2024屆成都蓉城名校聯(lián)盟高三第三次模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）

考試時間120分鐘，滿分150分

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號和考籍號用0.5毫米的黑色簽字筆填

寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈

后再填涂其它答案：非選擇題用05毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題

區(qū)域答題的答案無效：在草稿紙上、試卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)全集"={123,4,5},若集合加滿足{1,4}口必"，則（）

A.41MB.

C.26MD.3c/

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2—i,則z=()

1i1i

A.—+-B.----

2222

13.13.

C.-+-iD.----1

2222

131

3.2-3,23,sin：,log2（四個數(shù)中最大的數(shù)是（)

,3,1

A.2-3B.C.sin—D.log,—

223

4.地球生命來自外星嗎？一篇發(fā)布在《生物學(xué)快訊》上的文章《基因庫的增長是生命起源和演化的時鐘》

可能給出了一種答案.該論文的作者根據(jù)生物功能性基因組里的堿基排列數(shù)的大小定義了基因庫的復(fù)雜度y

（單位：1）,通過研究各個年代的古代生物化石里基因庫的復(fù)雜度，提出了一個有趣的觀點：生物基因庫的

復(fù)雜度近似是隨時間呈指數(shù)增長的，只要知道生物基因庫的復(fù)雜度就可以推測該生物體出現(xiàn)的年代.如圖

是該論文作者根據(jù)生物化石（原核生物，真核生物，蠕蟲，魚類，哺乳動物）中的基因復(fù)雜度的常用對數(shù)igy

與時間X（單位：十億年）的散點圖及回歸擬合情況（其中回歸方程為：lgy=0.89x+8.64,相關(guān)指數(shù)

R2=O.97）.根據(jù)題干與圖中的信息，下列說法錯誤的是（）

d

M

W一

K

M

K

rt轍l

女

x/十億年

A.根據(jù)信息生物基因庫的復(fù)雜度近似是隨時間呈指數(shù)增長的情況，不同于作者采取y取常用對數(shù)的做法，

我們也可采用函數(shù)模型y=〃xl（T+上來擬合

B.根據(jù)回歸方程可以得到，每過10億年，生物基因庫的復(fù)雜度一定增加到原來的10°89a7.76倍

C.雖然擬合相關(guān)指數(shù)為0.97,但是樣本點只有5個，不能很好地闡釋其統(tǒng)計規(guī)律，所以增加可靠的樣本點

可以更好地完善回歸方程

D.根據(jù)物理界主流觀點：地球的形成始于45億年前，及擬合信息：地球在誕生之初時生物的復(fù)雜度大約

為lO&a,可以推斷地球生命可能并非誕生于地球

5.若正實數(shù)。力滿足片+。2=m，則最大值為（）

A.B.y[2mC.2yfmD.2m

6.若a，b是平面上兩個非零的向量，貝廣口+0=同+忖”是“卜力卜瓦慟”的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3

7.在平面直角坐標系xQy中，角名尸的始邊均為3,終邊相互垂直，若cosa=',則cos2〃=（）

9977

A.—B.------C.—D.------

25252525

8.已知公比不為1的等比數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，若數(shù)列｛￡,+為｝是首項為1的等差數(shù)列，貝!]%=

()

1215

A.-B.-C.一D.-

2388

9.某電子競技隊伍由1名隊長、1名副隊長與3名隊員構(gòu)成，按需要擔任第1至5號位的任務(wù)，由于隊長需

要分出精力指揮隊伍，所以不能擔任1號位，副隊長是隊伍輸出核心，必須擔任1號位或2號位，則不同的

位置安排方式有()

A.36種B.42種C.48種D.52種

10.已知正方體以某直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)戊角后與自身重合，則戊不可能為()

兀2兀3兀

A.-B.—C.—D.兀

234

11.若函數(shù)/(x)=e￡-近2大于o的零點有且只有一個，則實數(shù)上的值為()

A.4B.2x/eC.-DW

24

12.已知點P,Q分別是拋物線=以和圓E：x2+y2_i0x+2i=o上的動點，若拋物線。的焦點為

尸，則2|尸。|+町的最小值為()

A.6B.2+2&C.46D.4+2百

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若雙曲線C漸近線方程為0x±y=O,則C的標準方程可以是(寫出一個你認為正確的答

案即可).

