中考壓軸題（一）與圓有關(guān)壓軸題

1.如圖，在[M中，AB所對的圓心角為120%已知圓的半徑為2cm,并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(1)求圓心M的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A,B.C三點(diǎn)的拋物線的解析式;

(3)點(diǎn)D是弦AB所對的優(yōu)弧上一動點(diǎn)，求四邊形ACBD的最大面積；

(4)在（2）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使4PAB和△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明

理由.y

［解］(1)如圖(1),連結(jié)MA,MB.

則J\MBi20L?./CMB=60、，/OBM=30\

OM=_MB1,.

2

(2)由A,B,C三點(diǎn)的特殊性與對稱性,V

知經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+c.

?；oc=MCMCk1,OB=VMB2_0M2=器,

/.C(0,-1),B(g0).

1

C=_1,a=-y=-x2u

33

(3)..S=ss，又鼠與AB均為定值,

+圖1

*四邊形ACBD△ABC△ABD,ABC,.,.

最大，此時點(diǎn)為

M與y軸的交點(diǎn)，如圖1.

二當(dāng)4ABD邊AB上的高最大時，SAABDDL

gSS11

0四邊形ACBD=°AABC4ABD=一+1='—_4^3cm2.

pMOC22

AB

（4）方法1：如圖2,4ABC為等腰三角形,二ABC=30%

-二6‘

BC

：,△ABCPAB等價于NPAB=30‘，PB=AB=2<3,PA=V3PB=6.

設(shè)P(x,y)且x>0,貝ijx=PA?cos3b_AO=3&一1上演，y=PA-sin30=3.

又；P（2曠3）的坐標(biāo)滿足y=[x2一，二在拋物線y=n2」上，存在點(diǎn)p（2/3）,使△ABCS/XPAB.

33X

由拋物線的對稱性，知點(diǎn)3）也符合題意..?.存在點(diǎn)P,它的坐標(biāo)為（2p,3）或3）.

方法2：

如圖（3）,當(dāng)Z\ABCPAB時，NPAB=/BAC=80,又由（1）知0IAB=30,

.?.點(diǎn)P在直線AM上.

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b,

k后,

將A（jyp）,M（a1）代入，解得/=「3直線AM的解析式為y=—

[b=1.3

y=丘+'

解方程組《3得P(03,3).

卜=1X2_〔

I3

又jtapPBx_3_r3,.」PBx交J.0P釗，5

'-2/3-73-V

.△ABCs匕PAB.

2

...在拋物線y=_ixw上，存在點(diǎn)P（2產(chǎn)3）,使△ABCS/^PAB.

3、

由拋物線的對稱性，知點(diǎn)3）也符合題意..?.存在點(diǎn)P,它的坐標(biāo)為（2陰，3）或（2。,3）.

方法3：

如圖3,3ABe為等腰三角形，且空=火，設(shè)P（x,y）則

圖3

BC

△ABCs/\PAB等價于PB=AB=2逐，PA=73AB=6.

當(dāng)X>0時，得j2+/=24解得p（2O3）.

《x^7^）/y2=6.

又P（2產(chǎn)），的坐標(biāo)滿足y=1x2］，.?.在拋物線y=，2_1上，存在點(diǎn)P（2/3）,使△ABCS^PAB.

3-3

由拋物線的對稱性，知點(diǎn)（-2^/3.3）也符合題意.二存在點(diǎn)P,它的坐標(biāo)為（2器,3）或（刃反，3）.

［點(diǎn)評］本題是一道綜合性很強(qiáng)也是傳統(tǒng)型的壓軸題，涉及了函數(shù)、方程、相似、圓等大量初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，解這

類問題要求學(xué)生必須穩(wěn)固的掌握各個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識，須注意的是在第4小問中涉及了相似三角形的問題，很有可能會有多解

的情況出現(xiàn)，此時就要求學(xué)生擁有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思想去探索結(jié)論的存在性。

2.（06湖南湘潭卷）已知：如圖，拋物線V__f9J_3的圖象與X軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C

33

點(diǎn)，M經(jīng)過原點(diǎn)O及點(diǎn)A,C,點(diǎn)D是劣弧OA上一■動點(diǎn)（D點(diǎn)與A,O不重合）.

