2024屆江蘇無(wú)錫梁溪區(qū)四校聯(lián)考八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.慢車和快車先后從甲地出發(fā)沿直線道路勻速駛向乙地，快車比慢車晚出發(fā)0.5小時(shí)，行駛一段時(shí)間后，快車途中休

息，休息后繼續(xù)按原速行駛，到達(dá)乙地后停止.慢車和快車離甲地的距離y（千米）與慢車行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)

4

系如圖所示.有以下說(shuō)法:①快車速度是120千米/小時(shí);②慢車到達(dá)乙地比快車到達(dá)乙地晚了0.5小時(shí);③點(diǎn)C坐標(biāo)（］,

4

100）；④線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=120x-60（0.5WxW§）；其中正確的個(gè)數(shù)有（）

八千米）

D.4

2.袋中有紅球4個(gè)，白球若干個(gè)，它們只有顏色上的區(qū)別，從袋中隨機(jī)地取出一個(gè)球，如果取得白球的可能性較大,那么袋

中白球可能有（）

A.3個(gè)B.不足3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)或5個(gè)以上

3.J（-4>等于（）

A.±4B.4C.-4D.+2

2

4.若分式而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A.x>—1B?XV—1C.x——1D?x豐—1

5.如圖，Nl、N2、N3、N4、N5是五邊形ABCDE的外角，且Nl=N2=N3=N4=70。，則NAED的度數(shù)是（）

3

1

A2B

A.110°B.108°C.105°D.100°

6.如圖，已知直線y=^+6經(jīng)過(guò)二，一，四象限，且與兩坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn)，若N（X2，%）是該直

線上不重合的兩點(diǎn).則下列結(jié)論：①萬(wàn)%>0；②AQB的面積為—-；③當(dāng)天<0時(shí)，y>b.

2k

④（/—%）（%—%）〉。.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

7.如圖，A,3兩地被池塘隔開，小明先在直線A5外選一點(diǎn)C,然后測(cè)量出AC,的中點(diǎn)并測(cè)出MN的

長(zhǎng)為6.5m.由此，他可以知道4、3間的距離為（）

A.7mB.8mC.12mD.13m

8.已知反比例函數(shù)y=4（左HO）,在每個(gè)象限內(nèi)y隨著x的增大而增大，點(diǎn)P（a—1,2）在這個(gè)反比例函數(shù)上，a

X

的值可以是（）

A.0B.1C.2D.3

9.如果一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，片0）的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，那么k、b應(yīng)滿足的條件是（）

A.k>0,且b>0B.k<0,且b>0C.k>0,且bVOD.k<0,且bVO

10.方程爐=”的解是（）

A.x=lB.xi=1,X2=0

C.x=0D.xiX2=0

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.觀察下列各式，并回答下列問(wèn)題:

①目=2&②屁=3日③卮=48……

(1)寫出第④個(gè)等式：；

(2)將你猜想到的規(guī)律用含自然數(shù)〃(〃.」)的代數(shù)式表示出來(lái)，并證明你的猜想.

12.如圖，在等腰梯形ABCD中，AC±BD,AC=6cm,則等腰梯形ABCD的面積為cm1.

13.如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作50,垂足為點(diǎn)E,若NE4C=2NC4O,

則ZBAE=__________度.

14.若三角形的一邊長(zhǎng)為26,面積為4指，則這條邊上的高為.

15.一次函數(shù)y=kx+2(kWO)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(n,0),當(dāng)n>0時(shí)，k的取值范圍是

xy3,11

16.已知--=匚，則一+一=_____?

x+y5xy

17.試寫出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,2)的一個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式：.

xY2-1

18.以下是小明化簡(jiǎn)分式(F—-1)+2-的過(guò)程.

x+xx+2x+1

解：原式

/XX2x2-1

=(―i-------2---)+--------①

x+xx+xx+2x+l

x-x2+xx2+2x+1

-9X2②

X+xx-1

_-x(x-2)(x+l)2

③

x(x+l)2(x-l)

2-x

④

~x-1

(1)小明的解答過(guò)程在第_______步開始出錯(cuò)；

（2）請(qǐng)你幫助小明寫出正確的解答過(guò)程，并計(jì)算當(dāng)了=2時(shí)分式的值.

三、解答題（共66分）

19.（10分）計(jì)算

（2）國(guó)+6n6+而

（3）（1-2石+（百-

20.（6分）已知關(guān)于x的方程（m-l）x2-mx+l=0。

（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若m為整數(shù)，當(dāng)m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根。

21.（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，矩形AOBC的頂點(diǎn)4、3在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5,3）點(diǎn)p從點(diǎn)。

出發(fā)，在折線段。A-AC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，在折線段05-3。上以每秒

4個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接P。.設(shè)兩點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?s）,線段PQ的長(zhǎng)度的平方為d,即PQ2=d（單位長(zhǎng)度2）.