14.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則這個圓錐的高是.

15.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，/(x)=x(l-lax),則當x<0時，的單

調(diào)遞增區(qū)間為.

16.若實數(shù)X1,%是方程J^sin2x—cos2x=—耳在區(qū)間(0,兀)上不同的兩根，則%)=-

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.在_ABC中，BC=5,AC=6,cosB=—.

8

(1)求AB的長；

(2)求AC邊上高.

18.已知在四棱錐P-ABCD中，上41.平面A3CD,四邊形A3CD是直角梯形，滿足

AD//BC,ADLDC,若？A=AO=DC=2,5。=3,點M為PD的中點，點N為PC的三等分點(靠

近點P).

(1)求證：PC,平面4WN；

(2)若線段依上的點。在平面4WN內(nèi)，求篝的值.

19.RAID10是一種常見的獨立兮余磁盤陣列，因為先做鏡像存儲再做條帶存儲，使得RAID10同時具有

RAID0的快速與RAID1的可靠的優(yōu)點，同時陣列中若有幾塊磁盤損壞可以通過陣列冗余備份進行數(shù)據(jù)恢

復(fù).某視頻剪輯公司購進100塊拆機磁盤組建一臺存儲服務(wù)器，考慮到穩(wěn)定性，擬采取RAID10組建磁盤陣

列，組建之前需要對磁盤進行壞道掃描，每塊需要2小時，若掃描出磁盤有壞道，則更換為沒有壞道的正常

磁盤.現(xiàn)工作小組為了提升效率，打算先掃描其中的10塊，再根據(jù)掃描情況，決定要不要繼續(xù)掃描剩下的

所有磁盤，設(shè)每塊磁盤有壞道的概率為x(xe(0,1)),且每塊磁盤是否有壞道相互獨立.

(1)將掃描10塊中恰有2塊有壞道的概率，表示成關(guān)于x的函數(shù)，并求該函數(shù)的最大值點%；

(2)現(xiàn)掃描的10塊中恰有2塊有壞道，考慮到安全性，工作小組決定用(1)中的％作為x值來預(yù)測.已

知有壞道磁盤直接投入使用會造成該盤上的數(shù)據(jù)丟失或損壞，每塊投入使用的有壞道磁盤需要10.5小時進

行更換和數(shù)據(jù)恢復(fù)，請根據(jù)現(xiàn)有掃描情況，以整個組建過程所花費的時間的期望為決策依據(jù)，判斷是否需

要掃描剩下的所有磁盤.

20.已知橢圓E:=+與=1(?！?〉0)上的點M(2,l)到焦點耳,心的距離之和為4亞.

a~b~

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點N(4,0)的直線交E于兩點，直線AM,3M分別交直線x=4于P,Q兩點，求證:

|PN|=|QN|.

21.已知函數(shù)/(x)=hix,若數(shù)列｛qJ的各項由以下算法得到：

①任取6=。(其中a>0),并令正整數(shù)，=1；

②求函數(shù)/(%)圖象在。于(?,))處的切線在y軸上的截距4+1；

③判斷4+1>0是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令i=i+l，返回第②步；

⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列｛%｝的項依次為…，q+i.

根據(jù)以上信息回答下列問題：

(1)求證：q+i=lna,.-1；

⑵是否存在實數(shù)ae化女+1)(左eN)使得｛%｝為等差數(shù)列，若存在，求出左的值；若不存在，請說明

理由.參考數(shù)據(jù)：

(二)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計分.

［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

22.在平面直角坐標系xQy中，直線G的參數(shù)方程為1/(/為參數(shù))，曲線。2的參數(shù)方程為

、y=K

x=a+cosa,

\々為參數(shù))，以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.

y=sina

(1)求與C2的極坐標方程；

(2)若C］與。2的兩不同交點A,3滿足。4=208,求。的值.

