2019年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出

的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.（3分）下列各數(shù)是正數(shù)的是（）

A.0B.5C.-1D.-V2

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.x^rx=xB.(-3?)2=-9x

C.X3,X3=2X6D.(x3)2=x6

4.（3分）2019年6月8日，全國鐵路發(fā)送旅客約9560000次，將數(shù)

據(jù)9560000科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9.56X106B.95.6X105C.0.956X107D.956X104

5.（3分）下表是我市七個縣（區(qū)）今年某日最高氣溫（℃）的統(tǒng)計

結(jié)果:

縣（區(qū)）平山區(qū)明山區(qū)溪湖區(qū)南芬區(qū)高新區(qū)本溪縣恒仁縣

氣溫26262525252322

（℃）

則該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.25,25B.25,26C.25,23D.24,25

6.（3分）不等式組卜一3>°的解集是（）

l2x-8<0

A.x>3B.%W4C.x<3D.3<%W4

7.（3分）如圖所示，該幾何體的左視圖是（）

8.（3分）下列事件屬于必然事件的是（）

A.打開電視，正在播出系列專題片“航拍中國”

B.若原命題成立，則它的逆命題一定成立

C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小

D.在數(shù)軸上任取一點，則該點表示的數(shù)一定是有理數(shù)

9.（3分）為推進(jìn)垃圾分類，推動綠色發(fā)展.某化工廠要購進(jìn)甲、乙

兩種型號機(jī)器人用來進(jìn)行垃圾分類.用360萬元購買甲型機(jī)器人

和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同，兩種型號機(jī)器人的單

價和為140萬元.若設(shè)甲型機(jī)器人每臺％萬元，根據(jù)題意，所列

方程正確的是（）

A.360=480B.360=480

x140-x140-xx

C.360+480=140D.360_-140=%

XXXX

10.（3分）如圖，點尸是以A6為直徑的半圓上的動點，CA1AB,

PDLAC于點。，連接AP,設(shè)A尸=%,PA-PD=y,則下列函數(shù)

圖象能反映y與％之間關(guān)系的是（）

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）若?二在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍為.

12.（3分）函數(shù)y=5%的圖象經(jīng)過的象限是.

13.（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程f-4%+左=0有實數(shù)根，那么

上的取值范圍是.

14.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A,5的坐標(biāo)分別是A（4,2）,

B（5,0）,以點O為位似中心，相似比為L,把縮小，得

2

到△AiBO,則點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為.

15.（3分）如圖，5。是矩形A5CD的對角線，在和上分別

截取BE,BF,使BE=BF；分別以E,尸為圓心，以大于工石廠的

2

長為半徑作弧，兩弧在NA5D內(nèi)交于點G,作射線5G交AO于點

P,若AP=3,則點尸到5。的距離為.

16.（3分）如圖所示的點陣中，相鄰的四個點構(gòu)成正方形，小球只

在點陣中的小正方形A5CZ）內(nèi)自由滾動時，則小球停留在陰影區(qū)

域的概率為.

BC

17.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△。45和菱形OCDE

的邊。4,0E都在入軸上，點。在05邊上，SAABD=M，反比例

18.（3分）如圖，點B在直線/：y=界上，點5的橫坐標(biāo)為2,過

所作交入軸于點A”以AiS為邊，向右作正方形AiS/G，

延長52G交工軸于點A2；以42星為邊，向右作正方形Az/SG，

延長以。2交工軸于點斗3；以43與3為邊，向右作正方形AsSSG

延長&G交工軸于點A4；…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，點Q的橫

三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）

2

19.（10分）先化簡，再求值］aY+2,其中。滿

a2-4a+42-aa2-2a

足cT+3a~2=0.

20.（12分）某中學(xué)為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，成立了以下社團(tuán)：A.機(jī)

器人，B.圍棋，C.羽毛球，D.電影配音.每人只能加入一個

社團(tuán).為了解學(xué)生參加社團(tuán)的情況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽

取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的

統(tǒng)計圖，其中圖（1）中A所占扇形的圓心角為36°.

ABCD項目

圖（1）圖C2）

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有人；

（2）請你將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（3）若該校共有1000學(xué)生加入了社團(tuán)，請你估計這1000名學(xué)生

中有多少人參加了羽毛球社團(tuán)；

（4）在機(jī)器人社團(tuán)活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)

優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加機(jī)器人大賽.用樹狀圖或列

表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.

