點代入設出的方程求解即可；（2）設出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設.聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.3．（全國·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標為，同理可得點的坐標為，當時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當時，直線：，直線過點，命題得證.【詳解】（1）依據題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設而求點法證明：設，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或將代入直線可得：所以點的坐標為.同理可得：點的坐標為當時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結合設，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經過直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個點滿足上述方程，同時A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過點．【整體點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質及方程思想，還考查了計算能力及轉化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對運算能力要求嚴格；方法二曲線系的應用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結合的思想，二次曲線系的應用使得計算更為簡單.4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進而可得，即可得解；（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結合弦長公式可得，進而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當直線的斜率存在時，設，必要性：若M，N，F(xiàn)三點共線，可設直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應用，注意運算的準確性是解題的重中之重.5．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學?？寄M預測）已知橢圓右焦點分別為，是上一點，點與關于原點對稱，的面積為.(1)求的標準方程；(2)直線，且交于點，，直線與交于點.證明：①直線與的斜率乘積為定值；②點在定直線上.【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）設為，根據，解得；點在曲線上，可得，解得，，即可得出橢圓的標準方程．（2）①設，，直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，，利用斜率計算公式、根與系數(shù)的關系即可得出為定值．②直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線方程，，化簡結合根與系數(shù)的關系可得為定值．【詳解】（1）設為，，則，即，又點在曲線上，∴，將代入，整理得，，解得，，∴橢圓的標準方程為.（2）①設，，直線方程為：，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，當，即且時，，，∴，，∴，.②直線方程為：，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線方程得，∴，，∴.∴，即點在定直線上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.1．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知和是橢圓的左、右頂點，直線與橢圓相交于M，N兩點，直線不經過坐標原點，且不與坐標軸平行，直線與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線OM與橢圓的另外一個交點為，直線與直線相交于點，直線PO與直線相交于點，證明：點在一條定直線上，并求出該定直線的方程．【答案】(1)(2)證明見解析，定直線為【分析】（1）設，，依題意可得，進而結合可得，從而求解；（2）設直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程，結合韋達定理可得，，結合三點共線可得，，進而得到，進而得到直線OP的方程，進而聯(lián)立直線OP與直線的方程即可求解.【詳解】（1）設，，所以，即，由題意知，所以，所以，則橢圓的標準方程為．（2）證明：設直線的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程，得，所以，則，由根與系數(shù)的關系，得，，設，由P，S，三點共線，得，由P，N，三點共線，得，則．所以直線OP的斜率為，則直線OP的方程為，聯(lián)立直線OP與直線的方程，可得，解得，所以點在一條定直線上，該定直線的方程為．2．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）先根據直線是拋物線的一條切線，求出的值，再由橢圓離心率為，求出的值，則橢圓方程可得．（2）先假設存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點，再用垂直時，向量，的數(shù)量積為0，得到關于直線斜率的方程，求，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．【詳解】（1）由得直線是拋物線的一條切線．所以，所以橢圓（2）

