7.3.5已知三角函數(shù)值求角類型一利用正弦值求角、解不等式(直觀想象、數(shù)學運算)角度1已知正弦值求角

【典例】已知sinx=-

,求x.【思路導引】利用三角函數(shù)線或正弦函數(shù)的圖象解題.【解析】方法一:由sinx=-

<0可知,角x對應的正弦線方向朝下,而且長度為

,如圖所示,可知角x的終邊可能是OP,也可能是OP′.又因為sin

=sin

=-

,所以x=

+2kπ或x=

+2kπ,k∈Z.方法二:因為sinx=-,如圖所示,

由正弦函數(shù)的圖象,知在[0,2π]內,sin=sin=-,所以x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z.

【變式探究】將本例條件改為:sinx=

,試求x.【解析】由sinx=>0可知,角x對應的正弦線方向朝上,而且長度為,如圖所示,可知角x的終邊可能是OP,也可能是OP′.又因為sin=sin=,所以x=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z.角度2利用正弦值解不等式

【典例】求不等式sinx<-

的解集.【思路導引】利用三角函數(shù)線、圖象結合周期性求解集.【解析】方法一:由sinx=-<0可知,角x對應的正弦線方向朝下,而且長度為,如圖所示,

可知角x的終邊可能是OP,也可能是OP′.又因為sin=sin=-,所以x=-+2kπ或x=-+2kπ,k∈Z.如果x終邊在∠POP′中,則有sinx<-,所以-+2kπ<x<-+2kπ,k∈Z.所以不等式的解集為.方法二:因為sinx=-,如圖所示,由正弦函數(shù)的圖象,知在[-2π,0]內,sin=sin=-,所以x=-+2kπ或x=-+2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<x<-+2kπ,k∈Z.所以不等式的解集為.【解題策略】1.利用正弦值求角利用正弦線、正弦函數(shù)的圖象求出一個周期(常用[0,2π]、

、

)內的角,再表示出定義域上的所有取值,即加周期的k(k∈Z)倍.2.利用正弦值解不等式先求出相等時的x值,再根據單位圓、圖象確定x的范圍.

【題組訓練】1.(2020·北京高一檢測)已知α是三角形的內角,且sinα=

,則α=(

)【解析】選D.因為sinα=,所以α=+2kπ,k∈Z或α=+2kπ,k∈Z,又因為α為三角形的內角,所以α∈(0,π),所以α=或.2.(2020·上海高一檢測)已知函數(shù)f(x)=2sin

(ω>0)的最小正周期為π,則方程f(x)=1在(0,π]上的解集為

.

【解析】由題意可得:=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin=1,可得sin=,因為x∈(0,π],所以2x+∈,所以2x+=或,即:x∈.答案:3.求不等式sinx>-

的解集.【解析】當sinx=-時,x=+2kπ或x=-+2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z,所以不等式的解集為.【補償訓練】(2020·南京高一檢測)已知函數(shù)f(x)=sinx+2

,x∈[0,2π].(1)作出函數(shù)f(x)的圖象;(2)求方程f(x)=3的解.【解析】(1)當0≤x≤π時,sinx≥0,則f(x)=3sinx;當π<x≤2π時,sinx≤0,則f(x)=sinx-2sinx=-sinx.所以f(x)=函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示:

(2)當0≤x≤π時,令f(x)=3,即3sinx=3,得sinx=1,解得x=;當π<x≤2π時,令f(x)=3,得-sinx=3,該方程無解.綜上所述,方程f(x)=3的解為x=.類型二利用余弦值求角、解不等式(數(shù)學運算)【典例】1.已知cos

,求x.2.求不等式cos

的解集.【思路導引】1.利用余弦線、圖象求值.2.先求出相等時的x值,再寫出滿足不等式的x的范圍.【解析】1.由cos>0,知角2x-對應的余弦線方向向右,且長度為,如圖所示,可知角2x-的終邊可能是OP,也可能是OP′.又因為cos=cos(-)=,所以2x-=-+2kπ或2x-=+2kπ,k∈Z.所以x=+kπ或x=+kπ,k∈Z.2.如圖所示,

在[-π,π]上,或時,cos,所以+2kπ或+2kπ,k∈Z時,cos.令-+2kπ<x+<+2kπ,k∈Z,解得-+4kπ<x<+4kπ,k∈Z,所以不等式的解集為.