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，t=s,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，t=s.

（2）求d關(guān)于，的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量/的取值范圍.

22.（8分）如圖，若在4ABC的外部作正方形ABEF和正方形ACGH,求證：4ABC的高線AD平分線段FH

23.（8分）如圖，在A3CD中，AB^IAD,OE平分NAOC,交A8于點(diǎn)E,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,EG〃A。交

OC于點(diǎn)G.

B

⑴求證：四邊形/戚為菱形；

⑵若NAT>C=60°,AD=2,求。尸的長(zhǎng).

24.(8分)在AABC中，ZC=30°,AC=4cm,AB=3cm,求BC的長(zhǎng).

25.(10分)如圖，在四邊形ABCD中，NABC=90。，AC=AD,M,N分另lj為AC,CD的中點(diǎn)，連接BM,MN,BN.

(1)求證：BM=MN；

(2)ZBAD=60°,AC平分NBAD,AC=2,求BN的長(zhǎng).

26.(10分)已知，如圖，在三角形AABC中，AB=AC=20cm,于。，且BD=16cm.點(diǎn)M從點(diǎn)A

出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；同時(shí)點(diǎn)尸由3點(diǎn)出發(fā)，沿心方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,過(guò)點(diǎn)尸的

動(dòng)直線PQ//AC,交BC于點(diǎn)Q,連結(jié)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s)(O</<5),解答下列問(wèn)題：

(1)線段AD=cm?

(2)求證：PB=PQ.

(3)當(dāng)/為何值時(shí)，以P、Q、D、/為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、D

【解題分析】

根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，本題得以解決.

【題目詳解】

解：由圖可得，

①快車的速度為：(400-280)4-(4.5-3.5)=120千米/小時(shí)，故①正確，

②慢車的速度為：280+3.5=80千米/小時(shí)，

慢車到達(dá)乙地比快車到達(dá)乙地晚了：4004-80-4.5=0.5小時(shí)，故②正確，

4

③點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是：400-120x(4.5-2)=100,橫坐標(biāo)是:0.5+1004-120=-,

3

4

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(§,100),故③正確，

④設(shè)線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

--4

?點(diǎn)B(0.5,0),點(diǎn)C(一,100),

3

[°-5k+b=0fk=120

二14，得〈，

-k+b=100b=-60

[3i

4

即線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=120x-60(0.5<x<j),故④正確，

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，能夠根據(jù)題意結(jié)合圖象獲取有效信息是解題的關(guān)鍵.

2、D

【解題分析】

根據(jù)取到白球的可能性較大可以判斷出白球的數(shù)量大于紅球的數(shù)量，從而得解.

解：?.?袋中有紅球4個(gè)，取到白球的可能性較大，

二袋中的白球數(shù)量大于紅球數(shù)量，

即袋中白球的個(gè)數(shù)可能是5個(gè)或5個(gè)以上.

故選D.

3、B

【解題分析】

根據(jù)行=|a|可以得出4)2的答案.

【題目詳解】

小(-4)2=卜4|=4,故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查平方根的性質(zhì)，熟記平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4、D

【解題分析】

直接利用分式有意義的條件分析得出答案.

【題目詳解】

2

?.?代數(shù)式——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

x+1

；.x+l邦，

解得:x#l.

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

5、D

【解題分析】

NAED的外角為：360°-Zl-Z2-Z3-Z4=80°,多邊形外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，所以NAED=180。-80。=100。.

6、B

【解題分析】

根據(jù)直線經(jīng)過(guò)的象限即可判定①結(jié)論錯(cuò)誤；求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，即可求出的面積，可判定②結(jié)論正確；直接觀

察圖像，即可判定③結(jié)論正確；將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，進(jìn)行消元，即可判定④結(jié)論錯(cuò)誤.

【題目詳解】

?.?直線了=丘+匕經(jīng)過(guò)二，一，四象限,

：.k<0,b>0

：.b-k<Q,①結(jié)論錯(cuò)誤；

點(diǎn)AB（O,Z?）

b7

AOA=——,OB=Z?

k

1\b\b

SAAOB--OA.OB=-x\--xb\=--f②結(jié)論正確；

乙乙K）K

直接觀察圖像，當(dāng)x<0時(shí)，y>b,③結(jié)論正確；

將“（%,%）,NO2,%）代入直線解析式，得

kx+b=y

<ll

kx2+b-y2

%一%=左（%一％）

（%-%2）（乂-為）=2yV。，④結(jié)論錯(cuò)誤；

故答案為B.

