第第頁第6小題數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用TOC\o"1-4"\h\u第6小題數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用 1（一）命題角度剖析 1（二）考情分析 1（三）高考預(yù)測 1一、題型分類與預(yù)測 2命題點(diǎn)一：數(shù)學(xué)文化應(yīng)用 21.1母題精析（三年高考真題） 21.2解題模型 7命題點(diǎn)二：數(shù)學(xué)應(yīng)用問題 81.1母題精析（三年高考真題） 81.2解題模型 16二、類題狂刷（五年省市模、校模）： 17（一）命題角度剖析1.數(shù)學(xué)文化問題★★★★☆2.數(shù)學(xué)應(yīng)用問題★★★★☆（二）考情分析高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題（三）高考預(yù)測試題近兩年對數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查力度加大了，后續(xù)它也將成為熱點(diǎn)考查內(nèi)容，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。一、題型分類與預(yù)測命題點(diǎn)一：數(shù)學(xué)文化應(yīng)用1.1母題精析（三年高考真題）一．三角形中的幾何計(jì)算（共2小題）1．（2021?乙卷）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高A．表高 B．表高 C．表距 D．表距【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．【解答】解：，，故，即，解得，，故表高．另解：如圖所示，連接并延長交于點(diǎn)，，，表高．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2．（2021?浙江）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形直角邊的長分別為3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則25．【分析】利用勾股定理求出直角三角形斜邊長，即大正方形的邊長，由，求出，再求出．【解答】解：直角三角形直角邊的長分別為3，4，直角三角形斜邊的長為，即大正方形的邊長為5，，則小正方形的面積，．故答案為：25．【點(diǎn)評】本題考查了三角形中的幾何計(jì)算和勾股定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共1小題）3．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長為，側(cè)面三角形底邊上的高為，則依題意有：，因此有（負(fù)值舍去）；故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．三．直線與平面所成的角（共1小題）4．（2020?山東）日晷是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球（球心記為，地球上一點(diǎn)的緯度是指與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)處的水平面是指過點(diǎn)且與垂直的平面．在點(diǎn)處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)處的緯度為北緯，則晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為A． B． C． D．【分析】由緯度的定義和線面角的定義，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，可得晷針與點(diǎn)處的水平面所成角．【解答】解：可設(shè)所在的緯線圈的圓心為，垂直于緯線所在的圓面，由圖可得為晷針與點(diǎn)處的水平面所成角，又為且，在中，，，另解：畫出截面圖，如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線．是點(diǎn)處的水平面的截線，由題意可得，是晷針?biāo)谥本€．是晷面的截線，由題意晷面和赤道面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得，根據(jù)線面垂直的定義可得，由于，，所以，由于，所以，也即晷針與處的水平面所成角為，故選：．【點(diǎn)評】本題是立體幾何在生活中的運(yùn)用，考查空間線面角的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．四．古典概型及其概率計(jì)算公式（共1小題）5．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)，該重卦恰有3個(gè)陽爻包含的基本個(gè)數(shù)，由此能求出該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率．【解答】解：在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，基本事件總數(shù)，該重卦恰有3個(gè)陽爻包含的基本個(gè)數(shù)，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率．故選：．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．五．進(jìn)行簡單的合情推理（共1小題）6．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是A． B． C． D．【分析】充分運(yùn)用黃金分割比例，結(jié)合圖形，計(jì)算可估計(jì)身高．【解答】解：頭頂至脖子下端的長度為，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是，可得咽喉至肚臍的長度小于，由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，可得肚臍至足底的長度小于，即有該人的身高小于，又肚臍至足底的長度大于，而小于，可得頭頂至肚臍的長度大于，即該人的身高大于，故選：．【點(diǎn)評】本題考查簡單的推理和估算，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．1.2解題模型1.解決數(shù)學(xué)文化問題的步驟(1)建模：從數(shù)學(xué)文化問題中抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；(3)評價(jià)、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價(jià)、解釋，返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解.命題點(diǎn)二：數(shù)學(xué)應(yīng)用問題1.1母題精析（三年高考真題）一．函數(shù)的圖象與圖象的變換（共1小題）1．（2020?北京）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評價(jià)在，這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在，這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在，，，，，這三段時(shí)間中，在，的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．