【解題策略】利用余弦值求角、解不等式將ωx+φ看作整體,先求出[0,2π]或[-π,π]上的角,再通過周期推廣到整個定義域內,最后解出x的值或范圍.1.若cos(π-x)=

,x∈(-π,π),則x的值等于 (

)

【解析】選C.由cos(π-x)=-cosx=得,cosx=-.又因為x∈(-π,π),所以x在第二或第三象限,所以x=±.2.求不等式2cos

<0的解集.【解析】不等式變?yōu)閏os,則+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,解得+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以不等式的解集為.【拓展延伸】利用反三角函數(shù)表示角在數(shù)學中,任意給定一個y∈[-1,1],當sinx=y且x∈

時,通常記作x=arcsiny;任意給定一個y∈[-1,1],當cosx=y且x∈[0,π]時,通常記作x=arccosy;任意給定一個y∈R,當tanx=y且x∈

時通常記作x=arctany.【拓展訓練】(1)(2020·上海高一檢測)cos

的值為 (

)(2)(2020·上海高一檢測)設cosα=-

,α∈(0,π),則α的值可表示為(

)A.arccos

B.-arccos

C.π-arccos

D.π+arccos

【解析】(1)選B.因為arcsin=,所以cos=cos=.(2)選C.因為π-arccos∈(0,π),且cos=-cos=-,所以α=π-arccos.類型三利用正切值求角、解不等式(數(shù)學運算、直觀想象)【典例】1.方程tan

在區(qū)間[0,2π)上的解的個數(shù)是 (

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知f(x)=tan

,求使f(x)≤-

成立的x的集合.【思路導引】1.利用正切線或圖象求值.2.先求x的范圍,再根據周期寫解集.【解析】1.選C.方法一:令t=2x+,作出函數(shù)y=tant的圖象如圖:

令2x+=+kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z.又由0≤<2π,所以k=0,1,2,3.故在區(qū)間[0,2π)上有4個解.

方法二:由tan>0,設t=2x+,所以角2x+對應的正切線方向朝上,而且長度為,如圖所示,可知2x+的終邊可能是OT,也可能是OT′,因為tan=tan=,所以2x+=+kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z.又由0≤<2π,所以k=0,1,2,3.故在區(qū)間[0,2π)上有4個解.2.方法一:令t=3x-,作出函數(shù)y=tant的圖象如圖,

則-+kπ<t≤-+kπ,k∈Z,即-+kπ<3x-≤-+kπ,k∈Z,解得-+<x≤,k∈Z,所以不等式tan≤-的解集為,k∈Z.

方法二:因為tan=-<0,令t=3x-,所以角3x-對應的正切線方向朝下,而且長度為,如圖所示,

可知3x-的終邊可能是OT,也可能是OT′,因為tan=tan=-,

即-+kπ<3x-≤-+kπ,k∈Z,解得-+<x≤,k∈Z,所以不等式tan≤-的解集為,k∈Z.【解題策略】已知正切值求角、解不等式(1)將ωx+φ看作一個整體,先根據正切線、圖象求出一個周期內的值或范圍,一般選取

,再推廣到定義域上,正切加kπ,區(qū)別于正、余弦加2kπ.(2)最后代入ωx+φ求值或求范圍.【跟蹤訓練】1.當0<x<π時,使tanx<-1成立的x的取值范圍為

.

【解析】由正切函數(shù)的圖象知,當0<x<π時,若tanx<-1,則<x<,即實數(shù)x的取值范圍是.答案:

2.(2020·蘭州高一檢測)函數(shù)y=1+tan

在區(qū)間(-π,π)內的零點個為

.【解析】函數(shù)y=1+tan,令1+tan=0,得tan=-1,所以2x-=kπ-,k∈Z;解得x=-,k∈Z;當k=-1時,x=-;當k=0時,x=-;當k=1時,x=;當k=2時,x=;所以y在區(qū)間(-π,π)內的零點有4個.答案:4備選類型與正、余弦型函數(shù)值有關的綜合問題(直觀想象、邏輯推理)【典例】(2020·廣州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)在一個周期內的簡圖如圖所示,則方程f(x)=m(m為常數(shù)且1<m<2)在[0,π]內所有解的和為 (