［選修4—5：不等式選講］(10分)

23.己知函數(shù)/(%)=%—"2,8(兀)=%+2.

⑴當m=1時，解不等式|/(x)|+|g㈤<5；

(2)若xe(-l,+oo),［(x)|g(x-2)+/(x)|g(x)|>。成立,求加的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,設(shè)全集0=｛1'234,5｝,若集合加滿足｛1,4｝口令加，則()

A.41MB.

C2eMD.3^M

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系及補集的定義判斷即得.

【詳解】全集。={1,2,3,4,5},由{1,4}口短以，知1c瘵0,4eVM,則1走A錯誤，B

正確;

不能判斷2eM,也不能判斷3c",CD錯誤.

故選：B

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2—i,則z=()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運算計算即得.

2-i(2-i)(l-i)l-3i_l3.

【詳解】依題意,T+7-(l+i)(l-i)-2~2~2r'

故選：D

13i

3.2-3,23,sin]log2；四個數(shù)中最大的數(shù)是()

.i.3,1

A.2-3B.2?C.sin—D.log2—

【答案】B

【解析】

【分析】引入0,1,分別比較這四個數(shù)和0,1的大小，即可得到結(jié)論.

11O1

【詳解】因為2-3=嘮=§<1,2|>2o=rsin-<l,log2-=-log23<0.

所以[最大.

故選：B

4.地球生命來自外星嗎？一篇發(fā)布在《生物學(xué)快訊》上的文章《基因庫的增長是生命起源和演化的時鐘》

可能給出了一種答案.該論文的作者根據(jù)生物功能性基因組里的堿基排列數(shù)的大小定義了基因庫的復(fù)雜度y

（單位：1）,通過研究各個年代的古代生物化石里基因庫的復(fù)雜度，提出了一個有趣的觀點：生物基因庫的

復(fù)雜度近似是隨時間呈指數(shù)增長的，只要知道生物基因庫的復(fù)雜度就可以推測該生物體出現(xiàn)的年代.如圖

是該論文作者根據(jù)生物化石（原核生物，真核生物，蠕蟲，魚類，哺乳動物）中的基因復(fù)雜度的常用對數(shù)igy

與時間x（單位：十億年）的散點圖及回歸擬合情況（其中回歸方程為：lgy=0.89x+8.64,相關(guān)指數(shù)

R2=O.97）.根據(jù)題干與圖中的信息，下列說法錯誤的是（）

d

M

W一

K

M

K

rt轍l

女

x/十億年

A.根據(jù)信息生物基因庫的復(fù)雜度近似是隨時間呈指數(shù)增長的情況，不同于作者采取y取常用對數(shù)的做法，

我們也可采用函數(shù)模型y=bxlQax+k來擬合

B.根據(jù)回歸方程可以得到，每過10億年，生物基因庫的復(fù)雜度一定增加到原來的10°89。7.76倍

C.雖然擬合相關(guān)指數(shù)為0.97,但是樣本點只有5個，不能很好地闡釋其統(tǒng)計規(guī)律，所以增加可靠的樣本點

可以更好地完善回歸方程

D.根據(jù)物理界主流觀點：地球的形成始于45億年前，及擬合信息：地球在誕生之初時生物的復(fù)雜度大約

為lO&a,可以推斷地球生命可能并非誕生于地球

【答案】B

【解析】

【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式互化判斷A；利用回歸方程的意義判斷B；利用相關(guān)指數(shù)的意義判斷C；求出

地球在誕生之初時生物的復(fù)雜度，結(jié)合描述判斷D.

