8.6.3第二課時平面與平面垂直的性質(zhì)新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.從相關(guān)定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面的垂直關(guān)系直觀想象2.歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理邏輯推理1.在教室里，黑板所在平面與地面所在平面垂直，黑板的左右兩邊也與地面垂直.2.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，直線A1A垂直于其交線AD.問題通過上述實例，你能總結(jié)出面面垂直的一條性質(zhì)嗎？

知識點平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言提醒（1）定理成立的條件有三個：①兩個平面互相垂直；②直線在其中一個平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直；（2）定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直；（3）已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.如果α⊥β，則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線，正確嗎？提示：正確.1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（）A.α∥γB.α⊥γC.α與γ相交但不垂直D.以上都有可能解析：D在正方體中，相鄰兩側(cè)面都與底面垂直；相對的兩側(cè)面都與底面垂直；一側(cè)面和一對角面都與底面垂直，故選D.2.已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一點M，作ME⊥AB于E，則（）A.ME⊥平面ABCD B.ME?平面ABCDC.ME∥平面ABCD D.以上都有可能解析：A∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME?平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.故選A.3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是.

解析：因為α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.答案：平行題型一垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化【例1】已知m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列三個命題：①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；②若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β.其中正確的命題為（）A.①② B.③ C.②③ D.①②③解析對于①，依據(jù)線面垂直的判定定理，一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，才能得到該直線與此平面垂直，而n只與β內(nèi)的一條直線m垂直，不能得到n⊥β，故①不正確；對于②，如圖所示，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，平面DCC'D'⊥平面ABCD，平面ABC'D'與平面DCC'D'的交線為C'D'，與平面ABCD的交線為AB，但C'D'∥AB，故②不正確；對于③，由于m⊥α，m⊥n，則n在平面α內(nèi)或n∥α.若n在平面α內(nèi)，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，過n作平面與α交于直線l，則n∥l，由n⊥β得l⊥β，從而α⊥β，故③正確.答案B通性通法空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的，它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：線線垂直線面垂直面面垂直（多選）若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若m?β，α⊥β，則m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α∥β，則β⊥γ解析：CD由線面平行、垂直的有關(guān)知識可排除A、B；對于C，因為m∥α，過m作平面γ交α于m'，則m'∥m，由于m⊥β，故m'⊥β，又m'?α，則α⊥β，所以C正確，對于D顯然正確，故選C、D.題型二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點.求證：（1）BG⊥平面PAD；（2）AD⊥PB.證明（1）由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.（2）由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.通性通法1.面面垂直線面垂直線線垂直.由面面垂直證明線面垂直，一定注意兩點：①直線必須在其中一個平面內(nèi)；②直線必須垂直兩平面交線.2.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BCC1B1為平行四邊形，因為BC＝CC1，所以四邊形BCC1B1為菱形，所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C?平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，因為B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.題型三空間垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，點E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點.求證：（1）PA⊥平面ABCD；（2）BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD.證明（1）因為平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.（3）由（2）知四邊形ABED為平行四邊形，因為AB⊥AD，所以四邊形ABED為矩形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因為PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因為點E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.因為CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.通性通法1.熟練掌握垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解題的常規(guī)思路.2.垂直關(guān)系證明的核心是線面垂直，準(zhǔn)確確定要證明的直線是關(guān)鍵，再利用線線垂直證明.如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足.（1）求證：PA⊥平面ABC；（2）當(dāng)點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.證明：（1）如圖，在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于點F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.∵DG，DF都在平面ABC內(nèi)，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.（2）如圖，連接BE并延長交PC于點H.∵點E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴PC⊥AE.∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.由（1）知PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.1.下列命題中錯誤的是（）A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β解析：D如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面β，其他與交線不垂直的直線均不與平面β垂直，故D中命題錯誤.2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1（）A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直解析：C如圖所示，在四邊形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故選C.3.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的射影點H必在（）A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部解析：A連接AC1（圖略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴點C1在平面ABC上的射影點H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上，故選A.4.如圖，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是.

解析：如圖，過A作AO⊥BD于點O，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°二面角的求法方法一定義法求二面角【例1】如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝3，求二面角V-AB-C的大小.解取AB的中點D，連接VD，CD，∵在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB為等邊三角形，∴VD⊥AB且VD＝3，同理CD⊥AB，CD＝3，∴∠VDC為二面角V-AB-C的平面角，而△VDC是等邊三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V-AB-C的大小為60°.方法總結(jié)利用二面角的定義，在二面角的棱上找點，過點在兩個平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角，解題時應(yīng)先找平面角，再證明，最后在三角形中求平面角.方法二垂面法求二面角【例2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點.（1）求證：平面MNF⊥平面NEF；（2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值.解（1）證明：∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.又∵M，E均為所在棱的中點，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形，∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.（2）在平面NEF中，過點N作NG⊥EF于點G，連接MG.如圖所示.由（1）得知MN⊥平面NEF，又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN為二面角M-EF-N的平面角.設(shè)該正方體的棱長為2.在Rt△NEF中，NG＝NE·NFEF＝2∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝MNNG＝223∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為62方法總結(jié)二面角中如果存在一個平面與棱垂直，且與二面角的兩個半平面都相交，那么這兩條交線所成的角即為該二面角的平面角.方法三垂線法求二面角【例3】如圖，平面β內(nèi)一條直線AC，AC與平面α所成的角為30°，AC與棱BD所成的角為45°，求二面角α-BD-β的大小.解如圖，過A作AF⊥BD，F(xiàn)為垂足，作AE⊥平面α，E為垂足，連接EF，CE，∴由三垂線定理知BD⊥EF，∴∠AFE為二面角α-BD-β的平面角.依題意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，設(shè)AC＝2，∴AF＝CF＝2，AE＝1，∴sin∠AFE＝AEAF＝12＝∴∠AFE＝45°.∴二面角α-BD-β的大小為45°.方法總結(jié)如果兩個平面相交，有過一個平面內(nèi)的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點作棱的垂線，連接兩個垂足，應(yīng)用三垂線定理可證明兩垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.方法四射影面積法求二面角【例4】在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.解如圖，∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB.∴△PCD在平面PBA上的射影為△PAB，設(shè)平面PBA與平面PCD所成的二面角為θ，∴cosθ＝S△PABS△PCD∴θ＝45°.故平面PBA與平面PCD所成的二面角的大小為45°.方法總結(jié)若多邊形的面積為S，它在一個平面內(nèi)的射影圖形的面積為S'，且多邊形與該平面所成的二面角為θ，則cosθ＝S'1.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，則二面角A1-BC-A的平面角的正切值為（）A.62