（1）求拋物線的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）求［_M的面積；

（3）連CD交AO于點(diǎn)F,延長CD至G,使FG2二試探究當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到何處時，直線GA與M相切，「并請說明理由.

（2）連AC；，，電M過A,O,C,NAOC=90j.AC為［_O的直徑.

而|OA3,OC3=J:JSM

2

（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到OA的中點(diǎn)時，直線GA與口M相切

3

理由：在RtAACO中，OA=3,OC=?3Yan/ACO=F=/3.

F

AZACO=60lZCAO=3O3?.-點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)上AD=DO

:.ZACG=NDCO=3m.OF=OC曲n30c=1,ZCFO=60c

在4GAF中，AF=2,FG=2ZAFG=ZCFO=60,AGF為等邊三角形二NGAF=60

NCAG=NGAF+/CAO=90：又AC為直徑，二當(dāng)D為OA的中點(diǎn)時，GA為口M的切線

［點(diǎn)評］本題將拋物線與圓放在同一坐標(biāo)系中研究，因此數(shù)形結(jié)合的解題思想是不可缺少的，解第3小問時可以先自己

作圖來確定D點(diǎn)的位置。

3.（06湖南永州卷）如圖，以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的直徑AD交小圓于M,N兩點(diǎn)，大圓的弦AB切小圓

于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線CExAD,垂足為E,交大圓于F，H兩點(diǎn).

（1）試判斷線段AC與BC的大小關(guān)系，并說明理由.

（2）求證：FC［CH=AEJ\O.

（3）若FC，CH是方程x2一2底+4=0的兩根（CH>CF）,求圖中陰影部分圖形的周長.

［解］（1）相等.

連結(jié)℃,則COxAB,故AC=BC.

（2）由△ACHFCB,得ACqB=FC*H=AC2

又由△ACEsxAOC,得AC2=AE小O....FC［CH

H

（3）解方程得：CH=/5+1,CF=弗_1,CE=V§—gl）g,AC2=4,AC=2,

在RtaACE中，sinA=——=->.*NA=30o,.ZAOC=60“ZCON_120.

AC2

在△ACO中，CO=ACtanA=多西=2尸，

3一3"

AC4/~34r32rs2n3

AO=______=-V、AM=AO_OM=77=.V,

sin60C3333

弧CN長4基=國”，AN=AM_2002^,2.2>T_2產(chǎn),

-3，-3-9-一33"

lV3

陰影部分周長=AC+AN+CN=2+3/3+—僅允.

［點(diǎn)評］本題是比較傳統(tǒng)的兒何型綜合壓軸題，涉及圓、相似、三角等幾何重點(diǎn)知識。

4.(06遼寧卷)如圖，已知A(_l,0),E(5之2),以點(diǎn)A為圓心，以AO長為半徑的圓交x軸于另一點(diǎn)B,過點(diǎn)B作

2

BF〃AE交［_A于點(diǎn)F,直線FE交x軸于點(diǎn)C.

(1)求證：直線FC是|A的切線；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線FC的解析式；

(3)有一個半徑與LA的半徑相等，且圓心在x軸上運(yùn)動的LP.若LP與直線FC相交于M,N兩點(diǎn)，是否存在這樣

的點(diǎn)P,使△PMN是直角三角形.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

［解］(1)證明：連結(jié)AF

：AE〃BF1,N=N3,9=/2

又,：AB=AF；./3=N4-.Z—2

又，，AOAF,AEAE

I——

.-.△AOEAFE-.ZAFE=ZAOE=9&

?*.FC是LI。的切線.

(2)方法①由(1)知EF=0E=C

2

，，AE〃BF,.ACCE.OC+1CE,.

ABEF1/2

2

又**OE2+OC2=CE2,CE②

由①②解得OC=0(舍去)或OC=2,

..直線經(jīng)過［，/1C(2,0)兩點(diǎn)設(shè)的解析式:

JFCE!O2'FC

直線FC的解析式為yx=----------------.

42

方法②：；CF切LA于點(diǎn)F,AEQ=/EOC=90’

又ZCF=/℃E,ACOECFA,._OE_CO.T_00即CE29f

①

?*-AF_CF"1~^72—-2

p1/匚1----

2

又0E2+OC2CE2,.CE2=他上82

=②

由①②解得C00(舍去)或CO=2,'C(2,0)（求FC的解析式同上）.

