山西省臨汾一中、翼城中學(xué)2024年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知f(x)=ax?+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是

11

A.—B.—

33

11

C.----D.一

22

2.M是拋物線V=4x上一點(diǎn)，N是圓(尤—iy+(y-2)2=l關(guān)于直線％-丁一1=0的對稱圓上的一點(diǎn)，貝!肱V]最

小值是()

A.半TB.73-1C.20—1D.|

3.設(shè)全集U=R,集合A={x|(x—1)(%—3)20},5=〉：>.則集合?A)3等于()

A.(1,2)B.(2,3]C.(1⑶D.(2,3)

4.已知無=0是函數(shù)/(x)=x(ax-tanx)的極大值點(diǎn)，則”的取值范圍是

A.(―oo,-1)B.(-0°,1]

C.[0,+oo)D.[1,-K?)

5.若數(shù)列{4}滿足q=15且34+1=3%—2,則使49+1<0的左的值為()

A.21B.22C.23D.24

6.已知函數(shù)/0)=|8$劃+$山工,則下列結(jié)論中正確的是

①函數(shù)/(X)的最小正周期為萬;

②函數(shù)/(X)的圖象是軸對稱圖形；

③函數(shù)f(x)的極大值為近；

④函數(shù)/'(X)的最小值為-1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

7.已知函數(shù)/（x）=sin（ox+e）,其中。>0,其圖象關(guān)于直線x=?對稱，對滿足—〃々）|=2

的再，馬，有上一%|1m“=]，將函數(shù)/（無）的圖象向左平移6個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（?的單

調(diào)遞減區(qū)間是（）

7TC7C/77冗

A.kn---,K7lH----(K€AIB.(jteZ)

_62「7

7?777r

7冗15乃

C.憶兀--,K7lH-----(jteZ)K7l-\---，憶兀A----(左eZ)

361212

8.在鈍角ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,dc,3為鈍角，若acosA=》sinA,則sinA+sinC的最大值

為（）

l97

A.A/2B.—C.1D.一

Y88

9.設(shè)集合A/={x|lvxK2},N={H%<〃},若McN=M,則〃的取值范圍是（）

A.（一8,1）B.（-00,1]C.（2,+00）D.[2,+00）

22

10.已知雙曲線j-方=1（?！?力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)],過工作一條直線與雙曲線右支交于AB兩

點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)為0,若|。4『=4+/,憐片|=54，則該雙曲線的離心率為（）

AA/15RA/10rV15nV10

2233

11.已知正四面體A-BCD外接球的體積為8辰，則這個(gè)四面體的表面積為（）

A.1873B.1673C.1473D.1273

12.已知復(fù)數(shù)z滿足工=1+7,則目的值為（）

Z

A.-B.y/2C.—D.2

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某校13名學(xué)生參加軍事冬令營活動(dòng)，活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級別從小到大共9種，分

別為士兵、排長、連長、營長、團(tuán)長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以2人一組或者3人一組.

如果2人一組，則必須角色相同；如果3人一組，則3人角色相同或者3人為級別連續(xù)的3個(gè)不同角色.已知這13名學(xué)

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，現(xiàn)在新加入1名學(xué)生，將這14名學(xué)生分成5組進(jìn)行游戲，則新

加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為.

14.利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長為。的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值回，類比上述結(jié)論，利用

2

等體積法進(jìn)行推導(dǎo)，在棱長為“的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和也為定值，則這個(gè)定值是

15.設(shè)/(%)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，/(x)=-x(x+2)；當(dāng)xe[2,+oo)時(shí)，f(x)=(a-x)(x-2).關(guān)于函數(shù)

g(x)=/(x)-加的零點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：

①當(dāng)a=4時(shí)，存在實(shí)數(shù)%,使函數(shù)g(x)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)；

②若V〃ze[O,l],函數(shù)g(x)的零點(diǎn)不超過4個(gè)，則aW2；

③對V?7e(l,+8),〃e(4,+8),函數(shù)g(x)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列.

