絕密★啟用前

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標ni)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.己知集合4={-1,0,1,2},B={x\x-<\},則AB=

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.若z(l+i)=2i,則z=

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古

典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其

中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80

位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》

的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.(1+2?)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為

A.12B.16C.20D.24

5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{〃〃}的前4項為和為15,且〃5=3的+4勾，則的二

A.16B.8C.4D.2

6.已知曲線y=+xlnx在點(1,〃e)處的切線方程為產2%+。，貝!)

A.a=e,b--\B.a=e,b=lC.a=e-\b=lD.a=e-1,

b=-l

7.函數(shù)y=——-——

2X+Tx

8.如圖，點N為正方形ABC。的中心，△ECD為正三角形，平面EC。，平面ABCDM

是線段即的中點，則

B

A.BM=EN,且直線BM、EN是相交直線

B.BM豐EN,且直線EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM、EN是異面直線

D.BM豐EN,且直線BM,EN是異面直線

9.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出S的值等于

A.2TB

-2TD.2T

x22

10.雙曲線C：乙=1的右焦點為凡點P在C的一條漸進線上,O為坐標原點，若

~42

閘=|即,則△PR9的面積為

A.乎3A/2

Rc.2應D.3拒

2

11.設/（%）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0,8）單調遞減，則

[32

A.f（log3l）＞f（2-5）＞/（2-3）

123

B.f（log3l）＞f（2-f）＞f（2”）

c.f（2-35）＞/（2-23）＞/（Iog31；）

-231

D.f（23）＞f（2-5）＞/（bg3；）

12.設函數(shù)/（%）=sin（ox+1）（。＞0）,已知/（x）在[0,2可有且僅有5個零點，下述

四個結論：

①/（x）在（0,2兀）有且僅有3個極大值點

②/（九）在（0,2汽）有且僅有2個極小值點

③/（%）在（0*）單調遞增

1229

④口的取值范圍是［不，記）

其中所有正確結論的編號是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知a,6為單位向量，且a?Z>=0,若c=2a-百b,貝?。輈os<a,c>=.

s

14.記S,為等差數(shù)列｛為｝的前w項和，qNO，。2=3《，則詈=.

15.設耳，鳥為橢圓C:三+匯=1的兩個焦點，〃為C上一點且在第一象限.若△町名

3620

為等腰三角形，則/的坐標為.

16.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體

ABCD—A4GR挖去四棱錐O—E/GH后所得幾何體，其中。為長方體的中心，E,

F,G,"分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AAi=4cm,3D打印所用原料密度

為0.9g/cn?,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.（12分）

為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成

A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，

每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出

殘留在小鼠體內離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的

估計值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中。，6的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

為代表).

18.(12分)

A+C

△ABC的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知asin---------bsinA.

2

(1)求8；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=l,求△ABC面積的取值范圍.

19.(12分)

圖1是由矩形ADEB、RtAABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中1,BE=BF=2,

/FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得3E與3尸重合，連結。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面A8CL平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

20.(12分)

已知函數(shù)/(九)=2三一g?+b.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)是否存在a,b,使得/(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出

。力的所有值；若不存在，說明理由.

Y1

21.已知曲線C:y=±，。為直線y=-一上的動點，過。作C的兩條切線，切點分別為A,

22

B.

(1)證明：直線42過定點：

(2)若以E(0,之)為圓心的圓與直線A3相切，且切點為線段A8的中點，求四邊形

2

ADBE的面積.

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

如圖，在極坐標系Ox中，4(2,0),如7盯),。("彳)，0(2,兀)，弧AB，BC，

JT

CD所在圓的圓心分別是(1,0),(1,-),(1,兀)，曲線“I是弧AB，曲線是弧BC，

曲線AT,是弧C7).

(1)分別寫出M］,M2,“3的極坐標方程；

(2)曲線M由陷，M2,舷3構亦若點尸在加上，且|OP|=G，求P的極坐標.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

設x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(x—l)2+(y+l)2+(z+l)2的最小值；

(2)若(x—2)2+(y—l)2+(z—。)2之；成立，證明：aw—3或。2―1.

