第二章平面問(wèn)題的基本理論§2-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題

在實(shí)際問(wèn)題中，任何一個(gè)彈性體嚴(yán)格地說(shuō)都是空間物體，它所受的外力一般都是空間力系。但是，當(dāng)所考察的彈性體的形狀和受力情況具有一定特點(diǎn)時(shí)，如果經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和抽象處理，可以簡(jiǎn)化為彈性力學(xué)平面問(wèn)題，將使計(jì)算工作量大為減少。一、平面應(yīng)力問(wèn)題圖2－1等厚度薄板，只在板邊受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿厚度變化。應(yīng)力特征

如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy

平面，垂直于中面的任一直線為z軸，板厚為δ

。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變?？烧J(rèn)為整個(gè)薄板上的各點(diǎn)都有：圖2－1結(jié)論：平面應(yīng)力問(wèn)題只剩下三個(gè)應(yīng)力分量：應(yīng)變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)。xy共六個(gè)應(yīng)力分量

特征：1)長(zhǎng)、寬尺寸遠(yuǎn)大于厚度。2)沿板邊受有平行板面的面力，且沿厚度均布，體力也平行于板面且不沿厚度變化，在平板的前后外表上無(wú)外力作用。注意：平面應(yīng)力問(wèn)題

z=0，但圖2－1二、平面應(yīng)變問(wèn)題x

圖2－2如擋土墻、受內(nèi)壓的圓柱管道和長(zhǎng)水平巷道等。

設(shè)有很長(zhǎng)的柱體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面并且不沿長(zhǎng)度變化。厚壁圓筒(1)幾何特征水壩

一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和尺寸不變化?！普J(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)(2)外力特征外力〔體力、面力〕平行于橫截面作用，且沿長(zhǎng)度z方向不變化。(3)變形特征建立如圖坐標(biāo)系：以任一橫截面為xy面，任一縱向線為z軸。設(shè)z方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)，那么沿z方向都不變化，僅為x、y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對(duì)稱面所有各點(diǎn)的位移分量都平行于xy

平面?！步衅矫嫖灰茊?wèn)題x—平面應(yīng)變問(wèn)題注：(1)平面應(yīng)變問(wèn)題中，但是，(2)平面應(yīng)變問(wèn)題中有四個(gè)應(yīng)力分量：——僅為x、y

的函數(shù)。x如下圖三種情形，是否屬平面問(wèn)題？是平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題非平面問(wèn)題—空間問(wèn)題三、平面問(wèn)題的求解問(wèn)題：：外力〔體力、面力〕、邊界條件，求：——僅為x、y的函數(shù)需建立三個(gè)方面的關(guān)系：〔1〕靜力學(xué)關(guān)系：〔2〕幾何學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；位移與形變間的關(guān)系；——平衡微分方程——幾何方程〔3〕物理學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系。建立邊界條件：——物理方程〔1〕應(yīng)力邊界條件；〔2〕位移邊界條件；〔3〕混合邊界條件；§2-2平衡微分方程

無(wú)論平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題，都是在xy平面內(nèi)研究問(wèn)題，所有物理量均與z無(wú)關(guān)。下面討論物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，各點(diǎn)應(yīng)力及體力的相互關(guān)系，并由此導(dǎo)出平衡微分方程。從圖2－1所示的薄板中取出一個(gè)微小的單元體PACB(圖2－3〕，它在z方向的尺寸取為一個(gè)單位長(zhǎng)度，在x方向和y方向上的長(zhǎng)度分別為dx和dy。圖2－3設(shè)作用在單元體左側(cè)面上的正應(yīng)力是。圖2－3右側(cè)面上坐標(biāo)x得到增量dx，該面上的正應(yīng)力為，將上式展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)：略去二階及二階以上的微量后便得同樣、、都一樣處理，得到圖示應(yīng)力狀態(tài)。

對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)考慮體力時(shí)，仍可證明切應(yīng)力互等定理。以通過(guò)中心D并平行于z軸的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程：此處以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，因?yàn)閥軸向下。將上式的兩邊除以得到：令

，即略去微量不計(jì)，得：下面推導(dǎo)平面應(yīng)力問(wèn)題的平衡微分方程，對(duì)單元體列平衡方程：即得平衡微分方程：

這兩個(gè)微分方程中包含著三個(gè)未知函數(shù)。因此決定應(yīng)力分量的問(wèn)題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解出問(wèn)題。

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，雖然前后面上還有，但它們完全不影響上述方程的建立。所以上述方程對(duì)于兩種平面問(wèn)題都同樣適用。解：選擇坐標(biāo)系如圖。因表面無(wú)任何面力， 、、=0,故表面上在近表面很薄一層∴接近平面應(yīng)力問(wèn)題。例1〔習(xí)題2-3〕試分析說(shuō)明，在不受任何面力作用的空間體外表附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力狀態(tài)。解：根據(jù)題意，本題中只有，