高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市渝中區(qū)等4區(qū)2022-2023學年高一下學期期末學業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.考慮擲硬幣試驗，設事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（）A.擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率為B.擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4C.重復擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D.當投擲次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5〖答案〗D〖解析〗擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率，A錯誤；擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機的，B錯誤；重復擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯誤；當投擲次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確.故選：D2.設z=-3+2i，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由得則對應點（-3，-2）位于第三象限．故選C．3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差〖答案〗A〖解析〗設9位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．4.已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是與向量方向相同的單位向量，設，則，所以，得，所以，因為向量在向量上的投影為，且向量在向量上的投影向量為，所以，所以，所以，所以，設與的夾角為，則，又，所以.故選：B．5.某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對住房戶型結構的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結構的滿意程度，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取的戶主作為樣本進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為（）A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，36〖答案〗A〖解析〗由圖（1）得該小區(qū)戶主總?cè)藬?shù)為人，所以樣本容量為人，其中四居室戶主有人，由圖（2）得抽取戶主中對四居室滿意的有人，故選：A.6.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為9π，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A. B.16π C.18π D.〖答案〗D〖解析〗底面積為9π，即，所以底面圓的半徑,所以底面圓周長為，即圓錐側(cè)面展開圖的弧長，又因為側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，所以扇形半徑，如圖所示：則圓錐的高，則圓錐的體積.故選：D7.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個單調(diào)區(qū)間，且，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到，因為是的一個單調(diào)區(qū)間，所以，所以，所以，又，所以，故，，所以，因為，所以的最大值為，故選：C8.排球比賽實行“每球得分制”，即每次發(fā)球后，誰取勝誰就得1分，得分的隊有發(fā)球權，最后先得25分的隊獲得本局比賽勝利，若出現(xiàn)比分，要繼續(xù)比賽至某隊領先2分才能取勝，該局比賽結束.甲、乙兩隊進行一局排球比賽，已知甲隊發(fā)球時甲隊獲勝的概率為，乙隊發(fā)球時甲隊獲勝的概率為，且各次發(fā)球的勝負結果相互獨立.若此時甲、乙兩隊雙方比分為平，且甲隊擁有發(fā)球權，則甲隊得25分且取得該局比賽勝利的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記事件“甲隊得25分且取得該局比賽勝利”，事件“甲以25:22取得該局勝利”，“甲以25:23取得該局勝利”，因為各次發(fā)球的勝負結果相互獨立，且B，C互斥，所以，，所以，所以甲隊得25分且取得該局比賽勝利的概率為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下面是關于復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）A. B.C.z的共軛復數(shù)為 D.z的虛部為〖答案〗BCD〖解析〗由復數(shù)，則，所以A錯誤；因為，所以B正確；根據(jù)共軛復數(shù)的概念，可得復數(shù)的共軛復數(shù)為，所以C正確；根據(jù)復數(shù)的基本概念可得，復數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：BCD.10.如圖，已知點O為正六邊形的中心，下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因為點O為正六邊形ABCDEF的中心，，，所以，所以A正確；因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，B錯誤；設正六邊形邊長為1，，，所以，C正確；，，所以，D錯誤.故選：AC.11.盒子里有2個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，設事件A＝“兩個球顏色相同”，B＝“第1次取出的是紅球”，C＝“第2次取出的是紅球”，D＝“兩個球顏色不同”，則（）A.事件B與C互斥 B.事件A與D互為對立C.事件A與B相互獨立 D.事件C與D相互獨立〖答案〗BCD〖解析〗設2個紅球為，2個白球為，則樣本空間為：，共12個基本事件.事件A，共4個基本事件.事件B，共6個基本事件.事件C，共6個基本事件.事件D，共8個基本事件.