思維拓展訓(xùn)練：圓柱與圓錐-數(shù)學(xué)2024六年級下冊

1.壯壯家去年收獲的小麥堆成了圓錐形，高L5米，底面直徑是4米。

(1)這堆小麥的體積是多少？

(2)如果每立方米小麥重700千克，壯壯家有0.5公頃麥田，平均每公頃產(chǎn)小麥多少千克?

(3)如果每千克小麥?zhǔn)蹆r為2.58元，這些小麥能賣多少錢？

2.一個圓錐形的沙堆，底面半徑是3米，高是6米。用這堆沙在10米寬的公路上鋪20厘米厚的路面，能

鋪多少米？

3.一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱和一個圓錐組成，圓柱的底面直徑和高都是14厘米，其中有一

些水，正放時水面離容器頂部11厘米，倒放時水面離容器頂部5厘米，那么這個容器的容積是多少立方厘

米？(乃=3)

試卷第1頁，共8頁

4.一個底面半徑為12厘米的圓柱形容器中，水面高度是1.5分米。將一個鋼球放入容器內(nèi)完全浸入水中,

水面上升到L8分米，這個鋼球的體積是多少？

5.一個圓柱體（如圖），如果把它的高截短3厘米，它的表面積減少94.2平方厘米。這個圓柱體積原來是

多少立方厘米？

6.請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮可供搭配選擇。

"42”

?②

（1）你選擇的材料是號和號。

（2）你選擇材料做成的水桶最多能裝水多少千克？（鐵皮厚度不計；1升水重1千克）

寬卷第2頁.共8頁

7.將一個底面半徑是10厘米的圓錐形金屬全部浸沒在底面直徑40厘米的圓柱形玻璃容器中，這時水面比

原來上升了L5厘米。這個圓錐形金屬的高是多少厘米？

8.如圖所示，有這樣的兩段鋼材，這兩段鋼材的體積一共是多少？（單位：分米）

9.一個圓錐形的谷堆高1.8米，測得它的底面周長為12.56米，把這堆谷子裝進(jìn)糧倉里，正好占這個糧倉

的］4。這個糧倉的容積是多少立方米？

10.實驗學(xué)校六年級小田同學(xué)的爺爺在壽光種植蔬菜大棚，一共有10個。每個大棚的長為25米，大棚的

橫截面是一個直徑為8米的半圓，以下為設(shè)計圖。請你幫忙解決以下問題。

（1）這10個蔬菜大棚占地多少平方米？

（2）每個蔬菜大棚的空間有多大？

（3）每個蔬菜大棚的表面都需要用塑料薄膜覆蓋，這10個蔬菜大棚一共需要多少平方米的塑料薄膜?

試卷第3頁，共8頁

11.圓柱的底面半徑和高都是2厘米，把它浸入一個水槽內(nèi)的水中，量得水位上升了4厘米。再把一個底

面直徑為6厘米的圓錐浸入水中，水位又上升了3厘米。求圓錐的高。

12.如圖，一只工具箱的下半部分是棱長20厘米的正方體，上半部分是圓柱的一半。

（1）工具箱外面包的一層皮革的面積是多少平方分米（鎖扣處忽略不計）？

（2）工具箱所占的空間是多少立方分米？

0

13.用心思考，探索發(fā)現(xiàn)。

等分16份等分32份

i

（1）尋找方法：課堂上小明和本組同學(xué)一起進(jìn)行了以上的操作活動，這是為了探究（）。

（2）建立聯(lián)系：拼成的長方體與原來的圓柱體存在怎樣的關(guān)系呢？請寫出來。

（3）歸納結(jié)論：整個推導(dǎo)過程運用了（）的方法。通過以上操作，你得出的結(jié)論是：（）。

寬卷第4頁，共8頁

(4)巧妙應(yīng)用：如圖是一個立體圖形，上、下底面都是相同的直角三角形，高是9厘米，請你推測一下,

怎樣得到它的體積？把你的計算過程寫下來。

14.大廳里有5根圓柱形的柱子，每根柱子的底面周長為25.12分米，高為7米?，F(xiàn)在要把這5根柱子的側(cè)

面刷油漆，若每平方米需要油漆費7.5元，這5根柱子共需要油漆費多少元？

15.沙漏又稱為沙鐘，是我國古代的一種計時儀器。如圖所示，該沙漏由兩個大小一樣的圓錐組成。圓錐

形沙漏的底面周長是18.84分米，高是3分米，這個沙漏的體積是多少立方分米？

試卷第5頁，共8頁

16.做下面這頂帽子至少需要多少布料？（接頭處忽略不計）

17.用鐵皮做60個長為50厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形通風(fēng)管，需要多少鐵皮?