【題目點(diǎn)撥】

此題主要考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.

7、D

【解題分析】

根據(jù)三角形中位線定理解答.

【題目詳解】

解：?.?點(diǎn)M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，

/.AB=2MN=13（m）,

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是關(guān)鍵.

8、A

【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的增減性判斷出圖象所在象限，進(jìn)而得出圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值代入P(a-1,2)驗(yàn)證即

可.

解：?.?反比例函數(shù)Qy1,在每個(gè)象限內(nèi)y隨著X的增大而增大，

.?.函數(shù)圖象在二、四象限，

...圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)異號(hào).

A、a=0時(shí)，得P(-1,2),故本選項(xiàng)正確；

B、a=l時(shí)，得P(0,2),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、a=2時(shí)，得P(1,2),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、a=3時(shí)，得P(2,2),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選A.

此題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要熟悉反比例函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合.

9、B

【解題分析】

試題分析：???一次函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù)，片0)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

,*.k<0,b>0,

故選B.

考點(diǎn)：一次函數(shù)的性質(zhì)和圖象

10、B

【解題分析】

先變形得一元二次方程的一般形式，再用分解因式法解方程即可.

【題目詳解】

解：移項(xiàng)，得x2—x=0,

原方程即為x(x-l)=0,

所以，x=0或上一1=0,

所以=1,X2=0.

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的四種解法(完全開平方法、配方法、公式法和分解因式法)并

能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活應(yīng)用是求解的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、(1)U=5。；(2)猜想:

=(〃+1口

【解題分析】

（1）此題應(yīng)先觀察列舉出的式子，可找出它們的一般規(guī)律，直接寫出第④個(gè)等式即可；

（2）找出它們的一般規(guī)律，用含有n的式子表示出來(lái)，證明時(shí)，將等式左邊被開方數(shù)進(jìn)行通分，把被開方數(shù)的分子開

方即可.

【題目詳解】

（1）1）觀察列舉出的式子，可找出它們的一般規(guī)律，直接寫出第④個(gè)等式：

（2）猜想：用含自然數(shù)“521）的代數(shù)式可表示為:

如1匚=5+1）匚匚=右邊，所以猜想正確.

n+2\n+2

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查學(xué)生把特殊歸納到一般的能力及二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，找出各式的內(nèi)在聯(lián)系解決問(wèn)

題.

12、2

【解題分析】

根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、梯形面積公式求解即可.

【題目詳解】

???四邊形ABCD是等腰梯形，AC=6cm

:.BD—AC=6cm

11

/.等腰梯形ABCD的面積=-xACxBD=-x6x6=lSctn92

22

故答案為：2.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了梯形的面積問(wèn)題，掌握等腰梯形的性質(zhì)、梯形面積公式是解題的關(guān)鍵.

13、22.5°

【解題分析】

四邊形ABCD是矩形，

.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

OA=OB=OC,

ZOAD=ZODA,ZOAB=ZOBA,

ZAOE=ZOAD+ZODA=2ZOAD,

ZEAC=2ZCAD,

ZEAO=ZAOE,

AE±BD,

ZAEO=90°,

ZAOE=45°,

/OAB=NOBA=67.5°,

即NBAE=NOAB-ZOAE=22.5°.

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

14、472

【解題分析】

利用面積公式列出關(guān)系式，將已知面積與邊長(zhǎng)代入即可求出高.

【題目詳解】

解：根據(jù)題意得：4指+26x2=4

【題目點(diǎn)撥】

此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

15、k<l

【解題分析】

分析：根據(jù)題意可以用含k的式子表示n,從而可以得出k的取值范圍.

詳解：?.?一次函數(shù)y=kx+2(k^l)的圖象與X軸交于點(diǎn)A(n,1),

2

n=-----

k

2

???當(dāng)n>l時(shí)，-—>1,

k

解得，k<l,

故答案為k<l.

點(diǎn)睛：本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答.

5

16、

3

【解題分析】

xy3

根據(jù)‘一=—設(shè)盯=3上x+y=5k9通分后代入求出即可.

x+y5

【題目詳解】

孫3.、幾.11%+y5左5

-----二一,???設(shè)xy=3kx+y=5k,?'?—+——=------=—=—

x+y59Xyxy3k3

故答案為3.

3

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了分式的加減，能夠整體代入是解答此題的關(guān)鍵.

