2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)——壓軸題

決勝2024年高考數(shù)學(xué)專項特訓(xùn):壓軸題

/、?

//、c,g(X)=—X2+X

1,已知函數(shù)/(x)=-2xlnx,2

(1)求/(x)的極值;

(2)證明：當(dāng)X>1時，〃x)+g(X)>0.(參考數(shù)據(jù)：In220.69)

/(x)=—X2+eR)

2.已知函數(shù)2

⑴g(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，求g(x)的最小值；

fl+—K1+—K1+—+—^<e

⑵證明：對任意正整數(shù)〃(〃22),都有I22；32；42；Im)(其中e為自然

對數(shù)的底數(shù))；

(3)若A_xlnx+(2-a)x-120恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

3.已知函數(shù)/G)=e，-叱曲線”/(x)在Q/(D)處的切線方程為，

bx+1

⑴求°力的值：

(2)求/G)在［°」］上的最值；

(3)證明：當(dāng)x>0時，ex+(l-e)x-xlnx>0

4.已知函數(shù)/G)=-xlnr+a(x+D,aeR

(1)若0=1,求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若關(guān)于x的不等式/(x)42〃在L,+8)上恒成立，求〃的取值范圍；

⑶若實數(shù)6滿足”一4+1且6>1,證明./(》)<1-21出

E：X~+=l（a>b>0）221）

5.橢圓b2的離心率是2,點'是橢圓E上一點，過點

「（°」）的動直線/與橢圓相交于48兩點.

（1）求橢圓E的方程；

（2）求面積的最大值；

QAPA

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點p不同的定點°,使必恒成立？存在,

求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

X2+Inx

g(x)=/(X)-2OXGGR)

6.已知函數(shù)

（1）當(dāng)。=0時，

（1）求曲線了=/0）在點°/（2））處的切線方程；

ri-

（ii）求/Q）的單調(diào)區(qū)間及在區(qū)間［e'」上的最值；

（2）若對Vxe（l，+°°）,g（x）<°恒成立，求°的取值范圍

y=ax2+—x-6A(t5(80)

7.拋物線4與x軸交于‘，‘兩點，與〉軸交于點C,直線

了=區(qū)-6經(jīng)過點反點尸在拋物線上，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為電

(1)求拋物線的表達式和的值；

(2)如圖1,連接NC,AP,PC,若△/PC是以CP為斜邊的直角三角形，求點尸的坐標(biāo);

(3)如圖2,若點P在直線BC上方的拋物線上,過點P作尸018C,垂足為。，求

CQ+-PQ

2的最大值.

8.已知集合'="'23…，2"｝eN*),對于A的一個子集S,若存在不大于〃的正整數(shù)機，

使得對S中的任意一對元素Y5,都有收一1,機，則稱S具有性質(zhì)P.

(1)當(dāng)"=10時，試判斷集合3=｛》6川》＞9｝和0=(6川》=3左一1,左€＞1*｝是否具有性質(zhì)產(chǎn)？

并說明理由；

⑵當(dāng)時”=1010,若集合S具有性質(zhì)P,

①判斷集合7=｛2021-x|xeS｝是否一定具有性質(zhì)尸？并說明理由；

②求集合中S元素個數(shù)的最大值.

9.某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究了=依2("＞。)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所

示，該類型圖象上任意一點M到定點1’4"J的距離|防|,始終等于它到定直線

”一布上的距離1MM(該結(jié)論不需要證明)，他們稱：定點尸為圖象的焦點，定直線/

1

y~——

為圖象的準(zhǔn)線，.4。叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.其中原點。為我的中點，

\FH\=?.\OF\^—y=-x2尸l-.y=~-

11112a例如，拋物線’2,其焦點坐標(biāo)為I2人準(zhǔn)線方程為-2.其中

\MF\=\MN\,\FH\=2|O/7|=I

(1)【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請分別直接寫出拋物線》=2X2的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程;