【詳解】對于A,由lgy=0.89x+8.64,得y二1-64=10864310°，8期,

令￡=1（）864,&=0.89,攵=0,滿足y=i?xl（T+旌A正確；

對于B,觀察散點圖，所給5個點不全在回歸直線lgy=0.89x+8.64上，回歸擬合是近似,

不能說每過10億年，生物基因庫的復(fù)雜度一定增加到原來的10°69°7.76倍，B錯誤；

對于C,數(shù)據(jù)越多，擬合的準確性越高，因此增加可靠的樣本點可以更好地完善回歸方程，C正確;

對于D,當x=0時，y=10864,即地球在誕生之初時生物的復(fù)雜度大約為10&64,

可以推斷地球生命可能并非誕生于地球，D正確.

故選：B

5.若正實數(shù)a力滿足^+廿=m，則a+b的最大值為（）

A.y]2mB.y/2mC.2^[mD.2m

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用不等式巴史〈，憶"求解a+b最大值.

2V2

【詳解】因為/+廿=m，a>0,b>0,

所以審《產(chǎn)￥，即a+/,W夜.正壽=同，

當且僅當a=b=^時等號成立，

所以a+Z?的最大值為J礪.

故選：A.

6.若。，人是平面上兩個非零的向量，貝廣卜+。|=何+忖”是“卜力卜瓦慟”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由|a+q=,|+W，兩邊平方化簡可得cos<a/〉=1,即a，b同向，可判斷充分性成立,

由卜同=,慟，可得cos<a1〉=±l,即a，b共線，可舉反例）=—，，判斷必要性不成立.

【詳解】因為卜+b卜口+慟，所以(卜+?！?(忖+”『，

即|?|2++2a-b=卜1+W+2忖?“，即a?A=\a\?忖，

由于a,。是平面上兩個非零的向量，所以cos<a,/?>=1,所以a，Z?同向，

所以有卜/=|?|-|/?|cos<?,/?>=，,,，故充分性成立；

因為卜/=卜'目，則卜os<a,Z?〉|=l,即cos<a,6〉=±l,

由于a力是平面上兩個非零的向量，所以。，匕共線.，

不妨取工工，此時。，/,共線.，但卜+4=0,1+"=21,0,

故必要性不成立，

所以"a+0=|a|+%”是“,為|=3愀”的充分不必要條件.

故選：A

3

7.在平面直角坐標系xQy中，角名尸的始邊均為3，終邊相互垂直，若cosa=g,則cos2〃=()

9977

A.——B.——C.—D.——

25252525

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式計算即得.

兀3

【詳解】依題意，P=6/+—+2foi,^GZ,貝！Jsin^=cosa=《，

兀3

或，=。一5+2也,左wZ,則sin/?=-cos。=——,

所以cos2/?=l-2sin2[3.

故選：C

8.己知公比不為1的等比數(shù)列｛4｝的前幾項和為S,,,若數(shù)列｛S〃+a“｝是首項為1的等差數(shù)列，則%=

()

1215

A.—B.—C.-D.一

2388

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,根據(jù)題意可得改=4+4,即26+02）=201+83+的,化簡整

理得2/_3q+l=0,求得4,q得解.

【詳解】令2=S”+%,,偽=S]+q=2%=1,q=；,

又2仇=4+4,即2（$2+。,）=2%+S3+4,即2（4+2劣）=3q+4+2g,

整理得3g—2%=0,設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4，則3%q—%—2%/=0,即2/_3q+l=0,

解得q=1'或1，又q豐\，所以q=g,

而z21（1?1

所以%=%?“=-x-=--

ZJo

故選：C.

9.某電子競技隊伍由1名隊長、1名副隊長與3名隊員構(gòu)成，按需要擔任第1至5號位的任務(wù)，由于隊長需

要分出精力指揮隊伍，所以不能擔任1號位，副隊長是隊伍輸出核心，必須擔任1號位或2號位，則不同的

位置安排方式有（）

A.36種B.42種C.48種D.52種

【答案】B

【解析】

【分析】按：“特殊元素（位置）優(yōu)先法”解決.先分類：按副隊長擔任1號位和2號位分成兩類；再分步：副

隊長擔任1號位時，其余4個位置沒有任何限制，副隊長擔任2號位時，先從3名隊員中選1人擔任1號

位，其他3個位置無任何限制.