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標UD

參考答案

一、選擇題

1.A2.D3.C4.A5.C6.D7.B8.B9.C10.A

11.C12.D

二、填空題

13.|-14.415.(3,V15)16.118.8

三、解答題

17.解：(1)由已知得0.70=。+0.20+0.15,故。=0.35.

Z?=l-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

A+C

18.解：(1)由題設及正弦定理得sinAsin-----=sinBsinA.

2

A+C

因為sinAwO,所以sin-------=sinB.

2

A+CB-B,BB

由A+B+C=180°,可得sin-------=cos—,故cos—=2sm—cos—.

22222

B]

因為cos—w0,故sin—=—,因此8=60。.

222

（2）由題設及（1）知"BC的面積以4BC=亍a-

csinA_sin(120°C)_也￡

由正弦定理得。=

sinCsinC2tanC2

由于△ABC為銳角三角形，故0。<4<90。，0°<C<90°,由（1）知A+O120。，所以30。<。<90。,

+,1、。A/3

故7＜。＜2，從而《-〈SAABCVK。

/o2

因此，AABC面積的取值范圍是

19.解：（1）由已知得A。BE,CGBE,所以ADCG,故A。，CG確定一個平面，從

而A,C,G,。四點共面.

由已知得AB1BC,如81平面BCGE.

又因為ABU平面48C,所以平面A8C1平面8CGE.

（2）作EH_LBC,垂足為H.因為EHu平面3CGE,平面8CGE_L平面ABC,所以即1

平面4BC.

由己知，菱形2CGE的邊長為2,ZEBC=60°,可求得88=1,EH=^3.

以H為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系H-孫z,

則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,石)，CG=(1,0,石)，AC

(2,-1,0).

設平面ACG。的法向量為"=(無，y,z),則

CGM=0,x+A/3Z=0,

即<

AC-n=0,2x-y=0.

所以可取片(3,6,-73).

nm

又平面8CGE的法向量可取為機=(0,1,0),所以cos〈",》z〉=

|n||zn|2

因此二面角B-CG-A的大小為30。.

20.解：(1)f\x)—6x2—2ax—2x(3x—a).

令/'(x)=。，得x=。或%.

若〃>0,則當X￡(-OO,0)[*+°°卜寸，/,(X)>0；當％時，/,(%)<0.故

f(x)在(-oo,0)/j,+oo"|單調遞增，在單調遞減；

若4=0,/(%)在(YO,+8)單調遞增;

若4<0,則當X￡［-OO,］J(0,+8)時，/,(X)>0;當％時，/,(X)<0.故

/(X)在1-8,jp0,+OQ)單調遞增，在［三,o］單調遞減.

(2)滿足題設條件的a,b存在.

(i)當aWO時，由(1)知,/(x)在［0,1］單調遞增，所以/(x)在區(qū)間［0,1］的最小

值為/(0)=入，最大值為/⑴=2—a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當6=-1,

2—6?+/?=1,即4=0,b=—1.

(ii)當時，由(1)知，/(x)在［0,1］單調遞減，所以/(x)在區(qū)間［0,1］的最大

值為/(0)石，最小值為/(1)=2—a+瓦此時a,b滿足題設條件當且僅當

2-a+b=-i,6=1,即a=4,b=l.

(iii)當0<”3時，由(1)知，/(x)在［0,1］的最小值為/(■!］=—六+b,最大值

為b或2-a+Z?.

若-----—b=l,則a=312,與0<〃<3矛盾.

27

3_

——+b——1,2—a+b=1,則a=或〃=—或。=0,與0<。<3矛盾.

綜上，當且僅當。=0,Z?=-1或〃=4,氏1時，/(%)在［0,1］的最小值為-1,最大值

為1.

21.解：⑴設。上,一；1,A(x1,y1),則才=2%.

1

%H—

由于y=x,所以切線D4的斜率為西，故;—2-=^.

