圓中的重要模型之圓塞定理模型

圓幕定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它

們推論的統(tǒng)一與歸納。可能是在19世紀由德國數(shù)學(xué)家施泰納(Steiner)或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷(Poncelet)

提出的。圓幕定理的用法:可以利用圓基定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。

模型1.相交弦模型

A

條件:在圓。中，弦AB與弦CD交于點E,點E在圓。內(nèi)。

結(jié)論:/XCAE?ABDE=著=題=EC?ED=EB?EA。

EBED

用］1(2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模)如圖，點A,在。。上，AC=BC,ZAGB=90°.若CD=4,

tanZCBD=:，則AD的長是

【分析】如圖，連接AB,設(shè)AD,BC交于點E,根據(jù)題意可得AB是。。的直徑，AADB=90°,設(shè)AC=館,

證明△CED?/\AEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，分別表示出AE,即,根據(jù)Rt/^ABC,勾

股定理求得m=4渥,根據(jù)AO=AE+ED即可求解.

【詳解】解:如圖,連接AB,設(shè)AD,BC交于點E,

NACB=90°/.AB是。。的直徑，NADB=90°,/tan/CBD=1,二嗯=(,

3L)D3

在Rt￡\DEB中，BE=NDE=D將=聞DE,

?：CD^Cb,：.4CBD=AACD,：.tanACAD=《,；.尊=；

JA。o???

設(shè)4。=館則=???AC=BC,=：.DE=^-BE=^^-m,

OO-LUOU

RtAACE中，AE=y/AC2+CE2=Jr?+佶nJ=^~rn,

：.AD=AE+ED=^^-m+^-m=^rVWm,'：DB=DB,：.ZECD=ZEAB,

3035

又2CED=/AEB,:.ACED?LAEB,.?.乎=半=匯=^U,-：CD=4：,：.AB=4VW,

ABAEVlSmVIo

3

AC—BC—m,AB—V2m,V2m=4V10，解得?n=4A/5,

AD-3A/10?72=x4A/K=8A/2,故答案為：8V2.

55

【點睛】本題考查了90°圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)

與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

四四（2023?山東濟寧一模）如圖,邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于。。，點D為AC上的動點（點A、。除

外），BD的延長線交?O于點H,連接CE.（1）求證△CED?ABAD；⑵當(dāng)DC=2AD時，求CE的長.

【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等可得/力=/E,再由對頂角相等得ABDA=NCDE,故可證明緒論;

⑵根據(jù)DC=2AD可得A。=2,CD=4,由△CED?ABAD可得出BD?DE=8,連接AE,可證明

△48。?△ER4,得出AB2=BD-BE^BD2+BD-BE,代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求出BD=2/7,從而可求出緒

論.

【詳解】⑴BC所對的圓周角是乙4,/E,J.NA=NE,又ZBDA=ZCDE,：.△CED?ABAD;

（2）；A4BC是等邊三角形，AAC=AB=BC=6

'：DC=2AD,：.AC—3AD,：.AD=2,DC=4,

???kCEDSBAD,：.等=%=轉(zhuǎn),:?備=野，:.BD.DE"

連接AE,如圖，?：AB=BC,：.AB^BC：.2BAC=ABEA,

又AABD=AEBA,/.4ABD~4EBA,：.冬=用，

BEAB

：.AB2=BD-BE=BD-(BD+DE)=BD2+BD-DE,

/.62=BD2+8,/.BD=277（負值舍去）熹=今7,解得，CE=夸/

47

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

吼昌（2023?江西宜春?統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考:九年級學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后,在家里突然看

到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面

是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等.

已知:如圖1,。。的兩弦AB相交于點P.求證：AP-BPnC尸-DP.

證明:如圖1,連接A。BD.

?：AC=ZB,ZA=zn./.△APC?ADPB,（根據(jù)）

Ap

荔=@,:.AP-BP=CP-DP,

兩條弦相交,被交點分成的兩條線段的積相等.