【詳解】若副隊長擔任1號位，其他位置就沒有任何限制，有A：=24種安排方式；

若副隊長擔任2號位，則從3名隊員中選1人擔任1號位，后面的3個位置無限制條件，有

人么；=3、6=18種安排方式.

所以一共有：24+18=42種安排方式

故選：B

10.已知正方體以某直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)a角后與自身重合，則戊不可能為（）

【答案】C

【解析】

【分析】分直線經(jīng)過正方體對面中心、直線經(jīng)過正方體的體對角線、直線穿過正方體的對棱中點及其它情形

四種情況討論，分別確定旋轉(zhuǎn)角，即可判斷.

【詳解】依題意直線必過正方體的體對角線的交點，

當直線經(jīng)過正方體對面中心時，正方體繞直線旋轉(zhuǎn)萬（左eZ）時，與自身重合;

當直線經(jīng)過正方體的體對角線時,

如圖，連接A#,BD，A{D,此時三角形A3。為等邊三角形,

設(shè)正方體的體對角線A。與面48。交于點則/為45。的中心，連接A"，BM，則

2兀

ZA,MB=—

當直線穿過正方體的對棱中點時，正方體繞直線旋轉(zhuǎn)配傳eZ）時，與自身重合;

其它情況，正方體繞直線旋轉(zhuǎn)2E(左eZ)時，與自身重合;

故選：C

11.若函數(shù)/(x)=e￡—近2大于o的零點有且只有一個，則實數(shù)上的值為()

A.4B.2x/eC.-D.—

24

【答案】D

【解析】

/、ex

【分析】根據(jù)題意，函數(shù)/(X)有且僅有一個正零點，轉(zhuǎn)化為方程攵=二有且僅有一個正根，令

X

x

g(x)二e三，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值，數(shù)形結(jié)合判斷得解.

【詳解】函數(shù)/(X)有且僅有一個正零點，即方程左=:■有且僅有一個正根，

X

令g(x)==，則g，(x)=e(X2),

x-x

當x<0時，g'(x)>0,當0cx<2時，g'(x)<0,當x>2時，g'(x)>0,

2

即函數(shù)g(x)在(-8,0)和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，且g(2)=:,

X-0時，g(x)f+8,時，g(x)f0,Xf+oo時，g(x)f+oo,可作出圖象如下,

故選：D.

12.已知點P,Q分別是拋物線C：V=4x和圓石：爐+產(chǎn)―10尤+21=0上的動點，若拋物線。的焦點為

尸，則2|尸Q|+|QF|的最小值為（）

A.6B.2+2亞C.4君D.4+273

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將2|PQ|+|Q同轉(zhuǎn)化為2（盧。|+［。川）的形式，尋求定點M,使得［。用=|。回

恒成立，2歸。|+|0同轉(zhuǎn)化為2（盧9+|。閭），當且僅當MRQ在一條直線上時，2（盧。|+|。閭）取得

最小值，即可求解.

【詳解】由拋物線C：V=4x,可得焦點坐標為尸（L。），

又由圓/+10》+21=0,可化為（x—Sy+V=4,

可得圓心坐標為E（5,0）,半徑廠=2,

設(shè)定點M?,0）,滿足g|QE|=|QM|成立，且。（毛,％）

即go7）2+［=|J（x0_l）2+y：恒成立，

其中（％-5y+尤=4,代入兩邊平方可得：

（4—。無0=16—產(chǎn)，解得/=4,河（4,0）,

所以定點M滿足;司=|。叫恒成立，

可得2|PQ|+|Q耳=2（|PQ|+|QM|）|,

如圖所示，當且僅當在一條直線上時,

此時|P0+|QM|取得最小值\PM\,

即2\PQ\+\QF\^2(\P^+\QM|)|>2\PM\,

設(shè)P(x,y),滿足y2=4x,

所以2|P9+|Q周>2\PM\=2^x-4)2+y2,

2\PQ\+\QF\>2j(x-4)2+4%=2?x-2y+12>2712=4^,

當尤=2時，等號成立，

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為三點共線時，線段的長的問題，結(jié)合拋物線方程即可

求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若雙曲線C的漸近線方程為缶±y=0,則C的標準方程可以是(寫出一個你認為正確的答

案即可).