17、y=x+l

【解題分析】

根據(jù)一次函數(shù)解析式，可設(shè)y=kx+L把點(diǎn)代入可求出k的值;

【題目詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1,2）,

所以可設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+L把（1,2）代入得：2=k+l,

解得k=l,

故解析式為y=x+l

【題目點(diǎn)撥】

此題考查一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是設(shè)出解析式；

18、⑴②；⑵2

【解題分析】

根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【題目詳解】

22

/.、=曰x—x—x%+2x+1

（1）②，應(yīng)該是=-5-----*——.-----

X+XX—1

(2)解：原式==(———字^)土廠1

x+xx+xx+2x+l

x—x2—x%2+2x+1

=--2----*---2----

X+XX—1

-x2(x+l)2

x(x+l)2(x-l)

X

Y

當(dāng)％=2時(shí)，—一—=2

x—1

【題目點(diǎn)撥】

此題考查分式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.

三、解答題(共66分)

19、(1)1A/3(2)4+&(3)-15+26

【解題分析】

(1)先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后去括號(hào)后合并即可;

(2)利用二次根式的乘除法則運(yùn)算，然后合并同類二次根式即可;

(3)根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.

【題目詳解】

⑴3出-

解:

解：原式=4一#+2#

=4+y/6

(3)0—2月)(1+2/百

解：原式=1-12-(3-26+1)

=-11-4+273

=-15+26

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二

次根式.

20、(1)見解析；(2)m=0

【解題分析】

(1)分該方程為一元二次方程和一元一次方程展開證明即可。

(2)利用因式分解解該一元二次方程，求出方程的根，利用整數(shù)概念進(jìn)行求值即可

【題目詳解】

解：(1)當(dāng)mwl時(shí)，(加一1)/一mx+l=O是關(guān)于x的一元二次方程。

=(—m)2—4x(m—1)x1=m2—4根+4=(m—2)2>0

,不論m為何值時(shí)，(m-2)2>0,

AA>0,

???方程總有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)m=l時(shí)，(加—1)/—6+1=0是關(guān)于x的一元一次方程。

A-x+l=0

:.x=l

...方程有實(shí)數(shù)根X=1

...不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根

(2)(m-l)x2-mx+1-O

分解因式得[(祖一1)%_1](%_1)=0

解得：%=；,%=1

m-1

???方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根

，王=^^為整數(shù)，

m—1

m=2或加=0且加w2

:.m=0

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了根的判別式，掌握方程與根的關(guān)系，及因式分解解一元二次方程，和整數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

25?2(0<?<1)

21、(1)1,—；(2)d=<廠+6/+18[1</<—|.

4I4；

25/—112y+1281</42)

【解題分析】

⑴由點(diǎn)。的坐標(biāo)為(5,3)可知OA=3,OB=4,故)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，/=3+3=1;

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，t=5+4=*；

4

(2)分析題意，d與t的函數(shù)關(guān)系應(yīng)分為①當(dāng)0</Wl時(shí)，利用勾股定理在RtAOP。中，OP=3t,OQ=M,

d=PQ2=。尸2+。。2=(3。2+(々)2.計(jì)算即可得：d=25產(chǎn).②當(dāng)l</<2時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作POL06,垂足為。，利

4

用勾股定理：在RtADP。中，PD=3,DQ=t+3,故而d=PQ?=尸。2+=3?+?+3)?.即d=r+6/+18.③

當(dāng)之<。<2時(shí)，利用勾股定理：在RtACPQ中，CP=8-3t,CQ=S-4t,所以

4

d=尸。2=cp2+CQ2=(8_3/)2+(8-4/)2.即d=25r-112y+128.

【題目詳解】

解：⑴b-；

4

(2)①如圖1,當(dāng)0<Yl時(shí)，

?.?在RtAOP。中，OP=3t,OQ=4t,

Ad=PQz=OP2+OQ2=(34+(4/)2.

即d=25』.

過(guò)點(diǎn)P作垂足為。，

?.?四邊形AO6C為矩形，

:.ZAOB=ZOAP=ZPDO=90°.

二四邊形AOPD為矩形.

:.PD=AO=3.

:.AP=OD=3t—3.

:.DQ=OQ—OD=4?—(3?—3)=?+3.

.?.在RtADP。中，PD=3,DQ=t+3,

：.dPQ~=PD2+DQ2=32+(?+3)2.

即d=?+6/+18.

③如圖3,當(dāng)』＜/W2時(shí)，

4

?.?在RtACP。中，CP=8-3t,CQ=8-4t,

：.d=P。=CP-+CQ2=(8-3疔+(8-4/)2.

