機(jī)械能守恒定律一．知識(shí)聚焦1．定義：物體由于做機(jī)械運(yùn)動(dòng)而具有的能叫機(jī)械能，用符號(hào)E表示，它是動(dòng)能和勢(shì)能(包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能)的統(tǒng)稱．2．表達(dá)式：E＝Ek＋Ep.機(jī)械能是標(biāo)量，沒有方向，只有大小，可有正負(fù)(因勢(shì)能可有正負(fù))．3．機(jī)械能具有相對(duì)性：因?yàn)閯?shì)能具有相對(duì)性(需確定零勢(shì)能參考平面)，同時(shí)，與動(dòng)能相關(guān)的速度也具有相對(duì)性(應(yīng)該相對(duì)于同一慣性參考系，一般是地面)，所以機(jī)械能也具有相對(duì)性．只有在確定的參考系和零勢(shì)能參考平面的情況下，機(jī)械能才有確定的物理意義二．經(jīng)典例題例1以下物體中，機(jī)械能守恒的是()A．做平拋運(yùn)動(dòng)的物體B．被勻速吊起的集裝箱C．光滑曲面上自由運(yùn)動(dòng)的物體D．物體以eq\f(4,5)g的加速度豎直向上做勻減速運(yùn)動(dòng)解析物體做平拋運(yùn)動(dòng)或沿光滑曲面自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，不受摩擦力，在曲面上彈力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，所以A、C項(xiàng)正確；勻速吊起的集裝箱，繩的拉力對(duì)它做功，不滿足機(jī)械能守恒的條件，機(jī)械能不守恒；物體以eq\f(4,5)g的加速度向上做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律F－mg＝m(－eq\f(4,5)g)，有F＝eq\f(1,5)mg，那么物體受到豎直向上的大小為eq\f(1,5)mg的外力作用，該力對(duì)物體做了正功，機(jī)械能不守恒．答案AC例2如下圖，在水平臺(tái)面上的A點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)量為m的物體以初速度v0被拋出，不計(jì)空氣阻力，求它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大?。馕鑫矬w拋出后的運(yùn)動(dòng)過程中只受重力作用，機(jī)械能守恒，假設(shè)選地面為參考面，那么mgH＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mg(H－h(huán))＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得vB＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)假設(shè)選桌面為參考面，那么eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝－mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為vB＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)答案eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)例3如下圖，斜面的傾角θ＝30°，另一邊與地面垂直，高為H，斜面頂點(diǎn)上有一定滑輪，物塊A和B的質(zhì)量分別為m1和m2，通過輕而柔軟的細(xì)繩連結(jié)并跨過定滑輪．開始時(shí)兩物塊都位于與地面垂直距離為eq\f(1,2)H的位置上，釋放兩物塊后，A沿斜面無摩擦地上滑，B沿斜面的豎直邊下落．假設(shè)物塊A恰好能到達(dá)斜面的頂點(diǎn)，試求m1和m2的比值．滑輪的質(zhì)量、半徑和摩擦均可忽略不計(jì)．解析設(shè)B剛下落到地面時(shí)速度為v，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得m2geq\f(H,2)－m1geq\f(H,2)sin30°＝eq\f(1,2)(m1＋m2)v2①A物體以v上滑到頂點(diǎn)過程中機(jī)械能守恒eq\f(1,2)m1v2＝m1geq\f(H,2)sin30°②由①②得eq\f(m1,m2)＝1∶2答案1∶2例4質(zhì)量為m的物體，從靜止開始以2g的加速度豎直向下運(yùn)動(dòng)h高度，以下說法中正確的選項(xiàng)是()A．物體的重力勢(shì)能減少2mghB．物體的機(jī)械能保持不變C．物體的動(dòng)能增加2mghD．