1

y——%2

(2)【技能訓(xùn)練】如圖2所示，已知拋物線8上一點尸到準(zhǔn)線/的距離為6,求點P的坐

標(biāo)；

(3)【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線、=62("＞。)的焦點廠的直線依次交拋物線及準(zhǔn)

線/于點4"若求a的值；

(4)【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比

問題：點。將一條線段分為兩段4C和C8,使得其中較長一段/C是全線段與另一

ACBC5-1q1

==3-1

段C8的比例中項，即滿足：ABAC2,后人把2這個數(shù)稱為“黃金分割。把

1

y=X2

點C稱為線段N8的黃金分割點.如圖4所示，拋物線4的焦點廠(0,1),準(zhǔn)線/與y軸

交于點￡為線段總的黃金分割點，點M為了軸左側(cè)的拋物線上一點.當(dāng)

MH

=2

MF時，求出△可￡的面積值.

10.已知雙曲線。,心小」("＞°力＞°)的一條漸近線方程的傾斜角為6?！?焦距為4.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)/為雙曲線C的右頂點，為雙曲線C上異于點/的兩點，且4/L4N.

①證明：直線"v過定點；

②若M,N在雙曲線的同一支上，求A/MM的面積的最小值.

11.設(shè)圓。的弦尸。的中點為過點M任作兩弦“民8,弦么。與3c分別交PQ于點

E,F.

(1)試用解析幾何的方法證明：〃為E尸的中點；

(2)如果將圓分別變?yōu)闄E圓、雙曲線或拋物線，你能得到類似的結(jié)論嗎？

12.定義在R上的函數(shù)/G)滿足：①對'eR,當(dāng)x產(chǎn)氣時，總有

[/G)-/G)](x-x)>0；②對VxeR,/(/G)-9X-3X)=13

(1)求/Q)；

/(乜)+(左「)3一

XxgR

(2)若對任意2,3,均存在以一'仆),一'&)

/(工)+。-1)3譽

'/G)

3為三邊長的三角形，求實數(shù)后的取值范圍.

13.對于數(shù)集、={-1吟'"2'…'"J("22為給定的正整數(shù))，其中°＜己＜與＜…＜x",如果

對任意叫beX,都存在c,deX,使得公+&/=°,則稱x具有性質(zhì)P.

0cx＜1，-1,X,c,11

⑴若2,且集合〔2J具有性質(zhì)P,求X的值；

(2)若X具有性質(zhì)P,求證：leX；且若二＞1成立，則弓=1；

(3)若X具有性質(zhì)尸，且二=2023,求數(shù)列…,x”的通項公式.

14.已知4)=e，W，Q)是/Q)的導(dǎo)函數(shù)，—.

(1)討論函數(shù)/(0的單調(diào)性；

,八g(x)=/(x)+xQ-l)+ax2-1v=p-(y)(\

(2)u，＞g"與x軸負半軸的交點為點p,v=gG)在點p

處的切線方程為了=〃(》).

①求證：對于任意的實數(shù)X,都有g(shù)G)±〃(x)；

②若關(guān)于X的方程gG)='G＞°)有兩個實數(shù)根且匕證明：

,(l-2e)

X-x<1+

211-e

1

x——

15.在平面直角坐標(biāo)系X。7中，一動圓經(jīng)過點且與直線2相切，設(shè)該動圓圓心

的軌跡為曲線K,P是曲線K上一點.

(1球曲線K的方程；

(2低點/且斜率為左的直線/與曲線K交于2、C兩點，碧〃°尸且直線0P與直線》=1交

AB-AC

于。點.求1。尸川。。1的值;

(3)若點。、￡在y軸上，UPDE的內(nèi)切圓的方程為(“-1>+產(chǎn)=1,求0PDE面積的最小值.