對于A選項，因為，所以事件B與C不互斥，錯誤；對于B選項，因為，,所以事件A與D互為對立，正確；對于C選項，因為，，，則，故事件A與B相互獨立，正確；對于D選項，因為，，，則，故事件C與D相互獨立，正確.故選：BCD12.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，延長至D，則下列結論正確的是（）A.B.C.若，則周長的最大值為D.若，則面積的最大值為〖答案〗ABC〖解析〗，，解得，由，得，，，解得（舍）或，，，故A正確；，，，即，為等邊三角形，，故B正確；，，在中，由余弦定理，得，（當且僅當時取等號），解得，周長的最大值為，故C正確；設，則，，則當時，取得最大值，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，i為虛數(shù)單位，且，則__________.〖答案〗2〖解析〗由可得，解得，故.故〖答案〗為：214.設非零向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)______.〖答案〗〖解析〗由向量不平行，即，因為向量與平行，所以存在唯一的實數(shù)，使，即，則，解得.故〖答案〗為：15.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，，5，10，其中，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的標準差為___________．〖答案〗3〖解析〗由題意，可得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，所以，解得，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．所以該組數(shù)據(jù)的方差為，即標準差為3．故〖答案〗為：316.已知甲烷的化學式為，其結構式可看成一個正四面體，其中四個氫原子位于正四面體的四個頂點處，而碳原子恰好在這個正四面體的中心，碳原子與每個氫原子之間均有化學鍵相連，若我們把每個原子看成一個質(zhì)點，兩個氫原子之間的距離為1，則碳原子和氫原子之間的距離為______.〖答案〗〖解析〗甲烷分子中4個氫原子分別位于正四面體的4個頂點記為碳原子位于正四面體的中心，則為正四面體外接球的球心，相鄰的碳、氫原子間的距離為正四面體外接球的半徑，設為過做平面，垂足為，則為正三角形的中心，在上，連，由題意邊長為，所以，，所以，解得，即碳原子和氫原子之間的距離為.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.小穎的爸爸只有一張《阿凡達》的電影票，她和哥哥兩人都很想去觀看.哥哥想了一個辦法，他拿了8張撲克牌，將數(shù)字為2，3，5，9的四張牌給小穎，將數(shù)字為4，6，7，10的四張牌給自己，并按如下游戲規(guī)則進行：小穎和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小穎去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去.（1）求小穎去看電影的概率；（2）這個游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由，若不公平，在小穎和哥哥所拿4張牌不變的情況下，如何修改游戲規(guī)則使其對雙方公平.解：（1）由題意畫樹狀圖:兩張牌的數(shù)字之和所對應16種結果分別為6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和為偶數(shù)的結果有6,8,12,10,12,16共6種，所以小穎去看電影的概率為；（2）哥哥設計的游戲規(guī)則不公平，因為小穎去看電影的概率為，哥哥去看電影的概率為，，此規(guī)則對哥哥更有利；因為在所拿牌不變的情況下，兩張牌的數(shù)字之和所對應16種結果分別為6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和為3的倍數(shù)的結果有8個，故可修改規(guī)則為：小穎和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為3的倍數(shù)，則小穎去；如果和不是3的倍數(shù)，則哥哥去.18.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，試求：（1）輪船D與觀測點B的距離；（2）救援船到達D點所需要的時間．解：（1）由題意可知：在中，，，則，由正弦定理得：，由，代入上式得：，輪船D與觀測點B的距離為海里.（2）在中，，，，由余弦定理得：，，，即該救援船到達點所需的時間小時.19.如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形所在平面互相垂直，Q為的中點.（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點N，使得平面平面，若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論，若不存在，請說明理由；（3）求二面角的正切值.（1）證明：正三角形中，為中點，故，因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，又底面，所以；（2）解：存在點N，當N為AB中點時，平面平面，證明如下：由（1）知：底面，又底面，所以，因為四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點，N為AB中點，所以，，所以，所以，因為，所以，所以，而平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）解：過Q點作，連接PM，因為底面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，在正三角形中，，在三角形中，，所以在中，，所以二面角的正切值為.20.文明城市是反映城市整體文明水平綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，…，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；（3）已知落在的平均成績是54，方差是7，落在的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.解：（1）∵每組小矩形的面積之和為1，∴，∴.（2）成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設第75百分位數(shù)為m，由，得，故第75百分位數(shù)為84；（3）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故.