2020-2021學(xué)年銅川一中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共30.0分）

1.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為嚷巴腰和上底均為1的等腰梯形，則這

個(gè)平面圖形的面積（）

A.立B.野在C.1+后D.鬟出、后

鬟喝翦

2.曲線y=/一4》在點(diǎn)（1,一3）處的切線的傾斜角為（）

A.30°B,45°C.60°D.135°

3.下列命題中，真命題是（）

A.Vxe/?,x2>x

B.命題“若x=1,則/=1”的逆命題

C.SxGR,x2>x

D.命題“若x于y,則sinx*siny"的逆否命題

4.如圖所示的是由6個(gè)大小相同的正方體組成的幾何體，它的俯視圖

5.已知條件p:xWl,條件q：L^<0廁娓F成立的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件下D.既不充分也不必要條件

6.如圖，P4是圓柱001的一條母線，AB是底面圓的一條直徑，C是底面圓周

上一點(diǎn)，三棱錐P-ABC的體積與圓柱。。1的體積之比為1：3兀，則

tanZ.CAB=()

A.1

B.V2

C.V3

D.2

7.已知直線Ay=fcr+1與圓0：/+y2=i相交于”，N兩點(diǎn)，且△MON的面積s=更，則k=()

4

A.土苧B.±V3C.日或百D.土苧或土遮

8.在正方體中，過(guò)4B作一垂直于直線&C的平面交平面ADDiA于直線1,動(dòng)點(diǎn)M在直線，上，則直

線/Al與直線CD所成的角的正弦值的最小值是()

A.更B.攻C.立D.；

3222

9.三個(gè)球的半徑之比為1：2：3,那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的()

97

A.1倍B.2倍C.-倍D.-倍

X(X-2)2,X>0,

10.已知函數(shù)/"(>)={4/則函數(shù)y=f(x)—士(x+1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

#-+4,x<04

.x

A.2B.3C.4D.5

二、單空題(本大題共5小題，共20.0分)

11.己知4(3,5,—7)和點(diǎn)8(—2,4,3),點(diǎn)4在％軸上的射影為4,點(diǎn)8在2軸上的射影為8',則線段的

長(zhǎng)為.

12.已知圓C1：/+丫2=1與圓。2：(X-1)2+(y+1)2=1交于a,B兩點(diǎn)，則直線AB的方程為

13.直線2%—y+1=0與直線ax+y+2=0垂直，則a等于.

14.已知直線百％+y-4=0與圓/+y2=9相交于M,N兩點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度為

15.已知下列幾個(gè)命題：

①平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)4(-3,0)和8(3,0)的距離之差的絕對(duì)值等于4,則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線;

②ZMBC的兩個(gè)頂點(diǎn)為4(一4,0),B(4,0),周長(zhǎng)為18,貝DC點(diǎn)軌跡方程為，+9=1；

③若過(guò)點(diǎn)C(l,l)的直線2交橢圓?+?=1于不同的兩點(diǎn)力、B,且C是4B的中點(diǎn)，則直線1的方程是

3%4-4y-7=0；

④設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，48,C為該拋物線上三點(diǎn)，若市+而+元=6,則I同I+1而I+

|FC|=6.

其中真命題的序號(hào)為.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

16.如圖，四棱錐S—4BCD的底面是直角梯形，AB//CD,ABAD=乙4DC=90°,SD_L平面4BCD,

M是S4的中點(diǎn)，AD=SD=CD=2AB=2.

(1)證明：?！?平面￡48；

(2)求點(diǎn)。到平面SCB的距離.

17.己知直線區(qū)，區(qū)區(qū)，求別的值

使得：(1)叵］相交

(2)回垂直

(3)0平行

18.如圖(1),等腰直角三角形做窗的底邊有=4，點(diǎn)殿在線段越匕越因11融于喜，現(xiàn)將

感緘困■沿.疆盤折起到頻整正的位置(如圖(2)).

(I)求證：.掇±.邈;

(口)若,艇1,翻：，直線與平面耀鮮所成的角為題再求卷長(zhǎng).