其中，正確命題的序號是.

16.如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線C4、CB圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū)ACB.為了便于管理，在線段

A6之間有一觀察站點(diǎn)"，"到直線BC,C4的距離分別為8百米、1百米，則觀察點(diǎn)〃到點(diǎn)A、3距離之和的

最小值為百米.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

71

x-tcos—

3

17.(12分)在直角坐標(biāo)系xQv中，直線/的參數(shù)方程是”為參數(shù)),曲線。的參數(shù)方程是

71

y=1+tsm?—

3

x=2y/3cos(p

((P為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

y=2A/3+losing)

(1)求直線/和曲線。的極坐標(biāo)方程;

(2)已知射線。M：0<aV?與曲線C交于兩點(diǎn)，射線。N：劣=。+段與直線/交于N點(diǎn)，若

AOMN的面積為1,求a的值和弦長10Ml

18.（12分）已知函數(shù)-------（6/>0）.

x-ax+1

（1）當(dāng)1=0時(shí)，試求曲線y=/（x）在點(diǎn)（。"（。））處的切線；

（2）試討論函數(shù)4%）的單調(diào)區(qū)間.

19.（12分）已知。涉都是大于零的實(shí)數(shù).

a2b2

（1）證明幺+6

ba

a1/

（2）若證明〃?+7T~1—；--->4.

ba（a-b）

20.（12分）已知橢圓。：1+，=1（。〉6〉0）的離心率為q，且過點(diǎn)A（0,l）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,3的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于。，線段產(chǎn)。的中點(diǎn)為M直線AM與直

線y=T交于點(diǎn)N,O為線段5N的中點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以。。為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.

21.（12分）某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行

一次NCP普查，為此需要抽驗(yàn)1000人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.

方案①：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)1000次.方案②：按上個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組上個(gè)人抽來的

血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這左個(gè)人的血只需檢驗(yàn)一次（這時(shí)認(rèn)為每

個(gè)人的血化驗(yàn)1次）；否則，若呈陽性，則需對這人個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)，這樣，該組上個(gè)人的血總共需要

................k-

化驗(yàn)人+1次.假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽性的概率為P,且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.

（1）設(shè)方案②中，某組上個(gè)人的每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為X,求X的分布列；

（2）設(shè)p=01，試比較方案②中，分別取2,3,4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比

方案①，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

22.（10分）已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為b、c,滿足也sinA+cosA=0.有三個(gè)條件：①a=l;

②b=6；③508,=走.其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請選出正確的條件完成下面兩個(gè)問題：

ZV1DC4

（1）求C；

（2）設(shè)。為邊上一點(diǎn)，且求的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f(-x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，a-1=-2a,即可得解.

【詳解】

根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，

得a-l=-2a,解得a=,，又f(-x)=f(x),

3

/.b=0,a+b=—.故選B.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f(-x)=f(X);奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對稱，定

義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù).

2、C

【解析】

求出點(diǎn)(1,2)關(guān)于直線x-y—1=。的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓(X-1)?+(y-2)2=1關(guān)于直線x—y—1=。的

對稱圓c的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出IACVI^=|wc|nijn-i,即可得解.

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)點(diǎn)(1,2)關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C(a,b),

Q+1/7+21八

22a-b-3=0a=3/、

則,整理得,cc，解得,八，即點(diǎn)C（3,0）,

b-2.a+b—3=0p=0

、a—I

所以，圓(x—l)?+(y—2)2=1關(guān)于直線x—y—1=0的對稱圓C的方程為(x—3)?+y2=i,

設(shè)點(diǎn)河匕",則四=口.3]+/=后彳+9=收廣4丫+8，

當(dāng)'=±2時(shí)，MC取最小值2夜，因此，=|MC|1rfli—1=2行一1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等

3、A

【解析】

先算出集合aA,再與集合8求交集即可.

【詳解】

因?yàn)锳={x|x?3或x<l}.所以dA={x[l<x<3},又因?yàn)?={%|21<4}={尤|尤<2}.

