第3章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析第3章|主要內(nèi)容3.1微分方程分析法3.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)3.3算子分析法3.4卷積分析法3.5系統(tǒng)動態(tài)性、可逆性及因果性判斷33.1微分方程分析法問題引入：為了分析一個連續(xù)LTI系統(tǒng)激勵與響應(yīng)的關(guān)系，需要對系統(tǒng)模型，也就是微分方程求解，那么，在時域中如何求解呢？解決思路：（1）利用“高等數(shù)學(xué)”中的經(jīng)典求解方法。（2）引入算子，簡化微分方程求解過程，同時為沖激響應(yīng)解法提供支持。（3）用基本信號（沖激信號或階躍信號）作為輸入→求得其解（沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)）→找出其它信號與基本信號的關(guān)系→利用線性特性求得其它信號作為激勵時的系統(tǒng)響應(yīng)。研究結(jié)果：響應(yīng)分解；沖激響應(yīng)；階躍響應(yīng)；傳輸算子。核心內(nèi)容：求解系統(tǒng)全響應(yīng)可以分為零輸入響應(yīng)求解和零狀態(tài)響應(yīng)求解兩部分。43.1微分方程分析法（1）建立系統(tǒng)模型。寫出聯(lián)系系統(tǒng)輸入和輸出信號之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對于連續(xù)系統(tǒng)模型是微分方程，離散系統(tǒng)是差分方程。（2）求解系統(tǒng)模型。采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法分析模型，從中找出反映系統(tǒng)基本性能的特征量，求出系統(tǒng)在給定激勵下響應(yīng)的數(shù)學(xué)表示式，即求解微分或差分方程；（3）分析所得結(jié)果。對所得到的響應(yīng)（方程解）在時域或頻域進(jìn)行物理解釋，深化系統(tǒng)對信號進(jìn)行變換處理過程的理解，并從中得出所需的結(jié)果或結(jié)論。53.1微分方程分析法對于連續(xù)系統(tǒng)，圍繞著“解微分方程”這條主線，我們將陸續(xù)介紹時域解法、頻域解法以及復(fù)頻域解法。對于離散系統(tǒng)，則是圍繞著“解差分方程”主線，有相應(yīng)的時域解法和z域解法。

而這些系統(tǒng)分析方法都是建立在

“信號分解”和“系統(tǒng)線性與時不變”兩大基石之上。63.1微分方程分析法3.1.1經(jīng)典分析法

“微分方程”通常是指含有一個未知函數(shù)和一個已知函數(shù)及它們導(dǎo)函數(shù)的等式。導(dǎo)函數(shù)的最大階數(shù)就是微分方程的階數(shù)。LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，而常系數(shù)線性微分方程的全解由齊次解和特解兩部分組成，即（3-1）73.1微分方程分析法對于微分方程齊次解滿足微分方程（3-2）（3-3）1.求齊次解83.1微分方程分析法齊次解由形式為的函數(shù)組合而成。則有特征方程：特征方程的個根被稱為微分方程的特征根或自然頻率（固有頻率）。在特征根無重根的情況下，微分方程的齊次解（3-4）（3-5）9若特征根有重根，假設(shè)是特征方程的重根，即有，其余個根是單根，則微分方程的齊次解3.1微分方程分析法（3-6）103.1微分方程分析法特解的形式與激勵信號的形式有關(guān)。表3-1列出了幾種典型激勵信號及其所對應(yīng)的特解。2.求特解113.1微分方程分析法根據(jù)表3-1設(shè)定特解的形式，將其代入原微分方程，根據(jù)方程兩端對應(yīng)項系數(shù)相等的條件，可求得特解中的待定系數(shù)。需要確定齊次解中個待定系數(shù)只需將系統(tǒng)的個初始條件代入全解中即可。系統(tǒng)的起始條件就是系統(tǒng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)函數(shù)在時刻的函數(shù)值。系統(tǒng)的初始條件就是系統(tǒng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)函數(shù)在時刻的函數(shù)值。123.1微分方程分析法起始狀態(tài)是指系統(tǒng)中電感電流和電容電壓在起始時刻的值和初始狀態(tài)是指系統(tǒng)中電感電流和電容電壓在初始時刻的值和。。對于電系統(tǒng)：初始條件或起始條件是指包括電感電流和電容電壓在內(nèi)以及由它們引起或產(chǎn)生的其他電路參數(shù)或變量在初始時刻或起始時刻的值。133.1微分方程分析法初始條件和初始狀態(tài)或起始條件和起始狀態(tài)是有區(qū)別的。系統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)儲能的情況或數(shù)據(jù)。系統(tǒng)條件是指系統(tǒng)因儲能而引起的的響應(yīng)。狀態(tài)肯定是條件，而條件不一定是狀態(tài)。和