ACCEOC_1CE。廣

方法③AE〃BF,.?.一=—:.------=-=/.CE=—CO+——①

ABEF17222

~2~

；'FC切［_A于點(diǎn)F,/.ZAFC=^COE=90/.ZACE=zOCE,；ACOE^ACFA

.QE__CO-.1_C。.CE②由??解得：CO_2,

（求FC的解析式同上）.

AFCF1CE_V_?2

2

(3)存在；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時，若JVIPN=60,過點(diǎn)P作PHj_MN于點(diǎn)H,

?：/MPN=90,PM=PN,.PH=PMxcos453

2

空

7AFIFC,-PH//AF,-ACPH^ACAF?空=史，；._2-CP

"AFCA13

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)P時，設(shè)MPN'''=90:過點(diǎn)P作PQ上MN于點(diǎn)Q,則PQ=

~2

二PQ=PH,可知P與P關(guān)于點(diǎn)C中心對稱，

根據(jù)對稱性得

.OP'PCQP，=4.3/2.P，j+,2.|

"-2"I2）

,存在這樣的點(diǎn)P,使得△PMN為直角三角形,

［點(diǎn)評］本題是一道綜合性很強(qiáng)的傳統(tǒng)型壓軸題，其難度比較恰當(dāng)，選拔功能較強(qiáng)，解第3小題時要注意分類討論，這

是本題最容易失分的地方

x

5.（06遼寧沈陽卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=+1分別與X軸，y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B.

3

（1）以AB為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC及△ABC的外接圓［］M（用尺規(guī)作圖，不要求寫作法，但要保留作

圖痕跡)；

(2)若［M與X軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)D,求A,B,C,D四點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)求經(jīng)過A,B,D三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△ADP的面積等于△ADC的

ZCAD=ZCAB-ZOAB=90°;點(diǎn)C的坐標(biāo)為32),連結(jié)BM

1

?,△ABC是等邊三角形.ZMBA_/ABC_30：.NOBM_ZOBA,ZMBA_90c

2

OB±BMOBMOBODOA1OD3ODD，廠6

...二直線是口.的切線二2=JL>T.-.普,?點(diǎn)的坐標(biāo)為標(biāo)3］

(3)設(shè)經(jīng)過A,B,D三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=a臼-口

I3

把B(01,)代入上式得.拋物線的解析式是y=

13

存在點(diǎn)P,使△ADP的面積等于△ADC的面積

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2石-、21,\；2石+=1,；

PP132,P2；32I

［點(diǎn)評］本題是一道綜合性很強(qiáng)的壓軸題，主要考杳二次函數(shù)、一次函數(shù)、圓、幾何作圖等大量知識，第3小題是比較

常規(guī)的結(jié)論存在性問題，運(yùn)用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想可解決。

6.已知：拋物線M:y=x2+(m_1)x+(m-2)與x軸相交于A(%,0),B(為，0)兩點(diǎn)，且&<X2.

(I)若XiX2<0,且m為正整數(shù)，求拋物線M的解析式；(II)若<1,4>1,求m的取值范圍；

(川)試判斷是否存在m,使經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的圓與y軸相切于點(diǎn)C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，試說

明理由;

-------------------------------------------------------------------------------------------------FT-----------------------

(IV)若直線I：y=kx+b過點(diǎn)F(0,7),與(I)中的拋物線M相交于P,Q兩點(diǎn)，且使_=」，求直線I的解析

FQ-2

式.

［解］(I)解法一：由題意得，x1x^m-2<0.解得，為正整數(shù)，m=1....y=X2_1,

解法二：由題意知，當(dāng)x=0時，y=02+(m_1)x0<m-2)<0.以下同解法一)

3)

解法三：'.,△=(m_1)2_4(m_2)=(m_3)2,...x=_1,N=2_01.

2

又','XiX2<0,.?.X2=2-m>0.Am<2.(以下同解法一.)

.(x+1)(x012)0,

解法四：令y=0，即x2+(m一1)x+(m-2)=0,…,-.(以下同解法三.)

