作圖復(fù)雜作圖

42.(2023?蘭州)我國古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法.如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：

先樹一表東方：操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉.日直入，又樹一表于東方，因西方之表，以參望日方

入北康，則定東方兩表之中與西方之表，則東西也.”如圖，用幾何語言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一

定點。，過點。作直線與a平行.(1)以。為圓心，單位長為半徑作圓，交直線。于點"，N；(2)分別在

的延長線及ON上取點4,B,使O4=0B；(3)連接48,取其中點C,過O,C兩點確定直線b,則直線?！?/p>

b.按以上作圖順序，若4MNO=35：貝l」//OC=()

A.35°B.30°C.25°D.20°

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求解.

【解答】解：由作圖得：a//h,

ZCON=ZMNO=35°,

"：OA=OB,C平分

平分NNON,

AZAOC=ZCON=35°,

故選：A.

【點評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是截圖的關(guān)鍵.

作圖復(fù)雜作圖

38.(2023?連云港)如圖，在△Z8C中，AB=AC,以N8為直徑的交邊力C于點Q,連接8。，過點。作CE〃

AB.

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點8作OO的切線，交CE于點個(不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字

母)

【考點】作圖復(fù)雜作圖；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理：切線的判定與性質(zhì).

【分析】(1)過8作的垂線即為過點B的的切線；

(2)EtlAB=AC,AB//CE,可得而點。在以為直徑的圓上，8尸為的切線，可得N

BDC=NBFC,即可證明灰而BD=BF.

過5作8尸，交.CE與F,直線8尸即為所求直線;

(2)證明："：AB=AC,

：.NABC=NACB,

'：AB//CE,

：.NABC=NBCF,

：.ZBCF=ZACB,

?.?點。在以為直徑的圓上，

:.N4DB=9Q°,

:.NBDC=90°,

???8尸為。。的切線，

AZABF=90°,

"：AB//CE,

：.ZBFC+ZABF=\SO°,

:.NBFC=9Q°,

二NBDC=NBFC,

在△SCO和△BC/中，

ZBDC=ZBFC

乙DCB=4FCB,

BC=BC

:.△BCDQXBCF（AAS）,

：.BD=BF.

【點評】本題考查作圓的切線和全等三角形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖，能熟練運用三角形全等的判

定定理.

作圖復(fù)雜作圖

47.（2023?河北）綜合實踐課上，嘉嘉畫出△48。，利用尺規(guī)作圖找一點C,使得四邊形N8CZ）為平行四邊形.（1）?

（3）是其作圖過程.

（1）作8。的垂直平分線交BD于點。

（2）連接/。，在/。的延長線上截取0c=4。

（3）連接。C,BC,則四邊形即為所求.

在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形N8C。為平行四邊形的條件是（）

A.兩組對邊分別平行B.兩組對邊分別相等

C.對角線互相平分D.一組對邊平行且相等

【答案】C

【分析】根據(jù)：“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證明.

【解答】解：由作圖得：DO=BO,AO^CO,

四邊形ABCD為平行四邊形，

故選：C.

【點評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

作圖復(fù)雜作圖

45.（2023?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形N8C內(nèi)接于圓，且頂點48均在格點

上.

（1）線段Z8的長為_g_:

（2）若點。在圓上，與CZ）相交于點P,請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點。，使△CP。為

等邊三角形，并簡要說明點。的位置是如何找到的（不要求證明）取ZC,42與網(wǎng)格線的交點￡,F,連接

￡尸并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接與網(wǎng)格線相交于點〃，連接〃F并延長與網(wǎng)格線相交于點/,連接4并

延長與圓相交于點K,連接CK并延長與

G8的延長線相交于點0,則點。即為所求.

【答案】(1)V29；

(2)取/C,與網(wǎng)格線的交點E,F,連接E尸并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接。8與網(wǎng)格線相交于點H,

連接HF并延長與網(wǎng)格線相交于點I,連接AI并延長與圓相交于點K,連接CK并延長與GB的延長線相交于點

Q,則點。即為所求.