條件肯定可以由狀態(tài)求出。143.1微分方程分析法根據(jù)換路定律可知，起始狀態(tài)和初始狀態(tài)相等。起始條件卻不一定與初始條件相等。153.1微分方程分析法【例題3-1】一線性時不變系統(tǒng)的模型為若系統(tǒng)激勵，系統(tǒng)初始條件為，試求系統(tǒng)全解?！窘狻肯到y(tǒng)的齊次方程為特征方程為因此，齊次解為由于，所以，設(shè)特解為163.1微分方程分析法將上式和代入系統(tǒng)模型，有故有這樣，特解為17173.1微分方程分析法將初始條件代入上式，得因此，全響應(yīng)為全解為183.1微分方程分析法問題是如何分別求得零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。3.1.2響應(yīng)分解分析法響應(yīng)分解分析法是指先分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，然后將二者疊加而獲得全響應(yīng)的一種分析方法。（3-7）（3-8）（3-9）193.1微分方程分析法為此，我們首先要研究電容和電感在時間段內(nèi)的響應(yīng)和。203.1微分方程分析法則電容電壓響應(yīng)和電感電流響應(yīng)如下：具有起始電壓的電容，可以等效為起始狀態(tài)為零的電容和一個電壓源的串聯(lián)。具有起始電流的電感，可以等效為起始狀態(tài)為零的電感和一個電流源的并聯(lián)。213.1微分方程分析法1.零輸入響應(yīng)的求法令系統(tǒng)方程右端為零，則有：顯然，零輸入響應(yīng)應(yīng)該滿足式（3-10），與齊次解具有相同的形式。（3-10）假定特征根為相異單根，則零輸入響應(yīng)為

系數(shù)由零輸入響應(yīng)的初始條件確定。（3-11）223.1微分方程分析法在零輸入條件下，有這說明可由全響應(yīng)的起始條件確定系數(shù)注意：絕對不能用確定，因為中含有激勵對系統(tǒng)的作用。系統(tǒng)全響應(yīng)的初始條件應(yīng)該等于零輸入響應(yīng)初始條件和零狀態(tài)響應(yīng)初始條件之和。233.1微分方程分析法【例題3-2】已知一個LTI系統(tǒng)微分方程相對應(yīng)的齊次方程為，系統(tǒng)起始狀態(tài)。試求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)。【解】由系統(tǒng)特征方程求得零輸入響應(yīng)243.1微分方程分析法利用起始狀態(tài)，可得因此，零輸入響應(yīng)利用歐拉公式，將齊次解化為三角函數(shù)形式252.零狀態(tài)響應(yīng)的求法（3-12）要解式（3-12），還應(yīng)知道一組初始條件，即零狀態(tài)響應(yīng)的初始條件。在零狀態(tài)條件下，有也可稱為系統(tǒng)的跳變量。因此3.1微分方程分析法263.1微分方程分析法若系統(tǒng)方程的特征根為相異單根，那么，零態(tài)響應(yīng)中的齊次解為零狀態(tài)響應(yīng)中的特解同經(jīng)典法講述的求法一樣。所以有現(xiàn)在，求解上式的關(guān)鍵就是如何確定系數(shù)（3-13）（3-14）273.1微分方程分析法利用換路定理等物理概念分析判斷。函數(shù)平衡法確定系數(shù)兩種方法283.1微分方程分析法利用換路定理等物理概念求解電路模型響應(yīng)的方法為確定初始條件，利用系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性，即電容上的電荷和電感中的磁鏈連續(xù)性。電容電壓不能跳變，電感電流不能跳變。換路定理：（3-15）（3-16）29【例題3-3】如圖3-4所示的電路已處于穩(wěn)態(tài)，時開關(guān)突然閉合，求時的的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)【解】開關(guān)閉合后，電路的等效電路如圖3-4可得電路微分方程：所示。3.1微分方程分析法303.1微分方程分析法31再由KVL定律，可得即整理得由特征方程得特征根3.1微分方程分析法32設(shè)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)齊次解容易求得零狀態(tài)響應(yīng)特解為則零狀態(tài)響應(yīng)為