物體的機(jī)械能增加mgh解析因重力做了mgh的功，由重力做功與重力勢(shì)能變化關(guān)系可知重力勢(shì)能減少mgh，合力做功為2mgh，由動(dòng)能定理可知?jiǎng)幽茉黾?mgh，除重力之外的力做功mgh，所以機(jī)械能增加mgh，A、B錯(cuò)，C、D對(duì)．答案CD例5用彈簧槍將一質(zhì)量為m的小鋼球以初速度v0豎直向上彈出，不計(jì)空氣阻力，當(dāng)小鋼球的速度減為eq\f(v0,4)時(shí)，鋼球的重力勢(shì)能為(取彈出鋼球點(diǎn)所在水平面為參考面)()A.eq\f(15,32)mveq\o\al(2,0)B.eq\f(17,32)mveq\o\al(2,0)C.eq\f(1,32)mveq\o\al(2,0)D.eq\f(4,9)mveq\o\al(2,0)答案A解析由eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝Ep＋eq\f(1,2)m(eq\f(v0,4))2得Ep＝eq\f(15,32)mveq\o\al(2,0).三、根底演練1.關(guān)于機(jī)械能守恒，以下說法正確的選項(xiàng)是()A．物體勻速運(yùn)動(dòng)，其機(jī)械能一定守恒B．物體所受合外力不為零，其機(jī)械能一定不守恒C．物體所受合外力做功不為零，其機(jī)械能一定不守恒D．物體沿豎直方向向下做加速度為5m/s2的勻加速運(yùn)動(dòng)，其機(jī)械能減少答案D2．如下圖，在抗洪救災(zāi)中，一架直升機(jī)通過繩索，用恒力F豎直向上拉起一個(gè)漂在水面上的木箱，使其由水面開始加速上升到某一高度，假設(shè)考慮空氣阻力而不考慮空氣浮力，那么在此過程中，以下說法正確的有()A．力F所做功減去克服阻力所做的功等于重力勢(shì)能的增量B．木箱克服重力所做的功等于重力勢(shì)能的增量C．力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱動(dòng)能的增量D．力F和阻力的合力所做的功等于木箱機(jī)械能的增量答案BCD解析對(duì)木箱受力分析如右圖所示，那么由動(dòng)能定理：WF－mgh－WFf＝ΔEk，故C對(duì)．由上式得：WF－WFf＝ΔEk＋mgh，即WF－WFf＝ΔEk＋ΔEp＝ΔE，故A錯(cuò)，D對(duì)．3.如下圖，細(xì)繩跨過定滑輪懸掛兩物體M和m，且M>m，不計(jì)摩擦，系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)過程中()A．M、m各自的機(jī)械能分別守恒B．M減少的機(jī)械能等于m增加的機(jī)械能C．M減少的重力勢(shì)能等于m增加的重力勢(shì)能D．M和m組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒解析：M下落過程，繩的拉力對(duì)M做負(fù)功，M的機(jī)械能不守恒，減少；m上升過程，繩的拉力對(duì)m做正功，m的機(jī)械能增加，A錯(cuò)誤．對(duì)M、m組成的系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，易得B、D正確；M減少的重力勢(shì)能并沒有全部用于m重力勢(shì)能的增加，還有一局部轉(zhuǎn)變成M、m的動(dòng)能，所以C錯(cuò)誤．答案：BD4．(2009年?duì)I口質(zhì)檢)如圖13所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上．假設(shè)以地面為零勢(shì)能面而且不計(jì)空氣阻力，那么①物體到海平面時(shí)的勢(shì)能為mgh②重力對(duì)物體做的功為mgh③物體在海平面上的動(dòng)能為eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh④物體在海平面上的機(jī)械能為eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)其中正確的選項(xiàng)是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④解析：以地面為零勢(shì)能面，物體到海平面時(shí)的勢(shì)能為－mgh，①錯(cuò)，重力對(duì)物體做功為mgh，②對(duì)；由機(jī)械能守恒，eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝Ek－mgh，Ek＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh，③④對(duì)，應(yīng)選B.答案：B5.如圖14所示，一輕質(zhì)彈簧豎立于地面上，質(zhì)量為m的小球，自彈簧正上方h高處由靜止釋放，那么從小球接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短(彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi))的過程中，以下說法正確的選項(xiàng)是()小球的機(jī)械能守恒重力對(duì)小球做正功，小球的重力勢(shì)能減小C．