四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）

21.（12分）如圖，在四邊形A5CZ）中，AB//CD,ADLCD,/B=

45°,延長到點E,DE=DA,連接AE.

（1）求證：AE=BC；

（2）若A5=3,CD=1,求四邊形A5CE的面積.

22.（12分）小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒?，需網(wǎng)購一

個拉桿箱，圖①，②分別是她上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實

物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿。E,箱長5C,拉桿A3

的長度都相等，B,尸在AC上，。在OE上，支桿。F=30CM,

CE：CD=1：3,ZDCF=45°,ZCDF=30°,請根據(jù)以上信息，

解決下列向題.

（1）求4C的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求拉桿端點4到水平滑桿ED的距離（結(jié)果保留根號）.

圖1圖2

五、解答題（滿分12分）

23.（12分）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16

元、工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)

量%（件）（%為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系.

（1）直接寫出y與％之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量工

的取值范圍；

（2）若一次性批發(fā)量不超過60件，當(dāng)批發(fā)量為多少件時，工廠獲

利最大？最大利潤是多少?

六、解答題（滿分12分）

24.（12分）如圖，點尸為正方形的對角線AC上的一點，連

接BP并延長交CD于點E,交AD的延長線于點F,Q0是ADEF

的外接圓，連接。尸.

（1）求證：。尸是。。的切線；

（2）若tanNPDC=L正方形的邊長為4,求。0的半徑

2

和線段0尸的長.

七、解答題（滿分12分）

25.（12分）在RtZkA5C中，ZBCA=90°,ZA<ZABC,。是AC

邊上一點，且0是A3的中點，CE是△5CD的中線.

（1）如圖a,連接0C,請直接寫出NOCE和N04C的數(shù)量關(guān)

系：；

(2)點M是射線EC上的一個動點，將射線繞點。逆時針旋

轉(zhuǎn)得射線ON,使NM0N=NAQ5,ON與射線C4交于點M

①如圖乩猜想并證明線段和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系；

②若N5AC=30°,BC=m,當(dāng)NAON=15°時，請直接寫出線段

ME的長度(用含機(jī)的代數(shù)式表示).

八、解答題(滿分14分)

26.(14分)拋物線y=-^C+bx+c與x軸交于4(-1,0),B(5,

9

0)兩點，頂點為C,對稱軸交為軸于點。，點尸為拋物線對稱軸

CD上的一動點(點尸不與C,。重合).過點。作直線尸5的垂

線交PB于點E,交工軸于點足

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)下的面積為5時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)△PCF為等腰三角形時，請直接寫出點尸的坐標(biāo).

2019年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出

的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.（3分）下列各數(shù)是正數(shù)的是（）

A.0B.5C.-1D.-V2

【分析】此題利用正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念即可解答.

【解答】解：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；5是正數(shù)；甲口-正都

是負(fù)數(shù).

故選：B.

【點評】此題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念.大于0的數(shù)是正數(shù)，正數(shù)前

面加上“-”的數(shù)是負(fù)數(shù).數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義即可判斷.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不

符合題意；

B,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

。、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：B.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對

稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣

的圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：在同一平面內(nèi)，如果把一

個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.x^x=xJB.（-3?）2=-9/

C.x*x=2x6D.（儲）2=%6

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘除運算法則以及幕的乘方運算法則

分別化簡得出答案.

【解答】解：A、xJ^x=x6,故此選項錯誤；

B、（-3f）2=9/，故此選項錯誤；

。、x*x=x,故此選項錯誤；

D、（x3）2=x6,故此選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運算以及幕的乘方運算，

正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

4.（3分）2019年6月8日，全國鐵路發(fā)送旅客約9560000次，將數(shù)

據(jù)9560000科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9.56X106B.95.6X105C.0.956X107D.956X104

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10〃的形式，其中IWIMVIO,

〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多

少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時,

〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負(fù)數(shù).

【解答】解：將數(shù)據(jù)9560000科學(xué)記數(shù)法表示為9.56X106.

故選：A.

【點評】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示

形式為QXIO〃的形式，其中1W|Q|＜10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要

正確確定a的值以及n的值.