(3-18)(3-17)3.1微分方程分析法33為求得系數(shù)，需要根據(jù)換路定理找出和由圖3-4可知該電路為恒定激勵，在時刻處于穩(wěn)態(tài)，電感短路，電容開路，因此，A，V由換路定理可知，時刻有A，V。3.1微分方程分析法34時刻等效電路如圖3-4的等效電路，分別如圖3-4所示。所示。據(jù)此，可畫出零輸入條件下的等效電路和零狀態(tài)條件下由圖3-4求得又因為，所以，零輸入響應(yīng)的初始條件為將初始條件代入式(3-17)，得。所以，零輸入響應(yīng)為。。3.1微分方程分析法35由圖3-4求得又因為，所以，零狀態(tài)響應(yīng)的初始條件為將初始條件代入式(3-18)，得。因此，零狀態(tài)響應(yīng)為V3.1微分方程分析法363.全響應(yīng)的求法零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都已求出，則全響應(yīng)為3.1微分方程分析法373.1微分方程分析法根據(jù)響應(yīng)的表現(xiàn)形態(tài)可以將全響應(yīng)表示為以下幾種形式：全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)=自由響應(yīng)+強迫響應(yīng)全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)383.1微分方程分析法對于經(jīng)典解法中的齊次解和特解來說，齊次解就是自由響應(yīng)，特解就是強迫響應(yīng)。自然型項——形如的指數(shù)函數(shù)項。自然響應(yīng)（自由響應(yīng)）——響應(yīng)中所有由自然型項構(gòu)成的分量。強迫響應(yīng)——自由響應(yīng)以外的響應(yīng)分量，其形式是由激勵決定的。自由響應(yīng)可以分解為兩部分，一部分由起始狀態(tài)引起，另一部分由激勵信號產(chǎn)生。僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，要同時由系統(tǒng)的起始狀態(tài)和時所加的激勵共同決定。而它們都滿足齊次解，形式相同，但系數(shù)卻不相同，自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)的全部與零狀態(tài)響應(yīng)中的一部分（齊次解部分）。39根據(jù)響應(yīng)隨時間的變化特性，還可將響應(yīng)分為暫態(tài)響應(yīng)（過渡響應(yīng)）和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。定義總響應(yīng)中隨時間的增大而最終衰減為零的部分稱為暫態(tài)響應(yīng)；而隨時間的增大最終變?yōu)槌?shù)或持續(xù)變化的部分稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。通常暫態(tài)響應(yīng)還可能包含強迫響應(yīng)中的暫態(tài)分量。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，因為系統(tǒng)特征根（也稱為自由頻率）均為負(fù)值，所有自然項都會隨時間的增大而趨于零，所以自由響應(yīng)必為暫態(tài)響應(yīng)。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，特征根會出現(xiàn)復(fù)數(shù)和正數(shù)，由此構(gòu)成的自然項就不會隨時間的增大而趨于零，則自由響應(yīng)就不是暫態(tài)響應(yīng)了。3.1微分方程分析法40為幫助大家記憶和理解，圖3-5（a）給出了全響應(yīng)與上述各子響應(yīng)之間的關(guān)系；圖3-5（b）給出了微分方程的解和系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)系。3.1微分方程分析法413.1微分方程分析法注意：零狀態(tài)響應(yīng)是零狀態(tài)下系統(tǒng)在“0”時刻接入激勵后的響應(yīng)，故在形式上要體現(xiàn)出這一“時間”概念。通常，要在響應(yīng)后面乘上或標(biāo)出“”字樣。423.1微分方程分析法【例題3-4】已知系統(tǒng)輸入輸出方程為，起始狀態(tài)。求自由響應(yīng)、強迫響應(yīng)和零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)?！窘狻渴紫惹笞杂身憫?yīng)和強迫響應(yīng)。由特征方程則齊次解為設(shè)特解，代入系統(tǒng)方程，得。有433.1微分方程分析法全解