任務(wù)：（1）請將上述證明過程補充完整.根據(jù)：；?：.

⑵小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,AB是。。的弦，P是上一點,AB=10cm,PA=4cm,OP=

5cm，求。O的半徑.

【答案】（1）有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；器；（2）7cm

【分析】⑴根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）延長OP交圓O于點。，延長PO交圓。于點F,

設(shè)圓O的半徑為rem,則PF=（5+r）cm,PD—（r—5）cm,根據(jù)（1）中結(jié)論代入求解即可.

【詳解】⑴連接A。，8DvZC=ZB,ZA=ZD.

???XAPC?/XDPB,（有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）

.AP^CP

???AP?BP=CP?DP,?,?兩條弦相交,被交點分成的兩條線段的積相等.

DP-BP

故答案為：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；

（2）延長OP交圓O于點。，延長PO交圓O于點???

F

設(shè)圓O的半徑為rem,則PF=（5+r）cm,PD=（r—5）cm,

根據(jù)（1）中結(jié)論得APBP=DPFP,即為4x（10—4）=（『+5）（,一5）,

解得：7或『=—7（不符合題意，舍去），。O的半徑為7cm.

【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運用圓的相交弦

定理是解題關(guān)鍵.

條件:如圖，割線CH與弦CF交圓。于點E和點G。

結(jié)論:△CEG?4CHF。號=畀=>EC-FC=GC-HC

G/jOr

刷4（2023?遼寧葫蘆島?一模）己知：如圖，PAB、PCD是OO的割線，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.則

PD=cm.

吼包（2023?四川成者B?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，PAB為。。的割線，且=AB=3,P。交OO于點C,

若PC=2,則③。的半徑的長為

B

【分析】延長PO交圓于點。，連接AC、BD,由圓內(nèi)接四邊形內(nèi)對角互補性質(zhì)可得ZB+乙4cD=180°,

結(jié)合鄰補角互補可得乙4cp=/B,繼而證明APAC?AFDB,由相似三角形對應(yīng)邊成比例解得篝=

器，由此計算PD=9,最后根據(jù)線段的和差解題即可.

【詳解】如圖，延長PO交圓于點。，連接AC.BD,

四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，ZB+乙4co=180°.

AACD+NACP=180°,NACP=NB,；NP=NP,：.APAC-"DB,

pA

.?赍=器,.?.PDX2=3X6,PD=9,

?.?CD+PC=PD,.?.CD=9—2=7,.?.半徑為《■，故答案為：

【點睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知

識是解題關(guān)鍵.

（16（2022?河南洛陽?統(tǒng)考一模）我們知道,直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.當(dāng)直線與圓有兩個

公共點（即直線與圓相交）時,這條直線就叫做圓的割線.割線也有一些相關(guān)的定理.比如,割線定理:從

圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.下面給出了不完整的定理“證

明一”，請補充完整.

已知:如圖①，過。。外一點P作?。的兩條割線，一條交?。于點，另一條交OO于C、。點.

求證：PA-PB^PC-PD.

證明一:連接40、

???乙4和/C為互力所對的圓周角，.

又,/，,.

即PA-PB=PCPD

研究后發(fā)現(xiàn),如圖②，如果連接A。、6D,即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形ABDC.那么或許割線定理也

可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明.請根據(jù)提示，獨立完成證明二.

證明二:連接力

【答案】證明一：=?△CBP,需=偌;證明二見解析

JDJr

【分析】（1）證明△ADP?△CBP即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得ZPBD=AACD，進一步證明A4CP?△DBF

【詳解】解:證明一:連接A。、BC,

?/乙4和/。為⑥所對的圓周角，/.ZA=ZC.

Apr）p

%??,4P=4P,：,4ADP?/\CBP,：,帶=/.即PA?PB=PC?PD.