5.（3分）下表是我市七個縣（區(qū)）今年某日最高氣溫（℃）的統(tǒng)計

結(jié)果：

縣（區(qū)）平山區(qū)明山區(qū)溪湖區(qū)南芬區(qū)高新區(qū)本溪縣恒仁縣

氣溫26262525252322

（℃）

則該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.25,25B.25,26C.25,23D.24,25

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：???在這7個數(shù)中，25（℃）出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)

最多，

???該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)是25；

把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列位于中間位置的數(shù)是25,

則中位數(shù)為：25；

故選：A.

【點評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最

多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順

序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均

數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

6.（3分）不等式組廠一3>^的解集是（）

[2x-8<0

A.x>3B.x<4C.x<3D.3<x<4

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共

部分即可.

[x-3>0①

【解答】解:(2x-840②‘

由①得：%>3,

由②得：%W4,

則不等式組的解集為3<%W4,

故選：D.

【點評】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解

本題的關(guān)鍵.

7.（3分）如圖所示，該幾何體的左視圖是（）

正面

【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：從左邊看是一個矩形，中間有兩條水平的虛線，

故選：B.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是

左視圖.

8.（3分）下列事件屬于必然事件的是（）

A.打開電視，正在播出系列專題片“航拍中國”

B.若原命題成立，則它的逆命題一定成立

C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小

D.在數(shù)軸上任取一點，則該點表示的數(shù)一定是有理數(shù)

【分析】直接利用隨機(jī)事件以及必然事件的定義分析得出答案.

【解答】解：4、打開電視，正在播出系列專題片“航拍中國”，是

隨機(jī)事件，不合題意；

B.若原命題成立，則它的逆命題一定成立，是隨機(jī)事件，不合題

思；

。、一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小，是必然事件，

符合題意；

。、在數(shù)軸上任取一點，則該點表示的數(shù)一定是有理數(shù)，是隨機(jī)事

件，不合題意；

故選：C.

【點評】此題主要考查了隨機(jī)事件以及必然事件的定義，正確把握

相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

9.（3分）為推進(jìn)垃圾分類，推動綠色發(fā)展.某化工廠要購進(jìn)甲、乙

兩種型號機(jī)器人用來進(jìn)行垃圾分類.用360萬元購買甲型機(jī)器人

和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同，兩種型號機(jī)器人的單

價和為140萬元.若設(shè)甲型機(jī)器人每臺％萬元，根據(jù)題意，所列

方程正確的是（）

A.

360=480B360=480

x140-x140-xx

C.360+480=140D.迪-140=%

XXXX

【分析】設(shè)甲種型號機(jī)器人每臺的價格是％萬元，根據(jù)“用360萬

元購買甲型機(jī)器人和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同”，列

出關(guān)于％的分式方程.

【解答】解:設(shè)甲型機(jī)器人每臺％萬元,根據(jù)題意，可得:迎*

x140-x

故選：A.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵正確找出等量關(guān)

系，列出分式方程.

10.（3分）如圖，點尸是以A5為直徑的半圓上的動點，CA±AB,

尸。，AC于點。，連接AP,設(shè)A尸=%,PA-PD=y,則下列函數(shù)

圖象能反映y與％之間關(guān)系的是（）

【分析】設(shè)圓的半徑為R,連接PB,則sinNA5P=更，X，則

2R2R

PD=APsina=xXJi_=A.x1,即可求解.

2R2R

【解答】設(shè)：圓的半徑為凡連接尸5

'：CA±AB,即4。是圓的切線，則NPZM=NPB4=a,

則PD=APsina=xX_1_=,

2R2R

貝!Jy=PA-PD=-_iy+%,

2R

圖象為開口向下的拋物線，

故選：C.

【點評】本題考查的動點的函數(shù)圖象，涉及到解直角三角形、圓的

切線的性質(zhì)、二次函數(shù)基本性質(zhì)等，關(guān)鍵是找出相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)

系，列出函數(shù)表達(dá)式.

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）若g在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則％的取值范圍為.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得％-220,再解即可.

【解答】解：由題意得：X-2三0,

解得:

故答案為：入22.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次

根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

12.（3分）函數(shù)y=5%的圖象經(jīng)過的象限是一、三.

【分析】利用這個比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合比例系數(shù)的符號直接回答即

可.