當直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為當直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．證明如下．當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點當直線與軸不垂直時，可設直線為：由得，設，則則所以，即以為直徑的圓過點所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知結論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）設橢圓的半焦距為，再分圓在橢圓的內部和外部兩種情況分別求解即可；（2）由題意橢圓的方程為，再設，得出切線的方程，將代入可得的坐標都滿足方程即可得定點.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為．當圓在橢圓的內部時，，橢圓的方程為．當圓在橢圓的外部時，，橢圓的方程為．（2）證明：設．因為橢圓的短軸長小于4，所以的方程為．則由已知可得，切線的方程為的方程為，將代入的方程整理可得，．顯然的坐標都滿足方程，故直線的方程為，令，可得，即直線過定點．4．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┮阎獧E圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意得，再結合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設，，，，設的方程為，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，由可得，再結合前面的式子化簡可求出關于的方程，從而可證得結論.【詳解】（1）由題意可知，因為，所以解得，．所以所求橢圓的方程為（2）設，，，，直線的斜率顯然存在，設為，則的方程為．因為，，，四點共線，不妨設，則，，，，由，可得，化簡得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達定理，得，．代入（*）化簡得，即．又，代入上式，得，化簡得．所以點總在一條定直線上．【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是設出直線的方程，利用弦長公式表示出，代入化簡，再將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，幾個式子相結合可證得結論.5．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設橢圓C：的左、右頂點分別為A、B，且焦距為2．點P在橢圓上且異于A、B兩點．若直線PA與PB的斜率之積為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點作不與軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點，直線m的方程為：，過點M作垂直于直線，交于點E．判斷直線是否過定點，并說明理由．【答案】(1)(2)過定點，理由見解析【分析】（1）由焦距為2，直線PA與PB的斜率之積為，列方程求出，可得橢圓C的標準方程；（2）設的直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，結合韋達定理表示出直線，令可求得直線所過的定點.【詳解】（1）由題意有，，設，，化簡得,結合，可得，由橢圓焦距為2，有，得，，橢圓C的標準方程為；（2）設直線方程：，，，，聯(lián)立方程，得，所以，，所以，又，所以直線方程為：，令，則．所以直線過定點.【點睛】方法點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．要強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．考點二、雙曲線中的定點、定直線問題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點在定直線上.【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設，顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據此可得點在定直線上運動.【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過雙曲線的右焦點作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點分別為、，那么直線是否過定點?若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標.【答案】(1)(2)直線過定點【分析】（1）根據焦點到漸近線距離及漸近線方程列方程組，解方程；（2）設直線、方程，分別聯(lián)立直線與雙曲線，結合根與系數(shù)關系得、坐標，寫出直線方程，可得直線過定點.【詳解】（1）設雙曲線的焦點坐標為，依題意漸近線方程為，即，有，解得，；（2）由（1）可知右焦點，設直線：，，，由聯(lián)立直線與雙曲線，化簡得，，故，，，又，則，同理可得：，，化簡得，故直線過定點.【點睛】(1)解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．1．（2023·山西運城·山西省運城中學校?？级＃┮阎c為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.【答案】(1)(2)證明見解析，定點為.【分析】（1）由點到直線的距離公式求出，再將點代入雙曲線方程求出，可得雙曲線的標準方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理得、，再根據斜率和為列式，推出，從而可得直線過定點.【詳解】（1）設到漸近線，即的距離為，則，結合得，又在雙曲線上，所以，得，所以雙曲線的標準方程為.（2）聯(lián)立，消去并整理得，則，，即，設，，則，，則，所以，所以，所以，整理得，所以，所以，因為直線不過，即，，所以，即，所以直線，即過定點.【點睛】關鍵點點睛：利用韋達定理和斜率公式推出是解題關鍵.2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，且雙曲線經過點．(1)求雙曲線的方程；(2)過點作動直線，與雙曲線的左、右支分別交于點、，在線段上取異于點、的點，滿足，求證：點恒在一條定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出的值，利用雙曲線的定義可求得的值，再根據可求得的值，即可得出雙曲線的方程；（2）設點、、，設，可得出，根據向量的坐標運算結合化簡可得出關于、所滿足的一元二次方程，即可證得結論.【詳解】（1）解：因為，則，由雙曲線的定義可得，所以，，則，因此，雙曲線的方程為.（2）證明：設點、、，則，可得，設，則，其中，即，整理可得，所以，，，將代入可得，將代入可得，即，所以，點恒在直線上.【點睛】關鍵點點睛：本題考查點在直線的證明，解題的關鍵在于引入參數(shù)使得，將問題轉化為向量的坐標運算來處理，然后通過不斷消元來得出定直線的方程，從而達到證明結論的目的.考點三、拋物線中的定點、定直線問題1．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知拋物線：過點．(1)求拋物線的方程；(2)，是拋物線上的兩個動點，直線的斜率與直線的斜率之和為4，證明：直線恒過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將代入拋物線方程求解即可；（2）設：，再聯(lián)立拋物線方程，設，，再根據直線的斜率與直線的斜率之和為4，結合韋達定理求解即可.【詳解】（1）坐標代入拋物線方程得，解得，∴拋物線方程為．（2）證明：顯然直線斜率不為0，故可設：，將的方程與聯(lián)立得，設，，則，，所以，，同理：，由題意：，∴，∴，即，代入直線得，故直線恒過定點．2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）過拋物線內部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為32(1)求拋物線的方程；(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）設直線，聯(lián)立方程組求得，利用弦長公式，分別求得，得到，結合基本不等式，即可求解；（2）由和共線，得到，，又由和共線，得到和，進而得到，即可求解.【詳解】（1）解：設，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，同理可得，所以，當且僅當時取等號，所以，所以拋物線的方程為.（2）解：當為時，，由共線，可得，可得