【分析】(1)利用勾股定理求解即可.

【解答】解：(1)AB=V22+52=V29.

故答案為：V29;

(2)如圖，點。即為所求;

方法：取/C,與網(wǎng)格線的交點E,F,連接E尸并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接。8與網(wǎng)格線相交于點用

連接，尸并延長與網(wǎng)格線相交于點/，連接4并延長與圓相交于點K,連接CK并延長與G8的延長線相交于點

Q，則點。即為所求；

理由：可以證明NPC4=N0C8,ZCBQ=ZCAP=60a,

"：AC=CB,

:.△ACP/ABAQCASA),

ZACP=ZBCQ,CP=CQ,

：.ZPCQ=ZACB=60°,

...△PC。是等邊三角形.

故答案為：取/C,"8與網(wǎng)格線的交點E,F,連接E廠并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接。8與網(wǎng)格線相交于點

H,連接加■并延長與網(wǎng)格線相交于點/,連接4并延長與圓相交于點K,連接CK并延長與G8的延長線相交

于點。，則點。即為所求.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)造全等三角形解決問題.

作圖復(fù)雜作圖

44.（2023?廣東）如圖，在團中，ND4B=30°.

（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點。作“8邊上的高OE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，AD=4,AB=6,求8f的長.

【答案】（1）見作圖；（2）6-2V3.

【分析】（1）由基本作圖即可解決問題；

（2）由銳角的余弦求出4E的長，即可得到8E的長.

【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點；

Ap

（2）VcosZDJ5=^,

F5

???4E=AD?cos30°=4x^y=2V3,

:?BE=AB-AE=6-2同

【點評】本題考查基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握基本作圖，由銳角的余弦求出/￡的

長.

45.（2023?廣西）如圖，在△ZBC中，ZJ=30°,NB=90；

（1）在斜邊/C上求作線段/O,?AO=BC,連接。8；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字

母）

（2）若08=2,求的長.

【答案】（1）圖見解析；（2）AB=2V3.

【分析】（1）以/為圓心，8C長為半徑畫弧，交ZC于點O,則問題可求解；

（2）根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得/C=28C,則有OC=AO,進而問題可求解.

【解答】解：（1）所作線段40如圖所示：

C

(2)；/N=30°,N/8C=90°,

：.AC^2BC,

'：AO=BC,

：.AC=2AO,

：.OC=AO,即點。為ZC的中點，

?：OB=2,

.FC=2O8=4,

：.BC=2,

：.AB=>JAC2-OB2=2限

【點評】本題主?？疾楹?0度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握含30度直角三

角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

作圖復(fù)雜作圖

38.（2023?濱州）（I）已知線段機，n,求作RtA^BC,使得NC=90°,CA=m,CB=n-,（請用尺規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.（請借助上一小題所作圖形，在完善的基礎(chǔ)上，寫出已知、

求證與證明）

,m,

，n，

【答案】（1）見解答：

（2）見解答.

【分析】（1）先做直角，再截取做三角形；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明.

【解答】解：（1）如圖：即為所求；

（2）已知：RtZ\48C,NACB=90°,CD是Z8邊上的中線，

求證：CD=%B,

證明：延長CE到。，使得DE=CE,

:CZ）是N8邊上的中線，

：.BE=AE,

???四邊形ACBD是平行四邊形,

:?AB=CD,

:.CE=|cn=^AB.

.m

n

【點評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

39.（2023?廣元）如圖，將邊長為4的等邊三角形紙片沿邊8c上的高/￡）剪成兩個三角形，用這兩個三角形拼成

一個平行四邊形.

（1）畫出這個平行四邊形（畫出一種情況即可）；

（2）根據(jù)（1）中所畫平行四邊形求出兩條對角線長.