【分析】由兩個(gè)企業(yè)污水排放量與時(shí)間的關(guān)系圖象結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率逐一分析四個(gè)命題得答案．【解答】解：設(shè)甲企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，乙企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為．對于①，在，這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力為，乙企業(yè)的污水治理能力為．由圖可知，，，即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；對于②，由圖可知，在時(shí)刻的切線的斜率小于在時(shí)刻的切線的斜率，但兩切線斜率均為負(fù)值，在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故②正確；對于③，在時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，在時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)，故③正確；對于④，由圖可知，甲企業(yè)在，，，，，這三段時(shí)間中，在，的污水治理能力最強(qiáng)，故④錯(cuò)誤．正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)評】本題考查利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際生活問題，考查學(xué)生的讀圖視圖能力，是中檔題．二．根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型（共2小題）2．（2021?北京）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：．24降雨量的等級(jí)劃分如下：等級(jí)降雨量（精確到小雨中雨大雨暴雨在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為，高為的圓錐形雨量器．若一次降雨過程中，該雨量器收集的的雨水高度是如圖所示），則這降雨量的等級(jí)是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求出圓錐的體積，求出平面上積水的厚度，由題意即可得到答案．【解答】解：圓錐的體積為，因?yàn)閳A錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為，將，代入公式可得，圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，平底上積水的體積為，且對于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積，所以，則平地上積水的厚度，因?yàn)椋深}意可知，這一天的雨水屬于中雨．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握錐體和柱體體積公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題．3．（2020?山東）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【分析】根據(jù)所給模型求得，令，求得，根據(jù)條件可得方程，然后解出即可．【解答】解：把，代入，可得，，當(dāng)時(shí)，，則，兩邊取對數(shù)得，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)模型的實(shí)際運(yùn)用，考查學(xué)生閱讀理解能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．三．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共1小題）4．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【分析】方法一：由題意可得從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成等差數(shù)列，且公差，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可求出；方法二：設(shè)第環(huán)天心石塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，根據(jù)等差數(shù)列分段和為等差數(shù)列，即可求出．【解答】解：方法一：設(shè)每一層有環(huán)，由題意可知，從內(nèi)到外每環(huán)上扇面形石板數(shù)之間構(gòu)成等差數(shù)列，上層中心的首項(xiàng)為，且公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，且，則，則，則三層共有扇面形石板塊，方法二：設(shè)第環(huán)天心石塊數(shù)為，第一層共有環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，，，下層比中層多729塊，，，，解得，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．四．?dāng)?shù)列的應(yīng)用（共1小題）5．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，．已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【分析】由題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【解答】解：設(shè)，則，，，由題意得：，，且，解得，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合閱讀材料，考查學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力，是基礎(chǔ)題．五．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共1小題）6．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為．將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為A． B． C． D．【分析】先統(tǒng)一單位，再根據(jù)題意結(jié)合棱臺(tái)的體積公式求解即可．【解答】解：，，根據(jù)題意，增加的水量約為．故選：．【點(diǎn)評】本題以實(shí)際問題為載體考查棱臺(tái)的體積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．六．球的體積和表面積（共1小題）7．（2021?新高考Ⅱ）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為，半徑為的球，其上點(diǎn)的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積（單位：，則占地球表面積的百分比約為A． B． C． D．