C/lJLJ1

故答案為：=?△08。，餐=需，

1D1

證明二：連接AC、BD,

?.?四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，J.NABD+AACD=180°,

又?/NABD+APBD=180°,NPBD=AACD,

又：4P=4P,MACP?2BP,：.罌=黑，即PA-PB=PC-PD.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

模型3.切割線模型

條件:如圖，CB是圓。的切線，。4是圓。的割線。

結(jié)論:ACBD?4CAB=%=次=>CB~=CD>CA

GA.CB

的7（2023?江蘇南通?中考模擬）如圖，已知PA是。。的切線，A為切點，PC與QO相交于B.。兩點，PB

=2cm,_BC=8cm,則P4的長等于()

C.20cmD.2V5cm

【答案】。

【分析】根據(jù)已知得到PC的長，再根據(jù)切割線定理即可求得P4的長

【詳解】解：???PB=2cm,BC=8cm,.?.PC=10cm,

?：P^=PB-PC=20,.?.「＞1=2述,故選。.

【點睛】本題是對圓知識的綜合考查，熟練掌握圓及相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

吼芻（2023?河南鄭州?一模）復(fù)習(xí)鞏固，切線:直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條

直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

割線:直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.

切線長:過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

閱讀材料:《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平

面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓

基定理（切割線定理）內(nèi)容如下：

切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完

整，并寫出證明過程.

已知:如圖，A是。。外一點，.

【答案】是＜30的切線，直線4CD為OO的割線，482=見解析

【分析】按照題設(shè)要求，寫出“已知”和“求證”，然后證明△ABC?△4DB,即可求解.

【詳解】解：（已知:如圖，A是＜30外一點，是。。的切線，直線ACD為。。的割線.

求證：AB2=AC-AD.

故答案為：AB是OO的切線，直線ACD為OO的割線，AB2=4C?AD,

證明:連接BD,連接BO并延長交。。于點E,連接CE,

「AB是。。的切線，/ABC+/CBE=90°,「BE是圓的直徑，，NBCE=96°=4E+NCBE,

：.ZABC=2E,而2E=ACDB,：.ZABC=NBDC,

ABAC=/DAB,/.△ABC?/\ADB,：.￥=芋，二AB2=AC-AD.

ADAB

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

畫2（2022.河南駐馬店.?？级＃┰跀?shù)學(xué)課上,當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時，張明同學(xué)突發(fā)奇想，特殊

線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》，這

本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，

被廣泛地認為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓塞定理（切割線定

理）內(nèi)容如下:切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長

比例中項.（比例中項的定義:如果a、b、c三個量成連比例即a:b=b:c,則b叫做a和c的比例中項）

（1）為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充

完整，并寫出證明過程.已知:如圖，4是圓。外一點是圓O的切線，直線ACD為圓。的割線.

求證:______

證明：

（2）已知AC=2,CD=4,則AB的長度是.

【答案】⑴AC-AD,證明見解析（2）273

（分析】（1）根據(jù)比例中項的定義寫出“求證”，連接并延長交0O于點E,連接BC,BD,CE,先根據(jù)

圓的切線的性質(zhì)可得BE_LAB,再根據(jù)圓周角定理可得/BCE=90°,/E=/ADB,從而可得乙4BC=

NADB,然后根據(jù)相似三角形的判定證出△ABC?4ADB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

（2）先根據(jù)線段和差求出AD=6,再根據(jù)⑴的結(jié)論即可得.

【詳解】⑴求證：AB2^AC-AD.

證明：如圖，連接BO并延長交。。于點E,連接BC,BD,CE,

?.?AB是?O的切線，：.BE_LAB,：./ABC+/EEC=90°,

由圓周角定理得：ZBCE=90°,NE=NADB,

：.NADB+NEBC=NE+NEBC=90°,NABC=NADB,

UABC^AADB

在△ABC和△ADB中

[ABAC=ZDAB'

△ABC?/\ADB,/.￥=乎，AC-AD.

ADAB

⑵解：?.?AC=2,CD=4,：.AD=AC+CD=6,

由（1）已證：AB2=AC-AD,/.AB2=2X6=12,

解得AB=2遍或AB=-2V3<0（不符題意，舍去），故答案為：2小.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)和

圓周角定理是解題關(guān)鍵.

