全等三角形綜合訓練（三）1．在中，已知，，點是邊延長線上一點，如圖所示，將線段繞點逆時針旋轉得到，連接交直線于點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：過點F作FD⊥AG，交AG的延長線于點D∵設BC=5x，則CE=3x∴BE=BC＋CE=8x∵，，∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BCA=∠CAE＋∠E=45°由旋轉可知∠EAF=90°，AF=EA∴∠CAE＋∠FAD=∠EAF－∠BAC=45°∴∠FAD=∠E在△FAD和△AEB中∴△FAD≌△AEB∴AD=EB=8x，FD=AB∴BD=AD－AB=3x，FD=CB在△FDG和△CBG中∴△FDG≌△CBG∴DG=BG=BD=∴AG=AB＋BG=∴故選D．【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質，掌握構造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性質是解決此題的關鍵．2．如圖，在的網格中，每一個小正方形的邊長都是1，點，，，都在格點上，連接，相交于，那么的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：取格點，連接，由已知條件可知：，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∴，∵，∴,∴,∴是等腰直角三角形，∴,即，故選：．3．如圖，CAAB，垂足為點A，AB=24cm，AC=12cm，射線BMAB，垂足為點B，一動點E從A點出發(fā)以3cm/s沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED=CB，當點E經過(

)秒時，△DEB與△BCA全等．（注：點E與A不重合）（

）A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16【答案】D【詳解】解：①當E在線段AB上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝12cm，∴BE＝12cm，∴AE＝24﹣12＝12cm，∴點E的運動時間為12÷3＝4（秒）；②當E在BN上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝12cm，∴BE＝12cm，∴AE＝24+12＝36cm，∴點E的運動時間為36÷3＝12（秒）；③當E在BN上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，∵AB＝24cm，∴BE＝24cm，∴AE＝24+24＝48cm，∴點E的運動時間為48÷3＝16（秒），綜上所述t的值為：4，12，16．共3種情況．故選D．4．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，則下列結論：①∠AMD＝90°；②點M為BC的中點；③AB+CD＝AD；④△ADM的面積是梯形ABCD面積的一半．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解：過M作ME⊥AD于E，如圖所示：∵∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，∴∠AMD=180°-90°=90°，故①正確；∵AB∥CD，∠B=90°，∴MC⊥DC，∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，∴MC=ME，同理ME=MB，∴MC=MB=ME，∴點M為BC的中點，故②正確；在Rt△DCM和Rt△DEM中，，∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），∴AB=AE，∴AB+CD=AE+DE=AD，故③正確；∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，∴S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，∴S△ADM=S梯形ABCD，故④正確；故選：D．5．如圖，在中，點D是BC邊上一點，已知，，CE平分交AB于點E，連接DE，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：過點E作于M，于N，于H，如圖，∵，，∴，∴平分，∴，∵平分，∴，∴，∴平分，∴，∵由三角形外角可得：，，∴，而，∴．故選：B．6．如圖所示，平分，，于點，，，那么的長度為________．【答案】【詳解】證明：如圖，過C作的延長線于點F，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵cm，cm，∴，∴cm，∴cm．故答案為：37．如圖，四邊形中，對角線平分，，，并且，則的度數為__________．【答案】【詳解】解：過點D作于點E，于點F，于點G，對角線平分，，，，，，，，，，，，=，，，即，，，，，．故答案為：．8．如圖在△ABC中，D為AB中點，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交AC于F，AC＝8，BC＝12，則BF的長為________．【答案】10【詳解】解：連接AE，過點E作EG⊥AC交AC的延長線于點G，如圖所示：∵D為AB中點，DE⊥AB，∴EA＝EB，∵∠ACE＋∠BCE＝180°，∠ACE＋∠ECG＝180°，∴∠ECG＝∠BCE，∵EF⊥BC，EG⊥AC，∴EG＝EF，在Rt△EFC和Rt△EGC中，，∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL），∴CF＝CG，∴12﹣CF＝8＋CF，解得：CF＝2，∴BF＝12﹣2＝10，故答案為：10．9．如圖，在四邊形ABCD中，AC是四邊形的對角線，∠CAD=30°，過點C作CE⊥AB于點E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的長度比CD的長度多2，則BE的長為_______________．