解密16拋物線高考考點(diǎn)命題分析三年高考探源考查頻率拋物線的定義及方程拋物線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考的必考熱點(diǎn)，選擇題、填空題、解答題中均有考查，著重考查拋物線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程求法，難度中檔.2021新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ142021新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ42020課標(biāo)全國(guó)Ⅰ4★拋物線的性質(zhì)2021年全國(guó)乙212021年全國(guó)甲202020課標(biāo)全國(guó)Ⅲ52019課標(biāo)全國(guó)Ⅱ8★★★拋物線常用的二級(jí)結(jié)論知識(shí)擴(kuò)展：1、通徑過拋物線的焦點(diǎn)作直線軸，交拋物線于兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)，此時(shí)的弦長(zhǎng)稱為通徑，此為所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦.2、焦點(diǎn)弦的性質(zhì)（1）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則①，；②定值，定值；③定值；④.（2）過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為（斜率為）的直線交拋物線于（在上方）兩點(diǎn)，則①；②；③.（3）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)中點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則①；②；③；④；⑤；⑥以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，切點(diǎn)即為；⑦以為直徑的圓與軸相切；⑧；；⑨.（4）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則①；②三點(diǎn)共線；③三點(diǎn)共線；（5）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則.（6）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線、、的斜率均存在，則直線、、的斜率成等差數(shù)列，即.3、焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為兩段、,，則有(為直線與焦點(diǎn)所在軸的夾角)?？键c(diǎn)一拋物線的定義及方程☆技巧點(diǎn)撥☆高考中常求拋物線的方程，一般會(huì)與其他知識(shí)相結(jié)合，求拋物線方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)的位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.題組一拋物線的定義的應(yīng)用例題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A例題2．已知是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，，則（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】由定義，又，所以，解得.故選：C例題3．已知圓C與過點(diǎn)且垂直于x軸的直線僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且與圓外切，則點(diǎn)C的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，直線，且圓，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到與點(diǎn)到的距離相等，都是，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，故方程為.故選：A.例題4．已知實(shí)數(shù)，滿足，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，的最小值為（）A．4 B．16 C．17 D．25【答案】B【分析】所確定的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，可以看作是點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方.又點(diǎn)在拋物線上，見下圖:由圖可知,點(diǎn)與點(diǎn)距離最近時(shí),是點(diǎn)到點(diǎn)的距離,，的最小值為16.故選:B.例題5．點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)F(0，-1)的距離大，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，且點(diǎn)在的下方，故點(diǎn)到直線的距離和到點(diǎn)F(0，-1)的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡為以F(0，-1)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以的軌跡方程為，故選：D.題組二拋物線的方程應(yīng)用例題1．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，拋物線E：的焦點(diǎn)為F．若點(diǎn)F到雙曲線C的漸近線的距離為，則p為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】：由雙曲線的離心率為，得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，可取，點(diǎn)，則，所以.故選：A.例題2．已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則（）A． B． C． D．【答案】A由，得，由得，由拋物線的性質(zhì)，，故選：A.例題3．已知拋物線T：y2=4x，直線l為其準(zhǔn)線，點(diǎn)F為其焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為點(diǎn)C，且點(diǎn)P（0，1），則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．的最小值為4B．若拋物線T上的兩點(diǎn)D，E到點(diǎn)F的距離之和為12，則線段DE的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為5C．的最小值為D．