復(fù)雜數(shù)陣圖

較復(fù)雜的數(shù)陣圖往往給人感覺可能性太多，不知道該怎么去試.而尋找特殊對(duì)象可以幫

助我們從紛繁復(fù)雜的條件中找到最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)進(jìn)行突破.那什么樣的對(duì)象在數(shù)陣圖中可以算

特殊呢？比如數(shù)陣圖要填的若干數(shù)中最大或者最小的就算特殊;奇偶性與別的數(shù)不同的也算

特殊;數(shù)陣圖中重?cái)?shù)最多或最少的空格也算特殊……一個(gè)對(duì)象只要有與眾不同的地方就是特

殊.至于什么樣的特殊對(duì)解題有用，那還得看題目本身.但只要你有一雙發(fā)現(xiàn)特殊的慧眼,

總可以找到那個(gè)對(duì)解題最有用的“特殊”.

例題1

請(qǐng)將1?10填入圖中的10個(gè)圓圈中（其中兩個(gè)

數(shù)已經(jīng)填好），使得除了第一行外每個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)都

等于與它相連的上方兩個(gè)圓圈內(nèi)的兩數(shù)之差.

「分析」根據(jù)已有的數(shù)字9,圖中哪兩個(gè)圓圈已經(jīng)可

以填出來了？剩下的數(shù)中，誰最特殊？

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練習(xí)1

請(qǐng)將1~8填入下圖的8個(gè)方格中，使得a、b、c、d四個(gè)方格中的

數(shù)，恰好等于它上方與之有公共邊的兩個(gè)方格中所填數(shù)的差.其中b

填7.那么"填幾？

接下來我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)一下數(shù)陣圖分析中與“重?cái)?shù)分析”有關(guān)的一些方法.在已知全部填

入數(shù)字的情況下，我們通常是把所有相同的和相加，通過對(duì)每一個(gè)數(shù)字的重復(fù)次數(shù)來找出其

中的特殊重?cái)?shù)，是解題的關(guān)鍵.

例題2

將1~9填入圖中的九個(gè)圓圈內(nèi)，使四條直線上三個(gè)圓圈內(nèi)所填

數(shù)之和都是15.

「分析」如果把四條直線的和加起來，每個(gè)圓圈各加了多少次？它

們的重?cái)?shù)一樣嗎？哪個(gè)圓圈的重?cái)?shù)比較特殊？這個(gè)重?cái)?shù)特殊的位置

必須填幾？

練習(xí)2

把1~8這八個(gè)數(shù)填入下邊的圓圈內(nèi)，使得每條直線上

的數(shù)之和都等于14.

例題3

把1~7這七個(gè)數(shù)填入下圖中的方框中，使得每條直線上的三個(gè)

數(shù)之和都相等.如果中心方框內(nèi)填的數(shù)相等，那么就視為同一種填

法.請(qǐng)?zhí)畛鏊械目赡苄?

「分析」如果把三條直線的和加起來，每個(gè)方框各加了多少次？它

們的重?cái)?shù)一樣嗎？哪個(gè)方框的重?cái)?shù)比較特殊？這個(gè)重?cái)?shù)特殊的位

置可以填幾？有幾種可能？

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練習(xí)3

把1~9這九個(gè)數(shù)填入圖中的圓圈內(nèi)，使得三條直線上

的所有數(shù)之和都是相等.請(qǐng)至少填出兩種情況.

例題4

將數(shù)字1,2,3,4,5,6,7填入圖中的小圓圈內(nèi)，使得每個(gè)

圓周上的3個(gè)數(shù)之和與每條直線上的3個(gè)數(shù)之和都相等.

「分析」如果把兩個(gè)圓周的和與三條直線的和加起來，每個(gè)圓

圈各加了多少次？它們的重?cái)?shù)一樣嗎？哪個(gè)圓圈的重?cái)?shù)比較特殊？

這個(gè)重?cái)?shù)特殊的位置必須填幾?

練習(xí)4

如圖所示，將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9填入圖中的

小圓圈內(nèi)，使得圓周上的4個(gè)數(shù)之和與每條直線上的3個(gè)數(shù)之和

都相等，那么這個(gè)和是多少？

前面幾個(gè)例題只有一個(gè)特殊格，那么接下來我們來看一下有多個(gè)特殊格、多個(gè)重?cái)?shù)的題

目.