19.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P(4,M)到焦點(diǎn)的距離為5.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知點(diǎn)4(4,0),M是拋物線上除頂點(diǎn)外的動(dòng)點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線2被以AM為直徑的圓所

截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出，的方程；如果不存在，說(shuō)明理由.

20.如圖，在四棱錐S—ABCD中，已知四邊形ZBCD是邊長(zhǎng)為近的正方形，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)S在

底面ABCD上的射影為點(diǎn)。，點(diǎn)P在棱S。上，且四棱錐S-4BCD的體積為|.

(1)若點(diǎn)P是S。的中點(diǎn)，求證：平面SCO_L平面/MC；

(2)若二面角P-AC-S的余弦值為言，求直線C。與平面24c所成角的正弦值.

21.已知圓/+y2=4內(nèi)有一點(diǎn)用(一1,1),AB為過(guò)點(diǎn)PO且傾斜角為a的弦.

(1)當(dāng)a=135。時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)平分時(shí)，求直線4B的方程.

參考答案及解析

I.答案：D

解析：試題分析：斜二測(cè)法作圖要注意：①與窩軸垂直的直線，在直觀圖中畫為與/軸'成

筆式或者吃蜉角的直線：②與塞軸平行的線段，在直觀圖中與小軸平行，且長(zhǎng)度保持不變；與般軸

平行的線段，在直觀圖中與/軸平行，且長(zhǎng)度為原來(lái)的一半,可計(jì)算直觀圖中梯形下底長(zhǎng)為1+原，

所以該平面圖形的面積為6=俗=雪"依，選。.

考點(diǎn)：平面圖形的斜二測(cè)畫法.

2.答案：D

解析：解：由y=^-4x可得，/=3X2-4,設(shè)傾斜角為a,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)(1,-3)處的切線的斜率k=-1,

即tana=-L又因?yàn)閍6[0,180°),

故a=135°.

故選：D.

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率，然后結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

3.答案：C

解析：解：對(duì)于4當(dāng)％6(0,1)時(shí)，不等式不成立，故4為假；

對(duì)于8,命題“若x=1,則/=1”的逆命題是“若/=1,則％=1”不正確，因?yàn)?=1,則％=±i,

故逆命題不正確；

對(duì)于C,當(dāng)X6(-8,0]u[1,+8)時(shí)，不等式，/2》成立，故此命題正確，

對(duì)于D,題''若x彳y,則sinx。siny"不對(duì)，如y=x+2;r時(shí)，由于原命題不正確，故其逆否命題

也不正確.

故選：C.

考查選項(xiàng)中的四個(gè)命題，依據(jù)它們所涉及到的知識(shí)對(duì)其真假性作出判斷即可.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)選項(xiàng)中的命題涉及到的知識(shí)記憶熟練，

4.答案：D

解析：解：從上面看易得該幾何體共兩層，

第一層有四個(gè)連續(xù)的正方形，

第二層有一個(gè)正方形，且與第一層的第二個(gè)正方形相鄰，

分析后易得。中圖形滿足條件，

故選：。

找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中.

本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

5.答案：B

解析：本題主要考查原命題，否命題以及必要條件、充分條件和充要條件.

解：條件p：xwi，條件g：上*<0/解得條件q：{工,<0或%>1},l切為{xpKxKl},所以

P是rg成立的必要不充分條件?

故選B.

6.答案：A

解析：解：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為八，Z.CAB=6(0°<0<90°),

2

由N4CB=90。，可得：ShABC=1-2rcos9-2rsin0=rsin29,

VP-ABC—1?r2sin26-h,%=nr2h,

打2s譏20”1-

=——=sin20=1=6=45。，tand=1.

nr2h

故選：A.

設(shè)圓柱的底面半徑為八高為人ZC^=0(O0<0<9O°),分別寫出棱錐與圓柱的體積，結(jié)合已知

求得則答案可求.

本題考查圓柱與棱錐體積的求法，訓(xùn)練了由已知三角函數(shù)值求角，是基礎(chǔ)題.

7.答案：D

解析：解：根據(jù)題意，圓。/+y2=1的圓心為（0,0）,半徑為r=i,

設(shè)圓心到直線/的距離為d,

則弦長(zhǎng)|MN|=2xVr2-d2=2Vl-d2）

又由△MON的面積S=—,則S=-x\MN\xd=V1-d2xd=-.