（3-21）由沖激函數(shù)平衡法可知在處連續(xù)，即有式(3-21)代入初始條件，得

由此，系統(tǒng)自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)分別為443.1微分方程分析法設(shè)零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)分別為因為，，可分別解得，所以，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為453.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)3.2.1沖激響應(yīng)系統(tǒng)對單位沖激信號產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)，記為對方程（3-22）根據(jù)和的大小關(guān)系，式（3-22）具有如下幾種形式的解：463.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)(1)（3-23）(2)（3-24）(3)(3-25)和利用等號兩端各奇異函數(shù)項的系數(shù)對應(yīng)相等的方法確定。式(3-23)、式(3-24)和式(3-25)中的各項待定系數(shù)均需代入式（3-22），473.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)3.2.2階躍響應(yīng)系統(tǒng)對單位階躍信號產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)，記為把系統(tǒng)模型中的和分別用和代替，即有

(3-26)。對式（3-26）也可按式（3-22）的思路求解，但因為我們討論的系統(tǒng)是LTI系統(tǒng)且階躍信號和沖激信號滿足微分（積分）關(guān)系，所以，更多的是利用

求解，即48若3.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)且因所以，有（3-27）（3-29）493.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

式（3-27）或式（3-29）是線性時不變因果系統(tǒng)的一個重要特性，它揭示了系統(tǒng)兩個重要響應(yīng)之間的關(guān)系，對分析線性時不變因果系統(tǒng)有著重要作用。利用式（3-22）和式（3-26）求解和主要是為了說明沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的概念和關(guān)系，實際上很少采用。下面要講的傳輸算子法才是比較常用的時域求解方法。503.3算子分析法3.3.1微分算子與傳輸算子微分算子實際上就是微分運算的簡化符號，用字母“”表示，定義：（3-30）（3-31）513.3算子分析法（3-32）“算子”概念的引入指出了一條簡化數(shù)學(xué)表達(dá)式的新思路：用“變量”替換“運算”。52功能：微分算子可以將微分方程變成“算子方程”或“偽代數(shù)方程”進(jìn)行求解。3.3算子分析法（3-45）53特性1：的正冪次多項式可以像代數(shù)多項式那樣進(jìn)行展開和因式分解。多項式可以交換順序。比如特性3：算子方程兩邊的公因式不能隨便消去。比如不能變成，而應(yīng)該是特性4：對一個信號進(jìn)行乘和除運算的順序不能隨意改變。特性2：一個信號前面的兩個3.3算子分析法54以微分算子形式出現(xiàn)的微分方程組可以用代數(shù)方程中的克萊姆（Cramer）法則消去變量，這就是引入微分算子的主要目的。也就是說，引入微分算子可以將求解過程相對復(fù)雜的微分方程組化為求解過程相對簡單的代數(shù)方程組。目的：3.3算子分析法553.3算子分析法

（3-35）（3-36）

變形：（3-34）563.3算子分析法把算子方程中系統(tǒng)響應(yīng)與激勵運算之比定義為系統(tǒng)的傳輸算子（3-37）傳輸算子：根據(jù)傳輸算子，可以求出任何輸入信號下的系統(tǒng)輸出響應(yīng)（3-28）573.3算子分析法【例題3-5】求【例題2-7】系統(tǒng)的傳輸算子?！窘狻恳阎纠}2-7】系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為將算子代入上式可得算子方程則傳輸算子為583.3算子分析法【例題3-6】如圖3-6所示系統(tǒng)，若為響應(yīng)，為激勵，求系統(tǒng)模型和傳輸算子?！窘狻扛鶕?jù)KVL列出回路方程組下面，采用克萊梅爾法則對算子方程組進(jìn)行消元。593.3算子分析法于是，系統(tǒng)模型為傳輸算子為603.3算子分析法【例題3-7】已知系統(tǒng)的傳輸算子和初始條件。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。，，【解】由系統(tǒng)的特征方程則零輸入響應(yīng)為同時，有613.3算子分析法將初始條件，代入，得則零輸入響應(yīng)為623.3算子分析法從例題可以得到確定傳輸算子的兩種常用方法：（1）利用系統(tǒng)模型——微分方程（模擬框圖）。（2）利用電路約束條件。算子的引入除了上述作用外，還有一個很重要的用途就是利用傳輸算子可以求解零狀態(tài)響應(yīng)。不同的傳輸算子對應(yīng)不同的零狀態(tài)響應(yīng)，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以得到很多公式。因為傳輸算子在形式上和后面要講到的傳輸函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）一樣，其求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法與公式也與傳輸函數(shù)法相似。633.3算子分析法3.3.2利用傳輸算子求得沖激響應(yīng)傳輸算子可以進(jìn)行部分分式分解，即有：（3-39）根據(jù)式（3-39）的不同情況，可以得到與之對應(yīng)的不同的沖激響應(yīng)。643.3算子分析法即有：（1）（2）（3）（4）（3-43）（3-40）（3-41）（3-42）653.3算子分析法第一步：確定傳輸算子。第三步：根據(jù)式（3-40）—式（3-43），確定對應(yīng)的沖激響應(yīng)第四步：將所有的相加，即可得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)第二步：將進(jìn)行部分分式展開，如式（3-39）。求解步驟：66