模型4.弦切角模型

條件:如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。

結(jié)論:1）ACBL>?△CAB=>祟=弟=>CB2=CD-CA；

CAGB

2）AGBL>?ABAD=>里=累=>BD1-AD-CD；?△CAB=>等=粵=>BA2=

'ADBD'CABA

AD-AC.

幽（2023?河南三門峽?統(tǒng)考二模）小銳同學(xué)是一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個課

本上沒有的與圓相關(guān)的角——弦切角（弦切角的定義:把頂點在圓上,一邊與圓相切，另一邊和圓相交的

角叫做弦切角），并嘗試用所學(xué)的知識研究弦切角的有關(guān)性質(zhì).

（1）如圖，直線4B與。。相切于。點，。,后為。。上不同于。的兩點，連接CE,DE,CD.請你寫出圖

中的兩個弦切角；（不添加新的字母和線段）

⑵小銳目測/DCB和/DEC可能相等,并通過測量的方法驗證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的

方法證明結(jié)論的正確性嗎？

已知:如圖，直線AB與。。相切于。點，D,E為圓上不同于。的兩點，連接CE,DE,CD.

求證：ZDEC.（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理

【答案】（1）/OCB,2ECB,ADCA,/ECA（任意寫出兩個即可）；⑵見解析；（3）弦切角等于它所夾的弧

所對的圓周危

【分析】（1）根據(jù)弦切角的定義加以識別即可；（2）過點C作直徑CF,連接DF,借助于同弧所對的圓周角

???

相等，將/DEC轉(zhuǎn)化為/F,所以只需證乙DCB=/F即可.（3）由題意可歸納：弦切角等于它所夾的弧

所對的圓周角.

【詳解】解：（1）弦CD、。右分別與切線CB構(gòu)成的弦切角為：/DCB,AECB-,

弦CD、CE分別與切線。4構(gòu)成的弦切角為：ADCA,AECA.

故答案為：ADCB,NECB,ZDCA,/EC4（任意寫2個即可）

（2）證明：過。作直徑CF,連接DF.

CF是。。直徑，4FDC=90°.AZF+4FCD=90°.

又AB與。。相切于點。，/.FC±AB.：.AFCD+ADCB=90°.AADCB=NF.

■：CD^Cb,/.NF=AGED.：.ADCB=AGED.

（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理及推論、直角三角形的兩銳角互余等知識點，熟知上述圖

形的相關(guān)性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，對新定義的理解及問題的概括能力是關(guān)鍵.

血111（2023?河南洛陽?統(tǒng)考三模）人類會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國的墨子給出圓

的概念：“圓，一中同長也.”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比古希臘數(shù)學(xué)家

歐幾里得給圓下的定義要早100多年.與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我們把頂點

在圓上，一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對

的圓周角度數(shù).

圖I092

（1）如圖1,48是。。的切線.點在。。上.求證：乙4。。=/。48；（2）如圖2,CE是。。的切

線.連接AE交。。于點。，AB為。。的直徑.若CELAD,BC=2,。。的半徑為5,求DE的長.

【答案】（1）詳見解析⑵DE=m

［分析】（1）連接AO,并延長交。。于點連接CM,先證明ACMA=/CAB,再根據(jù)同弧或等弧所對

的圓周角相等得出NADC=ZCMA，即可證明ZADC=/CAB;⑵連接AC,CD,證明ABAC=

/CAE,得出BC=CD=2,證明的國?ABAC,得出祟=銬，即寫=條，求出結(jié)果即可.

AID210

【詳解】（1）證明：如圖，連接AO,并延長交?O于點河，連接CA1,如圖所示：

M

?.?AM是。。的直徑，ZAC7W=90°,/.ZCM4+ZMAC=90°,

AB是OO的切線，/.AMAB=90°，二4MAe+ACAB=90°,二ACMA=ACAB,

■：AC=公AADC^4cMA,：.AADC^ACAB.