例題5

圖中一共有10個(gè)方格，現(xiàn)在把10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)填

到里面（9是這10個(gè)自然數(shù)中第三大的），每個(gè)方格填一

個(gè).如果要求圖中的3個(gè)2x2的正方形中的4個(gè)數(shù)加起

來的和都相等，那么這個(gè)和最小可能是多少？請(qǐng)給出一種

填法.

「分析」如果把三個(gè)正方形“加起來”，共12個(gè)數(shù)相加，相當(dāng)于把每個(gè)方格各加了幾次?

由此你能得到什么結(jié)論?

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例題6

下圖中有三個(gè)圓環(huán)，將1?8填入圖中的8個(gè)圓圈內(nèi)，使

得每個(gè)圓環(huán)上4個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和都相等.那么這個(gè)和最大

可能是多少？請(qǐng)給出一種填法.

「分析」把三個(gè)圓周和加起來，圖中的8個(gè)。有幾種不同的

重?cái)?shù)？由此你能得到什么結(jié)論？

課堂內(nèi)外

陣

中國(guó)古代作戰(zhàn)是非常講究陣法即作戰(zhàn)隊(duì)形的，稱之為“布陣”.布陣得法就能充分發(fā)揮

軍隊(duì)的戰(zhàn)斗力，克敵制勝.

中國(guó)古代軍事史上有名的作戰(zhàn)陣法有三種：

八陣：戰(zhàn)國(guó)時(shí)大軍事家孫臏創(chuàng)造，據(jù)說是受了《易經(jīng)》八卦圖的啟發(fā)，所以又稱八卦

陣.具體陣勢(shì)是大將居中，四面各布一隊(duì)正兵，正兵之間再派出四隊(duì)機(jī)動(dòng)作戰(zhàn)的奇兵，構(gòu)成

八陣.八陣散布成八，復(fù)而為一，分合變化，又可組成六十四陣.當(dāng)年諸葛亮還用石頭在四

川奉節(jié)布設(shè)過八陣的方位，作為教練將士演習(xí)陣法之用，名為“八陣圖”.

撒星陣：南宋名將岳飛破金兵“拐子馬”的陣法.撒星陣的隊(duì)形布列如星，連成一排

的“拐子馬”沖來時(shí)士兵散而不聚，使敵人撲空.等敵人后撤時(shí)散開的士兵再聚攏過來，猛

力撲擊敵人，并用刀專砍馬腿，以破“拐子馬”.

鴛鴦陣：明代將領(lǐng)戚繼光為抗擊倭寇而創(chuàng)設(shè)的一種陣法.他把士兵分為三隊(duì)，當(dāng)敵人

進(jìn)到百步時(shí)第一隊(duì)士兵發(fā)射火器；敵人進(jìn)到六十步時(shí)士兵發(fā)射弩箭；敵人進(jìn)到十步時(shí)第三隊(duì)

士兵用刀矛向敵人沖殺.

這些變化反映了中國(guó)作戰(zhàn)陣法從傳統(tǒng)的方陣向多兵種的集團(tuán)陣法演變的過程.

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作業(yè)

1.請(qǐng)將2~9填入下圖的8個(gè)方格中，使得a、b、c、d四個(gè)方格中的數(shù)，恰好等于它上方

與之有公共邊的兩個(gè)方格中所填數(shù)的差.其中6填7.

2.將數(shù)字1,3,5,7,9,11,13填入右上圖中的小圓圈內(nèi)，使得每個(gè)圓周上的3個(gè)數(shù)之

和與每條直線上的3個(gè)數(shù)之和都相等.

3.把1至10填入右圖的圓圈內(nèi)，使得每條直線上的4個(gè)數(shù)之和都等于23.

4.將2至8填入右上圖的圓圈中，使得每條直線上的所有數(shù)字之和都相等.

5.圖中一共有10個(gè)方格，現(xiàn)在把10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)填到里面（9是這10個(gè)自然數(shù)中第

三大的），每個(gè)方格填一個(gè).如果要求圖中的3個(gè)2x2的正方形中的4個(gè)數(shù)加起來的和

都相等，那么這個(gè)和最大可能是多少？請(qǐng)給出一種填法.

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復(fù)雜數(shù)陣圖

例題1

詳解：20是這里面最大的數(shù)，應(yīng)該在最下端，其中20=8+12,再一層的往上推即

可.