所以（令4）門5={》|1<%<2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.

4、B

【解析】

方法一：令gCx)=ox-tan%,貝！)/(x)=,gf(x)=a——,

cosX

當(dāng)九￡(—時(shí)，g'(%)K。，g(x)單調(diào)遞減，

7T

...1€(-5,0)時(shí)，g(x)>g(O)=O,/(x)=x-g(%)<0,且y(x)=xg'(x)+g(x)>0,

.?.尸a)>o,即y(x)在(-T會(huì)T0)上單調(diào)遞增，

TT

XC(0,Q)時(shí)，g(x)<g(O)=O,/(x)=x-g(x)<0,且尸(尤)=xg'(x)+g(x)<。，

7T

：.f'(x)<0,即/Xx)在(0,5)上單調(diào)遞減，，》二。是函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，滿足題意；

JT1

當(dāng)。>1時(shí)，存在re(0,萬)使得COS”而，即g?)=0,

1JT

又g'(x)=a--:在(0,一)上單調(diào)遞減，.?.xe(0,t)時(shí),g(x)>g(0)=0,所以f(x)=x-g(x)>0,

cosx2

這與x=0是函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)矛盾.

綜上，a<l.故選B.

方法二：依據(jù)極值的定義，要使X=0是函數(shù)〃x)的極大值點(diǎn)，須在x=0的左側(cè)附近，/(%)<0,即ox-tanx>0；

在x=0的右側(cè)附近，/(%)<0,即辦—tanx<0.易知，。=1時(shí)，V=^與y=tan尤相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)y=or

Vy=tanx的圖象關(guān)系，可得故選B.

5、C

【解析】

222247

因?yàn)?+「4=-§，所以｛4｝是等差數(shù)列，且公差〃=-§,4=15,貝！|%=15-§5-1)=-§"+彳，所

2472454547

以由題設(shè)如q+i<?？傻?-a"+Z)(-a"+z)<0nf<"<f，貝!)7Z=23,應(yīng)選答案C.

6、D

【解析】

因?yàn)?(%+兀)=|cos(x+7i)|+sin(%+7i)=|cos%|-sinxwf(x),所以①不正確；

因?yàn)?W=1cosx|+sinx,所以/(—+x)=|cos(—+x)|+sin(—+x)=|sinx|+cosx,

嗎一MIcosgT+si嗎r)=|sinx|+c°sx,所以嗎+x)=嗎一人

所以函數(shù)“X)的圖象是軸對稱圖形，②正確；

易知函數(shù)/(X)的最小正周期為2%,因?yàn)楹瘮?shù)/■(*)的圖象關(guān)于直線X=g對稱，所以只需研究函數(shù)/■(%)在[看,羨]上

的極大值與最小值即可.當(dāng)工<xK加時(shí)，/(x)=-cosx+sinx=V2sin(x-^),且號，令x-?=g,得

22444442

X=—,可知函數(shù)/■?在X=3處取得極大值為金，③正確；

44

因?yàn)槭郑?lW0sin(x-2)4點(diǎn)，所以函數(shù)/(X)的最小值為—1,④正確.

4444

故選D.

7、B

【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(九)兩個(gè)對稱軸的距離也即是半周期，由此求得。的值，結(jié)合其對稱軸，求得。的值，進(jìn)而求得

/(九)解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【詳解】

解：已知函數(shù)/(x)=sin(ox+e),其中切>0,Oe].g｝其圖像關(guān)于直線x=?對稱，

對滿足|/(%)一/(%2)|=2的4，％2，有|玉―工21^=W=5,既，,口=2?

TTJTTT

再根據(jù)其圖像關(guān)于直線x=—對稱，可得2x—+e=br+—,kez.

662

；.0=^9；./(x)=sinf.

將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)g(%)=sin12%+彳+f]=cos2x的圖像.