/X/\

—=1(?>0)41,1)卷(。,1)<-1，2力L2

16.已知橢圓C：aibi，四點<></中恰有三

點在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)直線/不經(jīng)過P?點且與C相交于A,2兩點，若直線與直線與8的斜率的和為一1,

證明：/過定點.

⑶如圖，拋物線"：產(chǎn)=4x的焦點是尸，過動點G（T，"的直線<與橢圓。交于尸，。兩點,

與拋物線M交于兩點，且G是線段PQ的中點，是否存在過點尸的直線4交拋物線M

于7,。兩點，且滿足AT"B\D,若存在，求直線4的斜率左的取值范圍；若不存在，說明

理由.

17.已知函豺（X）=MX-，G（加為常數(shù)）.

（1）當(dāng)掰=i時，求曲線>=/（x）在點處的切線方程；

於巫

⑵當(dāng)加一〒時，設(shè)函數(shù)g（x）=2/（x）+x2的兩個極值點恰滿足關(guān)系式

In—?-

X2

b=——y=（x-x）（-------b）

\一、2，求?2Xl+X2的最小值.

18.給定正整數(shù)左，m,其中24加4左，如果有限數(shù)列巴?同時滿足下列兩個條件.則稱

｛5｝為%,加）-數(shù)列.記出⑼-數(shù)列的項數(shù)的最小值為G化⑼.

條件①：句〉的每一項都屬于集合M，…,行；

條件②：從集合“'2"…?。腥稳個不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是'J的子列.

注：從"J中選取第1項、第1項....第〈項（O”＜《）形成的新數(shù)列

…&稱為"）的一個子列.

⑴分別判斷下面兩個數(shù)列，是否為（3,3）一數(shù)列.并說明理由！

數(shù)列4L2,3,1,2,3,1,2,3；

數(shù)列向”23,2,1,3,1

⑵求G&2）的值;

左2+3左一4

G(k,k)>

(3)求證2

答案:

2

1.(1)極大值為e,無極小值

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號結(jié)合極值的定義即可得解；

產(chǎn)(x)=/Xx)+g(x)=1X2+x-2xlnx(x>1)

(2)構(gòu)造函數(shù)''2,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，再

尸(丫)01龍+l-21nx>0(x>1)

證明''in即可或者轉(zhuǎn)換不等式為2,通過構(gòu)造函數(shù)可得證.

［詳解］(1)〃x)的定義域為(°，+°°),/'(x)=-2(l+lnx),

當(dāng)E<e時，小)>0,當(dāng)x>e時，小)<0,

00

f()m(1+〕

所以函數(shù)/J，在I6上單調(diào)遞增，在<eJ上單調(diào)遞減，

'J了3=2

故/⑴在e處取得極大值e,

2

所以/(x)的極大值為e,無極小值；

F(x)=/(x)+g(x)=1X2+x-2xlnx(x>1)

⑵設(shè)2,

解法一：則尸(x)=x-21nx-l,

2x-2

人力(x)=x-21nx-l(x>1)1'一x

當(dāng)l<x<2時，〃(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>2時，〃'(x)>°,〃(x)單調(diào)遞增,

又〃(2)=l-ln4<0,/?(1)=0；〃(4)=3-21n4>0,

所以存在542'4),使得愜)=°,即x0-21nx「l=0.

當(dāng)l<x<x。時，3)<。,即F'(x)<。,尸0)單調(diào)遞減,

當(dāng)時，〃(幻>0,即尸'(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>l時，尸(無)在x=x0處取得極小值，即為最小值，

F(x)>F(x)=1+x(1-21nx)=-^%2+2x

故O720ovo72O0,

p(x)=-\x2+2xxG(2,4)

設(shè)°20°,因為。''1

，、1、

p(x)=-X2+2x

由二次函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)°2o。在⑵4)上單調(diào)遞減,

故小)>。(4)叫

所以當(dāng)x>l時，F(xiàn)(x)>0；gp/W+g(x)>0

p(x)=1x+l-21nx>0(x>1)