Xx-t

整理得2居-2%+1=0.

設5(9,%)，同理可得2Ax2-2%+1=0.

故直線A3的方程為2比-2y+1=0.

所以直線A3過定點(0」).

2

(2)由(1)得直線A3的方程為y=/x+g.

1

y=tx+^

由<2，可得光之一2tx—1=0.

%

Iy二-2

于是％1+%2=2，，=-1,%+%=，(%1+%2)+1=2/+1,

|AB|=+"卜_J；?|=+產xJ(石+%2)~—4XJ%2=292+1).

設4,d,分別為點。，E到直線A3的距離，則4=歷1,

6+1

因此，四邊形ADBE的面積S=g|A3|(4+d2)=l+3)AFTL

設M為線段A3的中點，則

由于EWAB,而EM=?,產-2),A3與向量(1")平行，所以/+(產-2,=0.

解得/=0或/=土1.

當L0時，5=3；當￡=±1時，S=4及.

因此，四邊形AD3E的面積為3或4后.

22.解：(1)由題設可得，弧AB,BC,CD所在圓的極坐標方程分別為夕=2cos。，

p-2sin6,p=一2cos夕.

所以M的極坐標方程為夕=2cose[o<e<(],知2的極坐標方程為

Q=2sin<8<,M3的極坐標方程為P=—2cos<夕<兀]

(2)設p(p,e),由題設及⑴知

若0＜，〈巴，則2COS6=J5,解得，=二；

46

若巴＜，＜型，則2sin6=g,解得6=工或。=";

4433

若名＜，＜兀，則一2cosd=,，解得8=2.

46

綜上，P的極坐標為［后1或",口或白芝I或用.

23.解：(1)由于[(x—l)+(y+l)+(z+l)]2

=(1)2+(y+1)2+(z++2[(l)(y+1)+(y+l)(z+1)+(z+1)(1)]

<3[(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2],

故由己知得(x—l)2+(y+l)2+(z+l)2Ng,

當且僅當x=g,y=-；，z=-；時等號成立.

4

所以(％_1)2+(y+l)2+(z+l)2的最小值為

(2)由于

[(九一2)+(y—l)+(z—a)f

222

=(x-2)+(y-l)+(z-a)+21(x-2)(y-l)+(y-l)(Z-a)+(Z-a)(x-2)]

<3〔(x-2>+(j—I)2+(z-,

故由已知(x—2)?+(y—ly+(z—a)2N,

4—ci1—a2〃-2..八、

當且僅當工=—；；一,y=——,z=---時等號成立.

333

因此(x—2)2+(y—l)2+(z—a)2的最小值為(2+“)~.

由題設知（2+。/29,解得3或

33

絕密★啟用前

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ni）

答案解析版

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合A={—LO,L2},B=[x\^<\\,則Ac8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-Li}D.

{0,1,2）

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出集合8再求出交集.

【詳解】由題意得，B={x|-l<x<l},則Ac3={T0,l}.故選A.

【點睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎題.

2.若z(l+i)=2i,則z=()

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)復數(shù)運算法則求解即可.

2i_2i(l-i)

【詳解】z=1+i.故選D.

l+i-(l+i)(l-i)

【點睛】本題考查復數(shù)的商的運算，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).采取運算法則法，利用方程思想

解題.

3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小

說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其中閱讀

過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過

《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與

該校學生總數(shù)比值的估計值為()

A.0.5B,0.6C.0.7D,0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進而得解.

【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=70,則其與該校學生人數(shù)之

比為70700=0.7.故選C.

【點睛】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取去重法，利用轉

化與化歸思想解題.

4.(1+2?)(1+x)4的展開式中d的系數(shù)為

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

【分析】

本題利用二項展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù).

【詳解】由題意得/的系數(shù)為C；+2C：=4+8=12,故選A.

【點睛】本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù).

5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛約｝的前4項和為15,且%=3%+4%,則%=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用方程思想列出關于q,q的方程組，求出再利用通項公式即可求得久的值.