【解答】解：函數(shù)y=5%的圖象經(jīng)過一三象限，

故答案為：一、三

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)丁="（左W0）,

左＞0時，圖象在一三象限，呈上升趨勢，當(dāng)左＜0時，圖象在二四

象限，呈下降趨勢.

13.（3分）如果關(guān)于工的一元二次方程%2-4%+左=0有實數(shù)根，那么

左的取值范圍是kW4.

【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0,列

出關(guān)于左的不等式，求出不等式的解集即可得到上的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：左三0,

解得:左W4.

故答案為：女W4.

【點評】此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有

兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0,方程有兩個相等的

實數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有實數(shù)根.

14.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A,5的坐標(biāo)分別是A（4,2）,

B（5,0）,以點O為位似中心，相似比為L把△人5?？s小，得

2

到△A15。，則點A的對應(yīng)點Ai的坐標(biāo)為（2,1）或（-2,-

1）.

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：以點O為位似中心，相似比為L把△斗臺?？s小，點

2

A的坐標(biāo)是4（4,2）,

則點4的對應(yīng)點Ai的坐標(biāo)為（4X\2X1）^（-4X1,-2X1）,

2222

即（2,1）或（-2,-1）,

故答案為：（2,1）或（-2,-1）.

【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如

果位似變換是以原點為位似中心，相似比為左，那么位似圖形對應(yīng)

點的坐標(biāo)的比等于k或-k.

15.（3分）如圖，5。是矩形的對角線，在5A和上分別

截取5E,BF,使BE=BF；分別以E,尸為圓心，以大于工石廠的

2

長為半徑作弧，兩弧在NA5D內(nèi)交于點G,作射線5G交于點

P,若A尸=3,則點一到5。的距離為3.

【分析】首先結(jié)合作圖的過程確定5尸是NA5。的平分線，然后根

據(jù)角平分線的性質(zhì)求得點P到BD的距離即可.

【解答】解：結(jié)合作圖的過程知：BP平分/ABD,

VZA=90°,AP=3,

.??點尸到50的距離等于AP的長，為3,

故答案為：3.

【點評】考查了尺規(guī)作圖的知識及角平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形確定50平分NA5Z）.

16.（3分）如圖所示的點陣中，相鄰的四個點構(gòu)成正方形，小球只

在點陣中的小正方形A5CZ）內(nèi)自由滾動時，則小球停留在陰影區(qū)

域的概率為紅.

???>?

.4Pzz?

BC

????

【分析】如圖所示，A。與直線的交點為E,A5與直線的交點為廠,

分別求出AE、A尸所占邊長的比例即可解答.

【解答】解：如圖所示，AO與直線的交點為E,A3與直線的交點

為F,

根據(jù)題意可知杷卷四，

▲AB

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

2AF

*'?研

3

.1—11I1

SAEAF=XABXABAB9?

,,AAEF乙^'V乙f乙TJ^JV.4

???小球停留在陰影區(qū)域的概率為：

1212

故答案為：目

12

【點評】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率=相

應(yīng)的面積與總面積之比.

17.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△QA5和菱形OCDE

的邊。4,0E都在入軸上，點。在05邊上，S"=M，反比例

函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過點'則上的值為—亞

X

【分析】連接0。，由4。45是等邊三角形，得至UNAO5=60°,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NDEO=NAO5=60°,推出△￡>2)是等

邊三角形，得到NZ)OE=NR4O=60°,得至U0D//AB,求得

=SAAOD^推出S/\AOB=S&ABD=過5作BH^LOA于H,由等邊

三角形的性質(zhì)得到0"=A",求得S^BH=返，于是得到結(jié)論.

2

【解答】解：連接0。，

?二△。45是等邊三角形，

ZAOB^60°,

?.?四邊形OCDE是菱形,

J.DE//OB,

：.ZDEO=ZAOB=60°,

.?.△DEO是等邊三角形，

：.ZDOE=ZBAO=60°,

J.OD//AB,

??S&BDO=S^AOD，

?S四邊形ABOO=SzX40o+SzXABO=Sz\EOo+SzviOB，

??SAAOB=SAABD=

過5作于”,

Z.OH=AH,

SAOBH=^-,

2

?.?反比例函數(shù)y=k(%>0)的圖象經(jīng)過點5,

X

???左的值為

故答案為：M.