過點(diǎn)P與拋物線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】D【分析】拋物線T：y2=4x，準(zhǔn)線方程為x=1，焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)直線的方程為,，，，，聯(lián)立解方程組,可得，，，當(dāng)即AB⊥x軸時(shí)，取得最小值2p=4，故A項(xiàng)正確；因?yàn)閽佄锞€T上的兩點(diǎn)D，E到點(diǎn)F的距離之和為12，所以點(diǎn)D，E的橫坐標(biāo)之和為122=10，則線段DE的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，所以B項(xiàng)正確；因?yàn)镻（0，1），則，當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故C項(xiàng)正確；當(dāng)直線過點(diǎn)P（0，1）且與x軸平行時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，又點(diǎn)P在拋物線外，所以過點(diǎn)P且與拋物線相切的直線有兩條，此時(shí)直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以過點(diǎn)P與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D例題4．已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是該拋物線上兩點(diǎn)，，則的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】依題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，而是其焦點(diǎn)，設(shè)，，由拋物線定義得：，于是得，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：C例題5．為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】因?yàn)閽佄锞€，所以，由拋物線的定義得：，解得，則，所以的面積為，考點(diǎn)二拋物線的性質(zhì)☆技巧點(diǎn)撥☆有關(guān)拋物線上一點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問題，可依據(jù)拋物線的圖形，過點(diǎn)E作準(zhǔn)線l的垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E的距離之和是最小值.例題1．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（-1，0）且斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A． B．14 C． D．15【答案】C【分析】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義可知：.聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.例題2．拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F，其斜率k>0，且交拋物線于A，B(點(diǎn)A在x軸下方)兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為m，AA1⊥m于A1，BB1⊥m于B1，下列結(jié)論不正確的是（）A．若＝3，則k＝B．＋＝1C．若k＝1，則|AB|＝2D．∠A1FB1＝90°【答案】C【分析】A：記直線l交準(zhǔn)線m于Q，設(shè)|FA|＝|AA1|＝t，由知：|FB|＝|BB1|＝3t，設(shè)|AQ|＝x，則△QAA1∽△QBB1，有，即，可得，可得∠A1AQ＝60°，則斜率k＝tan60°＝，正確.B：若為直線l的傾斜角，如上圖，，則，同理可得，故，正確.C：設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由k＝1則θ＝，由B分析可得：|AB|＝＝8，錯(cuò)誤.D：易知∠BB1F＝∠B1FB，∠AA1F＝∠A1FA，故∠B1FB＋∠A1FA＝×180°＝90°，從而∠A1FB1＝180°－90°＝90°，正確.故選：C.例題3．拋物線與圓交于、兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)為劣弧上不同于、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】解：如圖，可得圓心也是拋物線的焦點(diǎn)，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得故的周長(zhǎng)，由可得，.的取值范圍為的周長(zhǎng)的取值范圍為故選：.例題4．若直線，都過拋物線：的焦點(diǎn)，直線交拋物線于點(diǎn)，，直線交拋物線于點(diǎn)，，為弦的中點(diǎn)，且到軸的距離為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，___________.【答案】16【分析】設(shè)，，，由拋物線的定義可得.由題意知，即，，所以.由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，此時(shí)為等邊三角形，且直線的方程為，代入拋物線方程，得，則，所以.故答案為：例題5．如圖所示，過拋物線的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦,交拋物線于A、B兩點(diǎn)．則△AOB面積的最小值為_______．【答案】4p2【分析】：設(shè)設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立得根與系數(shù)的關(guān)系得：，代入直線因?yàn)樗缘玫盟灾本€，恒過由題意畫圖如下：AB恒過定點(diǎn)M．所以又，所以因?yàn)椋谑?故S△AOB的最小值為4p2．故答案為：4p2.例題6．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)A作的垂線，垂足為，設(shè)，若與相交于點(diǎn)的面積為，則拋物線的方程為___________.【答案】【分析】設(shè)，又，則，由拋物線的定義得，所以，則，由得，即，所以，,所以，解得：.故答案為：考點(diǎn)三拋物線的性質(zhì)綜合應(yīng)用1．求軌跡方程的常用方法（1）直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式(兩點(diǎn)距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、夾角公式等)進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，即把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程了．（2）定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．（3）相關(guān)點(diǎn)法：有些問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的，如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．2．解決直線與曲線的弦長(zhǎng)時(shí)，往往設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)．有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．齊次化解決斜率之和之積為定值，直線過定點(diǎn)問題。例題1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是一動(dòng)點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，，且，記點(diǎn)的軌跡為．（1）求曲線的方程；（2）已知直線：，與曲線交于，兩點(diǎn)，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)．