18.把下邊8個同樣的圓柱形杯子（如圖），緊密地放入右邊紙盒中。紙盒長、寬、高各幾厘米？做這樣一

個無蓋長方體盒子,需要硬紙板多少平方厘米?

寬卷第6頁，共8頁

19.一瓶裝滿的礦泉水，瓶底面積是0.3平方分米。張強(qiáng)喝掉一些水后，把瓶蓋擰緊后倒置（如圖）。張強(qiáng)

喝了多少毫升水？

20.一個圓柱形容器的底面周長是25.12厘米，把一個鐵球放入這個裝有水的容器中，鐵球完全沉入水中,

水面升高3厘米。這個鐵球的體積是多少立方厘米？

21.李老師帶領(lǐng)六（2）班手工小組制作一個圓柱形鐵桶作為班級的儲物桶。用下面圖中所示的兩張形狀相

同、面積相等的長方形鐵皮，用第一張鐵皮的長邊為底，圍成一個圓柱形鐵桶（沒有剩余，焊接處忽略不

計），用第二張鐵皮裁剪做一個底面。請計算：

3L4分米

（1）這個圓柱形鐵桶側(cè)面的面積是多少？

試卷第7頁，共8頁

(2)這個圓柱形鐵桶的體積是多少？

試卷第區(qū)頁.其區(qū)頁

參考答案:

1.(1)6.28立方米

(2)8792千克

（3）11341.68元

【分析】（1）根據(jù)圓錐體積=底面積x高+3,即可求出小麥的體積；

（2）小麥體積x每立方米重量=這堆小麥的重量，這堆小麥的重量+麥田公頃數(shù)=平均每公頃產(chǎn)小麥重量,

據(jù)此列式解答；

（3）根據(jù)單價x數(shù)量=總價，即可求出這些小麥賣的錢數(shù)。

【詳解】（1）3.14x（4-2）2x1.5解

=3.14x22x1.5+3

=3.14x4x1.54-3

=6.28（立方米）

答：這堆小麥的體積是6.28立方米。

（2）6.28x700=4396（千克）

4396+0.5=8792（千克）

答：平均每公頃產(chǎn)小麥8792千克。

（3）2.58x4396=11341.68（元）

答：這些小麥能賣11341.68元錢。

2.28.26米

【分析】根據(jù)圓錐體積=底面積x高+3,求出沙堆體積，路面厚度相當(dāng)于長方體的高，鋪的長度相當(dāng)于長方

體的長，根據(jù)長方體的長=體積+寬+高，列式解答即可。

【詳解】3.14x32x6+3

=3.14x9x6+3

=56.52（立方米）

20厘米=0.2米

56.52+10+0.2=28.26（米）

答：能鋪28.26米。

3.2499立方厘米

【分析】已知圓柱的底面直徑和高，只需要求出圓錐高即可。根據(jù)正放時水面離容器頂部11厘米，假設(shè)圓

錐部分的高為〃厘米，如下圖，則正放時空氣部分的體積相當(dāng)于高為，的圓錐的體積加上高為（11—〃）的

答案第1頁，共12頁

圓柱部分的體積。而圓柱和圓錐是等底的，根據(jù)等底的圓柱和圓錐的體積關(guān)系，高為人的圓錐體積也可以看

成是高為:"的圓柱的體積，這樣正放時空氣部分的體積相當(dāng)于高為的圓柱體積。因為無論正

放、倒放，空氣體積是不變的，所以這一部分空氣體積，也等于倒放時高為5厘米的圓柱的體積。因為圓

柱的底面始終一樣，所以兩部分圓柱的高一定是相等的，即:/?+11-〃=5,解方程即可求得〃的值。再根據(jù)

圓柱、圓錐的體積公式即可求得這個容器的容積。

【詳解】解：設(shè)圓錐的高為△厘米,

-h+\\-h=5

3

11-乙=5

3

222

11——h+-h=5+-h

333

5+-h=\\

3

5+乙—5=11-5

3

-h=6

3

h=9

體積：3X(14^2)2X14+1X3X(14-2)2X9

=3X72X14+1X72X9

=3x49x14+49x9

=2058+441

=2499(立方厘米)