3

【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，等邊三角形的

性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，同底等高的三角形的面積，正確的作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

18.（3分）如圖，點S在直線/：尸費上，點5的橫坐標(biāo)為2,過

所作51Al_U，交入軸于點A”以A15為邊，向右作正方形Ai^/G，

延長52G交工軸于點A2；以42星為邊，向右作正方形Az/SG，

延長華。2交工軸于點斗3；以43與3為邊，向右作正方形4與3與4。3

延長&G交工軸于點44；…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，點Q的橫

坐標(biāo)為—工+（在）n-l_（結(jié)果用含正整數(shù)〃的代數(shù)式表示）

y

【分析】根據(jù)點8的橫坐標(biāo)為2,在直線/：y=率上，可求出點

8的坐標(biāo)，由作圖可知圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊

的比都是1：2,然后依次利用相似三角形的性質(zhì)計算出G、Q、

G、。4……的橫坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律得出答案.

【解答】解：過點氏、G、。2、。3、。4分別作B.DLx軸，C1D1

軸，C2O21.%軸，軸，軸，.垂足分別為。、

D\＞。2、。3、。4...........

..?點5在直線/：尸會上，點B的橫坐標(biāo)為2,

???點Bi的縱坐標(biāo)為1,

即：00=2,BQ=1,

圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1：2,

B?D]DA?CJD?D?A2

OD-2飛2一人通1—JD1一

...點G的橫坐標(biāo)為:2+1+(3)。，

22

點G的橫坐標(biāo)為：2+L+(3)°+(1)°xl+(2)1=反+(2)0

2224222

XA+(1)1

42

點G的橫坐標(biāo)為：2+1+(2)°+(1)°xl+(2)]+(1)嘆上+

2224224

(1)2=3+(S)°x3+(1)'xl++2

2224249

1+(1)°X1+(3)1義5+(S)2xl+(1)

點C4的橫坐標(biāo)為:

22424242

3

點3的橫坐標(biāo)為：=$+(上)°xA+(2)1x3+(1)2xA+(2)

22424242

3X1+(W)4X1+(2)n-l

4242

=A+A[(W)°+(2)'x+(3)2+(S)3+(I)4]+(2)n-]

24222222

尸

在計算探索的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出一般性的結(jié)論.

三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）

2

19.（10分）先化簡，再求值1aY一4+2,其中。滿

a2-4a+42-aa2-2a

足a'+3a-2=0.

【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后根據(jù)

cr+3a-2=0,可以求得所求式子的值.

o

[解^答]角狷

a-4a+42-aa2-2a

=[(a+2)(a-2)、1]a(a-2)

(a-2)2f

=(a+2*1)ra(a-2)

a-2a-2.-2-

=a+3產(chǎn)仁-2)

7^.~2-

=a(a+3)

a2+3a

=---,

2

,：cT+3a-2=0,

/+3。=2,

?'?原式=2=1.

2

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化

簡求值的方法.

20.（12分）某中學(xué)為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，成立了以下社團(tuán)：A.機(jī)

器人，B.圍棋，C.羽毛球，D.電影配音.每人只能加入一個

社團(tuán).為了解學(xué)生參加社團(tuán)的情況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽

取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有，人;

(2)請你將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

(3)若該校共有1000學(xué)生加入了社團(tuán)，請你估計這1000名學(xué)生

中有多少人參加了羽毛球社團(tuán)；

(4)在機(jī)器人社團(tuán)活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)

優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加機(jī)器人大賽.用樹狀圖或列

表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.

【分析】(1)由4類有20人，所占扇形的圓心角為36°,即可求

得這次被調(diào)查的學(xué)生數(shù)；

(2)首先求得。項目對應(yīng)人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計圖；

(3)該校1000學(xué)生數(shù)X參加了羽毛球社團(tuán)的人數(shù)所占的百分比即

可得到結(jié)論；

(4)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的

結(jié)果與恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的情況，再利用概率公式即可求得

答案.

【解答】解：(1).「A類有20人，所占扇形的圓心角為36°,

，這次被調(diào)查的學(xué)生共有：20+旦=200(人)；

360

故答案為：200；

(2)。項目對應(yīng)人數(shù)為：200-20-80-40=60(人)；

補(bǔ)充如圖.