6I36)

令2k兀<2x<2k兀+7i，求得k7i<x<k7i—,

2

71

則函數(shù)g(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間是左肛左萬+5,左eZ,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

8、B

【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得cosA=sin6,即可得到A=3-a，再求出苧）最后根據(jù)

sinA+sinC=sinB--+sin求出sinA+sinC的最大值;

I2

【詳解】

解：因?yàn)閍cosA=Z?sinA,

所以sinAcosA=sinBsinA

因?yàn)閟inAwO

所以cosA二sin5

B>f

■,-A=JB4

C47C

0<A<—0<<

2B-77

71?71八713萬

—<B<兀，即《—<B<7T,/.Be,?.cosB€f拒o]

225'7

71

0<c<0<萬一B<—

i22

/.sinA+sinC=sinB--+sin

I2

=-cosB-cos2B

=-2cos2B-cosB+1

9

cosB+—+-

8

9

cosB——w------,0時(shí)(sinA+sinC)

4I2J\/max8

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

9、C

【解析】

由McN=〃得出M0N,利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

M={x|l<x<21,N={x|x<a}且AfcN=M,:.a>2.

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（2,”）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

由題可知|OA|=C=TK閭，4A8=90。，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得|"|=|A閭+2a,對放..A畢有

的『+|陽2=網(wǎng)「,

即（,閭+2。）2+（卜閭+3。）2=（5。）2,解得,閭=-再對RtA4E乙，由勾股定理可得/+（3不=（24，化簡

即可求解

【詳解】

如圖，因?yàn)閨%|=5a,所以忸囚=5a—2a=3a.因?yàn)閨。4|='="片閭所以6=90。.

在7?力中，|河「+|46『=忸周2,即（卜閭+2ay+（|A司+34=（5才，

得|AE,1=a,則，用=a+2a=3a.在RtZWFJF,中，由/+（34）?二僅域得e=￡=M^.

W一

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題

11、B

【解析】

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據(jù)

正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面

積.

【詳解】

將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長為a,如圖所示，

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則等1=8m，得R=&.因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的

外接球是同一個(gè)球，則有由a=2R=2",二2=2夜.而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長,

所以，正四面體ABCD的棱長為缶=2拒x及=4,因此，這個(gè)正四面體的表面積為4x巫二=16百.

4

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計(jì)

算能力，屬于中檔題.

12、C

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.

【詳解】

mJ,?11-/

因?yàn)橐?1+Z=>z=---=-----

Z1+Z1-Z2

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、9

【解析】

對新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，分析各種情況下14個(gè)學(xué)生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

依題意，14名學(xué)生分成5組，則一定是4個(gè)3人組和1個(gè)2人組.

①若新加入的學(xué)生是士兵，則可以將這14個(gè)人分組如下；3名士兵；士兵、排長、連長各1名；營長、團(tuán)長、旅長各1

名；師長、軍長、司令各1名；2名司令.所以新加入的學(xué)生可以是士兵，由對稱性可知也可以是司令；

②若新加入的學(xué)生是排長，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；連長、營長、團(tuán)長各1名；旅長、師長、軍長各1

名；3名司令；2名排長.所以新加入的學(xué)生可以是排長，由對稱性可知也可以是軍長；

③若新加入的學(xué)生是連長，則可以將這14個(gè)人分組如下：2名士兵；士兵、排長、連長各1名；連長、營長、團(tuán)長各1

名；旅長、師長、軍長各1名；3名司令.所以新加入的學(xué)生可以是連長，由對稱性可知也可以是師長；

④若新加入的學(xué)生是營長，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各1名；營長、團(tuán)長、旅長各1

名；師長、軍長、司令各1名；2名司令.所以新加入的學(xué)生可以是營長，由對稱性可知也可以是旅長；

⑤若新加入的學(xué)生是團(tuán)長，則可以將這14個(gè)人分組如下：3名士兵；排長、連長、營長各1名；旅長、師長、軍長各1

名；3名司令；2名團(tuán)長.所以新加入的學(xué)生可以是團(tuán)長.