①，同理由共線

②又由共線，可得，所以

③同理由共線，可得

④由①③得，即

⑤又由②④得，即

⑥由⑤⑥得，即，即，所以在上.1．（2023·山東·山東省實驗中學校考二模）已知拋物線，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當?shù)男甭蕿闀r，．(1)求的標準方程；(2)設為直線與的交點，證明：點在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當直線的斜率為時，寫出直線的方程，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可得出關于的方程，結合可求出的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）分析可知直線、都不與軸重合，設直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，設、，由韋達定理可得，同理可得出，寫出直線、的方程，求出這兩條直線的交點的橫坐標，即可證得結論成立.【詳解】（1）解：當直線的斜率為時，直線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，，因為，可得，由韋達定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，拋物線的方程為.（2）證明：當直線與軸重合時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，設直線的方程為，聯(lián)立可得，則可得，設點、，由韋達定理可得，設直線的方程為，設點、，同理可得，直線的方程為，即，化簡可得，同理可知，直線的方程為，因為點在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點的橫坐標為定值即可，由，消去，因為直線與相交，則，解得，所以，點的橫坐標為，因此，直線與的交點必在定直線上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.2．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預測）設拋物線：（）的焦點為，點的坐標為.已知點是拋物線上的動點，的最小值為4.(1)求拋物線的方程：(2)若直線與交于另一點，經過點和點的直線與交于另一點，證明：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據兩點與拋物線的位置分類討論最值，由最小值為，求解；（2）由三點都在拋物線上，設，，.結合直線求解的同理性，求出直線方程，再由，分別在直線，上，代入方程消去可得，代入方程化簡可得定點.【詳解】（1）若和在拋物線的同側，則，解得.設點在準線上的射影為，于是.過作與準線垂直，垂足為，故，當且僅當，，三點共線時取等號，由此得，符合題意.若和在拋物線的異側或在拋物線上，則.由，當且僅當，，三點共線（或與重合）時取等號，得到（舍去）.綜上所述，拋物線的方程為.（2）設，，.直線的斜率，則其方程為.同理可得直線的方程為，直線的方程為.將，分別代入直線，的方程可得，消去可得，代入直線的方程，化簡得，故直線過定點.【點睛】定點問題的求解思路：一是從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關；二是直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點.【能力提升】1．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點到漸近線的距離等于.(1)求雙曲線的方程.(2)點，在上，且，直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)直線過定點【分析】（1）利用點到直線的距離公式，的關系和離心率即可求解.（2）由題知直線的斜率存在且不為，設直線：，與的方程聯(lián)立，可得，因為，用代替，同理解得，進而表示出直線的方程，即可得解.【詳解】（1）由題意，取漸近線，右頂點到該漸近線的距離，又，，解得，，，的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在且不為，設直線：，與的方程聯(lián)立，消去得，易知，由韋達定理得，則.因為，所以，用代替（顯然此時），同理得，得，直線：，過定點.當時，直線的斜率不存在，易知直線的方程為，過左焦點.綜上，直線過定點.2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知點，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據橢圓所經過的點列方程求出其方程；（2）設出方程，結合韋達定理和是中點的條件，找到直線中兩個參數(shù)的關系，從而求出定點.【詳解】（1）由題知，又橢圓經過，代入可得，解得，故橢圓的方程為：（2）由題意知，當軸時，不符合題意，故的斜率存在，設的方程為，聯(lián)立消去得，則，即設，，，的方程為，令得，的方程為，令得，由是中點，得，即，即，即，即，所以，得或，當，此時由，得，符合題意；當，此時直線經過點，與題意不符，舍去.所以的方程為，即，所以過定點.3．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，解方程即可得，，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時的情況易知直線，的交點的坐標是.當直線斜率存在時，設直線方程為，，，進而聯(lián)立方程結合韋達定理得，，直線的方程是，直線的方程是，進而計算得時的縱坐標，并證明其相等即可.【詳解】解：（1）因為，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時，如圖，因為橢圓的右焦點為，所以直線的方程是.