人數(shù)（人）

80

60

40

20

BC。項目

圖（2）

(3)1000X_§2_=300(人)

200

答：這1000名學(xué)生中有300人參加了羽毛球社團(tuán);

（4）畫樹狀圖得:

/N/N/1\/1\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

???共有12種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種,

：.P（選中甲、乙）=-2_=1.

126

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及扇形與條形統(tǒng)計

圖.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）

21.（12分）如圖，在四邊形4BCD中，AB//CD,AD±CD,ZB=

45°,延長CD到點E,使。E=D4,連接4E.

（1）求證：AE=BC；

（2）若A5=3,CD=1,求四邊形A5CE的面積.

【分析】（1）通過證明四邊形A5CE是平行四邊形，可得結(jié)論；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求。E=AZ）=2,即可求四邊形A5CE

的面積.

【解答】證明：（1）,JAB//CD,ZB=45°

AZC+ZB=180°

/.ZC=135°

"：DE=DA,ADVCD

―45°

VZE+ZC=180°

C.AE//BC,^AB//CD

：.四邊形ABCE是平行四邊形

：.AE^BC

（2）?..四邊形A5CE是平行四邊形

：.AB^CE=3

：.AD=DE=AB-CD=2

J四邊形A5CE的面積=3X2=6

【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練運用平行四邊形

的判定是本題的關(guān)鍵.

22.（12分）小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒?，需網(wǎng)購一

個拉桿箱，圖①，②分別是她上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實

物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿。E,箱長5C,拉桿A3

的長度都相等，B,尸在AC上，。在DE上，支桿。尸=30c機(jī)，

CE：CD=1：3,ZDCF=45°,/CDF=30°,請根據(jù)以上信息，

解決下列向題.

（1）求4C的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求拉桿端點A到水平滑桿ED的距離（結(jié)果保留根號）.

【分析】（1）過戶作FHLDE于H,解直角三角形即可得到結(jié)論;

（2）過A作AGLED交的延長線于G,根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）過F作FHLDE于H,

:.NFHC=/FHD=90°,

,：ZFDC=30°,DF=30,

：.FH=LDF=15,DH=?DF=15M，

22

VZFCH=45°,

：.CH=FH=15,

CD=CH+DH=15+15V3,

?：CE：CD=1：3,

DE=1CD=20+2073，

3

?：AB=BC=DE,

：.AC=（40+40后cm；

（2）過4作AGJ_ED交ED的延長線于G,

VZACG=45°,

：.AG=^1AC=20停20注，

答：拉桿端點4到水平滑桿位）的距離為（20佟20注）cm.

圖2

【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本

概念及運算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.

五、解答題（滿分12分）

23.（12分）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16

元、工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)

量%（件）（%為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系.

（1）直接寫出y與％之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量工

的取值范圍；

（2）若一次性批發(fā)量不超過60件，當(dāng)批發(fā)量為多少件時，工廠獲

利最大？最大利潤是多少？

A1'（元）

20406080x(件)

【分析】（1）認(rèn)真觀察圖象，分別寫出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式，

定義域取值全部是整數(shù)；

（2）根據(jù)利潤=（售價-成本）X件數(shù)，列出利潤的表達(dá)式，求

出最值.

【解答】解：（1）當(dāng)0<%W20且％為整數(shù)時，尸40；

當(dāng)20<x<60且x為整數(shù)時，y=-4+50；

2

當(dāng)%>60且％為整數(shù)時，y=20；

（2）設(shè)所獲利潤w（元）,

當(dāng)0<%W20且%為整數(shù)時，y=40,

.*.w=（40-16）X20=480元,

，當(dāng)20<%W60且x為整數(shù)時，y=-4+50,

2

?*.w=(y-16)x=(--kx+50-16)%,

2

-區(qū)2+34%,

2

-1(x-34)2+578,

2

2

?\當(dāng)％=34時，w最大，最大值為578元.

答:一次批發(fā)34件時所獲利潤最大，最大利潤是578元.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出

函數(shù)表達(dá)式并熟練運用性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

六、解答題（滿分12分）

24.（12分）如圖，點尸為正方形A5co的對角線AC上的一點，連

接BP并延長交CD于點E,交AD的延長線于點F,Q0是4DEF

的外接圓，連接。尸.

（1）求證：。尸是00的切線；

（2）若tanNPDC=L正方形A5C。的邊長為4,求。0的半徑

2

和線段0尸的長.