)【思路導引】根據題圖知A=2,再求解ω和φ進而求方程f(x)=m(m為常數(shù)且1<m<2)在[0,π]內所有解的和.【解析】選B.根據函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,)在一個周期內的簡圖,可得A=2,再把點(0,1)代入可得2sinφ=1,求得sinφ=,所以φ=.再根據五點法作圖可得ω·=π,所以ω=2,故函數(shù)f(x)=2sin,令2x+=+2kπ,k∈Z得x=kπ+,k∈Z,又x∈[0,π],故函數(shù)的對稱軸是x=,故由圖象可得方程f(x)=m(m為常數(shù)且1<m<2)在[0,π]內所有的解共有2個,且這2個解的和等于2×=.【解題策略】與正、余弦型函數(shù)值有關的綜合問題此類問題的情形較多,含有參數(shù)是此類問題常呈現(xiàn)的一種形式.一是函數(shù)值含有參數(shù),通?？衫脜⒆兞糠蛛x的方法將參量分離出來,然后作出三角函數(shù)的圖象利用特殊角的值進行求解;二是自變量所在區(qū)間含有參數(shù),此時可以利用函數(shù)值結合三角函數(shù)圖象的對稱性等性質求解.【跟蹤訓練】(多選題)函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)部分圖象如圖所示,對不同的x1,x2∈[a,b],若f(x1)=f(x2),都有f(x1+x2)=,則 (

)A.a+b=π B.b-a=C.φ= D.f(a+b)=【解析】選BC.由三角函數(shù)的最大值可知A=2,設=m,則x1+x2=2m,由對稱性可知f(m)=2,則2sin(2m+φ)=2,解得2m+φ=2kπ+(k∈Z),f(x1+x2)=2sin=2sin(2×2m+φ)=2sin[2×(2m+φ)-φ]=2sin=2sin[4kπ+π-φ]=2sinφ=,則sinφ=,結合|φ|<,得φ=,則f(x)=2sin,由五點作圖法可知:2a+=0,2b+=π,所以a=-,b=,所以a+b=,b-a=,f(a+b)=f=2sin.1.已知cosx=-

,π<x<2π,則x= (

)【解析】選B.因為x∈(π,2π)且cosx=-,所以x=.2.(2020·濰坊高一檢測)若tanx=0,則x等于 (

)A.kπ,k∈ZB.kπ+

,k∈ZC.2kπ+

,k∈ZD.2kπ-

,k∈Z【解析】選A.因為tanπ=0,所以當tanx=0時,x=(1+k)π,k∈Z,即x的取值集合為{x|x=kπ，k∈Z}.3.已知α∈

,且1+tanα≥0,則角α的取值范圍是

.

【解析】因為1+tanα≥0,所以tanα≥-1,解得-+kπ≤α<+kπ,k∈Z;又α∈,所以≤α<π,即α的取值范圍是.答案:

4.x∈[0,2π],y=

的定義域為

.

【解析】由題意,得所以函數(shù)的定義域為.答案:

5.(2020·濰坊高一檢測)求下列不等式的解集.(1)cosx-

<0;(2)3tanx-

≥0.【解析】(1)因為cosx-<0,所以cosx<,利用余弦線或余弦曲線可知所求解集為.(2)因為3tanx-≥0,所以tanx≥,利用正切線或正切曲線可知所求解集為.十三已知三角函數(shù)值求角【基礎通關—水平一】

(20分鐘35分)1.滿足tanx=-

的角x的集合是 (

)【解析】選D.當x∈時,由tanx=-,可得x=-,因此所有滿足tanx=-的角x=kπ-,k∈Z.2.若tanα=

且α∈

則α= (

)【解析】選C.因為tan又α∈所以α=π+3.(2020·濰坊高一檢測)在x∈[0,2π]上滿足cosx≤

的x的取值范圍是(

)【解析】選B.當cosx=時,解得x=故cosx≤時,x∈.4.若x=

是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),則角α=

.

【解析】由條件可知2cos=1,即cos所以α+=2kπ±(k∈Z).因為α∈(0,2π),所以α=.答案:

5.方程2sin

=1的解集是

.

【解析】由方程2sin=1,可得方程sin=,所以求得x=3kπ+或x=3kπ+答案:

6.已知函數(shù)f(x)=2cos

(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;(2)求不等式f(x)>1的解集.【解析】(1)f(x)=2cos,由-π+2kπ≤≤2kπ,k∈Z,所以-+4kπ≤x≤-+4kπ,k∈Z,所以f(x)的單調遞增區(qū)間為

k∈Z;(2)因為f(x)>1,所以2cos>1,所以cos>,所以-+2kπ<<+2kπ,k∈Z,所以-+4kπ<x<+4kπ,k∈Z,所以不等式的解集為k∈Z.【能力進階—水平二】