設成績在中10人的分數(shù)分別為，，，…，；成績在中20人的分數(shù)分別為，，，…，，則由題意可得，，所以，，所以，所以兩組市民成績的總平均數(shù)是62，總方差是37.21.如圖，在直三棱柱中，，.（1）設平面與平面的交線為l，判斷l(xiāng)與的位置關系，并證明；（2）若與平面所成的角為，求三棱錐內(nèi)切球的表面積S.解：（1）判斷.因為為直三棱柱，所以平面平面ABC，因為平面，所以平面ABC，又平面平面，平面，所以，又，所以；（2）過作，垂足為D，連接CD，如圖所示，因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為，，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，即，因為，所以，所以，所以，所以在中，，所以，又，所以.設三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，連接OA，OB，OC，，則由得，即，所以三棱錐內(nèi)切球的表面積.22.如圖，圓心為C的定圓的半徑為3，A，B為圓C上的兩點.（1）若，當k為何值時，與垂直？（2）若的最小值為2，求的值；（3）若G為的重心，直線l過點G交邊于點P，交邊于點Q，且，.證明：為定值.（1）解：因為，，所以由余弦定理得，即，所以，若與垂直，則，所以，所以，解得，即時，與垂直；（2）解：設，與的夾角為，在中，，所以，又，所以當時，有最小值，所以，解得，即取最小值2時，；（3）證明：因為為的重心，所以，又因為，，所以，由于三點共線，所以存在實數(shù)使得，所以化簡為，所以，所以為定值.重慶市渝中區(qū)等4區(qū)2022-2023學年高一下學期期末學業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.考慮擲硬幣試驗，設事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（）A.擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率為B.擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4C.重復擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D.當投擲次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5〖答案〗D〖解析〗擲2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率，A錯誤；擲8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機的，B錯誤；重復擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率無限接近于事件A發(fā)生的概率，C錯誤；當投擲次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近0.5，D正確.故選：D2.設z=-3+2i，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由得則對應點（-3，-2）位于第三象限．故選C．3.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差〖答案〗A〖解析〗設9位評委評分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．4.已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是與向量方向相同的單位向量，設，則，所以，得，所以，因為向量在向量上的投影為，且向量在向量上的投影向量為，所以，所以，所以，所以，設與的夾角為，則，又，所以.故選：B．5.某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對住房戶型結構的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結構的滿意程度，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取的戶主作為樣本進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為（）A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，36〖答案〗A〖解析〗由圖（1）得該小區(qū)戶主總?cè)藬?shù)為人，所以樣本容量為人，其中四居室戶主有人，由圖（2）得抽取戶主中對四居室滿意的有人，故選：A.6.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為9π，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A. B.16π C.18π D.〖答案〗D〖解析〗底面積為9π，即，所以底面圓的半徑,所以底面圓周長為，即圓錐側(cè)面展開圖的弧長，又因為側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，所以扇形半徑，如圖所示：則圓錐的高，則圓錐的體積.故選：D7.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個單調(diào)區(qū)間，且，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到，因為是的一個單調(diào)區(qū)間，所以，所以，所以，又，所以，故，，所以，因為，所以的最大值為，故選：C8.排球比賽實行“每球得分制”，即每次發(fā)球后，誰取勝誰就得1分，得分的隊有發(fā)球權，最后先得25分的隊獲得本局比賽勝利，若出現(xiàn)比分，要繼續(xù)比賽至某隊領先2分才能取勝，該局比賽結束.甲、乙兩隊進行一局排球比賽，已知甲隊發(fā)球時甲隊獲勝的概率為，乙隊發(fā)球時甲隊獲勝的概率為，且各次發(fā)球的勝負結果相互獨立.若此時甲、乙兩隊雙方比分為平，且甲隊擁有發(fā)球權，則甲隊得25分且取得該局比賽勝利的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記事件“甲隊得25分且取得該局比賽勝利”，事件“甲以25:22取得該局勝利”，“甲以25:23取得該局勝利”，因為各次發(fā)球的勝負結果相互獨立，且B，C互斥，所以，，所以，所以甲隊得25分且取得該局比賽勝利的概率為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下面是關于復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）A. B.C.z的共軛復數(shù)為 D.z的虛部為〖答案〗BCD〖解析〗由復數(shù)，則，所以A錯誤；因為，所以B正確；根據(jù)共軛復數(shù)的概念，可得復數(shù)的共軛復數(shù)為，所以C正確；根據(jù)復數(shù)的基本概念可得，復數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：BCD.10.