由于彈簧的彈力對(duì)小球做負(fù)功，所以彈簧的彈性勢(shì)能一直減小D．小球的加速度先減小后增大解析：小球與彈簧作用過程，彈簧彈力對(duì)小球做負(fù)功，小球的機(jī)械能減小，轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，使彈性勢(shì)能增加，因此A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；小球下落過程中重力對(duì)小球做正功，小球的重力勢(shì)能減小，B正確；分析小球受力情況，由牛頓第二定律得：mg－kx＝ma，隨彈簧壓縮量的增大，小球的加速度a先減小后增大，故D正確．答案：BD6.利用傳感器和計(jì)算機(jī)可以測(cè)量快速變化的力，如圖16所示是用這種方法獲得的彈性繩中拉力F隨時(shí)間的變化圖象．實(shí)驗(yàn)時(shí)，把小球舉高到繩子的懸點(diǎn)O處，然后讓小球自由下落．從圖象所提供的信息，判斷以下說法中正確的選項(xiàng)是()A．t1時(shí)刻小球速度最大B．t2時(shí)刻小球動(dòng)能最大C．t2時(shí)刻小球勢(shì)能最大D．t2時(shí)刻繩子最長解析：小球自由下落的過程中，t1時(shí)刻繩子的拉力為零，此時(shí)速度不是最大，動(dòng)能也不是最大，最大速度的時(shí)刻應(yīng)是繩子拉力和重力相等時(shí)，即在t1、t2之間某一時(shí)刻，t2時(shí)刻繩子的拉力最大，此時(shí)速度為零，動(dòng)能也為零，繩子的彈性勢(shì)能最大，而小球的勢(shì)能不是最大，而是最小，t2時(shí)刻繩子所受拉力最大，繩子最長．答案：D能力提升1.如圖7－8－7所示，某人以拉力F將物體沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是()A．物體做勻速運(yùn)動(dòng)B．合力對(duì)物體做功等于零C．物體的機(jī)械能守恒D．物體的機(jī)械能減小答案C2．以下四個(gè)選項(xiàng)的圖中，木塊均在固定的斜面上運(yùn)動(dòng)，其中圖A、B、C中的斜面是光滑的，圖D中的斜面是粗糙的，圖A、B中的F為木塊所受的外力，方向如圖中箭頭所示，圖A、B、D中的木塊向下運(yùn)動(dòng)，圖C中的木塊向上運(yùn)動(dòng)．在這四個(gè)圖所示的運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒的是()答案C解析依據(jù)機(jī)械能守恒條件：只有重力做功的情況下，物體的機(jī)械能才能保持守恒，由此可見，A、B均有外力F參與做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合機(jī)械能守恒的條件．3.(2010年山東名校聯(lián)考)一質(zhì)量為m的物體，以eq\f(1,3)g的加速度減速上升h高度，不計(jì)空氣阻力，那么()A．物體的機(jī)械能不變B．物體的動(dòng)能減小eq\f(1,3)mghC．物體的機(jī)械能增加eq\f(2,3)mghD．物體的重力勢(shì)能增加mgh解析：設(shè)物體受到的向上的拉力為F.由牛頓第二定律可得：F合＝F－mg＝－eq\f(1,3)mg，所以F＝eq\f(2,3)mg.動(dòng)能的增加量等于合外力所做的功－eq\f(1,3)mgh；機(jī)械能的增加量等于拉力所做的功eq\f(2,3)mgh，重力勢(shì)能增加了mgh，故B、C、D正確，A錯(cuò)誤．答案：BCD4．(2010年成都模擬)如圖10所示，質(zhì)量相等的A、B兩物體在同一水平線上，當(dāng)A物體被水平拋出的同時(shí)，B物體開始自由下落(空氣阻力忽略不計(jì))，曲線AC為A物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，直線BD為B物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，兩軌跡相交于O點(diǎn)，那么兩物體()A．經(jīng)O點(diǎn)時(shí)速率相等B．在O點(diǎn)相遇C．在O點(diǎn)具有的機(jī)械能一定相等D．在O點(diǎn)時(shí)重力的功率一定相等解析：由機(jī)械能守恒定律可知，A、B下落相同高度到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速率不相等，故A錯(cuò)．