答：這個容器的容積是2499立方厘米。

答案第2頁，共12頁

4.135.648立方分米

【分析】由題意可知，鋼球的體積等于上升部分水的體積，利用“V=7rr2h”求出上升部分水的體積，據(jù)此解

答。

【詳解】1.8—1.5=0.3（分米）

3.14x122x0.3

=3.14x144x0.3

=452.16x0.3

=135.648（立方分米）

答：這個鋼球的體積是135.648立方分米。

5.1177.5立方厘米

【分析】表面積減少的側(cè)面積，減少的側(cè)面積十截短的高=圓柱底面周長，底面周長+兀+2=底面半徑，再根

據(jù)圓柱體積=底面積x高，求出原來體積即可。

【詳解】94.2-3=31.4（厘米）

31.4+3.14+2=5（厘米）

3.14X52X（12+3）

=3.14x25x15

=1177.5（立方厘米）

答：這個圓柱體積原來是H77.5立方厘米。

【點睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用圓柱側(cè)面積和體積公式。

6.（1）①④或②③

（2）選擇①④：28.26千克

選擇②③：37.68千克

【分析】（1）根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖的特征可知，圓柱的側(cè)面沿高展開后是一個長方形，這個長方形的長等

于圓柱的底面周長，這個長方形的寬等于圓柱的高。由此可知，有兩種不同的選擇，可以選①和④，也可

以選②和③，據(jù)此解答。

（2）根據(jù)圓柱的容積（體積）公式：K=〃rh,把數(shù)據(jù)代入公式求出這個圓柱形水桶的容積，然后再乘每升

水的質(zhì)量即可。

【詳解】（1）①④或②③

（2））選擇①④：3.14X（3-2）2X4

答案第3頁，共12頁

=3.14xi.52x4

=3.14x2.25x4

=7.065x4

=28.26（立方分米）

28.26立方分米=28.26升=28.26千克

答：最多能裝水28.26千克。

選擇②③：3.14X（44-2）2X3

=3.14x22x3

=3.14x4x3

=12.56x3

=37.68（立方分米）

37.68立方分米=37.68升=37.68千克

答：最多能裝水37.68千克。

【點睛】此題考查的目的是理解掌握圓柱側(cè)面展開圖的特征及應(yīng)用，圓柱的容積（體積）公式及應(yīng)用，關(guān)

鍵是熟記公式。

7.18厘米

【分析】水面上升的體積就是圓錐形鐵塊體積，根據(jù)圓柱體積公式，用容器底面積x上升的水的高度，即可

求出鐵塊體積，再根據(jù)圓錐的高=體積x3+底面積，列式解答即可。

【詳解】3.14X（40+2）2xi5x3+（3.14X102）

=3.14x400x1.5x3;（3.14x100）

=1256x1.5x3+314

=1884x3:314

=5652+314

=18（厘米）

答：這個圓錐形金屬的高是18厘米。

【點睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運用圓柱和圓錐的體積公式。

8.188.4立方分米

【分析】觀察圖形可知，將這兩段鋼材拼接在一起，則形成一個底面直徑為4分米，高為（9+6）分米的

圓柱，再根據(jù)圓柱的體積公式：丫=加配,據(jù)此代入數(shù)值進(jìn)行計算即可。

答案第4頁，共12頁

【詳解】3.14x(4+2)2x(9+6)

=3.14x4x15

=12.56x15

=188.4(立方分米)

答：這兩段鋼材的體積一共是188.4立方分米。

【點睛】本題考查圓柱的體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。

9.9.42立方米

【分析】根據(jù)底面周長公式：C=2兀r,用12.56+3.14+2即可求出底面半徑，然后根據(jù)圓錐的體積公式：V

14

=：7ir2h求出谷子的體積，已知把這堆谷子裝進(jìn)糧倉里，正好占這個糧倉的］,則把這個糧倉的容積看作

4

單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用谷子的體積除以w即可求出這個糧倉的容積。

【詳解】12.56+3.14+2

=4+2

=2(米)

3.14x22xl.8x-

3

=3.14x4x1.8x1

3

=7.536(立方米)

4

7.536-：—

5

=7.536x2

4

=9.42(立方米)

答：這個糧倉的容積是9.42立方米。

【點睛】本題考查了圓錐體積公式和分?jǐn)?shù)除法的靈活應(yīng)用，熟記相關(guān)公式是解答本題的關(guān)鍵。

10.(1)2000平方米

(2)628立方米

(3)3642.4平方米

【分析】(1)通過觀察圖形可知：大棚的形狀是半圓柱形，1個大棚的占地面積就是長為25米，寬為8米

的長方形的面積，根據(jù)長方形的面積=長義寬，先求出1個大棚的占地面積，再乘10求出10個大棚的占地

面積。

(2)先求出圓柱的底面半徑，即8+2；再根據(jù)圓柱的體積1二萬產(chǎn)九求出圓柱的體積，再除以2求出半圓柱

答案第5頁，共12頁

的體積，即每個大棚的空間的大小。

(3)每個蔬菜大棚的塑料薄膜的面積是整個圓柱側(cè)面積的一半加上兩個半圓的面積和。先根據(jù)圓的面積

S=/r/求出大棚表面兩個半圓的面積和；圓柱的側(cè)面積=底面周長x高，據(jù)此求出圓柱的側(cè)面積，用圓柱

的側(cè)面積+2求出圓柱側(cè)面積的一半；二者相加求出1個蔬菜大棚的塑料薄膜的面積；再乘10,求出這10

個蔬菜大棚的塑料薄膜的面積。

【詳解】(1)25x8x10

=200x10

=2000(平方米)