解法二：要證尸(》)>°即證2

y?=-=、u>o(i4)

因為2x2x,所以當(dāng)xXe6W時,P'G)<oP(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)1式4產(chǎn))時，p(x)>0,p(x)單調(diào)遞增,

所以P(x)*(4)=2+1-21n4=3-41n2>0,所以尸(x)>0,即/(x)+g(x)>0

方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等人)>gQ)(或/Q)<gQ))轉(zhuǎn)化為證明

/(x)-g(x)>0/(x)—g(x)<0、4而痂、莊站曲了/G)=/G)-g(x)

(或)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造，形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)

2.(1)0

(2)證明詳見解析

⑶042

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得g(0的最小值

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到In：利用放縮法以及裂項求和法證得不等式成立

(3)由不等式◎-宜11》+(2-0"-12°分離參數(shù)0,利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得。的取

值范圍.

/(%)=1X2-x]nx+t(teR,x>0)

【詳解】(1)依題意，2,

所以g(x)=/r(x)=x-(lnx+l)=x-lnx-l(x>0)

x-x,所以g(Q在區(qū)間(°」)上g'Q)<°，g(x)單調(diào)遞減；

在區(qū)間（1，+00）上g'（X）>0,g（X）單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時8G）取得最小值為g（l）=l-lnl-l=0

?■11+1

J<e

（2）要證明：對任意正整數(shù)雙"22）,都有,"II"\m

ln1+1

"<Ine

即證明〃2

In1++ln1++…+ln1+<1

即證明I22JI32)Vm),

由(])得/G)=g(x)>g(1)=0即x—Inx—120,lnxWx—1

111)1111

x=1+>2,weN*lnl+<1+-1=

令Y12，所以l秋J幾2J

11

+ln|l++…+ln]l+<111

I32+++

所以\n2~2232

11...11111...11i

<+++/、=1—+—++__i々I

1x22x3223n-l77<1

■?{1+1

1+<e

所以對任意正整數(shù)〃（"之2）,都有ivn2

（3）若不等式x，_xlnx+（2_a）x_l\0恒成立，此時x>0,

Xx-xInx+2x-1

a<

則X恒成立,

X》-xlnx+2x-l

令工,

w(x)=ex-x-l(x>0),wr(x)=e^-l>0

令

所以在區(qū)間h口）上單調(diào)遞增,

w(x)>eo-0-l=0,ex-x-l>0,ex>x+l當(dāng)％=0時等號成立

所以

exinx-xlnx+2x-lxlnx+l-xlnx+2x-l

/z(x)=>=2

所以xX

當(dāng)xlnx=0,x=l時等號成立，所以Q?2

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟：求導(dǎo)：對函數(shù)/G）進行求導(dǎo)，得到它的導(dǎo)函數(shù)/'G）.導(dǎo)函數(shù)

表示了原函數(shù)在不同點處的斜率或變化率.找出導(dǎo)數(shù)為零的點：解方程找到使得導(dǎo)

數(shù)為零的點，這些點被稱為臨界點，可能是函數(shù)的極值點（包括最大值和最小值），檢查每個

臨界點以及區(qū)間的端點，并確認它們是否對應(yīng)于函數(shù)的最值.

3.⑴"1,b=e-2

0"（x）=e-l.f（x）=1

（3）證明見解析

【分析】（1）利用切點和斜率列方程組，由此求得出2

（2）利用多次求導(dǎo)的方法求得/G）在區(qū)間［°，口上的單調(diào)性,由此求得4）在［。,口上的最值.

（3）先證明x＞。時，/Q）2（e-2）x+l,再結(jié)合⑵轉(zhuǎn)化為e*+（2-e）Lnx+x,從

而證得不等式成立.