42114

則d=:或更，

22

當(dāng)d=?時(shí)，有4=五*=：,解可得k=±V5，

當(dāng)d=3時(shí)，有d=』=在，解可得k=土立，

2Vl+fc223

綜合可得：卜==土?或±5/5,

故選：D.

根據(jù)題意，設(shè)圓心到直線I的距離為d,由直線與圓的關(guān)系分析可得弦長(zhǎng)|MN|,由三角形面積公式可

得S=Tx|MN|xd=G^xd=,,解可得d的值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=%』，計(jì)

算可得k的值，綜合即可得答案.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及直線與圓相交的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案:A

解析：解：設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1,

由圖可知，與直線&C垂直且過(guò)AB的平面為平面ZBCiDi，

即直線，即為直線4D1，

又CD"A[B],

則直線Bi"與直線C。所成角即為乙41當(dāng)“，

當(dāng)sin乙4出時(shí)取得最小值時(shí)，乙41&M最小，

tanN&BiM取得最小值，

在RtaAiBiM中，tanZ.A1B1M==AXM,

當(dāng)點(diǎn)M為的中點(diǎn)時(shí)，ArMlADr，

此時(shí)最小，其值為哼，

此時(shí)MB】=—,

12

故sin〃$iM=譙=1,

故選：A.

先作出直線與直線CD所成的角，再在RtAaBiM中即可得解.

本題考查了直線公“與直線C。所成的角的作法及求法，屬中檔題.

9.答案：C

解析:試題分析:本題考查球的表面積。由已知條件舄：&2：舄=1：2:3,設(shè)舄=匕舄=2上,&=圣，

2

S3_冊(cè)冬2_3_9

Si+S2一行蠟彳他34*7-12+22-5'故選,。

考點(diǎn)：空間幾何體的表面積

10.答案：C

解析：

本題考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.分別分兩種情況求出在每一段的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就可得到結(jié)論.

3.13113

2z

解：當(dāng)x>0時(shí)，y=g（x）=x[x—2）—*（x+1）.V-3x-8x+彳=0得：xr=],x2=《,

113.113

所以當(dāng)xe（0,羲），（W,+8）時(shí)，y>o,y是增函數(shù)，當(dāng)Xe（費(fèi)，了）時(shí)，了<0，y是減函數(shù)，

3113

且g（o）=-4<0>（2）=。，）<。，

所以當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；

43

2

當(dāng)x<0時(shí)，由y=~+x+4—彳（x+1）=0得：x+13x+16=0,由4>0,xr+x2=-13<0,

=16>0,

所以方程有兩個(gè)負(fù)根.

綜合上述，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn).

故選C.

11.答案：3魚

解析：

本題考查空間直角坐標(biāo)系，考查空間中兩點(diǎn)間的距離公式，是一個(gè)基礎(chǔ)題.

得到4,B'的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得到結(jié)果.

解：???點(diǎn)4(3,5,—7)在x軸上的射影4(300),

點(diǎn)B(-2,4,3),點(diǎn)B在z軸上的射影為B'(0,0,3),

\A'B'\=132+0+32=3五,

故答案為：3vL

12.答案：x—y—1=0

解析：

將兩個(gè)方程相減，即可得到公共弦4B的方程，然后根據(jù)半弦長(zhǎng)與弦心距及圓半徑，構(gòu)成直角三角形，

滿足勾股定理，易求出公共弦的長(zhǎng).

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)的求法，其中將兩個(gè)圓方程相

減，直接得到公共弦4B的方程可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

解：圓G：/+y2=1與圓。2：(X-1)2+(y+1)2=1交于4,B兩點(diǎn)，則直線4B的方程為：

x2+y2—1—[(x—I)2+(y+1)2—1]=0

即x—y—1=0

故答案為：x—y-1=0.

13.答案：!

解析：解：,直線2x-y+1=0與直線ax+y+2=0垂直，

???斜率滿足2x(-a)=-1,解得a=

故答案為：|.

利用兩條直線互相垂直的充要條件即可得出.