答：這10個蔬菜大棚占地2000平方米。

O

(2)3.14x(-)2x25:2

2

=3.14x42x25:2

=3.14x16x25:2

=50.24x25:2

=1256:2

=628(立方米)

答：每個蔬菜大棚的空間有628立方米。

O

(3)3.14X(-)2

2

=3.14x42

=3.14x16

=50.24(平方米)

3.14x8x25+2

=25.12x25+2

=628+2

=314(平方米)

(50.24+314)X10

=364.24x10

=3642.4(平方米)

答：這10個蔬菜大棚一共需要3642.4平方米的塑料薄膜。

【點睛】此題考查了圓柱的側(cè)面積、表面積、體積計算公式的應(yīng)用。解決此題的關(guān)鍵是明確半圓柱與圓柱

答案第6頁，共12頁

的關(guān)系。

11.2厘米

【分析】已知圓柱的底面半徑和高，先應(yīng)用圓柱的體積計算公式丫=》，〃計算出放入水中的圓柱的體積；根

據(jù)“容器的底面積x水面上升的高度=放入的物體的體積”，再用“圓柱的體積+4”求出水槽的底面積；然后用

“水槽的底面積x3”求出放入的圓錐的體積；最后根據(jù)圓錐的體積V=,用“圓錐的體積+；一底面積”求出

圓錐的高。

【詳解】圓柱的體積：3.14x22x2

=3.14x4x2

=25.12（立方厘米）

水槽的底面積：25.12-4=6.28（平方厘米）

圓錐的體積：6.28x3=18.84（立方厘米）

圓錐的IWJ：18.84-^--r[3.14x（6+2）2]

=18.84x3+[3.14x32]

=56.52+[3.14x9]

=56.52+28.26

=2（厘米）

答：圓錐的高是2厘米。

【點睛】解決此題時，應(yīng)明確水槽中水面升高的那段水柱的體積就是全部浸入水中的物體的體積。

12.（1）29.42平方分米;（2）11.14立方分米

【分析】（1）觀察圖形可知，工具箱上半部分的表面積等于兩個直徑為20厘米的半圓面積加上一個底面直

徑為20厘米、高為20厘米的圓柱側(cè)面積的一半,下半部分等于棱長為20厘米的正方體的五個面的面積和，

根據(jù)圓柱表面積和正方體表面積公式可知，用3.14X（20+2）2+2x2+3.14x20x20+2即可求出上半部分的表

面積；用20x20x5即可求出下半部分的表面積；再將上半部分和下半部分的表面積相加即可，最后換算成

平方分米。

（2）根據(jù)圓柱的體積公式和正方體的體積公式，用20x20x20+3.14x（20+2）2x20+2即可求出工具箱的體

積，最后換算成立方分米。

【詳解】（1）3.14x（20+2）2+2x2+3.14x20x20:2

=3.14x102—2x2+3.14x20x2092

=3.14x100+2x2+3.14x20x20-2

答案第7頁，共12頁

=314+628

=942(平方厘米)

20x20x5=2000(平方厘米)

2000+942=2942(平方厘米)

2942平方厘米=29.42平方分米

答：工具箱外面包的一層皮革的面積是29.42平方分米。

(2)20x20x20+3.14x(20-2)2x2032

=20x20x20+3.14X102X20^2

=20x20x20+3.14x100x20+2

=8000+3140

=11140(立方厘米)

11140立方厘米=11.14立方分米

答：工具箱所占的空間是11.14立方分米。

【點睛】本題考查了正方體、圓柱的表面積和體積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是分析工具箱由哪些面組成。

13.(1)圓柱的體積計算公式；

(2)見詳解;