(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2020·濟南高一檢測)已知A為銳角,且tanA=

,那么下列判斷正確的是(

)A.0°<A<30° B.30°<A<45°C.45°<A<60° D.60°<A<90°【解析】選B.<1,即tan30°<tanA<tan45°.由正切函數(shù)隨銳角的增大而增大,得30°<A<45°.2.(2020·海淀高一檢測)不等式-<tanx<1的解集是 (

)【解析】選A.-<tanx<1,當x∈時,tantan=1,且y=tanx在上單調遞增,所以-<x<,因為y=tanx的周期為π,所以不等式的解集為.3.已知cosα=-

,則使lg(cosα·tanα)有意義的角α等于 (

)A.2kπ±

,k∈Z B.2kπ±

,k∈ZC.2kπ-

,k∈Z D.2kπ+

,k∈Z【解析】選D.因為lg(cosα·tanα)有意義,所以α是第一或第二象限的角.又因為cosα=-<0,所以α是第二象限的角.在上,α=,所以α=2kπ+,k∈Z.【補償訓練】函數(shù)y=

的定義域為

.

【解析】由sinxtanx≥0得由①得,2kπ≤x<+2kπ,k∈Z或x=π+2kπ,k∈Z.由②得,-+2kπ<x≤2kπ或x=π+2kπ,k∈Z.所以函數(shù)的定義域為答案:

4.已知tanα≥

則α的取值范圍為 (

)【解析】選A.已知tanα≥若α∈則tanα>0,由已知tanα≥,可得tan2α≥1,所以tanα≥1,α∈.若α∈,則tanα<0,由已知tanα≥,可得tan2α≤1,所以-1≤tanα<0,α∈,故α的取值范圍為.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.使得等式2cos=1成立的角x可以是 (

)【解析】選BCD.由已知得cos因此故x=4kπ±(k∈Z),故x可以是±6.已知函數(shù)y=cosx的定義域為

,值域為

,則b-a的值不可能是(

)【解析】選AD.結合已知條件和余弦函數(shù)的圖象可知,y取-和1時,x的最近的值相差所以b-a的值應不小于,y取-和1時,x的最遠的值相差所以b-a的值應不大于,故b-a的值不可能是三、填空題(每小題5分,共10分)7.若sin(x-π)=-

,且-2π<x≤0,則角x=

.

【解析】因為sin(x-π)=-sin(π-x)=-sinx=-,所以sinx=,所以x=2kπ+或2kπ+π(k∈Z).又-2π<x≤0,所以x=-答案:-【補償訓練】若0≤x<π,則滿足方程tan

=1的解的集合是

.

【解析】由tan=1,得4x-+kπ,k∈Z,x=k∈Z,因為0≤x<π,所以方程的解集為答案:

8.(2020·濰坊高一檢測)方程2cos

=1在區(qū)間

內的解是

,若tan2x=-

且x∈

,則x=

.

【解析】因為2cos=1,所以cos=.因為x∈,所以x-所以x-所以x=因為x∈,所以2x∈因為tan2x=-,所以2x=或2x=所以x=答案:

四、解答題(每小題10分,共20分)9.設函數(shù)f(x)=tan

(1)求函數(shù)f(x)的定義域、最小正周期、單調區(qū)間及對稱中心.(2)求不等式-1≤f(x)≤

的解集.【解析】(1)由≠kπ+,得到函數(shù)的定義域為周期T=2π;增區(qū)間為(k∈Z),無減區(qū)間;對稱中心為(k∈Z).(2)由題意,kπ-可得不等式-1≤f(x)≤的解集為10.(2020·忻州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=

(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值;(2)求f(x)在區(qū)間

上的最大值和最小值以及相應的x的值;(3)若f(x)=-

,求的值.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=(ω>0)的最小正周期為π,由T==π,得ω=2.(2)f(x)=,因為x∈,所以2x+從而-1≤cos于是,當2x+=π,即x=時,f(x)取得最小值-2;當2x+=,即x=0時,f(x)取得最大值3.(3)因為f(x)=2所以cos故【創(chuàng)新遷移】1.(2020·懷化高一檢測)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移

個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則當x∈[0,π]時,則不等式g(x)<1的解集為(

)【解析】選C.由圖象可知A=2,周期所以T=π,則ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),圖象過點代入可得2sin=2,因為-π<φ<π,所以φ=-,所以f(x)=2sinf(x)的圖象向左平移個單位,得到y(tǒng)=所以函數(shù)g(x)=2sin不等式g(x)<1,即sin當x