所以點的坐標是，點的坐標是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點的坐標是.所以點在直線上.②若直線的斜率存在時，如圖.設斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設，，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點在直線上.【點睛】本題第二問解題的關鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當直線斜率存在時，設，，寫出直線的方程是和直線的方程是，進而計算得時的縱坐標相等即可.考查運算求解能力，是中檔題.4．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知拋物線E：（p>0），過點的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當l1的斜率為時，(1)求E的標準方程：(2)設G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據直線的點斜式方程寫出直線方程，與拋物線聯(lián)立方程，利用弦長公式，求出的值，從而求出拋物線的標準方程；（2）設直線方程為或，與拋物線聯(lián)立方程，由韋達定理得出，，求出直線方程和直線方程，求出交點的橫坐標，然后進行化簡，可以證明結論.【詳解】（1）當?shù)男甭蕿闀r，得方程為，由,消元得，，，；由弦長公式得，即，解得或（舍去），滿足，從而的標準方程為.（2）法一：因為l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點，所以直線斜率存在設直線的方程為，設，由，消去得，則.設直線的方程為，同理，消去得可得．直線方程為，即，化簡得，同理，直線方程為，因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．由消去，因為直線與相交，所以，解得，所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．法二：設直線方程為，由消去得，設，則．設直線的方程為，同理可得．直線方程為，即，化簡得，同理，直線方程為，．因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．由消去，因為直線與相交，所以，解得，所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．【點睛】關鍵點點睛：本題中的證明問題的關鍵是：設出直線的橫截距或者縱截距方程，聯(lián)立拋物線，結合韋達定理，把目標逐步化簡，得出待證明的結論.5．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交于、兩點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）設點、、，記，則且，可知，，利用平面向量的坐標運算結合點差法求出點的軌跡方程，即可證得結論成立.【詳解】（1）解：由題意可得，解得，所以，橢圓的方程為.（2）解：設點、、，因為，記，則且，又因為點在橢圓外，且、、、四點共線，所以，，，所以，，，所以，，，所以，，，又因為，則，作差可得，即，即，即，故點總在定直線上.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用線段長之比相等求點的軌跡方程，解題的關鍵在于引入參數(shù)，將相等的長度之比轉化為向量的坐標運算，結合點差法進行求解.6．（2023·福建廈門·廈門一中校考三模）已知雙曲線的離心率為2.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的右焦點為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)直線是否過定點，證明見解析.【分析】（1）根據題意可得，即可得出答案；（2）設直線的方程，直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，則，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設，結合韋達定理可得，寫出直線的方程，令，解得,即可得出答案．【詳解】（1）由雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程，因為直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，則，聯(lián)立，得，設，則，直線的方程，令，得，所以直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.7．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）已知雙曲線的離心率為，左?右焦點分別為，點坐標為，且.(1)求雙曲線的方程；(2)過點的動直線與的左?右兩支分別交于兩點，若點在線段上，滿足，證明：在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據離心率設，代入得到，得到答案.（2）設，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關系，根據得到，代入數(shù)據整理得到，得到答案.【詳解】（1）設，因為雙曲線的離心率為，設，所以，所以，解得或（舍），所以雙曲線的方程為，（2）設，當直線斜率不存在時不成立，設，即，由，可得，由于點在雙曲線內部，易得，所以.設，根據題意，，又，可得，整理得：，即，化簡得又，消去，得，所以點在定直線上.【點睛】關鍵點睛：本題考查了求雙曲線方程，定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.8．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考模擬預測）已知、分別為雙曲線的上、下焦點，其中坐標為點是雙曲線上的一個點.(1)求雙曲線的方程；(2)已知過點的直線與上支交于不同的A、B兩點，在線段AB上取點Q，滿足，證明：點Q總在某條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據焦點坐標與雙曲線過點，得到、的方程，解得即可；（2）設直線與雙曲線交于，，點，依題意，，即可得到，從而得到動點的軌跡方程.【詳解】（1）由坐標為得，點在雙曲線上得，解得，雙曲線方程為（2）設直線與雙曲線交于，，點，由得且，，，代入坐標得，，整理得：①②，得③，同理④，⑤，得⑥，由于雙曲線上的點滿足，⑥③得，即，所以，表示點在定直線上.9．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知點在軸右側，點、點的坐標分別為、，直線、的斜率之積是．