本題考查了兩條直線互相垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：

解析：解：圓心(0,0)到直線6x+y—4=o的距離</=焉=2,半徑r=3,

故弦長(zhǎng)為2>/9—4=2A/5，

故答案為：2遍.

利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心(0,0)到直線Mx+y-4=0的距離d,再由弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng).

本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，求出圓心(0,0)到直線+

丫-4=0的距離乙是解題的關(guān)鍵.

15.答案：①③④

解析：解：①平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)4(-3,0)和B(3,0)的距離之差的絕對(duì)值等于4,

v4<\AB\=6,

???則點(diǎn)M的軌跡是以4,B為焦點(diǎn)的雙曲線，故①正確，

②△4BC的兩個(gè)頂點(diǎn)為4(一4,0),5(4,0),周長(zhǎng)為18,

則|C4|+\CB\=18-\AB\=18-8=10.

則C點(diǎn)軌跡是以4B為焦點(diǎn)的橢圓(去掉x軸上兩個(gè)點(diǎn))，即對(duì)應(yīng)方程為(=l(yK0),故②錯(cuò)誤，

③若過(guò)點(diǎn)C(l,l)的直線，交橢圓9+9=1于不同的兩點(diǎn)4、B,且C是AB的中點(diǎn),

設(shè)力),

4(%B(x2,y2V

(至+或=1

則，工，兩式作差得巫1+止遐=0,

慳+理=143

143

即止遐=_必一遇,

34

同小一3=3(X】+%2)

4(%+為)'

?.?C是4,B的中點(diǎn)，

.不+Xz_]”+力_1

,?2?，2~即X]+右=2,%+=2,

則々=存=一這』——一3x23,

XX-X2481+力)4X24

則對(duì)應(yīng)的直線方程為y-1=一久％-1),

即直線[的方程是3x+4y-7=0.故③正確，

④拋物線產(chǎn)=4y焦點(diǎn)坐標(biāo)尸(0,1),準(zhǔn)線方程：y=-l,

設(shè)

4(xi，yj,B(x2,y2),C(x3,y3)

???E4+Ffi+FC=0.

.?.點(diǎn)F是44BC重心，則當(dāng)+爐=1,

%+丫2+丫3=3.

由拋物線的定義可知：\FA\+\FB\+\FC\=(yi+1)+優(yōu)+1)+佻+1)=6,

|F4|+\FB\+\FC\=6,故④正確，

故答案為：①③④.

①根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行判斷.

②根據(jù)軌跡方程的定義進(jìn)行判斷.

③利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解.

④根據(jù)拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解.

本題主要考查與圓錐曲線有關(guān)的命題的真假判斷，涉及橢圓，雙曲線，拋物線的軌跡和方程，綜合

性較強(qiáng)，有一定的難度，是中檔題.

16.答案：解：（1）證明：由S。_L平面ABC。，ABc

平面4BCD,

可得SO14B,又ABJL40,可得力8_!平面SAO,

而DMu平面SW,可得。MJ.4B,

又SD=AD,SM=AM,可得DM1SA,乂ABCl

SA=A,

可得DM_L平面$48；

（2）在直角三角形84。中，BD=yjAB2+AD2=

V1T4=瓜

由SD1DB,可得SB=J22+(V5)2=3>

BC=V22+l2=V5.由SD1DC,可得SC=322+22=2企，

9+8-5_V2

可得cosziBSC

2X3X2V22

即有SASBC=[SB-SC-sinzBSC=|x3x2V2Xy=3.

S&DBC=^x2x2=2,

設(shè)點(diǎn)。到平面SC8的距離為/i,

9

由VD-SCB=Vs-BCD可得］九S^SBC=3SD,s〉DBC，

即有沙3=1x2x2,解得h=g,

則點(diǎn)。到平面SCB的距離為：

解析：（1）運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，可得證明;

（2）設(shè)點(diǎn)。到平面SCB的距離為從由/_SCB=%-BCD，運(yùn)用三角形的面積公式和棱錐的體積公式可得?

本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，注意運(yùn)用等積法，考查

轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

17.答案：解：①當(dāng)匕和。相交時(shí)，

由1x3—（m—2）m=0,m2—2m-3=0,m=-1,或m=3,

.?.當(dāng)mX—1且m#3時(shí)，匕和力相交.