（2）解:連接AC,CD,如圖所示：

AB是。。的直徑，ZACS=90°,A/B+/?4C=90°,是。。的切線，ZOCE=90°,

-：CE±AD,：.乙4￡&=乙4cB=90°,二乙4CE+/CAE=90°,

與（1）同理可得，NACE=NB,4DCE=4CAE,：.2BAC=ZCAE,：.BC=CD=2,

?：ZDCE=ABAC,ZACB=ZCED=90°，二/\DCE?"AC,：.粵=筆,

BCA.B

?.?AB=10,BC=CD=2,:.野=磊,:.DE=?.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，直徑所對的圓周角為直

角，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.

網(wǎng)］12（2023?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期中）定義:頂點在圓上，一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

如圖1,4。為。。的切線，點4為切點，AB為。。內(nèi)一條弦，/CAB即為弦切角.

⑴古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著,全書共13卷，以第1卷的23個定義、5

個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點,給出了119個定義和465個命題及證明.第三卷中命題32一弦切角

定理的內(nèi)容是:“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角

度數(shù)

如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整,并寫出“證明”過程.

已知:如圖2,AC為。O的切線，點A為切點，AB為。。內(nèi)一條弦，點。在。。上，連接OB,BD,

AD.ABDA.證明：

（2）如圖3,AB為。。的切線，A為切點，點。是。。上一動點，過點。作CDLAB于點。，CD交?O

于瓦連接OE,OC,AE.若人。=10,AE=2。,求弦CE的長.

【答案】⑴見解析（2）21

【分析】⑴如圖2,延長AD交。。于E,連接BE,根據(jù)圓周角定理得到NABE=90°,求得ZE+NBAS

=90°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。/4石=90°,求得/。43+/歷出=90°,于是得到結(jié)論；（2）如?圖3M,連接

AC,根據(jù)勾股定理得到DE=VAB2-AL>2=4,據(jù)切線的性質(zhì)得到ADAE=,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：求證：NCAB=-j-ZAOB=AADB,

證明：如圖2,延長A。交OO于E,連接BE,

?/AE是?。的直徑，NABE=90°，:.NE+ABAE=90°,

?/AC為。。的切線，2CAE=90°,NCAB+ZBAE=90°,

ACAB=AE,：.ND=NE=^NAOB,：.ZCAB=^-ZAOB=AADB-,即ABAC=ABDA;

（2）如圖3,連接AC,???，￡>_LAB,/ADE=90°,DE=J-AD2=4,

；AB為。。的切線，NDAE=ADCA,VAADE=ZCDA,：.△ADE?ACDA,

.A。_DE,1。_4.「pi_"

"CD~DA'"4+CE^W"-,

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

模型5.托勒密定理模型

條件:如圖，AB、CD是圓。的兩條弦；結(jié)論：AB-CD+AD-BC-AC-BD

血］13（2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料,并完成相應(yīng)任務(wù):托勒密（Ptolemy）（公元90年~公

元168年）,希臘著名的天文學(xué)家，他的著作《天文學(xué)大成》被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時把它叫

作《數(shù)學(xué)文集》,托勒密從書中摘出并加以完善,得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

托勒密定理:圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.

已知:如圖1,四邊形4BCD內(nèi)接于。O.求證：+=

圖2

下面是該結(jié)論的證明過程：

證明:如圖2,作/BAB=/CAD,交BD于點E.

?：AD=AD：./ABE=/ACD(依據(jù)1)

.?.△ABE?AACD(依據(jù)2):.袈=輯:.AB?CD=AC?BE

■：AB=AB/.AACB=/ADE

/BAE=ACAD/.NBAE+/EAC=ACAD+NEAC

即4BAC=NEAD：.△ABC?4AED

：.AD-BC=AC-ED：.AB-CD+AD-BC=AC■(BE+ED)

：.AB-CD+AD-BC=AC-BD

任務(wù)：(1)上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：______.依據(jù)2：______.