2.例題2

答案:

詳解:有兩種重?cái)?shù)，中間的圓圈是特殊格,重?cái)?shù)是4,4x公共和=所有和+3x中間數(shù),

公共和是15,所有和是45,所以中間數(shù)就是5,那么同一條直線上的另外兩個(gè)數(shù)

的和就是10,即1、9；2、8；3、7；4、6.

例題3

答案：其中三種:

251

14

4

-3T

-6T

6

詳解：

3x公共和=1+2+.+7+中x2

3x公共和=28+中x2,有三種情況：

(1)中=1,公共和=10；(2)中=4,公共和=12；(3)中=7,公共和=14.

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4.例題4

答案：

詳解：

5x公共和=(1+2++7)x2+中

5x公共才口=56+中，所以中間數(shù)只能為4,公共和=12.直線上除最里面的4,剩

下兩個(gè)數(shù)之和為8,分別是1+7、2+6和3+5,然后嘗試調(diào)整使得圓周的和也都

等于12.

5.例題5

答案：答案不唯一，中間兩數(shù)和是7,公共和是24.

詳解：10個(gè)數(shù)是2、3、…、10、11,2+3+4++11=65.這個(gè)相等的和是2x2

正方形中4個(gè)數(shù)之和，3、和=4+2+65,則A和B的和可以是4、7、…要使得

和最小，這個(gè)和只能是7,所以A、8可以填2、5；3、4.而這個(gè)相等的和是24.經(jīng)

過嘗試后其他格均可以填出，答案是其中兩種填法.

6.例題6

答案：答案不唯一，A+2+2xC必須滿足27,公共和是21.

詳解：重?cái)?shù)有三種，A、B格的重?cái)?shù)是2,C格的重?cái)?shù)是3,其他格都是1；所以A、

B、C是特殊格.3x公共和=(A+B+2xC)+所有和.所有和是36,所以

A+3+2xC可能是9、12、15、…要這個(gè)和最大，所以A+B+2xC只能是27,

此時(shí)公共和是21.A、B、C可以是4、7、8.答案不唯一.

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7.練習(xí)1

詳解：b為7,只可能：7=8-1,而8最大，所以只能在邊上，最中間填1.然后

注意嘗試即可得答案.

8.練習(xí)2

答案：

詳解:有兩種重?cái)?shù)，中間的圓圈是特殊格,重?cái)?shù)是3,3x公共不口=所有和+2x中間數(shù)，

公共和是14,所有和是36,所以中間數(shù)就是3,那么同一條直線上的另外兩個(gè)數(shù)

的和就是11,即1、2、8；4、7；5、6.

9,練習(xí)3

答「案：其中三種情況：一

簡(jiǎn)答：

3*公共和=1+2++9+尖x2

3x公共取1=45+尖x2,有三種情況：

(1)尖=3,公共和=17；(2)中=6,公共和=19；(3)中=9,公共和=21.

10.練習(xí)4

答案：

3

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簡(jiǎn)答：

6義公共不口=(1+2++9)x2+中x2

6x公共和=90+中x2,所以中間數(shù)可以為3、6、9.

(1)如果中=3,則公共和=16,此時(shí)直線上除最里面的3,剩下的兩個(gè)數(shù)之和為

13,題目數(shù)據(jù)無法滿足，排除；

(2)如果中=6,則公共和=17,此時(shí)直線上除最里面的3,剩下的兩個(gè)數(shù)之和為

11,題目數(shù)據(jù)無法滿足，排除；

(3)如果中=9,則公共和=18,此時(shí)直線上除最里面的3,剩下的兩個(gè)數(shù)之和為9,

則分別為1+8、2+7、3+6和4+5.

然后嘗試調(diào)整使得圓周的和也都等于18即可.

11.作業(yè)1

答案：見圖

簡(jiǎn)答：7只能是9-2,而9最大，所以。=2.剩下3、4、5、6、8,

c和d只能是3和4,剩下的根據(jù)題中條件依次填出.

12.作業(yè)2

答案：見圖

簡(jiǎn)答：將三條直線、兩個(gè)圓上的數(shù)字都加起來，圓上的每個(gè)數(shù)字都算了2次，

而中間的數(shù)字算了3次.即1至13這7個(gè)數(shù)的和的2倍加上中間的數(shù)字等于

和的5倍.計(jì)算可得，這個(gè)和為21,中間數(shù)字是7.

13.作業(yè)3

答案：見圖

簡(jiǎn)答：將三條直線上的數(shù)字相加，中間的數(shù)字加了3次，其他數(shù)字分別加了1次;

1至10的和為55,