2

【答案】2L=i(答案不唯一)

2

【解析】

【分析】由雙曲線漸近線的表達式得到一組再寫出標準方程即可.

【詳解】因為雙曲線。的漸近線方程可表示為y=±±x,

a

所以4=1,b=A/2,

2

所以C的標準方程可以是——匕=1,

2

2

故答案為：妙—匕=].

2

14.己知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則這個圓錐的高是.

【答案】唐

【解析】

【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長，求得圓錐的底面半徑，進而利用勾股定理求高.

【詳解】試設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為「，

則1=2R=2兀丁，1=2r,r=l,

因此圓錐的高是=6.

故答案為：5

15.已知函數(shù)〃%）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，/（x）=x（l-lnx）,則當x<0時，〃%）的單

調(diào)遞增區(qū)間為.

【答案】（—1,0）

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求當x>。時/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)奇函數(shù)的對稱性求得結(jié)果.

詳解】當x>0時，/'（%）=—lux,

由/'（x）>0,解得0<x<l,所以/（九）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，

因為函數(shù)〃尤）是定義在R上的奇函數(shù)，

所以函數(shù)外力圖象關(guān)于原點對稱，

所以"％）在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞增.

故答案為：（—1,0）.

16.若實數(shù)xt,x2是方程J§sin2x-cos2x=-g在區(qū)間（0,兀）上不同的兩根，則cos（%2.

2

【答案】j

【解析】

2/、

【分析】根據(jù)題意得到sinsin結(jié)合工￡（。,兀）和正弦函數(shù)對稱性得到

%1+%2='|兀，故COS(%2—xJ=COS71兀2

——+—=-sin

623

2

【詳解】V3sin2x-cos2x=-—=>2sinf2%--n-—sin71

36363

2

故sinsin

3

因為1￡（0,兀），所以2%-巳￡兀11兀

6,~6~

.7兀.11兀1―21

其中sinsm——=sin------=nu

662

兀

故2石-'+2x25

6_3兀，即花十%=—71，

3

22

COSf-71—j—cosf—7—1—2%]

則COS（X2一石）=

3

71兀2

=cos——+—=-sin

623

2

故答案為：—

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.在ABC中，BC=5,AC=6,cosB=—.

8

（1）求AB的長;

（2）求AC邊上的高.

5A/7

【答案】（1）4(2)

~T~

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意,由余弦定理代入運算得解;

(2)求出sinB,由等面積法求解.

【小問1詳解】

由題，<7=5,b=6>cosB=-,由余弦定理得,

8

■?■-=25+C-36,解得c=4,即AB=4.

82x5c

【小問2詳解】

在。中，cosB=L,；,sinB=迫,設(shè)AC邊上的高為

88

則工b/z='acsin3,即6/z=5x4x^^,解得用=豆工.

2284

所以AC邊上的高為迫.

4

18.已知在四棱錐P-ABCD中，24,平面A3CD,四邊形A3CD是直角梯形，滿足

AD//BC,ADLDC,若PA=AO=DC=2,3。=3,點M為PD的中點，點N為PC的三等分點(靠

近點P).

(1)求證：尸平面4VW；

(2)若線段PB上的點。在平面4WN內(nèi)，求黑的值.

PB

【答案】(1)證明見解析

⑵PQ-2

PB3

【解析】

【分析】(1)連接AC,利用余弦求得AN,可證PC1AN,由已知可證CDJ_平面APO,可得

PA±CD,進而證明AM，平面CP。，可得AM,尸C,可證結(jié)論成立；

P0

(2)連接。N,求得尸5,在三角形尸8。中，利用余弦定理可求得cosNBPC,進而可得尸。，可求得

PB

的值.