?*-x1=-1電=2-m

II)解法

xx

7i當(dāng)>1，，*1一1<0,x2—1>o..{i-1)(x2-1)<0,

即為為一(5+x2)4-1&.

Vx1+x2=(m1-)x1x2=m2

.?.(m—2)+(mJ)+1<0.解得m的取值范圍是m上

解法二：由題意知，當(dāng)x=1時，

y1m1)m2)0m1m1

J+￡+_<解得：V.m的取值范圍是

解法三：由(I)的解法三、四知，Xi=_1,X2=2-m.

x2>1,.-.2-m>1,二m<1.，m的取值范圍是m<1.

(Ill)存在.

解法一：因?yàn)檫^A.B兩點(diǎn)的圓與y軸相切于點(diǎn)C(0,2),所以A,B兩點(diǎn)在y軸的同側(cè)，X2>0.

由切割線定理知，OC2=OA0B,即22邛川引.六內(nèi)4=4,

:.x/2=4..、m24.m6三

coccbm11m

解法二：連接OB,OC.圓心所在直線x=____--

2a22

1_ml1-ml

設(shè)直線x一與x軸交于點(diǎn)D,圓心為0：則0D'=OC=2,OCOD

2

AB

m-3|

VAB理_x,=J(m3)2=尸［BDBD

22

22

在R'tZXODB中：6DDB=

過P,Q分別向y軸引垂線，垂足分別為P2(0，%)，0(。y2),

則PP2“QQ2.所以△FP2Ps△FQ2Q.——=-

FQ2FQ

7必1?:.21_2(1)^X2_1.

...212yl25=2,或2一

y-

223-2X#=4-1.

y2-72

_'乙k*0+，b=，

當(dāng)x1-2時，點(diǎn)P(2,3).y直線I過P(2,3),F(0,7)Ai~解得《

I3"kx2+b.IK=-2.

當(dāng)Xi=-2時，點(diǎn)P(-2,3)v直線I過P(—2,3),F(07),

「7=k(L,心=，_

《一,解得」一故所求直線I的解析式為：y=2x+7,或丫=_2*+7.

?=kx(-2)1).,k=2.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B(2夜，0),A(m,<m<0),以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD,

點(diǎn)E是線段0D與正方形ABCD的外接圓除點(diǎn)D以外的另一個交點(diǎn)，連結(jié)BE與AD相交于點(diǎn)F.

(1)求證：BF=DO；

(2)設(shè)直線?是△BDO的邊B0的垂直平分線，且與BE相交于點(diǎn)G.若G是ABDO的外心，試求經(jīng)過B,F,O

三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使該點(diǎn)關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)在x軸上？若存在，求出所有這樣

的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

［解］(1)在AABF和△ADO中，

?/四邊形ABCD是正方形，AB=AD,ZBAF=ZDAO

又；2ABF=ZADO,.-2\ABFADO,

BF=DO.

(2)由(1),有△ABFgAAD。，'：AO=AF=m.

Fm

;G是△BDO的外心，...點(diǎn)G在DO的垂直平分線上.二點(diǎn)B也在DO的垂直平分線上.二△DBO為等腰三為形,

BO=BD=JAB.

而|BO|=2。AB=\-2f2-vn=22-2、廠=點(diǎn)？f用，）甲.222.?

設(shè)經(jīng)過B,F,0三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式為y=ax2+b價cp=0）

11?拋物線過點(diǎn)O(0,0),二C=0.二y=ax2+bx.

把點(diǎn)B(-2^/2,0),點(diǎn)F(2_22-272)的坐標(biāo)代入①中，得

0=(-2/g+(-2的_20b=0,a」，

(2即I廣u解得：一2

2-2sT=(-2$2a”2Vb.)?2&2戶拈=1.b=戊.

BEZOBD

（）假定在拋物線上存在一點(diǎn)「，使點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)'在x軸上.?;是的平分線,

；.x軸上的點(diǎn)P'關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)P必在直線BD上，即點(diǎn)P是拋物線與直線BD的交點(diǎn).

設(shè)直線BD的解析表達(dá)式為ykx+b,并設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)Q,則由△BOQ是等腰直角三角形.

一.y

,|OQ|=|OB....Q（0,_2向.?