(3)轉(zhuǎn)化；圓柱的體積=底面積x高；

(4)三棱柱的體積=底面積x高；54立方厘米

【分析】(1)運用割補(bǔ)法把圓柱轉(zhuǎn)化成學(xué)過的長方體來探究圓柱的體積計算公式。

(2)把圓柱的底面分成16個(32個)相同的扇形，按照等分線并沿著圓柱的高把圓柱切開，然后拼成近

似的長方體。這兩個圖形形狀不同，但體積的大小相等；底面積相等；高相等。

(3)長方體的體積=底面積x高，根據(jù)長方體的體積計算公式可推導(dǎo)圓柱的體積計算公式。

(4)長方體和圓柱的體積計算公式都是底面積x高，據(jù)此推測三棱柱的體積計算公式是底面積x高。

【詳解】(1)如圖：課堂上小明和本組同學(xué)一起進(jìn)行了以上的操作活動，這是為了探究圓柱的體積計算公

式。

(2)根據(jù)圓柱體積的推導(dǎo)過程可知，把圓柱切拼成一個近似長方體，只是形狀變了，但體積不變。拼成的

長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。

(3)整個推導(dǎo)過程運用了“轉(zhuǎn)化”的方法，通過以上操作，因為長方體的體積=底面積x高，所以得出圓柱的

體積=底面積x高，用字母表不為：V=Sho

(4)一個立體圖形，上、下底面都是相同的直角三角形，高是9厘米，根據(jù)圓柱的體積公式：V=Sh。推

答案第8頁，共12頁

測出這個立體圖形的體積可以用底面積乘高計算。

3x4+2x9

=12+2x9

=6x9

=54（立方厘米）

答：這個立體圖形的體積是54立方厘米。

【點睛】建立圓柱與其轉(zhuǎn)化后的長方體之間的對應(yīng)關(guān)系是推導(dǎo)圓柱的體積計算公式的關(guān)鍵。

14.659.4元

【分析】25.12分米=2.512米，每根柱子要涂的面積為側(cè)面積，已知圓柱的側(cè)面積：S=Ch,則用2.512x7

即可求出每根柱子粉刷的面積，再乘5即可求出5根柱子粉刷的面積，又已知若每平方米需要油漆費7.5元，

根據(jù)單價x數(shù)量=總價，用粉刷的總面積X7.5即可求出總共需要的油漆費。

【詳解】25.12分米=2.512米

2.512x7x5x7.5

=17.584x5x7.5

=87.92x7.5

=659.4（元）

答：這5根柱子共需要油漆費659.4元。

【點睛】本題主要考查了圓柱側(cè)面積公式的應(yīng)用，注意要先統(tǒng)一單位。

15.56.52立方分米

【分析】先根據(jù)圓錐的底面周長求出底面半徑，再利用“丫=；萬廠％”表示出一個圓錐的體積，最后乘2求出

這個沙漏的體積，據(jù)此解答。

【詳解】18.84:3.14:2

=6：2

=3（分米）

-X32X3X3.14X2

3

=3x3x3.14x2

=9x3.14x2

=28.26x2

=56.52（立方分米）

答案第9頁，共12頁

答：這個沙漏的體積是56.52立方分米。

【點睛】掌握圓錐的體積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。

16.18.84平方分米

【分析】通過平移，將直徑2分米的圓平移到下邊，布料面積=直徑4分米的圓的面積+圓柱側(cè)面積，據(jù)

此列式解答。

【詳解】3.14X（4+2）2+3.14x2x1

=3.14x4+6.28

=12.56+6.28

=18.84（平方分米）

答：做這頂帽子至少需要18.84平方分米布料。

【點睛】關(guān)鍵是掌握圓和圓柱側(cè)面積公式，圓柱側(cè)面積=底面周長x高。

17.56520平方厘米

【分析】求做圓柱形通風(fēng)管需用鐵皮的面積，就是求圓柱的側(cè)面積；根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式S惻=2兀山，求

出1個通風(fēng)管所需鐵皮的面積，再乘60,就是做60個這樣的通風(fēng)管所需鐵皮的面積。

【詳解】2x3.14x3x50

=3.14x300

=942（平方厘米）

942x60=56520（平方厘米）

答：需要56520平方厘米鐵皮。

【點睛】本題考查圓柱側(cè)面積公式的靈活運用，明確求圓柱形通風(fēng)管所需的鐵皮就是求圓柱的側(cè)面積是解

題的關(guān)鍵。

18.長方體的長是24厘米，寬12厘米，高是10厘米；需要硬紙板1008平方厘米

【分析】由題意可得，長方體的長為4個圓柱的底面直徑，寬為2個圓柱的底面直徑，高為圓柱的高，所

以長方體的長是（4x6）厘米，寬是（2x6）厘米，高是10厘米。做這樣一個無蓋長方體盒子，則表面積為

前、后、左、右和下面的面積和，無蓋長方體的表面積=長、寬