⑵如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于。。，力。為。O的直徑，4D=5,tan/ACB=1■，點。為Wd的中點,

求BD的長.

A

圖3

【答案】（1）同弧所對的圓周角相等，兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；⑵BD=7

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，相似三角形的判定即可解決問題.

（2）首先證明人。=52，由托勒密定理，構(gòu)建方程求出即可.

【詳解】解：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是同弧所對的圓周角相等.

“依據(jù)2”是兩角對應(yīng)相等的兩個三南形相似.

故答案為：同弧所對的圓周角相等；兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

（2）：47為0。的直徑，；.乙4BC=/ADC=90°,

?.?點D為衣的中點，.?.?=3,.?.CD=AD=5,在叢△力CD中，47=JZ西麗=

tanZACB=%在Rt/\ABC中，AB=3EBC=472

AB-CD+AD-BC^AC-BD：.3V2X5+5x472=572?BD,:.BD=7

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，托勒

密定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

網(wǎng)］14（2023?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角一

如圖①，四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，若==40°,則/.BCD=_°.

【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？

如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進行深入研究發(fā)現(xiàn)：AB-CD+BC-DA=AC-BD

證明:如圖③，作/BAE=NCAD,交BD于點、E.

■：ZBAE=2cADZABD=AACD,：.^ABE?^ACD,

，,,釜=需即=（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）

【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊外接圓OO,點P為百。上一點，且=求PA的長.

【答案】【舊知再現(xiàn)】互補，110;【問題創(chuàng)新】見解析;【應(yīng)用遷移】PA=《+1

【分析】【重溫舊知】根據(jù)圓周角定理，得出乙4。。=,優(yōu)角/AOC,化簡得出

乙4BC+/ADC=180°,利用等腰三角形的兩個底角相等和圓內(nèi)接四邊形對角互補，即可得/BCD=

110°;

【提出問題】所得等式兩邊加上ADvBC,右邊變形后即可得證；

【應(yīng)用遷移】由上題的結(jié)論,根據(jù)NABC為等邊三角形，可得AB=AC=BC,代入化簡即可求出P4的

長.

【詳解】（1）如圖示：

AABC+乙4。。=:乙4OC+,優(yōu)角乙40。=Jx360°=180°圓內(nèi)接四邊形的對角互補；

AB=BD,AABD=40°,A在等腰三角形ABD中，ABAD=180fB。=180°”°=7Qo

ABCD=180°-ABAD=180°-70°=110°

（2）證明：如圖，；ZBAE=ACAD：.ABAE+2CAE=ACAD+ACAE,即ABAC=/DAE,

又AACB=AADB,：.'ABC?AAED：.萼=條，即AD-BC^AC-DE

DE/AD

???AB^CD+AD^BC=AC?BE+AC?DE，工AB?CD+BC-DA=AC^BD,?fl

（3）由（2）可知+=?.?△48。是等邊三角形，；.人3=力。=3。，

；.（PB+PC）-BC=PA-BC,：.PB+PC=P4即PA=四+1.

【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

題目工（2023山東九年級課時練習(xí)）如圖48與圓。相切于4。是圓。內(nèi)一點，DB與圓相交于C.已知

【分析】連接BC并延長，交圓于F,過。作OE_LBF,連接AC,。4,AF,證明△ABO?/\FBA,則可得AB2

=進而求得。七=,，00=2,勾股定理求解即可.

【詳解】解:連接并延長，交圓于F,過。作OE_LBF,連接AGO4AF

?.?歷1是圓O的切線，切點為4,

AOAB=90°AOAC+ACAB=90°-AC^AC：.ZAOC=yZAFC

在△AOC中，OA=OC.?.ZAOC+2ZOAC=180°

則2乙4FC+2ZOAC=180°/.ZAFC+ZOAC=90°2AFC=NCAB

又/B=/B△ABC-/XFBA：.4f=駕AB2=BC-BF,

rJDAB

BC=DC=3,AB=6,BF=12,CF=9,：.DE=菅,OD=2,

OE=YOEP—DE，=J4-}乎,CE=%,

OC=VOE2-\-CE~=J.+=V22.故答案為：V22.