（2）由（1）得：/G）=e，T2

/'(x)=ex-2x人〃(x)=ex—2x貝^/(x)=e》-2

是增函數(shù),令解得x=ln2

h（x）,也即/‘（X）在（0,ln2）上”（x）＜O,〃（x）單調(diào)遞減,

(ln2,+oo)上"(x)>°,/z(x)單調(diào)遞增,

在

/z(in2)=f(ln2)=2-21n2>0/(x)410,1］愷"曲

/(X)=/(l)=e-l>/G)=/(0)=1

,,max；min；

(3)由⑵得/G)過(l，eT),

且y=/(x)在x=l處的切線方程是y=(e-2)x+l

故可猜測x＞°且XN1時，/Q）的圖象恒在切線＞=（e-2）x+l的上方,

下面證明x>0時，，G)2(e-2)x+l,設(shè)g(x)=/(尤)-(e-2)x-l,(x>0)

,

gO=ex-2x-(e-2)/<mG)=gG)=ex-2x-(e-2)

m'(x)=ex-2

由⑵得：gO在"'In?）遞減，在Gn2,+s）遞增，

..g'（0）=3-e>0g，（l）=Oo<ln2<1,g，（ln2）<0

?，，>,,，

六六XG（O,1）g'（x）=O

???存在0,使得&,

,X￡（O,X）D（l,+co）ngrG）>0xeG,1）^,grG）<0

??o時■,,0時■,,

故gG）在（%）遞增,在Qj）遞減,在（1，+°°）遞增.

又g（0）=g（D=0,...gG）N0當(dāng)且僅當(dāng)％=1時取“=,,,g（x）=e，-x2-（e-2）x-l>0

j+（2-e）x-l

故工一”,%>0,由⑵得：ex>x+l,故x?ln（x+l）,

ex+（2-e）x-l

>x>Inx+1

...x—121nx,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取x,

e%+（2-e）x-1

lnx+1

0n丫-ex+（2-e）x-l>xliu+x

即e，+（l—e）x—xlnx—120成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，，=，，成立.

求解切線的有關(guān)的問題，關(guān)鍵點就是把握住切點和斜率.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如果一

次求導(dǎo)無法求得函數(shù)的單調(diào)性時，可以考慮利用多次求導(dǎo)來進行求解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒

成立，如果無法一步到位的證明，可以先證明一個中間不等式，然后再證得原不等式成立.

4.（1）單調(diào)增區(qū)間為（°」），單調(diào)減區(qū)間為0+8）；

（-oo,21n2]

（3）證明見解析

【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得解；

xlnxxinx

a<g（zxx）=,x>2（z）x

（2）分離參數(shù)可得x-l,構(gòu)造函數(shù)x-1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g'x/的最小

值即可得解；

(3)由。<一切+1,得?！?<一/?2,則/(x)"/(ea-l)=ea-1+。<e-62一人+1,要證

+21n/j2—b2<0

八,即證e+—b2+l<l—21nb2,即證,構(gòu)造函數(shù)

h(x)=(21nx-x)ex(x>1)證明〃G)<-1即可

【詳解】(1)當(dāng)"1時，/(x)=rlnx+x+l,x〉O,

r(x)=—Inx,由“x)>0,得0<x<l,由/'(x)<0,得］>1,

故/G)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+co)；

■■-f(x)<2a,.-.a<xlnX

(2)尤-1,

/、xlnx.

g(x)=,x>2

令x-1,

，/、x-1-Inx

g(x)=/八

則(1)2,

11

人t(x)=lnx-x+ln,t'(x)=-1=”

令，則XX,

由中)>0,得0<x<l,由，(x)<°,得X>1,

故心)在(0,1)遞增，在(1,+oo)遞減，.叫「*)=0,

.」(x)W0,所以lnx<x-l,

■g'(尤)N0,g(x)在h+00)上單調(diào)遞增，，g%n=g(2),

/.a<g(2)=21n2

9

?'?a的取值范圍J?，21n21；

(3)ci<—b?+1,a—1<—Z?2

又/(X)v/(eg)=e?-i+a,???y=e“r+a在.eR上遞增,

所以/(X)-/(ea-l)=ea-l+Q<e-62-b2+1

下面證明：e-b2-Z?2+1<l-21nZ?2

1+21n/)2-bi<0

即證眇,

+21nx—x<0

令％=b2>l,則ex,

即(21nx-x)-ex<-1

令〃(x)=(21nxr)e，(x>l),貝(6”[21nxr+j-ije

(p(x)=21nx-x+2-1(X>1)(p(x)=2_]_-'[<0(x>1)