［分析】（1）連接0D,可證△CDPZ△CBP,可得NCDP=ZCBP,

由/CBP+/BEC=90°,/BEC=N0ED=/0DE,可證出N0DP

=90°,則。尸是。。的切線；

（2）先求出CE長，在RtZkDE尸中可求出E尸長，證明△。尸Es

△FPD,由比例線段可求出E尸長，則。尸可求出.

【解答】（1）連接0。，

,正方形A5C。中，CD=BC,CP=CP,ZDCP=ZBCP=45°,

:.ACDPQACBP(SAS),

：./CDP=/CBP,

：.ZCBP+ZBEC=90°,

,：OD=OE,

：.ZODE=ZOED,

ZOED=ZBEC,

：.NBEC=ZOED=ZODE,

：.ZCDP+ZODE=90°,

.?.ZODP=90°,

J。尸是。。的切線；

(2)'：ZCDP=ZCBE,

,Jan/cBE二tanNCDP=

fDgC=%Z

CE—l-x4=2，

2

:.DE=2,

?：/EDF=90°,

???E/是。。的直徑,

：.ZF+ZDEF^90°,

：.ZF=ZCDP,

在/中，述』,

DF-2

Z.DF=4,

,,EF=VDE2+DF2=V42+22=

JOE二旗，

?：/F=/PDE,ZDPE=ZFPD,

.,.ADPE^AFPD,

PE_PD_DE；

??麗=PF=DF'

設(shè)PE=x,則尸。=2%,

'x(x+2j^)=(2x)2，

解得％=然，

：.OP=OE+EP訴

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、正方形的性

質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三

角函數(shù)的運用；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)并結(jié)合銳角三角函數(shù)進(jìn)

行計算是解決問題的關(guān)鍵.

七、解答題（滿分12分）

25.（12分）在RtZ\A5C中，ZBCA=90°,ZA<ZABC,。是AC

邊上一點，且0是A3的中點，CE是△5CD的中線.

（1）如圖。，連接0C,請直接寫出NOCE和N04C的數(shù)量關(guān)系：

ZOCE=ZOAC；

(2)點M是射線EC上的一個動點，將射線繞點。逆時針旋

轉(zhuǎn)得射線ON,使NM0N=NAD5,ON與射線C4交于點M

①如圖乩猜想并證明線段和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系；

②若N5AC=30°,BC=m,當(dāng)NAON=15°時，請直接寫出線段

ME的長度(用含機(jī)的代數(shù)式表示).

【分析】(1)結(jié)論：ZECO=ZOAC.理由直角三角形斜邊中線定

理，三角形的中位線定理解決問題即可.

(2)①只要證明△COMZ/VION(ASA),即可解決問題.

②分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)點N在CA的延長線上時，如圖

3-2中，當(dāng)點N在線段AC上時，作于".分別求解即

可解決問題.

【解答】解：(1)結(jié)論：ZECO=ZOAC.

理由：如圖1中，連接OE.

圖1

VZBCD=90°，BE=ED,BO=OA,

?：CE=ED=EB=LBD,CO=OA=OB,

2

：.ZOCA=ZA,

?：BE=ED,BO=OA,

：.OE//AD,OE=1AD,

2

：.CE=EO.

：.ZEOC=ZOCA=ZECO,

：.ZECO=ZOAC.

故答案為：ZOCE=ZOAC.

(2)如圖2中,

VOC=OA,DA=DB,

：.ZA=ZOCA=ZABD,

：.ZCOA=ZADB,

,：ZMON=ZADB,

：.ZAOC=ZMON,

：.ZCOM=ZAON,

ZECO=ZOAC,

，ZMCO=ZNAO,

OC=OA,

.,.△COMQAAON(ASA),

：.OM=ON.

②如圖3-1中，當(dāng)點N在。A的延長線上時,

VZG4B=30°=/OAN+/ANO,ZAON=15°,

：.ZAON=ZANO=15°,

.'.OA=AN=m,

?：△OCMQAOAN,

:.CM=AN=m,

在Rt45CZ)中，'：BC=m,ZCDB=60°,

3

?：BE=ED,

：.CE=LBD=Jim,

23_

Z.EM=CM+CE=m+運n.

3

如圖3-