即d=25/—112y+128.

25?2(0<?<1)

綜上所述，d=\t-+6t+lS\l<t<^-

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與長(zhǎng)度關(guān)系，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行解題是解題的關(guān)鍵.

22、見解析.

【解題分析】

從H作HQ_LAD于Q,從F作FP_LAD于P,分別證明aADC四△QAH,△ABD^^FAP得出FP=QH,證明

△FMP^AHMQ,得出FM=MH,從而得出結(jié)論.

【題目詳解】

從H作HQ±AD于Q,從F作FP±AD于P,

?.?ACGH為正方形

.,.ZQAH+ZDAC=90°,AH=AC,

；AD為4ABC的高線

AZADC=90°,ZDAC+ZDCA=90°,

.\ZQAH=ZDCA

VHQ1AD

VZAQH=90°,

/.ZAQH=ZADC

VAH=AC,ZQAH=ZDCA,ZAQH=ZADC

/.△ADC^AQAH

,*.QH=AD,

同理可證,△ABDgZkFAP,

；.FP=AD,

，QH=FP,

又；NFPM=NAQH=90。，ZFMP=ZQMH

.?.△FMP四△HMQ,

.*.FM=MH,

二AABC的高線AD所在直線平分線段FH

【題目點(diǎn)撥】

本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì).要證明兩條線段全等，如果這兩條線段在同一個(gè)三角形中，常用等

角對(duì)等邊去證明；如果這兩條線段不在同一三角形中，那么一般要證明它們所在的三角形全等，如果不存在這樣的三

角形，那么就要輔助線，構(gòu)造全等三角形.

23、(1)證明見解析；(2)4g.

【解題分析】

(1)先證出四邊形AEGD是平行四邊形，再由平行線的性質(zhì)和角平分線證出NADE=NAED,得出AD=AE,即可得

出結(jié)論；

(2)連接AG交DF于H,由菱形的性質(zhì)得出AD=DG,AG±DE,證出AADG是等邊三角形，AG=AD=2,得出

ZADH=30°,AH=：AG=1,由直角三角形的性質(zhì)得出DH=gAH=g,得出DE=2DH=26,證出DG=BE,由平

行線的性質(zhì)得出NEDG=NFEB,ZDGE=ZC=ZEBF,證明ADGEdEBF得出DE=EF,即可得出結(jié)果.

【題目詳解】

(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃DC,

；.NAED=NGDE,

VAE/7DG,EG〃AD,

二四邊形AEGD是平行四邊形，

；DE平分NADC,

/.ZADE=ZGDE,

:.ZADE=ZAED,

，AD=AE,

二四邊形AEGD為菱形；

(2)解：連接AG交DF于H,如圖所示:

?.?四邊形AEGD為菱形，

；.AD=DG,AG1DE,

VZADC=60°,AD=2,

二AADG是等邊三角形，AG=AD=2,

1

.\ZADH=30°,AH=-AG=1,

2

-,.DH=V3AH=V3.

.\DE=2DH=273,

VAD=AE,AB=2AD,AD〃CF,EG〃AD,

ADG=BE,ZEDG=ZFEB,ZDGE=ZC=ZEBF,

ZEDG=ZFEB

在ADGE和AEBF中，＜DG=EB

ZDGE=ZEBF

.,.△DGE^AEBF(ASA),

；.DE=EF,

/.DF=2DE=473.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定

與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24、75+2^

【解題分析】

首先過(guò)點(diǎn)A作AD±BC,根據(jù)RtAADC和RtAABD的勾股定理分別求出CD和BD的長(zhǎng)度，從而得出BC的長(zhǎng)度

【題目詳解】

過(guò)點(diǎn)A作ADLBC,則AADC和AABD為直角三角形

NC=30°AC=4cm:.AD=2cmCD=2^/3cm

根據(jù)RtAABD的勾股定理可得：BD=^AB2-AD2=A/9^4=A/5??

/.BC=BD+CD=(75+2-73)cm

【題目點(diǎn)撥】

本題考查直角三角形的勾股定理，解題關(guān)鍵在于能夠構(gòu)造出直角三角形.

25、(1)證明見解析；(2)V2

【解題分析】

(1)在ACAD中，由中位線定理得到MN〃AD,且MN=^AD,在R3ABC中，因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，故BM=^AC,

22

即可得到結(jié)論；

(2)由NBAD=60。且AC平分/BAD,得到ZBAC=ZDAC=30°，由(1)知，BM=-AC=AM=MC,得到ZBMC=60°.由

2

平行線性質(zhì)得到NNMC=NDAC