【詳解】設正數(shù)的等比數(shù)列｛a.｝的公比為。，則++44=15,,

axq—3axq+4q

a=1

解得v1'，.?.%=q/=4,故選c.

q='乙

【點睛】應用等比數(shù)列前打項和公式解題時，要注意公比是否等于1,防止出錯.

6.已知曲線y=ae'+%ln%在點(Lae)處的切線方程為y=2x+z?,貝ij()

A.a=e,b=-lB.a=e,b=lC.a~e~\b~lD.

a-e~l,b--l

【答案】D

【解析】

【分析】

通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得匕

【詳解】詳解：y1=aex+lnx+l,

k=y||r=1=ae+1=2

:.a=e1

將(1,1)代入y=2x+6得2+6=12=-1,故選D.

【點睛】準確求導數(shù)是進一步計算的基礎，本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟，二導致計

算錯誤.求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求.

Q3

7.函…曰在［F6］的圖像大致為

【答案】B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由，(4)的近似值即可得出結果.

r年存八八，，、2/2(—x)32x3〃、濟

【詳斛】設y=f(x)=----------,貝！Jf(-x)=----------=----------=一f(x)，所以/(x)是

八2X+TX2r+2*2X+2-X

2x43

奇函數(shù)，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C.又/(4)>0,排除選項D；

24+2-4

2x63

/(6)排除選項A,故選B.

26+2-6

【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本

題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.

8.如圖，點N為正方形A3C。的中心，AECD為正三角形，平面ECO1平面ABC。,M是

線段的中點，則()

u正確云

M.

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM^EN,且直線是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM手EN,且直線是異面直線

【答案】B

【解析】

【分析】

利用垂直關系，再結合勾股定理進而解決問題.

【詳解】:ABDE,N為8。中點M為小中點，.「BM，EN共面相交，選項C,D

為錯.作E。LCD于O,連接ON,過M作Mb,。。于廠.

連BF,平面CDE1平面ABCD.

石。，8,￡。匚平面。?！?，石0，平面48。。，版1平面A3CE,

^MFB與AEON均為直角三角形.

設正方形邊長2,易知￡O=J1,ON=1EN=2,

BM=

:.BM手EN,故選B.

E

【點睛】本題為立體幾何中等問題，考查垂直關系，線面、線線位置關系.

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出S的值等于（

A.2—十B.241

C.2-D.

2小

【答案】D

【解析】

分析】

根據(jù)程序框圖，結合循環(huán)關系進行運算，可得結果.

【詳解】x=l.S=O,S=O+1,》=工<0.01?不成立

2

S=O+1+-,x=L<0.01?不成立

24

5=0+1+-++±,x=」-=0.0078125<0.01?成立

22128

1

1

輸出S=1+—+-??+,故選D.

2

2

【點睛】循環(huán)運算,何時滿足精確度成為關鍵，加大了運算量，輸出前項數(shù)需準確，此為易

錯點.

10.雙曲線C：土—匕=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若

42

\PO\=\PF\,則的面積為

A.迪B.述C.%D,3上

42x2

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素

養(yǎng).采取公式法，利用數(shù)形結合、轉化與化歸和方程思想解題.

【詳解】由a=2,6=&,c=A/?2+b2=痛，?

\PO\=\PF\,.-Xp=^-，

b

又尸在。的一條漸近線上，不妨設為在y=—%上，

a

SAPFO=；|°尸|,卜「|=；又指義手=孚，故選A?

【點睛】忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導致求解不暢，采取列方程組的

方式解出三角形的高，便可求三角形面積.

11.設/(x)是定義域為H的偶函數(shù)，且在(O,+s)單調遞減，則()

【答案】C

【解析】

【分析】

(_3\('_2\

由己知函數(shù)為偶函數(shù)，把/(log3；/123J,轉化為同一個單調區(qū)間上，再

比較大小.

【詳解】/(%)是R的偶函數(shù),

((2、

332

?.log3>l=2°>2^又/(%)在(0,+◎單調遞減，/(log34)</2</2

，故選C.