令X，貝]JXX2X2

...函數(shù)邛G)在(1，+°°)上單調(diào)遞減，

.-.cp(x)<(p(l)=O

〃(x)<〃(1)=-e<-1

所以/G)<1-21助2

方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/Q)>gQ)(或/Q)<g(°)轉(zhuǎn)化為證明

/(x)-g(x)>0.f(x)-g(x)<0、必右也演熠〃G)=/(x)-g(x)

(或)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造"形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

X2V2

+=1

5.(1)42

⑵2

(3)存在,。(。")

【分析】(1)由離心率及過點24)列方程組求解。力.

C1

_71S=-X-X

(2)設(shè)直線/為了=依+1與橢圓方程聯(lián)立，將21'表達為人的函數(shù)，由基本不

等式求最大值即可.

(3)先討論直線水平與豎直情況，求出。(°,)，設(shè)點3關(guān)于了軸的對稱點3',證得

QAPA

348'三點共線得到QBPB成立.

c_2

a2

<Q2=人2+。2俏—4

G1VZ）2=2

2I1X2V2

+7=1「2=2+=1

【詳解】（1）根據(jù)題意，得〔Gb2，解得〔，橢圓C的方程為42

（2）依題意，設(shè)，（5,八）1（、匕），直線/的斜率顯然存在，

y=kx+l

<X2V2

71+=1

/口U+2k2)x2+4Ax-2=0

故設(shè)直線/為〉=履+1,聯(lián)立〔42,消去乙得

4k2

因為直線/恒過橢圓內(nèi)定點，(°」)，故△>°恒成立，X+x,xx

121+2左2121+2左2

S=^?x-xJx(x+x?-4xxJxJ-4k|2-4X22.1+4左2

故JOB21221212211+2*21+2左21+2*2

c、2tc2cc

S=2x=2x￡2

JOBt2+11

令"1+4上/21,所以t,當(dāng)且僅當(dāng)，=1,即左二0時取得

等號，

綜上可知：面積的最大值為2.

（3）當(dāng)/平行于％軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，如果存在點。滿足條件，

\QC\=\PC\=1

則有31I尸0,即。。=。。，所以。點在了軸上，可設(shè)。的坐標(biāo)為（°/。）；

當(dāng)/垂直于x軸時，設(shè)直線與橢圓相交于M，N兩點，如果存在點0滿足條件，

歹一22-1

\QM\_\PM\°=

則有31I尸N1,即八+22+1,解得匕=1或八=2,

所以若存在不同于點尸的定點°滿足條件，則點°的坐標(biāo)為（°?）；

當(dāng)/不平行于x軸且不垂直于x軸時，設(shè)直線/方程為了=履+1,

—4k-2

X+X=,xX=

2

由（2）知11+2左2121+2左2,

又因為點8關(guān)于>軸的對稱點"的坐標(biāo)為（一十匕），

y-2kx-11y-2kx-171

k=1=1=k—k=2=2=—k+

又3XXXQB'-X-xX

111222

k-k=2左一畢3=0

則“四二，

QA_\QA\_|xPA

所以%則0，48'三點共線，所以QB\QB'\|xPB

Q^=PA

綜上：存在與點尸不同的定點0,使”顏恒成立，且2（°，2）.

上+二=1

方法點睛：直線/X+劭+C=°與橢圓。2b2交于M，N,當(dāng)且僅當(dāng)

ab

必2+從&_2C2=0時，S,MON取得最大值H.

