第三節(jié)空間中的平行關(guān)系內(nèi)容索引必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析核心素養(yǎng)·微專題核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)【教材·知識(shí)梳理】1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與_________的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)

因?yàn)開________________，所以l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的_____與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)

因?yàn)開______________________，所以l∥b此平面內(nèi)l∥a，a?α，l?α交線l∥α，l?β，α∩β=b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條_________與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)

因?yàn)開___________________________________，所以α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面_____，那么它們的_____平行

因?yàn)開____________________________，所以a∥b相交直線a∥β，b∥β，a∩b=P，a?α，b?α相交交線α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b【常用結(jié)論】1.兩個(gè)平面平行，則其中任意一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想，解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α. ()(2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線. ()(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行. ()(4)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面. ()(5)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面. ()(6)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行. ()提示：(1)×.若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α或a?α.(2)×.一條直線與一個(gè)平面平行，那么它與平面內(nèi)的直線可能平行，也可能是異面直線.(3)×.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(4)×.若平面外的一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.(5)√.這兩條直線沒有公共點(diǎn).(6)×.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行或相交.【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1證明線面平行時(shí)忽略該直線不在平面內(nèi)致誤考點(diǎn)一、T3考點(diǎn)二、T22利用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)不會(huì)找過該直線的平面考點(diǎn)二、T13證明面面平行時(shí)忽略兩直線相交致誤考點(diǎn)三、角度1【教材·基礎(chǔ)自測(cè)】1.(必修2P44練習(xí)BT2改編)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是 ()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α【解析】選D.若α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,則a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a?α,a∥l,則a∥β,故排除B.若α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,則a∥β,b∥α,故排除C.2.(必修2P46練習(xí)AT1改編)下列命題中正確的是 ()A.若a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B.若直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D.若直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α,則b∥α【解析】選D.A中,a可以在過b的平面內(nèi);B中,a與α內(nèi)的直線可能異面;C中,兩平面可相交;D中,由直線與平面平行的判定定理知,b∥α,正確.3.(必修2P44練習(xí)BT4改編)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________.

【解析】連接BD,設(shè)BD∩AC=O,連接EO,在△BDD1中,O為BD的中點(diǎn),所以EO為△BDD1的中位線,則BD1∥EO,而BD1?平面ACE,EO?平面ACE,所以BD1∥平面ACE.答案:平行【思想方法】函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用

【典例】如圖所示,在四面體ABCD中,截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD,試問截面在什么位置時(shí),其截面面積最大?【解析】因?yàn)锳B∥平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG,EH.所以AB∥FG,AB∥EH,所以FG∥EH,同理可證EF∥GH,所以截面EFGH是平行四邊形.設(shè)AB=a,CD=b,∠FGH=α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角).又設(shè)FG=x,GH=y,則由平面幾何知識(shí)可得兩式相加得即y=(a-x),所以S?EFGH=FG·GH·sinα=x··(a-x)·sinα=(a-x).因?yàn)閤>0,a-x>0且x+(a-x)=a為定值,所以當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x時(shí),此時(shí)x=,y=.即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大.【思想方法指導(dǎo)】(1)立體幾何中的最值或范圍問題,常用函數(shù)思想來(lái)解決.(2)常見問題是求幾何體截面面積或周長(zhǎng)的最值或范圍,動(dòng)點(diǎn)的軌跡等,解題關(guān)鍵是通過對(duì)幾何體中條件的分析和轉(zhuǎn)化,設(shè)出未知量,建立函數(shù)關(guān)系式或軌跡方程.【遷移應(yīng)用】如圖所示,側(cè)棱與底面垂直,且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分別在AD1,BC上移動(dòng),始終保持MN∥平面DCC1D1,設(shè)BN=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是 ()【解析】選C.過M作MQ∥DD1,交AD于點(diǎn)Q,連接QN.因?yàn)镸Q?平面DCC1D1,DD1?平面DCC1D1,所以MQ∥平面DCC1D1.因?yàn)镸N∥平面DCC1D1,MN∩MQ=M,所以平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC,所以