把點(diǎn)B（_2隹0）,點(diǎn)Q（0,_2械伏入y=心b中，得\

‘0=_2/h-1,

-2&=b.2點(diǎn)

二直線BD的解析表達(dá)式為y=-x-2V2.

設(shè)點(diǎn)P（x，y）則有y=℃_2了

:——%?+（yjz.4）y）+。即x02+百m+1%+44m.=

2

x

（x0+2^Xo+2）=0.解得x0=_2方或x（）=-2.

當(dāng)x=_2/時，y=_x_242/。；當(dāng)X。=_2時，y=_x_2^222._J-

0000

，在拋物線上存在點(diǎn)P{-2夜，9，「6-2,2-2忘），它們關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)都在X軸上.

:W),直線上的函數(shù)表達(dá)式為y=_&x+_4戶，

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線11經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(0,

333

匕與I2相交于點(diǎn)P.OC是一個動圓,圓心C在直線I1上運(yùn)動,設(shè)圓心C的橫坐標(biāo)是a.過點(diǎn)C作CMJ.x軸，垂

足是點(diǎn)M.

(1)填空：直線11的函數(shù)表達(dá)式是,交點(diǎn)P的坐標(biāo)是,NFPB的度數(shù)是

(2)當(dāng)G)C和直線I2相切時，請證明點(diǎn)P到直線CM的距離等于。C的半徑R,并寫出R=321-2時a的值.

⑶當(dāng)。C和直線I2不相離時，已知。C的半徑R=3?一2,記四邊形NMOB的面積為S(其中點(diǎn)N是直線CM與

I2的交點(diǎn)).S是否存在最大值？若存在,求出這個最大值及此時a的值；若不存在，請說明理由.

22

［解］⑴y=—x+一時P。，⑼60o

(2)設(shè)。C和直線I2相切時的一種情況如圖甲所示,D是切點(diǎn)，連接CD,則CD±PD.

過點(diǎn)P作CM的垂線PG,垂足為G,貝I」Rt^CDP名RtzXPGC(NPCD=NCPG=30o,CP=PC),所以PG=CD=R.

當(dāng)點(diǎn)C在射線PA上，OC和直線匕相切時，同理可證.取R=3、’2-2時，a=1+區(qū)=必一1,

或a=-(R-1)=3-B2

(3)當(dāng)OC和直線匕不相離時，由化)知，分兩種情況討論:

4-5a+4^)］a--2^a2*v3a,

①如圖乙，當(dāng)OWaWS2T時，S

23336

S

_?3=-3=遍

最大

~一一

工一).

當(dāng)aX——3時,(滿足a<321),S有最大值.此時值(或

3223：

2()43)

66

顯

相陽

即

時

當(dāng)

②2盧a<OcM2a32

S最大.此時

J、

=--一

1233+-433

S[32一32

最

大值(3

232

綜合以上①和②，當(dāng)a3或a332時，存在S的最大值，其最大面積為

/=C=2

9.如圖1,已知RgABC中，CAB30,BC5.過點(diǎn)A作AE_LAB,且AE15,連接BE交AC于點(diǎn)P.

(1)求PA的長；LL

(2)以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作A,試判斷BE與A是否相切，并癩理由；L

(3)如圖2,過點(diǎn)C作CDJ.AE,垂足為D.以A為心，r為半徑作A；履點(diǎn)C為圓心，R為摩徑作C.若

和的大小是可變化的，并且在變化過程中保持和相切，且使點(diǎn)在A的內(nèi)部，點(diǎn)在A的外部，求

rRAcDB

r和R的變化范圍.

闡⑴?.?在R3ABC中，NCAB=30，，BC￡，:.AC=2BG=10.

31015

，，AE〃BC,.△APE^ACPB..PA:PCAE:BC3:1.PA:AC3:4PA*

42

(2)BE與1A相切.?在Rtz\ABE中，AB=5W，AE=15,

AE15-.

tanzABE=一=—^=事，：2ABE=60c.

AB5?3

又,；ZPAB=30c,r.ZABE+ZPAB=90(,.-.ZAPB=90'):BE?￡A相切.

(3)因?yàn)锳D=5,AB=5#*,所以r的變化范圍為5r<<5f.