6.（1）（i）3x+2y-21n2-2=0；（ii）答案見解析

11

⑵「5’刈

【分析】（1）⑴求出[（2）=-2+ln2,求導(dǎo)得到'（2）=-5,由點斜式寫出切線方程;

（ii）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到函數(shù)的極值，最值情況；

Inx八

——<2a-―叫亙成立問題,令心學(xué)”（"），求導(dǎo)

(2)變形為x

y=2a-[a--\x/（21）h{x}=^-

得到其單調(diào)性，并畫出函數(shù)圖象，求出<2>恒過點且x在

處的切線方程為y=x-l,"（2,1）剛好在切線上，結(jié)合圖象y=x-l在

力（%）=蛆1,%￡（1,+8）

工上方，再由圖象及直線斜率得到不等式，求出Q的取值范圍.

【詳解】⑴⑴當(dāng)"0時，/"丁+lnx,/（2）=_2+ln2,

f'{x}=-x+-/,（2）=-2+1=--

x22

故曲線”HQ在點G，/（2））處的切線方程為了一（一2+ln2）=_；（x_2）

即3%+2歹-21n2-2=0.

m+lnx丫七（八

（ii）2XGW,+OO；

，9

-T+kj

Xx9

令"x）＞0,解得xe（0,l）,令（和）＜（）,解得xe（l,+8）.

xe1,e/(x)=f(l)=-|

當(dāng)I?！箷r，max2,

f(e)=-e2+Ine=-e2+1

722

/(x)=/(e)=-：e2+l

故min2

故）（Q的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+8）

,eJJe1

/Q）在區(qū)間2+

」上的最大值為2,最小值為2

gX2+Inx—2ax

(2)

X2+Inx—2ax<0

對恒成立,

Inx31

<2a-a-X對,式1,+8）恒成立,

變形為X2

心戶4(1,+8)〃(x)=m

令X，貝I]X2

當(dāng)xe（l,e）時，〃（Q＞°,?=?單調(diào)遞增,

Mx）』工

當(dāng)xe(e,+oo)時〃(x)<0

x單調(diào)遞減，

1,Mx）」“

其中，（D=。，3Te,當(dāng)尤＞1時，龍恒成立,

故畫出x的圖象如下:

y=2a-X恒過點/(2，D

其中

"(i)=lz￡=i〃IG)=W在(1,0)處的切線方程為二.1

又I?,故

又/(2，1)在y=x-l上,

6(x)=電工xe(1,+C0)

結(jié)合圖象可得此時在x上方,

y=2a-xy=2a-X

另外由圖象可知當(dāng)?shù)男甭蕿?時，滿足要求，當(dāng)‘的斜率小

于0時，不合要求,

Inx-

----<2a-x——ae[o,l]

故要想滿足工需要2

11

ae—

解得L22.

11

°的取值范圍是I下5

對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是

含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿

足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為

兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.

111,_3

7.(1)44,，=3,4

小。，T

(2)I"

169

⑶而

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

“111，

DA.I],PM=一加2加+6AA4O

（2）作PWx軸于點M,可求得44,4M=m-3,證明ACQ4~A/MP,

OA_OC

可得而一而，進而可得出答案；

（3）作PN'x軸交BC于點N,過點N作NE,y軸于點￡,通過證明RMPQN~RsBOC,

345s

QN=-PN,PQ=—PNCN=-EN=—m

求出55再通過證明ACNE~AC30,可得44,再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

，、…/.、3—y=ax2+—x-6

【詳解】（1）?；'在拋物線4上，

64a+—x8-6=0

??.4,

1

a=--

：?4,

111,

y-----12H------x-6

二拋物線解析式為44,

八--ti+—Z—6=0

當(dāng)y=°時，44,

」=3,’2=8（舍），

.?/=3,

?/Q°）在直線k—6上，

...8"6=0,

k=-

???4;

（2）如圖，作尸新,X軸于點河，

八一L2+1LA60

對于44，令尤=0則二一6,

點C（。,一6）,即m=6

../（3,0）

?9

,.,OA=39

”點P的橫坐標(biāo)為m.

