第3章信號的頻域分析

3.1周期信號的頻譜

3.2周期信號頻譜

3.3非周期信號的頻譜密度

3.4傅里葉變換的性質(zhì)

3.5周期信號的傅里葉變換

3.6系統(tǒng)的頻域分析1、為什么對信號進(jìn)行頻域分析？2、將信號表示為不同頻率正弦分量的組合的意義從信號分析的角度：將信號表示為不同頻率正弦信號的組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了較好的途徑。從系統(tǒng)分析的角度：已知單頻正弦信號激勵(lì)下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號同時(shí)激勵(lì)下的響應(yīng)，而且可以看出每個(gè)正弦頻率通過系統(tǒng)后的變化。

3.1周期信號的傅里葉級數(shù)分析周期信號：周期信號是定義在（-∞，∞）區(qū)間，每隔一定時(shí)間T，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。它可表示為

式中m為任意整數(shù)。時(shí)間T稱為該信號的重復(fù)周期，簡稱周期。周期的倒數(shù)稱為該信號的頻率。周期信號由持續(xù)時(shí)間為一個(gè)周期的信號作周期性的延拓而形成的周期信號周期信號特點(diǎn)：①它是一個(gè)無窮無盡變化的信號。②當(dāng)在一個(gè)周期內(nèi)的信號確定后，若將其移動T的整數(shù)倍，則信號的波形保持不變，它也可看成為將一個(gè)在周期T內(nèi)所定義的信號作周期性的延拓而形成．

③在一個(gè)周期T內(nèi)的時(shí)間積分是不變的，且與T的起始點(diǎn)的選擇無關(guān)，即3.1.1傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式設(shè)有周期信號，它的周期是T，角頻率，它可分解為

式中，稱為傅里葉系數(shù)，分別代表了信號的直流分量，余弦分量和正經(jīng)弦分量的振蕩幅度，其值分別由下式確定：

將式中同頻率的正弦和余弦項(xiàng)合并，則有

式中

由式可見，即是n的偶函數(shù)，是n的奇函數(shù)。

直流分量基波或一次諧波二次諧波3.1.2傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而常用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。根據(jù)歐拉公式:

把上式代入式（3.2.2），得到

令又根據(jù)式（3.2.3）可推知，從而有

將代入式中可得

即這就是周期信號的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，它比三角形式的傅里葉級數(shù)更為簡潔，但注意，式中的是個(gè)復(fù)系數(shù)，常稱為傅里葉系數(shù)，例求下列信號的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)的展開式.

3.1.3函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（1）為偶函數(shù)

即偶信號的傅氏級數(shù)不含正弦項(xiàng)，只含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng)（2）為奇函數(shù)

即奇信號的傅氏級數(shù)不含余弦項(xiàng)，只含正弦項(xiàng)和直流項(xiàng)

注意：任意函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即

式中表示奇函數(shù)部分，表示偶函數(shù)部分。有

（3）為奇諧函數(shù)（半波像對稱信號）如果函數(shù)的前半周期波形移動T/2后，與后半周期波形對稱于橫軸，即滿足，則這種函數(shù)稱為半波對稱函數(shù)或稱為奇諧函數(shù)。在這種情況下，其傅里級數(shù)展開式中將只含有奇次諧波分量而不含偶次諧波分量，即有：

半波重疊信號:就是其波形平移半個(gè)周期后所得出的波形與原波形重合的信號，此時(shí)，其傅里葉級數(shù)展開式中將只含有偶次諧波分量而不含奇次諧波分量，故它被稱之為偶諧函數(shù)。即

【例3.1】將圖示方波信號的展開為傅里葉級數(shù)。解:按題意方波信號在一個(gè)周期內(nèi)的解析式為分別求得傅里葉系數(shù)f(t)t0T-TE/2-E/2即故得信號的傅里葉級數(shù)展開式為它只含有一、三、五、……等奇次諧波分量?！纠?.2】將圖示周期信號的展開為三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。解因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以在區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式為tf(t)TT/2-T-T/21-1…………故【例3.3】將圖示周期矩形脈沖信號的展開為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。解:由公式得：Tf(t)t1-Tτ/2-τ/2故f(t)可表示為3.2周期信號的頻譜