當(dāng)［A與［C外切時，R+r=10,所以R的變化范圍為10-5壽<R<5；

當(dāng)［A與［C內(nèi)切時，R_r=10,所以R的變化范圍為15<R<1O5j.

［點(diǎn)評］本題是一道比較傳統(tǒng)的幾何綜合題，第1題運(yùn)用相似三角形知識即可得解，第2小題也較基礎(chǔ)，第3小題注意要

分類，試題中只說明了“1A和UC相切”，很多同學(xué)漏解往往是由于沒有仔細(xì)讀題和審題。

8,(06江蘇宿遷課改卷)設(shè)邊長為2a的正方形的中心A在直線I上，它的一組對邊垂直于直線I,半徑為r的。。的

圓心O在直線I上運(yùn)動，點(diǎn)A、O間距離為d.

(1)如圖①，當(dāng)r<a時，根據(jù)d與a、i?之間關(guān)系，將。O與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)填入下表：

d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個數(shù)

d>a+r

d=a+r

a—r<d<a+r

d=a-r

圖①

d<a-r

所以，當(dāng)r<a時，。0與正方形的公共點(diǎn)的個數(shù)可能有玲；

2)如圖②，當(dāng)r=a時，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)填入下表：

d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個數(shù)

d>a+r

d=a+r

A

a<d<a+r

d<a圖②

所以，當(dāng)r=a時，與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有個；

5

(3)如圖③，當(dāng)。。與正方形有5個公共點(diǎn)時，試說明=.a;

4

圖③

(4)就r>a的情形，請你仿照“當(dāng)……時，?O與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有

---------------個”的形式，至少給出一個關(guān)于O與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)”的正確結(jié)論.

d、a、r之間關(guān)系公先點(diǎn)的個數(shù)

d>a+rn

d=a+r1

a-r<d<a+r2

d=A-r1

d<A-r------------0---------

所以，當(dāng)r<a時，。。與正方形的公共點(diǎn)的個數(shù)可能有0、1、2個;

<2)

d、a、r：間關(guān)系公共點(diǎn)的個數(shù)

d>A+r0

d=a+r1

H<a+r2

d<a4

所以，當(dāng)r=a時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、4個;

(3)方法一：如圖所示，連結(jié)OC則OE=OC=r,OF=EF-OE=2a-r.

在R3OCF中，由勾股定理得：

OF2+FC2=OCP

即(2a-r)2+a2=r2

222

4群-4ar+r+a=rA0\

2

5a=4ar

5a=4r

5c

r=-a.

4

方法二：如圖，連結(jié)BD、OE、BE、DE.

???四邊形BCMN為正方形

??.NC=NM=NN=90°

???BD為。O的直徑，ZBED=90°

???NBEN+NDEM=90°

M

VZBEN+NEBN=90°Dc

AZDEM=ZEBN…

BNK1EM1

/.△BNE^AEMD*._________ADM=_a

l一25

由OE是梯形BDMN的中位線得OE=JBN+MD)=a.

24

5

(4)①當(dāng)aVr<_a時，0O與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、4、6、7、8個；

4

5

②當(dāng)r=a時，與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、5、8個；

5~4

③當(dāng)_a.r,產(chǎn)時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、3、4、6、8個；

4'''

④當(dāng)r=J2a時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、3、4個；

⑤當(dāng)r>a時，oo與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、3、4個.

［點(diǎn)評］本題是一道較為新穎的幾何壓軸題，考查圓、相似、正方形等幾何知識，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，試題的區(qū)

分度把握非常得當(dāng)，是一道很不錯的壓軸題。

9.(06山東棗莊課改卷)半徑為2.5的(DO中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P.己知BC：CA=4:3,點(diǎn)P在

AB上運(yùn)動，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)O

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長;

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動AB到的中點(diǎn)時，求CQ的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長.

(備用圖)

［解］(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，CP1_AB,設(shè)垂足為D.

TAB為0O的直徑，AZACB=90°.

/.AB=5,AC:CA=4:3,/.BC=4,AC=3.

又：AC-BC=AB?CD

12

...CD一，PCR

55

在Rtz\ACB和RtAPCQ中，

ZACB=ZPCQ=90°,ZCAB