【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性，考查學生轉化與化歸及分析問題解決問題的

能力.

12.設函數(shù)〃X)=sin(0X+］)(0>0),已知在［0,2%］有且僅有5個零點，下

述四個結論：

①/(%)在(。,2兀)有且僅有3個極大值點

②/(X)在(。,2兀)有且僅有2個極小值點

③/(%)在(0今)單調遞增

④力的取值范圍是[1(2，言29)

其中所有正確結論的編號是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】

本題為三角函數(shù)與零點結合問題，難度大，可數(shù)形結合，分析得出答案，要求大，理解深度

高，考查數(shù)形結合思想.

(兀、

【詳解】/(%)=sinwx+-(w>0),在[0,2幻有且僅有5個零點.0<X<2K,

\5J

1rrrr1229

—<wx+,—<w<,④正確.如圖可,%],天為極大值點為3個，①正

確；極小值點為2個或3個.二②不正確.

TT7171W717129

當0<XV—時，一<WX~\—<---1—,當w=—時，

105/10510

W7T7129萬20萬49萬71

-------1——=------+

1051001001002

二③正確，故選D.

【點睛】極小值點個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需認真計算，易出錯.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知方為單位向量，且。?力=0,若c=2a-小b,貝!]cos<a,c>=,

2

【答案】y.

【解析】

【分析】

根據(jù)|C『結合向量夾角公式求出匕|,進一步求出結果.

【詳解】因為c=2a-非b,ab=09

所以。，c=2/—有=2，

|c|2=4|a『y島/+5|切2=%所以?=3，

ac_2_2

所以cos<a,c>=||||=-r=-.

1x33

【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角.滲透了數(shù)學運算、直觀想象素

養(yǎng).使用轉化思想得出答案.

14.記S”為等差數(shù)列｛斯｝的前"項和，qWO,。2=34，貝”詈=.

【答案】4.

【解析】

【分析】

根據(jù)已知求出為和d的關系，再結合等差數(shù)列前〃項和公式求得結果.

（詳解】因%=34,所以q+d=3q,即2q=d,

，八10x9J

S10o1H-----a

所以苛=——5^-lOOcZ]_4

15%+胃425q

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質、基本量的計算.滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).使用轉

化思想得出答案.

15.設F.,凡為橢圓。：土+2L=1的兩個焦點，/為。上一點且在第一象限.若AMFE

3620

為等腰三角形，則M的坐標為.

【答案】（3,&?）

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓定義分別求出|岫|、|叫設出M的坐標，結合三角形面積可求出M的坐標.

【詳解】由己知可得=36423/6c2,=a2-b2

??.M=g|=2c=8.

|折+|幽=20=12,即|=4.

設點M的坐標為（40，%）（X0＞。，%＞。），貝"△孫乃=1?,忻乙卜％=4%,

22

又S&MF、F2=1X4XA/8-2=4岳,4%=4715,解得為=岳，

.其?（響,1，解得％o=3（%=—3舍去），

―3620

\M的坐標為（3,、力5）.

【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸的能力，很

好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).

16.學生到工廠勞動實踐，利用30打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體

ABCD-AB[CR挖去四棱錐O-EFG”后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，

及廠,G,H分別為所在棱的中點，AB=3C=6cm,A4=4cm,30打印所用原料密度

為0.9g/c%3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為g.

【答案】118.8

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型

的質量.

【詳解】由題意得，四棱錐O-EFGH的底面積為4x6—4x=x2x3=12a/,其高為點。

2

到底面班1cle的距離為3cm,則此四棱錐的體積為匕=gxl2x3=12s?.又長方體

ABC?！?4cq的體積為匕=4x6x6=lc4，所以該模型體積為

y=yz=144-12=132cm2,其質量為0.9x132=ii8.8g.