3.2.1周期信號頻譜的特點(diǎn)周期信號可以分解成一系列正弦信號或指數(shù)信號之和，即或由上分析知：a.當(dāng)周期信號分解為傅里葉級數(shù)后，得到的是直流分量和無窮多正弦分量的和，從而可在頻域內(nèi)方便地予以比較b.“頻譜圖”就是可將其各頻率分量的振幅和相位隨頻率變化的關(guān)系用圖形表示出來。頻譜圖包括幅度頻譜和相位頻譜。c.習(xí)慣上常將振幅頻譜簡稱為頻譜。

圖3.3.1周期信號的頻譜（a）單邊幅度譜（b）雙邊幅度譜（c）單邊相位譜（d）雙邊相位譜周期信號振幅譜特點(diǎn)：（1）離散譜。（2）諧波性。（3）收斂性。注意：以三角函數(shù)形式表示的振幅與相位隨頻率變化的圖形稱為信號單邊頻譜圖；以指數(shù)形式表示的虛指數(shù)函數(shù)的幅度與相位隨頻率變化的圖形稱為信號雙邊頻譜圖。【例3.2.1】已知周期信號的傅里葉級數(shù)表示式為（1）求周期信號的基波角頻率；（2）畫出周期信號的單邊幅度譜和相位譜。解由于傅里葉級數(shù)用統(tǒng)一的余弦（或正弦）表示，故需要將相同頻率的正、余弦項(xiàng)合并成余弦項(xiàng)，也需要將正弦項(xiàng)化成余弦項(xiàng)，即其中故周期信號可表示為（1）求基波角頻率。周期應(yīng)該是的最小公倍數(shù)，故，基波角頻率，故可以表示為（2）根據(jù)上式，即可畫出周期信號的單邊幅度譜和相位譜例已知周期信號f(t)=2cos(2лt-3)+sin(6лt),求傅立葉級數(shù)指數(shù)表示式，并畫出其頻譜．|Fn|ωω0-ω0ω3-ω310.5Φnωω0-ω0ω3-ω33-л/2л/23.2.2周期矩形脈沖的頻譜幅度為A，脈沖寬度為τ，周期為T的周期矩形脈沖信號，在一個(gè)周期內(nèi)可表示為

其復(fù)系數(shù)考慮到，上式也可表示為

由此可得的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為

取樣（抽樣）函數(shù)。它在通信理論中應(yīng)用很多，是一個(gè)重要函數(shù)。該函數(shù)具有以下特點(diǎn)：①是偶函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，是以為振幅的“正弦函數(shù)”，因而對于x的正負(fù)兩半軸都為衰減的正弦振蕩；③在處，，即，而在處，有；④。則周期矩形脈沖的傅里葉復(fù)系數(shù)可改寫為因此，的圖形與Sa(x)的曲線相似。n只能取0、±1±2、…，的頻譜圖形是圖中虛線上的離散值，虛線稱為頻譜的包絡(luò)線，頻譜可以看成是對包絡(luò)線的離散抽樣。圖為上述矩形脈沖的幅度譜和相位譜。信號的重復(fù)周期T和脈沖持續(xù)時(shí)間τ與頻譜的關(guān)系（1）T不變與τ變化：當(dāng)保持周期T不變，而將脈沖寬τ減小，則頻譜的幅度隨之減小，相鄰譜線的間隔不變，頻譜包絡(luò)線過零點(diǎn)的頻率增高，頻率分量增多，頻譜幅度的收斂速度相應(yīng)變慢。F0=Aτ/TΩ1=2л/T（2）τ不變而周期T不同：隨著周期T↑，頻譜幅度隨之↓，相鄰譜線的間隔變小，譜線變密。但其頻譜包絡(luò)線的過零點(diǎn)所在位置不變。如果周期無限增長（變?yōu)榉侵芷谛盘枺?，此時(shí)，相鄰譜