指點(diǎn)迷津(十)第九章解析幾何減少運(yùn)算量的常用技巧很多同學(xué)厭煩解析幾何題目,是因?yàn)檫\(yùn)算量過大.尤其在考試過程中,要想在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成解答,計(jì)算能力是一個(gè)重要的因素.下面介紹四種減少計(jì)算量的技巧.技巧一靈活運(yùn)用定義

答案

D解析

設(shè)|AF1|=x,|AF2|=y,y>x.故|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4.①又四邊形AF1BF2為矩形,故|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即x2+y2=(2c)2=12.②名師點(diǎn)析解決此類問題要熟練掌握平面幾何的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,靈活運(yùn)用定義,往往能達(dá)到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果.技巧二設(shè)而不求,整體代換

答案

D名師點(diǎn)析運(yùn)用“設(shè)而不求”方法的兩點(diǎn)技巧

技巧三巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”,化繁為簡

(1)求橢圓E的方程;(2)過點(diǎn)P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,N.當(dāng)|MN|=2時(shí),求k的值.(2)設(shè)過點(diǎn)P(-2,1),斜率是k的直線為l,直線l的方程為y-1=k(x+2),聯(lián)立直線l和橢圓E的方程,消去y,整理得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0.由Δ>0可得(16k2+8k)2-4×(1+4k2)(16k2+16k)>0,解得k<0.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),名師點(diǎn)析在圓錐曲線問題中,常設(shè)出直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程,消元得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,得到兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系,這是解決圓錐曲線問題的常用方法.通過設(shè)而不求,大大降低了運(yùn)算量,體現(xiàn)了整體思想.技巧四

圓錐曲線的弦長公式化為快速求圓錐曲線的弦長,我們推出一般形式下直線與橢圓、雙曲線相交的過程性結(jié)論,把結(jié)論當(dāng)成公式運(yùn)用,能達(dá)到事半功倍的效果.(1)(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0;(2)Δ=4a2b2(b2+a2k2-m2);結(jié)論3:直線與雙曲線相交的四條結(jié)論只需把橢圓四條結(jié)論中的b2換成-b2即可.例如:結(jié)論4:直線與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓或雙曲線的結(jié)論,只需將四條結(jié)論中的a2,b2互換.【結(jié)論應(yīng)用】例4.已知橢圓E:

=1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA.(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),