【點睛】此題牽涉到的是3D打印新時代背景下的幾何體質量，忽略問題易致誤，理解題中

信息聯(lián)系幾何體的體積和質量關系，從而利用公式求解.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（一）必考題：共60分。

17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成

AB兩組，每組io。只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，6組小鼠給服乙離子溶液.每只

小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小

鼠體內離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記。為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計

值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中。,6的值；

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表）.

【答案】（1）a=0.35,Z?=0.10；（2）4.05,6.

【解析】

【分析】

⑴由P(C)=0.70可解得和b的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).

【詳解】⑴由題得4+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35,由

0.4?5+O=.P]-S1=，解得b=0.10.

(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙離子殘留百分比的平均值為

0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8-6

【點睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎題.

18.AABC的內角A,民C的對邊分別為a,b,c,已知asin-^―=bsinA.

(1)求6；

(2)若AA3C為銳角三角形，且c=l,求AA3C面積的取值范圍.

7T

【答案】⑴B=y；(2)(

【解析】

分析】

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內角

解得3=幸(2)根據(jù)三角形面積公式SABC=；ac-sin3,又根據(jù)正弦定理和￡得到S碗

JT

關于。的函數(shù)，由于VA3C是銳角三角形，所以利用三個內角都小于萬來計算。的定義

域，最后求解5ABe(。)的值域?

【詳解】⑴根據(jù)題意asinA+C=bsinA由正弦定理得sinAsinA=+^C=sin3sinA,因

A+C

為0<A<%,故sinA>0,消去sinA得sin-----=sinB

2o

?cA+C?,,A+C“A+C

0<B，0<---<乃因為故2=3或者——+B-7V,而根據(jù)題意

A+CA+C

A+B+C=%，故-----+3=萬不成立，所以------=B,又因為A+8+C=%,代入得

22

7T

33=71,所以6=

(2)因為VA3C是銳角三角形，又由前問3=二，-<A,C<-,A+B+C=萬得到

2TTTTnc12

A+C=z萬，故二vCvk又應用正弦定理—7=一^,―,由三角形面積公式有

362sinAsinC25

sin(^-C)

=rcsinfi4c2fsinB=lc2i^sinB=T

QABCsinC

.2萬_2萬

sin——cosC-cos——sinC后個。勺石T7m

33,32萬17i3工廠1\/3?又因

---------------------------------=(sin——cotC-cos——)=—cotCH------

4sinC----4---------3388

冗萬冗［九

3＜。＜萬,故且_3cotq+^<S2-也,故走<S<—

8828c868282

故SMe的取值范圍是(方，手)

【點睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎知識，和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以

用余弦定理求解)，最后考查VABC是銳角三角形這個條件的利用?？疾榈暮苋?，是一道

很好的考題.

19.圖1是由矩形匹,RtaABC和菱形8FGC組成的一個平面圖形，其中A2=1,8E=2F=2,

ZFBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BE重合，連結。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角2-CG-N的大小.

【答案】⑴見詳解；⑵30.

【解析】

【分析】

⑴因為折紙和粘合不改變矩形ABED,RfABC和菱形3EGC內部的夾角，所以

AD//BE,5b//CG依然成立，又因石和尸粘在一起，所以得證.因為A8是平面

3CGE垂線，所以易證.(2)在圖中找到3-CG-A對應的平面角，再求此平面角即可.于是

考慮B關于GC的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與A的連線也垂直于CG.按照此思路即證.

【詳解】⑴證：AD//BE,3b//CG,又因為E和尸粘在一起.

---AD//CG,A,C,G,D四點共面.

又AB±BE,AB±BC.

.?.Ag，平面BCGE,ABu平面ABC,二平面ABC_L平面BCGE,得證.

（2）過B作延長線于H,連結AH,因為ABJ,平面BCGE,所以ABLGC

而又8"J.GC,故GC1平面HAS,所以AHLGC.又因為8HLGC所以ZBH4是二

面角3—CG—A的平面角，而在中N3HC=90,又因為ZFBC=60故

NBCH=60，所以即=BCsin60=6

AB1

而在A8H中NABH=90,/BHA=arctan——=法戊皿—=30,即二面角

BH