【答案】1【詳解】解：在AE上截取EF=BE，連接CF，∵CE⊥AB，∴CE垂直平分BF，∴BC=FC，∴∠B=∠BFC，∵∠B=2∠BAC，∴∠BFC=2∠BAC，∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，∴∠ACF=∠BAC，∴AF=CF，過點F作FM⊥AC，交AC于點M，過點C作CN⊥AD，交AD的延長線于點N，則有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，∵∠CAD=30°，∠N=90°，∴AC=2CN，∴AM=CN，∵∠ACD+∠BAC=60°，∴∠ACD=60°-∠BAC，∴∠CDN=∠ACD+∠CAD=60°-∠BAC+30°=90°-∠BAC，∴∠NCD=90°-∠CDN=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，∴∠MAF=∠NCD，在△AFM和△CDN中，，∴△AFM≌△CDN（ASA），∴AF=CD，∵AB的長度比CD的長度多2，∴AB-CD=AB-AF=2BE=2，∴BE=1，故答案為：1．10．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延長線上一點，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，則DE、EG、BG之間的數量關系是_____．【答案】DE+BG＝EG【分析】連接，利用全等三角形的判定和性質，求解即可．【詳解】解：猜想DE、EG、BG之間的數量關系為：DE+BG＝EG．理由如下：連接AC，如圖所示，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴又∵∠ECG＝60°，∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°，又∵∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（SAS），∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°，∴∠ECG＝∠FCG，在△CEG和△CFG中，，∴△CEG≌△CFG（SAS），∴EG＝FG，又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，∴DE+BG＝EG，故答案為：DE+BG＝EG11．如圖，在ABC中，AH是高，AEBC，AB＝AE，在AB邊上取點D，連接DE，DE＝AC，若，BH＝1，則BC＝___．【答案】2.5【詳解】解：如圖，過點E作EF⊥AB，交BA的延長線于點F，∵EF⊥AB，AH⊥BC，∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，∵AEBC，∴∠EAF＝∠B，在與中，∴，∴，，在與中，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴，∴，即，又∵BH＝1，∴CH＝1.5，∴BC＝BH＋CH＝2.5，故答案為：2.5．12．（1）如圖1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE＋CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，點E，F分別在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數量關系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）見解析；（3）AF+EC=EF，見解析【詳解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴(SAS)，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）如圖2中，延長ED到H，使得DH=DE，連接DH，FH．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴(SAS)，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；（3）結論：AF+EC=EF．理由：延長BC到H，使得CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴(SAS)，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴(SAS)，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．13．(1)如圖1，在中，，，分別過B、C兩點作過點A的直線l的垂線，垂足為D、E；當D、E兩點在直線BC的同側時，猜想，、、三條線段有怎樣的數量關系？并說明理由．(2)如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．(3)如圖3，，，．點P從B點出發(fā)沿B→A→C路徑向終點C運動；點Q從C點出發(fā)沿C→A→B路徑向終點B運動．點P和Q分別以每秒2和3個單位的速度同時開始運動，只要有一點到達相應的終點時兩點同時停止運動；在運動過程中，分別過P和Q作于F，于G．問：點P運動多少秒時，與全等？（直接寫出結果即可）【答案】(1)；(2)成立，證明見解析；(3)6或10．【詳解】（1）解：證明：，，，又，，，，在和中，，（），，；（2）解：成立．證明：，，，在和中，（），，；（3）解：①當時，點P在上，點Q在上，則當即，解得時，于F，于G，，，，在和中，，；②當時，點P在上，點Q也在上，此時相當于兩點相遇，則有，解得，③當時，點Q在上，點P在上，當即，解得時（舍去）；綜上所述：當t等于6秒或10秒時，與全等；故答案為：6或10．14．如圖1，是的平分線，請你利用該圖形畫一對以所在直線為對稱軸的全等三角形，并將添加的全等條件標注在圖上．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：①如圖2，在中，是直角，，、分別是和的平分線，、相交于點F，求的度數；②在①的條件下，請判斷與之間的數量關系，并說明理由；③如圖3，在中，如果不是直角，而①中的其他條件不變，試問在②中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】見解析；①；②，理由見解析；③成立，證明見解析【詳解】解：在的兩邊上以O為端點截取，在上任意取一點D，連接、，則與即為所求作的三角形，如圖1所示：①如圖2，∵，°，∴，∵、分別是和的平分線，∴，，∴；②．理由如下：在上截取，連接，如圖2所示：∵是的平分線，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴，在和中∵，∴，∴，∴．③在②中的結論仍然成立．在上截取，連接，如圖所示：同②可得：，∴，，又由①知，，∴，∴，∴，同②可得，∴，∴．15．（1）如圖1，在四邊