當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）設(shè)，根據(jù)直線，，的斜率滿足，化簡(jiǎn)求解．（2）由與拋物線方程聯(lián)立，寫出的方程，求得M，N的坐標(biāo)，同理得到P，Q的坐標(biāo)，然后由，利用基本不等式求解．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，則曲線的方程為．（2）由（1）可知，設(shè)，，聯(lián)立，得，由根與系數(shù)關(guān)系得，，，則的方程為，所以的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，同理的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故四邊形面積的最小值為4．所以四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為或．例題2．已知點(diǎn)P到直線y＝－3的距離比點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，1)的距離多2．（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)Q(0，2)的動(dòng)直線l與點(diǎn)P的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【試題來源】【高頻考點(diǎn)解密】2021年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義分層訓(xùn)練【答案】（1）x2＝4y；（2）存在，定點(diǎn)R(0，－2)．【分析】（1）由|PA|等于點(diǎn)P到直線y＝－1的距離，結(jié)合拋物線的定義得出點(diǎn)P的軌跡方程；（2）由對(duì)稱性確定點(diǎn)R必在y軸上，再由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出定點(diǎn)R(0，－2)．【解析】（1）由題知，|PA|等于點(diǎn)P到直線y＝－1的距離，故P點(diǎn)的軌跡是以A為焦點(diǎn)，y＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，所以其方程為x2＝4y．（2）根據(jù)圖形的對(duì)稱性知，若存在滿足條件的定點(diǎn)R，則點(diǎn)R必在y軸上，可設(shè)其坐標(biāo)為(0，r)此時(shí)由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則＋＝0由題知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋2，與x2＝4y聯(lián)立得x2－4kx－8＝0，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－8＋＝＋＝2k＋＝2k－＝0故r＝－2，即存在滿足條件的定點(diǎn)R(0，－2)．例題3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，以為圓心的圓與相切；與拋物線相交于兩點(diǎn)，且（1）求拋物線的方程（2）不與坐標(biāo)軸垂直的直線與拋物線交于兩點(diǎn)：與軸交于點(diǎn)；線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）．【解析】（1）以為圓心與相切的圓的方程為，將代入并整理，得，即，因?yàn)椋?，代入，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)，直線的方程為代入并整理得，由題意，得，即，設(shè)，則，所以設(shè)的中點(diǎn)為，則，即，所以直線的方程為，令，得，所以，所以，由得，解得，適合，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.例題4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與交于兩點(diǎn)，(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2．（1）求拋物線的方程；（2）若過點(diǎn)的兩直線，的傾斜角互補(bǔ)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與的面積相等，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．所以，故．故拋物線的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線．點(diǎn)，．聯(lián)立方程可得，消去，可得．則．因?yàn)?，所以，焦點(diǎn)到直線的距離，所以．設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，將用替換，可得由可得，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)可得，所以，解得．又由且得或，可知，所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．例題5．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)，使得有最小值3．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線，點(diǎn)是與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作與平行的真線，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)，，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）利用拋物線定義得，其中點(diǎn)為點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影，再根據(jù)拋物線定義得出的最小值的表達(dá)式，從而求出的值，即可求解；（2）由已知條件可求出直線的方程，再設(shè)出直線的方程并代入拋物線中化簡(jiǎn)求出，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而設(shè)出直線，并與直線聯(lián)立求出，同理可得，從而可得的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得，即可得證．【解析】（1）如圖，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)．根據(jù)拋物線定義得，于是，顯然當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）證明：直線，令，得，所以點(diǎn)．因?yàn)橹本€平行于直線，且過點(diǎn)，所以直線．設(shè)直線并代入拋物線的方程消去得，．設(shè)點(diǎn)，，由根與系數(shù)關(guān)系得，，易得直線，直線．聯(lián)立解得，同理可得，所以．因?yàn)椋?，即是的中點(diǎn)，所以．解題技巧：拋物線齊次化.一般地，設(shè)為圓錐曲線上一點(diǎn)，由點(diǎn)引傾斜角互補(bǔ)的兩弦，利用平移齊次化方法證明直線斜率為定值的基本步驟為：①平移坐標(biāo)軸，建立以為原點(diǎn)的新平面直角坐標(biāo)系.②在直角坐標(biāo)系下，求得圓錐曲線的方程為，并將直線方程設(shè)為.③聯(lián)立直線與橢圓方程齊次化，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程兩根關(guān)系問