由于平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向的運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)，兩物體從同一水平線上開始運(yùn)動(dòng)，將同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)，故B正確．兩物體運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，但A具有初動(dòng)能，故它們從同一高度到達(dá)O點(diǎn)時(shí)機(jī)械能不相等，C錯(cuò)誤．重力的功率P＝mgvy，由于兩物體質(zhì)量相等，到達(dá)O點(diǎn)的豎直分速度vy相等，故在O點(diǎn)時(shí)，重力功率一定相等，D項(xiàng)正確．答案：BD五、個(gè)性天地1．如圖7－8－8所示，翻滾過山車軌道頂端A點(diǎn)距地面的高度H＝72m，圓形軌道最高處的B點(diǎn)距地面的高度h＝37m．不計(jì)摩擦阻力，試計(jì)算翻滾過山車從A點(diǎn)由靜止開始下滑運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度．(g取10m/s2)答案26.5m/s解析取水平地面為參考平面，在過山車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，對(duì)過山車與地球組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有mgh＋eq\f(1,2)mv2＝mgH可得過山車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度為v＝eq\r(2gH－h(huán))＝eq\r(2×10×72－37)m/s≈26.5m/s2．某人站在離地面h＝10m高處的平臺(tái)上以水平速度v0＝5m/s拋出一個(gè)質(zhì)量m＝1kg的小球，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，問：(1)人對(duì)小球做了多少功？(2)小球落地時(shí)的速度為多大？答案(1)12.5J(2)15m/s解析(1)人對(duì)小球做的功等于小球獲得的動(dòng)能，所以W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)×1×52J＝12.5J[來源:](2)根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mv2所以v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)＝eq\r(52＋2×10×10)m/s＝15m/s3.如圖7－8－9所示，光滑的水平軌道與光滑半圓軌道相切，圓軌道半徑R＝0.4m．一個(gè)小球停放在水平軌道上，現(xiàn)給小球一個(gè)v0＝5m/s的初速度，求：(g取10m/s2)(1)小球從C點(diǎn)飛出時(shí)的速度．(2)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的作用力是小球重力的幾倍？(3)小球從C點(diǎn)拋出后，經(jīng)多長時(shí)間落地？(4)落地時(shí)速度有多大？答案(1)3m/s(2)1.25倍(3)0.4s(4)v0解析(1)小球運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)C過程中機(jī)械能守恒，有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝2mgR＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)vC＝eq\r(v\o\al(2,0)－4gR)＝eq\r(52－4×10×0.4)m/s＝3m/s(2)對(duì)C點(diǎn)由向心力公式可知FN＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)FN＝meq\f(v\o\al(2,C),R)－mg＝1.25mg由牛頓第三定律可知小球?qū)壍赖膲毫樾∏蛑亓Φ?.25倍．(3)小球從C點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)由2R＝eq\f(1,2)gt2知t＝eq\r(\f(4R,g))＝eq\r(\f(4×0.4,10))s＝0.4s(4)由于小球沿軌道運(yùn)動(dòng)及做平拋運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程機(jī)械能守恒，所以落地時(shí)速度大小等于v0.4如圖6所示，作平拋運(yùn)動(dòng)的小球的初動(dòng)能為6J，不計(jì)一切阻力，它落在斜面上P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為：〔〕圖6