【小問1詳解】

連接AC,由AO〃BC,ADJ_￡)C,若必=&。=。。=2,

可得AC=20，由24,平面ABC。，因為ACu平面ABC，PAYAC,

______________21

所以PC=JB42+AC2=^7i=2指,cosZAPC=—=^=-^r,

因為點N為PC的三等分點(靠近點尸)，所以PN=空,

3

Q

在三角形PAN中，由余弦定理可得AN2=AP~+PN2-2AP.PN.cosZAPC=—,

3

0o84o

所以AN2+PN?=—+—=4=242,所以三角形以N是直角三角形，所以PC1AN,

33

因為上4,平面ABCDCDu平面A8C。,，所以K4LCD,又CDLAD,PAr>AD=A,

所以CD,平面APD,聞lu平面APD,所以CDLAM,

由點加為「。的中點，所以PDIAM,又PDcCD=D,所以AM,平面CP。，

CPu平面PCD,所以AMLPC,ANAM=A,所以尸CL平面AMN,

P

r小問2樣解j

BC

連接QN,因為QNu平面AMV,所以QNLPC,

在直角三角形B4B中，由勾股定理可得PB?=AP?+AB?=2?+(,2?+付了=9,

所以尸出3,

PB~+PC2一BC29+12-91

在三角形PBC中，由余弦定理可得cos4BPC=--------------------------=———=7,

2PB7PC127373

PN1PO2

在三角形尸。N中，cosZBPC=-=-j=,所以PQ=2,所以蝙=§.

19.RAID10是一種常見的獨立兮余磁盤陣列，因為先做鏡像存儲再做條帶存儲，使得RAID10同時具有

RAID0的快速與RAID1的可靠的優(yōu)點，同時陣列中若有幾塊磁盤損壞可以通過陣列冗余備份進行數(shù)據(jù)恢

復(fù).某視頻剪輯公司購進100塊拆機磁盤組建一臺存儲服務(wù)器，考慮到穩(wěn)定性，擬采取RAID10組建磁盤陣

列，組建之前需要對磁盤進行壞道掃描，每塊需要2小時，若掃描出磁盤有壞道，則更換為沒有壞道的正常

磁盤.現(xiàn)工作小組為了提升效率，打算先掃描其中的10塊，再根據(jù)掃描情況，決定要不要繼續(xù)掃描剩下的

所有磁盤，設(shè)每塊磁盤有壞道的概率為（0,1））,且每塊磁盤是否有壞道相互獨立.

（1）將掃描的1。塊中恰有2塊有壞道的概率。表示成關(guān)于x的函數(shù)，并求該函數(shù)的最大值點%；

（2）現(xiàn)掃描的10塊中恰有2塊有壞道，考慮到安全性，工作小組決定用（1）中的為作為x值來預(yù)測.已

知有壞道磁盤直接投入使用會造成該盤上的數(shù)據(jù)丟失或損壞，每塊投入使用的有壞道磁盤需要10.5小時進

行更換和數(shù)據(jù)恢復(fù)，請根據(jù)現(xiàn)有掃描情況，以整個組建過程所花費的時間的期望為決策依據(jù)，判斷是否需

要掃描剩下的所有磁盤.

28

【答案】⑴/?（%）=Cl0x（1-%）,xe（0,1）,%=g

（2）需要掃描剩下的所有磁盤

【解析】

【分析】⑴根據(jù)獨立重復(fù)事件概率公式可得?（力的解析式，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷?（力的單調(diào)性和最值，

即可得吃;

（2）先求掃描剩下的所有磁盤花費時間，再結(jié)合二項分布求不掃描剩下的所有磁盤花費時間，兩者對比分

析即可結(jié)果.

【小問1詳解】

28

由題意可知：P（x）=Cf0x（1-X）G（0,1）,

則P'（X）=C；o[2x（1-X）8-8/（1-x）7]=C；o?（2x）-（l-x）7-（1-5%）,

因為x￡（0,1）,可知C；o.（2%）.（1—x）7>0,

令夕解得0<%<2；令夕解得

可知?（x）在1o，￡|內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以M%）的最大值點％=g.