【答案】（1）見解析過程；

（2）如圖①，對角線42的長為4：如圖②，對角線4。=2H，BC=2屏如圖③，對角線80=2,NC=2內(nèi).

【分析】（1）由平行四邊形的判定可得；

（2）分三種情況討論，由勾股定理可求解.

【解答】解：（1）如圖①以48為對角線，如圖②以/。為對角線，如圖③以8。為對角線:

圖③

(2)；/8=/C=8C=4,AD1.BC,

：.BD=DC=2,

：.AD=2yf3,

如圖①所示：四邊形ZC8D是矩形，則其對角線48的長為4；

如圖②所示：AD=2^3,連接8C,過點C作CE_L8。于點￡,

則EC=2y/3,BE=2BD=4,

:.BC=2回

如圖③所示：過點/作交C8延長線于E,連接/C,

：.BD=2,

由題意可得：AE=2,EC=2BE=8,

：.AC=7AE2+EC2=-4+64=2V17,

【點評】本題考查了復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

40.（2023?陜西）如圖.已知角△/8C,N8=48°,請用尺規(guī)作圖法，在△/8C內(nèi)部求作一點尸.使P8=PC.且

/尸8C=24°.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】先作N/8c的平分線80,再作8c的垂直平分線/,直線/交8。于P點，則尸點滿足條件.

【解答】解：如圖，點。即為所求.

A

'C

L

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)

把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

作圖復(fù)雜作圖

17.（2023?湖北）已知正六邊形48CDE尸，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線

表示作圖過程，實線表示作圖結(jié)果）.

（1）在圖1中作出以8E為對角線的一個菱形

（2）在圖2中作出以BE為邊的一個菱形BEPQ.

【答案】（1）見解答;

（2）見解答.

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和正六邊形的性質(zhì)作圖;

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和正六邊形的性質(zhì)作圖.

【解答】解：如圖:

圖2

圖1'

（1）菱形8MEN即為所求;

（2）菱形8EP。即為所求.

【點評】本題考查了復(fù)雜作圖,掌握菱形的性質(zhì)和正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

作圖復(fù)雜作圖

44.（2023?綏化）已知：點P是。。外一點.

（1）尺規(guī)作圖：如圖，過點尸作出。。的兩條切線尸E,PF,切點分別為點￡點?（保留作圖痕跡，不要求寫作

法和證明）

（2）在（1）的條件下，若點。在OO上（點。不與E,F兩點重合），且NEPF=30°,求尸的度數(shù).

【答案】（1）見解答；

（2）75°或105°.

【分析】（1）連接OP,作。尸的垂直平分線得到OP的中點再以M點為圓心，跖4為半徑作圓交OO于點E、

F,則根據(jù)圓周角定理得到/OEP=NOEP=90°,從而可判斷PE,尸尸為O。的兩條切線；

（2）連接OE、OF,如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOEP=NOEP=90°,則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可計算出/EOF

=150°,當(dāng)點。在優(yōu)弧E尸上時，利用圓周角定理得到NEC尸=75°,當(dāng)點。'在弧E/上時，利用圓內(nèi)接四邊形

的性質(zhì)得到NED'F=105°.

【解答】解：(1)如圖，PE、尸尸為所作；

(2)連接OE、OF,如圖，

,:PE,PF為。O的兩條切線，

：.OELPE,OFVPF,

：.ZOEP=ZOFP=90°,

；./￡：。尸=180°-NEPF=180°-30°=150°,

當(dāng)點。在優(yōu)弧斯上時，ZEDF=^ZEOF=75°,

當(dāng)點。'在弧EF上時，ZED'尸=180°-Z￡Z)F=180°-75°=105°,

綜上所述，/EOF的度數(shù)為75°或105°.

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)

把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了圓周角定理和切線的判定與性質(zhì).

作圖復(fù)雜作圖

48.（2023?赤峰）已知：如圖，點”在/ZO8的邊。1上.

求作：射線MN,使MV〃O