【分析】由題意，地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，求解，根據(jù)衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積可得占地球表面積的百分比．【解答】解：由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，則，那么；衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積，那么，占地球表面積的百分比為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了對題目的閱讀能力和理解能力，屬于基礎(chǔ)題．七．進(jìn)行簡單的合情推理（共1小題）8．（2022?北京）在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與和的關(guān)系，其中表示溫度，單位是；表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài) B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài) C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài) D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【分析】計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)的的值，結(jié)合與圖可判斷結(jié)論．【解答】解：對于，當(dāng)，時(shí)，，由圖可知二氧化碳處于固態(tài)，故錯(cuò)誤；對于：當(dāng)，時(shí)，，由圖可知二氧化碳處于液態(tài)，故錯(cuò)誤；對于：當(dāng)，時(shí)，，由圖可知二氧化碳處于固態(tài)，故錯(cuò)誤；對于：當(dāng)，時(shí)，，由圖可知二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故正確；故選：．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的計(jì)算，考查看圖的能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題．八．與圓有關(guān)的比例線段（共1小題）9．（2020?山東）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，是圓弧與直線的切點(diǎn)，是圓弧與直線的切點(diǎn)，四邊形為矩形，，垂足為，，，，，到直線和的距離均為，圓孔半徑為，則圖中陰影部分的面積為．【分析】設(shè)大圓的半徑為，利用已知條件求出、的長，利用求出大圓的半徑，再根據(jù)圖中線段關(guān)系得出為直角三角形，最后求解圖中陰影部分的面積即可．【解答】解：作垂直于，交、于、，垂足為，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，到直線和的距離均為，，又，，，，，，，由于是圓弧的切線，，，設(shè)大圓的半徑為，則，，，，，解得，圖中陰影部分面積分為扇形和直角的面積減去小半圓的面積，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形的解法，考查分析問題解決問題的能力，是難題．1.2解題模型1.解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的基本方法與步驟解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的方法與步驟可以歸納為四步八字：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型.(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)果.(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)果還原為實(shí)際結(jié)果，并進(jìn)行必要的檢驗(yàn).以上過程用框圖表示如下：實(shí)際問題分析、聯(lián)想、抽象、轉(zhuǎn)化建立函數(shù)模型數(shù)學(xué)推演數(shù)學(xué)結(jié)果還原實(shí)際結(jié)果問題解決二、類題狂刷（五年省市模、校模）：一．選擇題（共15小題）1．（2023?福州模擬）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo)，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù)．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例關(guān)于貸款人的年收入（單位：萬元）的，模型：，已知當(dāng)貸款大的年收入為8萬元時(shí)，其實(shí)際還款比例為．若銀行希望實(shí)際還款比例為，則貸款人的年收入為（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：，A．4.65萬元 B．5.63萬元 C．6.40萬元 D．10.00萬元【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算函數(shù)中參數(shù)的值，然后計(jì)算時(shí)的值即可．【解答】解：由題意，，即，得，．令，得，得，得得．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．2．（2023?廈門模擬）西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實(shí)用的泡茶工具（如圖．西施壺的壺身可近似看成一個(gè)球體截去上下兩個(gè)相同的球缺的幾何體．球缺的體積為球缺所在球的半徑，為球缺的高）．若一個(gè)西施壺的壺身高為，壺口直徑為（如圖，則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚度，取A． B． C． D．【分析】依題意作出幾何體的軸截面圖，即可求出對應(yīng)線段的長，進(jìn)而求出球的半徑和球缺的高，再根據(jù)球的體積公式和球缺的體積求解即可．【解答】解：如圖作出幾何體的軸截面如下面所示，依題意，，為球心，為壺口所在圓的圓心，所以，因?yàn)?，所以，且，，所以球的半徑，所以球缺的高，所以球缺的體積，所以該壺壺身的容積約為：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了球的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題．3．（2023?南平模擬）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)．如圖，為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”．畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長線于點(diǎn)（第一段圓弧），再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓?。源祟愅?