第十四章整式的乘法與因式分解綜合專題因式分解的常見應(yīng)用類型一用于簡便運算1.用簡便方法計算：×＋×；(2)1972－1982＋2022－2032；(1)原式＝13.(2)原式＝－800(3)40×2＋80××＋40×2.(3)原式＝1000.

類型二用于化簡、求值2.已知2m·2n＝16，求2mn＋n2＋m2－4的值.解：∵2m·2n＝2m＋n＝16＝24，∴m＋n＝4，∴2mn＋n2＋m2－4＝(m＋n)2－4＝42－4＝12.

3.已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11，求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.解：(1)∵x2－2xy＋4y2＝(x－2y)2＋2xy＝11，x－2y＝3，

∴32＋2xy＝11，

解得xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.

類型三用于判斷三角形的形狀4.已知a，b，c為△ABC的三邊長，且a2＋bc－ac－b2＝0，試判斷△ABC的形狀.解：∵a2＋bc－ac－b2＝0，∴(a2－b2)＋(bc－ac)＝0，則(a＋b)(a－b)＋c(b－a)＝0，∴(a－b)(a＋b－c)＝0.∵a＋b－c≠0，∴a－b＝0，∴a＝b，則△ABC是等腰三角形．5.已知a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論.解：△ABC是等邊三角形．證明如下：∵2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2＝0，∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，∴(a－b)2＝0，(a－c)2＝0，(b－c)2＝0，得a＝b，且a＝c，且b＝c，即a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．類型四用于比較整式的大小6.已知P＝2x2－4x－1，Q＝x2－6x－6，比較P與Q的大小.解：P－Q＝2x2－4x－1－(x2－6x－6)

＝x2＋2x＋5

＝(x2＋2x＋1)＋4

＝(x＋1)2＋4.∵(x＋1)2＋4＞0，∴P－Q＞0，∴P＞Q.類型五用于探究規(guī)律或驗證結(jié)論7.【閱讀材料】因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.解：將“x＋y”看成整體，令x＋y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.再將“A”還原，原式＝(x＋y＋1)2.上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法.【問題解決】求證：若n為任意正整數(shù)，則(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某個整數(shù)的平方.證明：原式＝(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1.令n2＋3n＝B，則原式＝(B＋2)B＋1＝B2＋2B＋1＝(B＋1)2，再將B還原，原式＝(n2＋3n＋1)2.∵n為正整數(shù)，∴n2＋3n＋1為正整數(shù)，∴(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某個整數(shù)的平方．8.觀察下列各式你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1×5＝5，而5＝32－22；2×6＝12，而12＝42－22；3×7＝21，而21＝52－22；……(1)求10×14的值，并寫出與題目相符合的形式；(2)將你猜想的規(guī)律用只含一個字母n的等式表示出來，并說明等式的正確性.解：(1)10×14＝140＝122－22.(2)第n個等式為n(n＋4)＝(n＋2)2－22.∵右邊＝(n＋2)2－22＝(n＋2＋2)(n＋2－2)＝n(n＋4)＝左邊，∴n(n＋4)＝(n＋2)2－22.

類型六用于判斷整除9.設(shè)n為整數(shù)，試說明(2n＋1)2－25能被4整除.解：∵(2n＋1)2－25＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，∴(2n＋1)2－25能被4整除．10.當(dāng)一個多位數(shù)的位數(shù)為偶數(shù)時，在其中間位插入一位數(shù)k(0≤k≤9，且k為整數(shù))得到一個新數(shù)，我們把這個新數(shù)稱為原數(shù)的關(guān)聯(lián)數(shù).如：在435729中間插入數(shù)字6可得435729的一個關(guān)聯(lián)數(shù)4356729；在435729中間插入數(shù)字7可得435729的另一個關(guān)聯(lián)數(shù)4357729.請閱讀以上材料，解決下列問題：(1)若一個兩位數(shù)M的關(guān)聯(lián)數(shù)是原數(shù)的9倍，求滿足條件的M的關(guān)聯(lián)數(shù)；(2)對于一個六位數(shù)N＝xyzxyz(1≤x