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，證明AB2=BaBF,是解題關(guān)鍵.

題目區(qū)（2022秋?浙江寧波?九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，過大圓上一點A作小圓的割線，交小圓于

B、C兩點,且圖中圓環(huán)的面積為4n，則AB-AC=.

B

【答案】4

【分析】設(shè)圓心為。，作AD與小圓相切，切點為河，與大圓交于點。，連接OM,根據(jù)勾股定理及題意得出

人兇2=4,過點O作ON±AC,連接OB,繼續(xù)利用勾股定理進行等量代換得出tM2—Qg2=人0.AB）即可

求解.

【詳解】解:設(shè)圓心為作AD與小圓相切，切點為Af,與大圓交于點。，連接OM,如圖所示：

迨j

D

：.OM±AD,AM2=O^-OM2,

22

?/KO^-KOM=4兀，AM=4,過點。作ON_LAC,連接OB,

222

AON?：O^-AN,ON?：OB-BN,

222

O^-AN=OB-BN,即04—0^2=AN'Z—BN』（AN+BN）（AN—BN）=AC-AB,

?.?04—032=04-0Al2=4^2=4,...AB.AC=4,故答案為：4.

【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，切線的性質(zhì)，垂徑定理等，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵.

題目（2023?重慶九年級期末）如圖，從圓外一點P引圓的切線P4點A為切點,割線PDB交?O于點

D、B.已知PA=12,PO=8,則0Ap=.

0.

P~yB

【答案】9:4

【分析】根據(jù)切割線定理，可求=18,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方

可求SAABP：S^nAP—PB~:PA,—9:4.

【詳解】由切割線定理可得PA2=PDxPB,

?：P4=12,PD=8,PB=18.由弦切角和公共角易知△ABP?AZZ4P.

2

SAABP：SADAP=PB:P&=9：4.故答案為9:4

【點睛】本題應(yīng)用了切割線定理和相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方.

,題目?（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，過點P引圓的兩條割線已43和96,分別交圓于點AB和G。，

連結(jié)AGBD,則在下列各比例式中，①嘿_=第；②5^=。^；③整=萼，成立的有（把你

認為成立的比例式的序號都填上）.

【答案】②③

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法得到，APAD?APCB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等從而

可得到答案.

【詳解】解：?.?四邊形4BCD是圓內(nèi)接四邊形，

ZPAD=2PCB,/PDA=NPBC,：.APAD?△PCB,

.PAPDAD.①旦1=及錯誤.②祖=絲正確.

"PC=PB=BC'"^PBPDPDPB用'

③連接AC,BD,?：ZP=ZP,APBD=APCA,：.APAC?4PDB,

.PA_AC.PA=界，正確；故答案為：②③.

PDBD'"ACJDU

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意到題目中的相似三角形是解

決本題的關(guān)鍵.

題目回（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測）四邊形ABDC內(nèi)接于圓,對角線交點為E,AB=AC=4,AE=2,若

BE、CE都是整數(shù),則BE的值為.

【答案】3或4

【分析】證明&ABD?ZVIEB,求出AD,從而得到DE,再證明△AEC?△BED,得到BECE=12,根據(jù)

BE,CE都是整數(shù)可得所有可能的取值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE,CE都是整數(shù)，從而得到DE的取

值.

【詳解】解：?.?AB=AC=4,AB=2,/ADB=NADC,

ZABC=AADC,NADB=/ABC,又ABAD=NBAE,：./\ABD?&AEB,

?/^.=且2即=-49=8"DE=6

"AEAB'?24"一，

?//CAE=ADBE,ZACE=ABDE,：.l\AEC?/\BED,?M

:.黑=需，即焉=卓，：.BE.CE=12,?:BE,CE都是整數(shù)，

BE,DEBE6

則BE和CE可取的值為3,4或2,6或1,12;

■：AB=AC=4：,：.BC<AB+AC=8,.?.30=3+4=7,

.?.BE的值為3或4,故答案為：3或4.