，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?段圓弧時(shí)，“蚊香”的長度為A． B． C． D．【分析】每段圓弧的圓心角為，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：由題意可知，每段圓弧的圓心角為，第一段圓弧到第段圓弧的半徑構(gòu)成等差數(shù)列：1，2，3，，，故當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻∮?段圓弧時(shí)，“蚊香”的長度為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查弧長的求解，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?漳州模擬）英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型和冷卻的數(shù)據(jù)可求得，再代入所求數(shù)據(jù)，解方程即可求得結(jié)果．【解答】解：由題意得：，即，，，由得：，即，解得：，若使物體的溫度為，需要冷卻．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?新羅區(qū)校級(jí)三模）《九章算術(shù)》是世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一顆璀璨明珠，書中《商功》有如下問題：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，問積及為菽各幾何？其意思為：現(xiàn)將大豆靠墻堆放成半圓錐形，底面半圓的弧長為3丈，高7尺，問這堆大豆的體積是多少立方尺？應(yīng)有大豆是多少斛？主人欲賣掉該堆菽，已知圓周率約為3，一丈等于十尺，1斛約為2.5立方尺，1斛菽賣300錢，一兩銀子等于1000錢，則主人可得銀子兩A．40 B．42 C．44 D．45【分析】推導(dǎo)出，解得（尺，求出這堆大豆的體積（立方尺），由此能求出結(jié)果．【解答】解：現(xiàn)將大豆靠墻堆放成半圓錐形，底面半圓的弧長為3丈，高7尺，圓周率約為3，解得（尺，這堆大豆的體積（立方尺），（斛，主人欲賣掉該堆菽，則主人可得銀子：（兩．故選：．【點(diǎn)評】本題考查圓錐的體積的求法及應(yīng)用，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．6．（2023?廈門模擬）如圖中陰影部分是一個(gè)美麗的螺旋線型圖案，其畫法是：取正六邊形各邊的三等分點(diǎn)，，，，，，作第2個(gè)正六邊形，然后再取正六邊形各邊的三等分點(diǎn)，、、，，，作第3個(gè)正六邊形，依此方法，如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，由△，△，構(gòu)成如圖陰影部分所示的螺旋線型圖案，則該螺旋線型圖案的面積與正六邊形的面積的比值趨近于A． B． C． D．【分析】分別計(jì)算出陰影部分面積和正六邊形的面積，即可求解．【解答】解：由外至內(nèi)設(shè)每個(gè)六邊形的邊長構(gòu)成數(shù)列，每個(gè)陰影三角形的面積構(gòu)成數(shù)列設(shè)，則，，．依此類推，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又，所以，，．依此類推，，則數(shù)列的前項(xiàng)和，如果這個(gè)作圖過程可以一直繼續(xù)下去，則，此時(shí)，正六邊形的面積為，故該螺旋線型圖案的面積與正六邊形的面積的比值趨近于．故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）英國數(shù)學(xué)家亞歷山大艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數(shù)標(biāo)度單位．一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列．八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列．已知音的頻率為，音分值為，音的頻率為，音分值為．若，則A．400 B．500 C．600 D．800【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可由指數(shù)運(yùn)算求解．【解答】解：由題意可知，1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一個(gè)音為，所以，所以，又因?yàn)椋裕蔬x：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023?三明三模）17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家馬林梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上，對為素?cái)?shù)）型的數(shù)作了大量的研算，他在著作《物理數(shù)學(xué)隨感》中斷言：在的素?cái)?shù)中，當(dāng)，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時(shí)，是素?cái)?shù)，其它都是合數(shù)．除了和兩個(gè)數(shù)被后人證明不是素?cái)?shù)外，其余都已被證實(shí)．人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在型素?cái)?shù)研究中所做的開創(chuàng)性工作，就把型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，記為．幾千年來，人類僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)，由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們譽(yù)為“數(shù)海明珠”．已知第7個(gè)梅森素?cái)?shù)，第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，則約等于（參考數(shù)據(jù)：A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【分析】根據(jù)題意可知，，，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，，．．故選：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2023?思明區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，九連環(huán)是中國傳統(tǒng)民間智力玩具，以金屬絲制成9個(gè)圓環(huán)，解開九連環(huán)共需要256步，解下或套上一個(gè)環(huán)算一步，且九連環(huán)的解下和套上是一對逆過程．九連環(huán)把玩時(shí)按照一定得程序反復(fù)操作，可以將九個(gè)環(huán)全部從框架上解下或者全部套上．將第個(gè)圓環(huán)解下最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為，已知，，按規(guī)則有，則解下第4個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù)為A．4 B．7 C．