如圖，已知點O為正六邊形的中心，下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因為點O為正六邊形ABCDEF的中心，，，所以，所以A正確；因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，B錯誤；設正六邊形邊長為1，，，所以，C正確；，，所以，D錯誤.故選：AC.11.盒子里有2個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，設事件A＝“兩個球顏色相同”，B＝“第1次取出的是紅球”，C＝“第2次取出的是紅球”，D＝“兩個球顏色不同”，則（）A.事件B與C互斥 B.事件A與D互為對立C.事件A與B相互獨立 D.事件C與D相互獨立〖答案〗BCD〖解析〗設2個紅球為，2個白球為，則樣本空間為：，共12個基本事件.事件A，共4個基本事件.事件B，共6個基本事件.事件C，共6個基本事件.事件D，共8個基本事件.對于A選項，因為，所以事件B與C不互斥，錯誤；對于B選項，因為，,所以事件A與D互為對立，正確；對于C選項，因為，，，則，故事件A與B相互獨立，正確；對于D選項，因為，，，則，故事件C與D相互獨立，正確.故選：BCD12.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，延長至D，則下列結論正確的是（）A.B.C.若，則周長的最大值為D.若，則面積的最大值為〖答案〗ABC〖解析〗，，解得，由，得，，，解得（舍）或，，，故A正確；，，，即，為等邊三角形，，故B正確；，，在中，由余弦定理，得，（當且僅當時取等號），解得，周長的最大值為，故C正確；設，則，，則當時，取得最大值，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，i為虛數(shù)單位，且，則__________.〖答案〗2〖解析〗由可得，解得，故.故〖答案〗為：214.設非零向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)______.〖答案〗〖解析〗由向量不平行，即，因為向量與平行，所以存在唯一的實數(shù)，使，即，則，解得.故〖答案〗為：15.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，，5，10，其中，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的標準差為___________．〖答案〗3〖解析〗由題意，可得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，所以，解得，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．所以該組數(shù)據(jù)的方差為，即標準差為3．故〖答案〗為：316.已知甲烷的化學式為，其結構式可看成一個正四面體，其中四個氫原子位于正四面體的四個頂點處，而碳原子恰好在這個正四面體的中心，碳原子與每個氫原子之間均有化學鍵相連，若我們把每個原子看成一個質(zhì)點，兩個氫原子之間的距離為1，則碳原子和氫原子之間的距離為______.〖答案〗〖解析〗甲烷分子中4個氫原子分別位于正四面體的4個頂點記為碳原子位于正四面體的中心，則為正四面體外接球的球心，相鄰的碳、氫原子間的距離為正四面體外接球的半徑，設為過做平面，垂足為，則為正三角形的中心，在上，連，由題意邊長為，所以，，所以，解得，即碳原子和氫原子之間的距離為.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.小穎的爸爸只有一張《阿凡達》的電影票，她和哥哥兩人都很想去觀看.哥哥想了一個辦法，他拿了8張撲克牌，將數(shù)字為2，3，5，9的四張牌給小穎，將數(shù)字為4，6，7，10的四張牌給自己，并按如下游戲規(guī)則進行：小穎和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小穎去；如果和為奇數(shù)，則哥哥去.（1）求小穎去看電影的概率；（2）這個游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由，若不公平，在小穎和哥哥所拿4張牌不變的情況下，如何修改游戲規(guī)則使其對雙方公平.解：（1）由題意畫樹狀圖:兩張牌的數(shù)字之和所對應16種結果分別為6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和為偶數(shù)的結果有6,8,12,10,12,16共6種，所以小穎去看電影的概率為；（2）哥哥設計的游戲規(guī)則不公平，因為小穎去看電影的概率為，哥哥去看電影的概率為，，此規(guī)則對哥哥更有利；因為在所拿牌不變的情況下，兩張牌的數(shù)字之和所對應16種結果分別為6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和為3的倍數(shù)的結果有8個，故可修改規(guī)則為：小穎和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為3的倍數(shù)，則小穎去；如果和不是3的倍數(shù)，則哥哥去.18.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，試求：（1）輪船D與觀測點B的距離；（2）救援船到達D點所需要的時間．解：（1）由題意可知：在中，，，則，由正弦定理得：，由，代入上式得：，輪船D與觀測點B的距離為海里.（2）在中，，，，由余弦定理得：，，，即該救援船到達點所需的時間小時.19.如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形所在平面互相垂直，Q為的中點.（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點N，使得平面平面，若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論，若不存在，請說明理由；（3）求二面角的正切值.（1）證明：正三角形中，為中點，故，因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，又底面，所以；（2）解：存在點N，當N為AB中點時，平面平面，證明如下：由（1）知：底面，又底面，所以，因為四邊形ABCD是正方形，Q為AD的