【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出適當(dāng)

的相似三角形得到線段關(guān)系.

題目回（2023?廣東珠海?統(tǒng)考一模）如圖，。。為正△ABC的外接圓，P為劣弧BC上任一點，CP的延長線

和的延長線交于點O.（1）求ZBPC；（2）求證：力。2=cp-8.

【答案】（1）120°（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補和△ABC為正三角形即可求出；（2）證明△PCB?AZBCD即可求

出.

【詳解】（1）解：：△ABC為正三角形，/.乙4=60°.

?.?四邊形ABPC為圓內(nèi)接四邊形，；.ABPC=180°-乙4=120°;

⑵證明：由⑴知，2BPC=120°,V/LDBC=180°-ZABC=120°,

又,：4PCB=/BCD,/.APCB?AZBCD.~=%則CF=CP-CD

CBCD

又1/CB^AC,/.4。2=CP-CD.

【點睛】本題考查圓與三角形的綜合問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用

這些知識是關(guān)鍵.

題目⑺（2023?廣東汕頭?校考一模）如圖，AB是。。的直徑，點C,。在。。上，AD平分/CAB,過點D

作AC的垂線交AC的延長線于點E,交力B的延長線于點F,連接

（1）求證：EF是。。的切線；（2）求證：（AB-AE）=AC?BF（3）若AB=10,AC=6,求AD的長.

【答案】（1）見解析⑵見解析（3）475

【分析】（1）連接OD,由題可知，。已經(jīng)是圓上一點，欲證EF為切線，只需證明/ODF=90°即可；

（2）連接CD.由（1）知/FDB+/ODB=90°,4B為G>O的直徑，由△FBD?ADCN得筆=雋，又

jTlO

△AED?/\ADB,所以4§-=，所以AL）2=A??AB,因為AB2=AD2+BD2,所以AB2=AE-AB+

ADA.B

力。即可證明AB-（AB-AE）=AC-BF-,

（3）連接BC,根據(jù)勾股定理求出BC,進而根據(jù)三角形的中位線定理可得的長，從而得。H的長.

【詳解】⑴如圖，連接OD

?/AD平分NCAB,：.Z.OAD=NEAD,：OD=OA,：.^ODA=/LOAD,

ZODA=READ,：.OD//AE,：.AODF=NE,

■：AE_LEF,：./F=90°,NODF=90°,/.半徑OD_LEF,EF是。。的切線；

(2)如圖，連接CD.?：AODF=90°,AFDB+NODB=90°,

???AB為。。的直徑，/.AADB=90°,/./DAB+ADBA=90°,

OD=OB,/.AOBD=AODB,：.AFDB=ADAB,■：ABAD=ACAD：.AFDB=ACAD,

?：A、B、。四點共圓，,ZFBD=ADCA,：.4FBD?^DCA,：.等=黑,

Oi-z

ACAD=4DAB,：.BD=CD,：.B?=AC-BF,

?：AEAD=ADAB,ZE=AADB=90°,；.AAED?△ADB,；.笫=第,/.AD2^AE-AB,

在RtZXADB中，AB2=>1D2+BD2,：.A^2=AE-AB+AC-BF,：.AB-(AB-AE)=AC-BF.

⑶如圖，連接BC,交OD于點、H.■：AB是。。的直徑，/.AACB=90°,

；AB=10,AC=6,BC=^AB2-AC2=V102-62=8,

■：CD=BD,：.OD±BC,：.CH=BH=^BC=x8=4,VOA=OB,：.OH=yAC=3,

AB=10,OD=OB=5,DH=OD-OH=5—3=2,

Blf=DH2+BH2^22+42=20,/.AC)2=AB2-BD2^102-20