P\m,----m2H-----m-6

I44

P…M=-1m2---H-m+6,

-.44,

.ZCAP=90°

..ZOAC+ZPAM=90°

??ZAPM+ZPAM=90°,

.?ZOAC=ZAPM,

-ZAOC=ZAMP=90°9

?ACOAfAMP

OA_OC

3(加-3)=6.—m2-----m+6

；.O4MA=OCPM,即44

.-.wr3（舍），%=1。

.m=10

二點

(3)如圖，作尸"Lx軸交BC于點N,過點N作NE,y軸于點￡,

P\+—m-6

I44

Nm,—m-6

二點

PN=-m2+m-6-\m-6=-m2+2m

...44(414

vPN~L%軸,

...PN//OC,

...ZPNQ=ZOCB

.RMPQV-RbBOC

,,9

PN_NQ_PQ

???BC-OC-OB,

..OB=8,OC=6,5C=10

?9

34

QN=^PN,PQ=^PN

...NE_Ly軸，

...NEUx軸，

,.??IEfCBO,

CN=5EN=5m

44,

“1℃51°13Y169

CC7+PQ=m-m2+2m=-m-+

.2444^2J16

,,9

mJc“p0169

當(dāng)2時，2取得最大值16.

關(guān)鍵點點睛：熟練的掌握三角形相似的判斷及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵

8.(1)詳見解析；

(2)①具有性質(zhì)尸；理由見解析；②1346

【分析】（1）當(dāng)〃=10時，先求得集合A,由題中所給新定義直接判斷即可；

（2）當(dāng)”=1010時，先求得集合A,

①根據(jù)7={2。21”也任取，=202I0eT,其中x-s,可得14202f42020,

利用性質(zhì)戶的定義加以驗證，即可說明集合T具有性質(zhì)產(chǎn)；

②設(shè)集合S有q個元素，由（1）可知，任給xeS,14x42020,則x與2021-x中必有1個

不超過1°1°,從而得到集合S與T中必有一個集合中至少存在一半元素不超過1010,然后利

用性質(zhì)尸的定義列不等式，由此求得人的最大值.

[={1,2,…,19,20}

【詳解】（1）當(dāng)"=1°時,

3=&€川》>9}={10,11,12「,19,20}不具有性質(zhì)產(chǎn)，

因為對任意不大于10的正整數(shù)加，

都可以找到該集合中的兩個元素4=1°與々=1。+",使得%？上用成立，

分.C=￡ce^|x=3A：-l,A：eN*}t,..._

集合'具有性質(zhì)產(chǎn)，

因為可取加=1<10,對于該集合中任一元素，

-5=3勺T,莒年N*）,都有「2=3々巧.

（2）當(dāng)“=1010時集合/={l，2,3「-,2019,2020},?j41010&eN*）

①若集合S具有性質(zhì)P,那么集合7={2021r|xeS}一定具有性質(zhì)乙

首先因為7={2021-x|xeS},任取f=2021-x。e7,其中^S.

因為Su%,所以于{1,2,3,…,2020；

從而IV20217。W2020,即力，所以正/.

由S具有性質(zhì)P,可知存在不大于101。的正整數(shù)機，

使得對s中的任意一對元素「工，都有1一$2"加.

對于上述正整數(shù)%從集合7={2021-刈.5}中任取一對元素（=2021-[,

1=2°2f,其中丁2wS,則有「‘2=「「用.

所以，集合7={2021-x|xeS}具有性質(zhì)p；

②設(shè)集合S有《個元素，由（1）可知，若集合S具有性質(zhì)?，

那么集合？={2021-劉》€(wěn)5}一定具有性質(zhì)尸