【小問2詳解】

由（1）可知：x0=—,

若掃描剩下的所有磁盤，則花費時間為90x2=180（小時）；

若不掃描剩下的所有磁盤，設(shè)剩余90塊磁盤中有壞道的塊數(shù)為x,花費時間為y,

則X:小0，!卜=10",

可得E（y）=10.5E（X）=10.5x90x（=189（小時）；

因為180＜189,所以需要掃描剩下的所有磁盤.

22

20.已知橢圓E:==1（?！?〉0）上的點"（2,1）到焦點耳心的距離之和為4亞.

a~b"

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點N（4,0）的直線交E于兩點，直線加0,3河分別交直線x=4于P,Q兩點，求證：

網(wǎng)=|QM

22

【答案】（1）土+匕=1（2）證明見詳解

82

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件和橢圓定義建立。力的方程組求出。力，得解；

（2）根據(jù)題意直線A3的斜率存在，當直線AB的斜率為0時，易求得A（20,O）,B（-272,0）,易證

|PN|=|QN|；當直線A3的斜率不為0時，設(shè)直線A5的方程為x=》+4,4（%,乂），8（々,%），與

橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理%+%，%%，求出直線的方程，令》=4,求得力，打，結(jié)合韋達定

理驗證丹＞+V。=°即可得證.

【小問1詳解】

因為橢圓上點”（2,1）到焦點耳,心的距離之和為4夜，

2a=4^/2

所以＜41,,WWa=2A/2,b=A/2,

--------1--------二1

a2b2

22

所以橢圓E的方程為土+乙=1.

82

【小問2詳解】

根據(jù)題意直線AB的斜率存在，

當直線A5的斜率為0時，可得A（20,O）,B（-2V2,0）,

直線40的方程為y—1=—上半（x—2），令x=4,求得”=—也，同理求得了。：山,所以

|叫孫|；

當直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線AB的方程為X=9+4,A（玉,％），5（乙,%），

由題意直線AB不過點M（2,1）和（2,—1）,所以［*±6,

冗2+4y2—8/\9

聯(lián)立《”,消去工整理得仁+4）,2+89+8=。，

x=ty+4'7

—818

則A〉。，所以?>4,且%+T，-----，

r+4r+4

易知直線AM,的斜率均存在，則：>—1=上二!（x—2）,令*=4,得

玉一Z

v=2（弘-1）.2（x-l）門］+2）匕

%—2tyy+2ty^+2

同理可得為=曰『'

Q+2）x?+2）%（2r+4。％%+（2/+4）（%+丁2）

所以外+%=--------+--------=--------7--------77---------；-----------

01+2優(yōu)+2（01+2）（仇+2）

又%+%=一%％，

所以小百（”+：）絲：3+：）.=0.

2（步+2）（仇+2）

所以|PN|=|QN|.

綜上，|PN|=|QN|.

【點睛】思路點睛：本題第二問，要分直線A3的斜率為0和不為。兩種情況討論，當直線A3的斜率為

。時，易求得點A,3坐標，進而求得力，人易得證；當直線A5的斜率不為。時，設(shè)出直線A3的方程為

x=）+4與橢圓聯(lián)立，可得%+%，%為，再求出直線AM,5M的方程，進而求得力，為，結(jié)合韋達定

理驗證+yQ=0.

21.已知函數(shù)/(x)=hix,若數(shù)列｛叫的各項由以下算法得到：

①任取。(其中a>0),并令正整數(shù)，=1；

②求函數(shù)八％)圖象在(??/(?,))處的切線在，軸上的截距一；

③判斷q+1〉0是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令i=i+l，返回第②步；

⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列｛4｝的項依次為…，4+i.

根據(jù)以上信息回答下列問題：

(1)求證：aM=lna,.-1；

(2)是否存在實數(shù)ae(左水+1)伏eN)使得｛