(1)求點的軌跡的方程；(2)若拋物線與點的軌跡交于、兩點，判斷直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)直線過定點，定點為【分析】（1）設點，，利用斜率公式結合已知條件化簡可得出點的軌跡的方程；（2）設、，將拋物線的方程與曲線聯(lián)立，列出韋達定理，求出直線的方程并化簡，即可求得直線所過定點的坐標.【詳解】（1）解：設點，，因為直線、的斜率之積是，所以，．整理可得，因此，點的軌跡的方程為.（2）解：設、，由得，，可得，由韋達定理可得，，因為，，所以，，因為，所以，直線的方程為，即，所以，直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.10．（2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點．(1)求線段中點縱坐標的值；(2)已知點，直線分別與拋物線相交于兩點（異于）．求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．【答案】(1)(2)證明見解析，定點的坐標為【分析】（1）設，其中，利用點差法化簡求出線段中點縱坐標的值；（2）設，由直線過點，化簡可得，同理可得，代入直線化簡，可得定點的坐標．【詳解】（1）設，其中，由，得，化簡得，，即，線段中點縱坐標的值為；（2）證明：設，，直線的方程為，化簡可得，在直線上，解得，同理，可得，，，又直線的方程為，即，直線恒過定點．【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查定點定值問題，考查點差法的應用，關于定點定值問題的思路，一般有以下兩種：1.先猜再證，通過特殊位置或者特殊點得出要求的定點或者定值，再用一般方法證明，對任意符合條件的直線都成立；2.邊猜邊做，直接聯(lián)立直線與曲線方程，寫出韋達定理，將已知條件轉化為等式，找出直線所過的定點或者所求的定值．11．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知拋物線：上一點到其焦點的距離為3，，為拋物線，分別交拋物線于點，，直線，相交于點.(1)若，求四邊形面積的最小值；(2)證明:點在定直線上.【答案】(1)32(2)證明見解析【分析】（1）根據拋物線的焦半徑公式求得拋物線方程，設，，直線的方程，聯(lián)立方程，利用韋達定理求得，，再根據弦長公式求得，再結合基本不等式即可得解；（2）設，，，根據，，三點共線和，，三點共線，求得，再結合（1）即可得出結論.【詳解】（1）由拋物線定義可知，，解得，即拋物線方程為，由題意，設，，直線的方程，由，消去得，恒成立，由韋達定理可知：，，故，因為，所以直線的方程為，于是，則當且僅當，即時等號成立，所以四邊形面積的最小值為32；（2）設，，，因為，，，都在上，所以，，因為，，三點共線，所以有，即，整理得：，同理，因為，，三點共線，可得，即，解得：，由（1）可知，，代入上式可得：，得，即點在定直線上.【點睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式及拋物線與直線位置關系的應用，考查了拋物線中四邊形的面積的最值問題，及拋物線中的定直線問題，考查了邏輯推理和數(shù)據分析能力，有一定的難度.12．（2023·四川綿陽·模擬預測）已知點A是圓上的任意一點，點，線段AF的垂直平分線交AC于點P．(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)若過點且斜率不為O的直線l交（1）中軌跡E于M、N兩點，O為坐標原點，點．問：x軸上是否存在定點T，使得恒成立．若存在，請求出點T的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在點，使得恒成立；理由見解析.【分析】（1）根據題意得到，結合橢圓的定義，即可求解；（2）由題意，設直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，設，所以，假設存在使得恒成立，轉化為恒成立，得到，代入即可求解.【詳解】（1）解：由圓，可得圓心坐標為，半徑，如圖所示，線段的垂直平分線交于點，所以，根據橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，可得，則，所以動點的軌跡方程為.（2）解：由題意，設直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得且，設，所以根據橢圓的對稱性，不妨令在軸上方，且，顯然，假設存在使得恒成立，即恒成立，可得，即恒成立，即恒成立，又由，所以，所以，所以存在點，使得恒成立，【點睛】解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關系，得到關于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.【真題感知】1．（陜西·高考真題）已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程;(Ⅱ)已知點B(－1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線l過定點.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析【詳解】(Ⅰ)設動圓圓心C的坐標為（x,y）則所以，所求動圓圓心的軌跡C的方程為(Ⅱ)證明：設直線l方程為，聯(lián)立得（其中）設,若x軸是的角平分線，則，即故直線l方程為，直線l過定點.（1,0）本題考查軌跡方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關系及直線過定點問題.第一問曲線軌跡方程的求解問題是高考的熱點題型之一，準確去除不滿足條件的點是關鍵.第二問對角平分線的性質運用是關鍵，對求定值問題的解決要控制好運算量，同時注意好判別式的條件，以防多出結果.圓錐曲線問題經常與向量、三角函數(shù)結合，在訓練中要注意.本題無論是求圓心的軌跡方程，還是求證直線過定點，計算量都不太大，對思維的要求挺高；設計問題背景，彰顯應用魅力.【考點定位】本題考查跡曲線方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關系及直線過定點問題，屬于中檔題.2．（北京·高考真題）已知橢圓的右焦點為，且經過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達式，結合韋達定理確定t的值即可證明直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；因為橢圓經過點,所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因為,所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．3．（山東·高考真題）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為時，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（?。┳C明直