滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)思想專題之?dāng)?shù)形結(jié)合思想③教學(xué)目標(biāo)認(rèn)識一些常見的數(shù)形結(jié)合題目的類型，并能熟練掌握用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列及解析幾何問題【解讀：數(shù)形結(jié)合題型往往更多的出現(xiàn)在選擇、填空題中，要求學(xué)生掌握一些常見的數(shù)形結(jié)合的題型，并且掌握用數(shù)形結(jié)合的方法去解決這些有關(guān)函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列及解析幾何的問題】知識梳理數(shù)形結(jié)合思想：所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想常用來解決的一些問題有哪些？答：1．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；2．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；3．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；4．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；5．構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；6．構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；7．構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；8．研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等?！窘庾x：在講解此塊內(nèi)容時(shí)，可以讓學(xué)生自己回憶一些曾經(jīng)做過的數(shù)形結(jié)合類的題目，并且詢問學(xué)生是如何解決的，同時(shí)一起回顧在用數(shù)形結(jié)合思想中所要用到的一些數(shù)學(xué)公式和定理，鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識；對于這部分內(nèi)容學(xué)生一般是回答不完整的，對于學(xué)生沒有想到的可以在講解完本專題之后，再由老師和學(xué)生一起把它補(bǔ)充完整】典例精講（★★★）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)的圖像如下圖所示，那么不等式的解集是（）分析：函數(shù)定義在上，并且是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖像性質(zhì)可知在上的圖像如圖所示，若使，只需與異號，即圖像應(yīng)分別分布在軸上下兩側(cè)，由圖可知，有三個(gè)部分符合條件，即【這個(gè)問題充分考察了函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合思想的完美結(jié)合，注意作圖的正確性】（★★★★）已知函數(shù)滿足下面關(guān)系：當(dāng)時(shí)，則方程解的個(gè)數(shù)為（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)分析：判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷函數(shù)圖像與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，由題意知是以為周期，值域?yàn)榈暮瘮?shù)，又，則易知兩圖像有九個(gè)交點(diǎn)，故方程有九個(gè)實(shí)數(shù)根【求根的個(gè)數(shù)問題也是高考?？嫉囊环N題目類型，在講解這個(gè)問題時(shí)，一定要幫助學(xué)生回顧常見的函數(shù)圖像的畫法，只有把函數(shù)圖像畫對了才能繼續(xù)往下做】例3.（★★★★）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（）分析：，則為點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)的軌跡方程為,即，如圖，當(dāng)過點(diǎn)的直線與橢圓相切時(shí)，有最小值【此題是一個(gè)典型的數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何問題中的應(yīng)用，如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常用的有：兩點(diǎn)連線的斜率；兩點(diǎn)之間的距離；為直角三角形的三邊對于這類問題一定要幫助學(xué)生回顧這些公式，并掌握如何使用】例4.（★★★★）設(shè)方程，試討論取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況．－1－10X11分析：我們可把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)表示平行于軸的所有直線，從圖像可以直觀看出－1－10X11①當(dāng)時(shí)，與沒有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無解;②當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn),原方程有兩個(gè)不同的解;③當(dāng)時(shí)，與有四個(gè)不同交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè)；④當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；⑤當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)．【根的個(gè)數(shù)和參數(shù)的范圍問題一直是考試喜歡考的問題之一，在講解這題過程中要讓學(xué)生體會到因?yàn)閰?shù)范圍不同而產(chǎn)生的變化的過程】例5.（★★★）方程的實(shí)根分別為，則分析：本題直接求解不好求，觀察題目，聯(lián)想原函數(shù)和反函數(shù)的圖像性質(zhì)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，令互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，設(shè)即【本題利用了原函數(shù)與反函數(shù)的圖像和性質(zhì)，在講解過程中要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)與之相關(guān)的一些性質(zhì)】例6.（★★★★）設(shè)，求的值。分析：設(shè)如圖所示，則且所以，即【本題把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾何意義都表現(xiàn)了出來，講解本題時(shí)一定要先和學(xué)生回顧復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及幾何意義】課堂檢測（★★★）已知方程有個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍。解：作出的圖像，畫直線，由圖像知當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（★★★★）已知設(shè)：函數(shù)在上單調(diào)遞減，：不等式的解集為，如果與有且僅有一個(gè)正確，試求的取值范圍。分析：由的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想絕對值的幾何意義，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形可巧妙地確定的范圍。避免繁瑣的運(yùn)算。：不等式的幾何意義為：在數(shù)軸上求一點(diǎn)，使到的距離之和的最小值大于1，而到二點(diǎn)的最短距離為，即而：函數(shù)在上單調(diào)遞減，即由題意可得：3.（★★★）已知，求的取值范圍。分析：此題直接求解較難，數(shù)形結(jié)合聯(lián)想直線的截距。結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可求?？煽醋餍甭蕿?2，過半圓上點(diǎn)的直線在軸上的截距，由圖可知：即【本題也可以用三角換元的思想去做，注意引導(dǎo)學(xué)生積極嘗試】4.（★★★）若z=滿足約束條件，則Z的最大值和最小值分別為解：17和－11【線性規(guī)劃文科生是文科生必須要掌握的一種題目類型，理科生不做要求】5.（★★★）若復(fù)數(shù)，則的最大值為分析：表示以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，即滿足的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在圓上移動，（如下圖）而表示復(fù)數(shù)與對應(yīng)的兩點(diǎn)的距離由圖形，易知，該距離的最大值為6.（★★★★）設(shè)，求證：分析：本題直接證明較繁！如能由的結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，則抓住了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，解法新穎，巧妙簡潔。不妨設(shè)，構(gòu)造如圖的，其中則在中，有【另解：表示平面上點(diǎn)到原點(diǎn)距離，則此外還有構(gòu)造直線、圓（主要涉及參數(shù)方程），比較簡單，不加說明。】7.（★★★★）方程表示的曲線是分析：直接化簡較繁！如能聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，則簡潔明了。原方程可化為：即動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等方程表示的曲線是拋物線回顧總結(jié)常見的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的題目類型有哪些？在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)我們需要注意的地方是？你知道絕對值和復(fù)數(shù)的幾何意義嗎？【答案：函數(shù)圖像的交點(diǎn)問