16 D．31【分析】題意即為求出，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系和，，即可得出答案．【解答】解：由題意得，，，由解下第4個(gè)圓環(huán)可得，又，則，故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)列的遞推關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．10．（2023?泉州模擬）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對時(shí)代的進(jìn)步起到了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，即（1）（2），，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則的值為A．2698 B．2699 C．2696 D．2697【分析】首先求出數(shù)列的周期數(shù)，進(jìn)一步利用求和公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由題意知：數(shù)列為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，，故該數(shù)列的周期為6，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的周期，數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023?漳州模擬）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．已知該數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，記，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和是A．110 B．100 C．90 D．80【分析】根據(jù)所給數(shù)列的項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式，利用分組求和法求和即可．【解答】解：觀察此數(shù)列可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所以?shù)列的前20項(xiàng)和為：，故選：．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）核酸檢測分析是用熒光定量法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對在擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)實(shí)時(shí)監(jiān)測，在擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閥值時(shí)，的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)滿足，其中為擴(kuò)增效率，為的初始數(shù)量．已知某被測標(biāo)本擴(kuò)增10次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該樣本的擴(kuò)增效率約為（參考數(shù)據(jù)：，A． B． C． D．【分析】由題意，代入，解方程即可得解．【解答】解：由題意知，，即，所以，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?泉州模擬）萃取是有機(jī)化學(xué)實(shí)驗(yàn)室中用來提純和純化化合物的手段之一．研究發(fā)現(xiàn)，用總體積相同的有機(jī)萃取液對某化合物進(jìn)行萃取，采用少量多次的方法比全量一次的萃取率高．已知萃取率與萃取次數(shù)滿足，為分配比、現(xiàn)欲用有機(jī)萃取液，對含四氧化鋨的水溶液進(jìn)行萃取，每次所用有機(jī)萃取液的體積為，分配比為14．要使萃取率達(dá)到以上，則至少需要經(jīng)過的萃取次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)題意確定各參數(shù)值，代入等式，利用指對互化和對數(shù)函數(shù)運(yùn)算即可得所求．【解答】解：由題可知萃取率與萃取次數(shù)滿足，其中分配比，萃取率，，，則，所以，則，即，所以至少需要經(jīng)過的萃取次數(shù)為5．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．14．（2023?寧德模擬）恩格爾系數(shù)，國際上常用恩格爾系數(shù)來衡量一個(gè)地區(qū)家庭的富裕程度，恩格爾系數(shù)越低，人民生活越富裕．某地區(qū)家庭2021年底恩格爾系數(shù)為，剛達(dá)到小康，預(yù)計(jì)從2022年起該地區(qū)家庭每年消費(fèi)支出總額增加，食品消費(fèi)支出總額增加，依據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)計(jì)該地區(qū)家庭恩格爾系數(shù)滿足達(dá)到富裕水平，至少經(jīng)過年（參考數(shù)據(jù)：，，，A．8年 B．7年 C．4年 D．3年【分析】根據(jù)“每年消費(fèi)支出總額增加，食品消費(fèi)支出總額增加”以及列不等式，解不等式即可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)經(jīng)過的年份為年，依題意有，即，兩邊取以10為底的對數(shù)得，即，故至少經(jīng)過4年，可使家庭恩格爾系數(shù)滿足達(dá)到富裕水平．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查對數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．15．（2023?寧德模擬）中國古代數(shù)學(xué)家很早就對空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計(jì)算公式．例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解．如圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長方體；、、、對應(yīng)四個(gè)三棱柱，、、、對應(yīng)四個(gè)四棱錐．若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺(tái)的體積為A．24 B．28 C．32 D．36【分析】根據(jù)給定條件，利用四棱錐、三棱柱的體積公式結(jié)合給定數(shù)據(jù)建立關(guān)系式，求出長方體的體積作答．【解答】解：如圖，令四棱錐的底面邊長為，高為，三棱柱的高為，依題意，四棱錐的體積，即，所以三棱柱的體積，即有，因此，于是長方體的體積，所以該正四棱臺(tái)的體積為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查正四棱臺(tái)的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．二．填空題（共4小題）16．（2023?莆田模擬）我國歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商