綜上所述，新加入學(xué)生可以扮演9種角色.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】

本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是對新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，屬于中等題.

正

14、4——-a

3

【解析】

計(jì)算正四面體的高，并計(jì)算該正四面體的體積，利用等體積法，可得結(jié)果.

【詳解】

作尸0,平面ABC,。為AA3C的重心

如圖

A

AD=ABsinNABD=?-sin60=——a

2

則AO=2AD=3a,

33

所以PO=飛AP?—AO?=—a

3

設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為x

則|,SAABC,尤=；,SAABC.POnx=(~a

故答案為：旦a

3

【點(diǎn)睛】

本題考查類比推理的應(yīng)用，還考查等體積法，考驗(yàn)理解能力以及計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.

15、①②③

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

7L

解：當(dāng)a=4時(shí)/(x)=6r.，、又因?yàn)?(%)為偶函數(shù)

(4一v%-2)xe[2,+ooJ'/

二可畫出/(尤)的圖象，如下所示:

可知當(dāng)加=0時(shí)g(x)=/(x)-777有5個(gè)不同的零點(diǎn)；故①正確;

若V7〃e[0,l],函數(shù)g(x)的零點(diǎn)不超過4個(gè),

即V/77.e[0,l],y="可與y=根的交點(diǎn)不超過4個(gè)，

.?.122時(shí)/(同40恒成立

又當(dāng)xe[2,+oo)時(shí)，/(x)=(a-x)(x-2)

.,.。-兀<0在X42，+8)上恒成立

.?.44*在兀€[2,+00)上恒成立

:.a<2

由于偶函數(shù)/(X)的圖象，如下所示:

直線/與圖象的公共點(diǎn)不超過4個(gè)，則aW2,故②正確;

對W,〃e(l,+oo),偶函數(shù)/(x)的圖象，如下所示：

3?G(4,+CO),使得直線/與g(x)恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故③正確.

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

16、5A/5

【解析】

建系，將直線用方程表示出來，再用參數(shù)表示出線段A5的長度，最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.

【詳解】

以C為原點(diǎn)，CA,CB所在直線分別作為羽y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則M(8,l).設(shè)直線AB:y-l=/x-8),即

y=kx+1-Sk,則A———,0,5(0,1-8^),

1—8左八

------>0

所以《k,所以k<0,

1一8上〉0

AB2=^-]—^+(1—8左)2=/(左)(左<0),

則/(4)=(1一84)2[1+*](左<0),

則/'(?)=2(1-8k)x(-8)x“+￡)+(1-8k￥x(-2)x+

-2(1-8人)(8左3+1)-2(1-8k)(2k+1)(4^2—2左+1)

-PP，

當(dāng)—gj時(shí)，r(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe[—時(shí)，/'(盼>0,則/(》)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)左=—；時(shí)，A3最短，此時(shí)AB=5A/L

故答案為：5亞

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)psin^3-=—,p=4y/3sin3；(2)看，2y/3?

【解析】

(1)先把直線/和曲線C的參數(shù)方程化成普通方程，再化成極坐標(biāo)方程；

(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程，根據(jù)極徑的幾何意義可得|Q0|,|ON|,再由面積SA°MN=T°MHON|=1可解得極角，從而

可得10Ml.

【詳解】

71

X-tcos—

3

(1)直線/的參數(shù)方程是。為參數(shù)）,

,.乃

y=l+tsin—

3

消去參數(shù)/得直角坐標(biāo)方程為：yf3x-y+l=Q.

轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為：\[3pcos0—psinO+1=0>BPpsin[—j=

X=2yl3cos（P

曲線C的參數(shù)方程是LL(9為參數(shù)),

y=2J3+2<3sirup

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：爐+(,—2百)2=12,

化為一般式得好+/-4V3y=0

化為極坐標(biāo)方程為：p=4也sin?.