②4時(shí)，1x⑺—2）+7nx3=0,m=j,

［當(dāng)m=1時(shí)，Zi112

③m=0時(shí)，匕不平行11//12<=>區(qū)|,解得m=-1.

解析：本題考查兩直線相交、垂直、平行的條件，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

①利用兩條直線相交時(shí)，由方程組得到的一次方程有唯一解，一次項(xiàng)的系數(shù)不等于0;

②當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，斜率之積等于-1,解方程求出山的值；

③利用兩直線平行時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求出m的值.

18.答案：（1）詳見解析（11）^.

售

解析：試題分析：（I）要證線線垂直，可先考慮純線面垂直，要證線面垂直，先找出圖中的線線垂

直，使結(jié)論得證；（口）為方便利用直線翱!與平面或第所成的角為鑿臚，可建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量相關(guān)計(jì)算公式建立關(guān)于需長(zhǎng)度的方程，解之即可.

試題解析：（1）二;遨慝L/嶗，二避工蕊鼠激因工夠，官超翁產(chǎn)門蹈=慮，二解JL平面需懈，

又蹈11平面談，：,，蹈J_感置；

（n）v函±.遹或離置1.座:,愚?置1.挺

二分別以屐圜，激置,森:所在直線為零,軸，薩軸，2軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

設(shè),般=翎，則顫瓢硯一跳河*,微域即醺，嘴急醺，巽虬1%礴

可得:福^瓣遇一琢一礴，福=:疑一第顧

設(shè)平面謖：的法向量3=：1“解噬，1￡：?田一:“顧，令般’=工可得寓?=14==,因此

!用二—3胖=?:硼

￡=QM包巧是平面整疑：的一個(gè)法向量，":藏=蒯口虬-礴,物與平面翻耀所成的角為制十，

，二贏I爵!1/=|麴摩Y菠;第T,即-----'*?;礴=-，

v點(diǎn)扇庭y4才---9—

解之得：坳=二4，或嫡=4(舍)，因此可得霹的長(zhǎng)為二4.

考點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系、空間向量的應(yīng)用.

19.答案：解：(1)由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),其準(zhǔn)線方程為乂=一次

???P(4,Tn)到焦點(diǎn)的距離等于4到其準(zhǔn)線的距離，

???4+^=5,p=2,

???拋物線C的方程為y2=4x；

(2)設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心Mg*,葭)，過(guò)M作直線x=a的垂線，垂足為E,

設(shè)直線m與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G,可得：|FG|2=\MG\2-\ME\2,

即|EG|2=\MA\2-\ME\2=(XL?*：-(第-a)2

12,Qi-4)2-(Xi+4產(chǎn)

=Tyf+---------7---------+以/+4)-a2

=%i—4%i+Q(%I+4)-Q2

=(a—3)%i+4a—a2

當(dāng)a=3時(shí)，|EG『=3,此時(shí)直線m被以4P為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2遮.

因此存在直線m：%=3滿足題意.

解析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的方程，拋物線的幾何性質(zhì)，圓的弦有關(guān)的綜合問

題，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解，屬

于中檔題.

(1)由題意設(shè)：拋物線方程為y2=2px,其準(zhǔn)線方程為丫=-虞根據(jù)拋物線的定義可得：4+9=5,

進(jìn)而得到答案;

(2)設(shè)存在直線m：x=a滿足題意，則圓心M(竽,葭)，過(guò)M作直線x=a的垂線，垂足為E,設(shè)直線

?n與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G,可得：\EG\2=\MG\2-\ME\2=(a-3)%1+4a-a2,由此可得結(jié)論.

20.答案：⑴證明：依題意，SOLnABCD,

又ABCO是邊長(zhǎng)為近的正方形，且四棱錐的體積為|,

所以［x夜X&XSO=|,

所以SO=1,SC=V2，

又CD=夜，點(diǎn)P是SZ)的中點(diǎn)，

所以CPJ.SD,

同理，APLSD,

又力PCCP=P,所以SD1平面PAC,

又SOu平面SCD,所以平面SCD±平面24c.

(2)解：連接0B,易得。B,OC,OS互相垂直,

分別以南，元，而為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-