【例題3-8】求系統(tǒng)的。利用長除法有：利用式（3-40）—（3-43）得：【解】系統(tǒng)的算子方程為3.3算子分析法673.4卷積分析法引入沖激響應(yīng)的目的何在？它僅僅是系統(tǒng)對特定信號——沖激信號的零狀態(tài)響應(yīng)，而且求解過程也比較復(fù)雜，對求解任意非周期信號作用下的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)有何意義？

其實，沖激響應(yīng)引入的目的恰恰是要解決任意非周期信號作用下系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解問題，而它本身的求解也會有更方便、更簡單的方法。683.4卷積分析法693.4卷積分析法系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵與沖激響應(yīng)的卷積積分。即

(3-44)設(shè)一個LTI系統(tǒng)的激勵為，零狀態(tài)響應(yīng)為，則上述推導(dǎo)過程可以用圖3-7描述。當(dāng)已知系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)時，可直接按(3-45)703.4卷積分析法

根據(jù)圖3-7可以得到如下結(jié)論：（1）信號的分解特性告訴我們：“一個信號可以表示為出現(xiàn)在不同時刻的沖激信號的連續(xù)和”。（2）系統(tǒng)的線性特性告訴我們：“系統(tǒng)對一個信號的響應(yīng)可以表示為若干個子信號產(chǎn)生的子響應(yīng)的代數(shù)和”。（3）系統(tǒng)的時不變特性告訴我們：“系統(tǒng)對一個在不同時刻加入的信號的響應(yīng)是一樣的”。（4）系統(tǒng)的線性和時不變特性告訴我們：“系統(tǒng)對一個信號的響應(yīng)可以用該信號與沖激響應(yīng)的卷積求出”。

綜上所述，式(3-44)就是信號分解特性和系統(tǒng)線性與時不變特性對系統(tǒng)分析做出的最大貢獻(xiàn)，為求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)提供了一條新路徑，而這也正是引入卷積運算的主要目的。713.4卷積分析法【例題3-9】一線性非時變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，系統(tǒng)的激勵為，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。【解】723.4卷積分析法【例題3-10】已知某系統(tǒng)的激勵信號、沖激響應(yīng)之圖形分別如圖3-11、所示。求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，并畫出的圖形?！窘狻考钚盘柡蜎_激響應(yīng)可分別表示為

和733.4卷積分析法則有而743.4卷積分析法寫成分段函數(shù)表示形式753.4卷積分析法

一個生活實例。李工程師根據(jù)實踐經(jīng)驗，設(shè)計了一個信號變換器（LTI系統(tǒng)）。由于理論水平不高，他只能采用逐個測試法，即輸入一個信號，測試出輸出信號；再輸入另一個信號，再測試出其對應(yīng)的輸出信號的方法，了解該系統(tǒng)的變換特性。但現(xiàn)實中的信號有千千萬萬種，他一輩子也測不完。為此，他請教了理工大學(xué)的張教授。張教授告訴他：你只需測試一種信號就行，即只要測出系統(tǒng)對窄脈沖信號（沖激信號）的輸出波形（沖激響應(yīng)）即可，其他所有信號對應(yīng)的輸出波形都可通過沖激響應(yīng)波形和輸入信號波形的卷積得到。李工程師高興地說：你可幫了我大忙了。763.5系統(tǒng)的動態(tài)性、可逆性及因果性的判斷3.5.1動態(tài)性判斷對于一個連續(xù)系統(tǒng)，若其沖激響應(yīng)