]

兀、、「|ON|=----------------------------

（2）由于0Va<_，得|。河|=4氐山a,I?.（色）_Q（色）cosa+y/3sina.

sZAZIaIIcosIaII

I2；I2）

所以S"=^\OM\?|0N|=2底器=1,

2cosa+73sma

所以tana=—，

3

兀jl

由于0<aV—,所以a=一,

26

所以|OM|=26.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.

18、(1)y=x+\.(2)見解析

【解析】

(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以求出曲線y=/Q)在點(diǎn)(0"(0))處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線

方程；

(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對實(shí)數(shù)〃進(jìn)行分類討論，可以求出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】

(1)當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽,f(x)=：J/n/'(0)=l,

(%+1)

所以切線方程為y=x+i；

x~-ax+l-2x+ajex(^x2-(a+2)x+l+a^e”(x-l)(x-(a+l))

(2)/(%)=-

(%2-以+1)(九2一〃%+1)(%2一〃%+1)

,ex(x-l)2

當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽,f(x)=(222°」/(x)在火上單調(diào)遞增

(x+1,)、

當(dāng)ae(0,2)時(shí)，△=片一4<0,.“2—以+1>0恒成立，函數(shù)定義域?yàn)镽,又a+1>1,，/(幻在(-0,1)單調(diào)遞增,

(1,1+a)單調(diào)遞減，(1+a,+8)單調(diào)遞增

當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?Y),1)D(L+8),/'(x)=O三"，?./(%)在(-8,1)單調(diào)遞增，(1,3)單調(diào)遞減，(3,+8)

(x-l)

單調(diào)遞增

當(dāng)ae(2,+oo)時(shí)，A=1—4>0設(shè)依+1=。的兩個(gè)根為占,馬且玉〈尤2，由韋達(dá)定理易知兩根均為正根，且

0<公<1</，所以函數(shù)的定義域?yàn)?-O0,%)L(%，+8)，又對稱軸X=^|<。+1,且

(a+1)~—a(a+1)+1=a+2>0x2<a+1,

/(x)在(f,%),(%」)單調(diào)遞增，(1,%),(%，。+1)單調(diào)遞減，(l+a,+s)單調(diào)遞增

【點(diǎn)睛】

本題考查了曲線切線方程的求法，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了分類思想.

19、(1)答案見解析.(2)答案見解析

【解析】

2L2

(1)利用基本不等式可得幺+夠+a2b,兩式相加即可求解.

ba

(〃、h2(a—b}

(2)由(1)知。2..沙a+)——=ab+———代入不等式，利用基本不等式即可求解.

IaJa

【詳解】

/h2

(1)-------------Fa2b

ba

b22

兩式相加得乙+a幺..〃+b

ab

/、上/、卜2j(j7b2(a-b)

(2)由(1)知ci..ba+b-----cibH-------------------------

、aJa

▼口2a1,b2(a-b)a1

于是，a+—+-------..ab+---------+—+--------

ba{a-b)aba(a-b)

(.a\(b2(a-b)1、

Ib~)aa(a—b),

a

..2-+2->4.

ba

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20、(1)一+;/=1(2)點(diǎn)/在以為直徑的圓上

4

【解析】

(1)根據(jù)題意列出關(guān)于〃，b,。的方程組，解出〃，b,c的值，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(%,%),則%),求出直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)。

的坐標(biāo)，下面結(jié)合點(diǎn)尸在橢圓。上證出揄.血=(),所以點(diǎn)以在以8為直徑的圓上.

【詳解】

b=lr

廠a—2

(1)由題意可知，\-=^~,解得1=1,

a2

a2=b2+c2=《3

2

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1.

4-

(2)設(shè)點(diǎn)「(不，％),則%),

Jo-12(y0-l)

「?直線AM的斜率為員_0一天,

2

2(%T)?

，直線AM的方程為：>=:x+i,

令y——1得，x=1\，

1一%

二點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1°,-D,

1一%

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為J"-1),

2(1-%)

OMDM=(^,%>(包-一^,%+1)=日+姬__^L+y

、2