江蘇省南京市金陵中學(xué)2022屆高三下學(xué)期二模模擬測(cè)試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4=例>=318={0,1,2},則Ac3=（）

A.{1,2}B.（0,+oo）C.{0,1,2}D.[0,+co）

2.設(shè)平面向量￡=。,2）力=（-2,?。?，若：〃方則|3。+q=（）

A.75B.y/6C.yfnD.726

3.設(shè){%}是公差d=—2的等差數(shù)列，如果-Fa91=50,那么

。3+。6+。9--------。99=（）

A.-182B.-78C.-148D.-82

4.已知sin±=且，貝l」cosx=（）

43

A.-1B.-1

93

5.在如今這個(gè)5G時(shí)代，6G研究己方興未艾.2021年8月30日第九屆未來信息通信

技術(shù)國(guó)際研討會(huì)在北京舉辦.會(huì)上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到ITbps,并啟用毫

米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)

據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時(shí)延達(dá)到亞毫秒級(jí)水平.香農(nóng)公式

C=Wlog2，+21是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾

的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)

部的高斯噪聲功率N的大小，其中三叫做信噪比.若不改變帶寬W,而將信噪比當(dāng)

NN

從9提升至161,則最大信息傳遞率。會(huì)提升到原來的（）參考數(shù)據(jù)：

log23=1.58,log25=2.32.

A.2.4倍B.2.3倍C.2.2倍D.2.1倍

6.尸為正方體ABCD-ABCR對(duì)角線B2上的一點(diǎn)，且BP=XB2（%e（0』）），下面

結(jié)論不正確的是（）

若平面必貝|力=；

A.±QPB.C,

C.若△PAC為鈍角三角形，則幾D.若則△PAC為銳角三角

形

7.“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂

直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上.該圓稱為橢圓的“蒙日?qǐng)A”若橢圓

C:[+/=l（加＞0,%w4）的離心率為孝，則橢圓C的“蒙日?qǐng)A”方程為（）

A.x2+/=5或Y+y2=7B.x2+y2=7或f+y2=20

C.x2+y2=5或/+y2=2oD.f+y=7或/+y^=2^

8.設(shè)〃2近，b=y[\A-\,c=21nl.l,則J()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

二、多選題

9.復(fù)數(shù)z=x+yi,x,yeR,孫wO,則下列選項(xiàng)一定正確的是()

Z

A.z+zeRB.z-z&RC.zze7?D.=eR

z

10.在四邊形ABC。中，AD//BC,AD^AB,/BCD=45。，ZBAD=90°,將

△ABD沿8。折起，使平面ABD,平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在三棱錐

A-3CD中，下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.平面ASD_L平面ABCB.平面AZ）C_L平面BCD

C.平面ABC_L平面BCDD.平面ADC_L平面ABC

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F是拋物線C:y2=or（a＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（|,l

3.㈤色＞0）在拋物線C上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-且B.b=也

4

UULULIU1116^2

C.OA-OB=2D.-----r+----r=-------

\AF\\BF\15

12.某人投了100次籃，設(shè)投完前w次的命中率為人其中〃=1,2,.…100.已知

，i=°，｛oo=0-85,貝!）一定存在0＜機(jī)＜100使得（）

A.%=0$B.rm=0.6C.rm=0.7D.今,=。用

三、填空題

13.邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。上，與對(duì)角線AC的夾角為

45°,則球。的體積為.

14.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)

問題的答案：已知數(shù)列1,二,1,4,1,其中第一項(xiàng)是1,

233424

接下來的兩項(xiàng)是JI,1,再接下來的三項(xiàng)是:1，91,依此類推，求滿足如下條件的

最小整數(shù)N；該數(shù)列的前N項(xiàng)和大于46,那么該款軟件的激活碼是.

22

15.已知雙曲線C：2-方=1(。>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為放,點(diǎn)A在C的右

支上，AFi與C交于點(diǎn)B,若居483=0,怛$=歸,，則C的離心率為.

四、雙空題

16.已知函數(shù)f(x)=｛2s嗚+J鵬,則/(x)的最小正周期為；當(dāng)

xe-,7T時(shí)，/(X)的值域?yàn)?

五、解答題

17.已知等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，4=2,且滿足4q,2%,%成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記北=2q+3%+求T”.

18.已知四邊形ABCD,A,B,C,。四點(diǎn)共圓，AB=5,BC=2,

4

cos/.ABC=——.

5

(1)若sin/ACZ)=(',求A￡>的長(zhǎng)；

⑵求四邊形ABC。周長(zhǎng)的最大值.

19.如圖，三角形A5C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E,尸分別在邊AgAC上，且

AE=AF=2,M為5C邊的中點(diǎn)，AM交所于點(diǎn)O,沿跖將三角形A跖折到。石產(chǎn)

的位置，使DM=巫.

2

D

⑴證明：QOJ_平面所CB；

⑵若平面ER%內(nèi)的直線硒〃平面OOC,且與邊BC交于點(diǎn)N,問在線段QM上是

否存在點(diǎn)P,使二面角P—EN—8的大小為60。？若存在，則求出點(diǎn)P；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

22

20.已知雙曲線C:3-2=1（。＞0力＞0）的左頂點(diǎn)為4（-2,0）,右焦點(diǎn)為凡點(diǎn)B在

ab

C上.當(dāng)皮口”時(shí)|人日=忸目.不垂直于X軸的直線與雙曲線同一支交于P,。兩

點(diǎn).

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線PQ過點(diǎn)R在x軸上是否存在點(diǎn)N,使得尤軸平分BPNQ?若存在，求出點(diǎn)的

N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

21.某商城玩具柜臺(tái)元旦期間促銷，購(gòu)買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就

可以贈(zèng)送元旦禮品.而每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶4，4,人中的一個(gè)，每個(gè)乙系

列盲盒可以開出玩偶與，中的一個(gè).

（1）記事件E“：一次性購(gòu)買"個(gè)甲系列盲盒后集齊A，4,&玩偶；事件4：一次

性購(gòu)買“個(gè)乙系列盲盒后集齊用，玩偶；求概率p（線）及尸（月）；

（2）禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購(gòu)買機(jī)會(huì)，且

購(gòu)買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買盲盒的消費(fèi)

14

者購(gòu)買甲系列的概率為M，購(gòu)買乙系列的概率為不；而前一次購(gòu)買甲系列的消費(fèi)者下

一次購(gòu)買甲系列的概率為了，購(gòu)買乙系列的概率為1；前一次購(gòu)買乙系列的消費(fèi)者下

44

一次購(gòu)買甲系列的概率為購(gòu)買乙系列的概率為g；如此往復(fù)，記某人第〃次購(gòu)買

甲系列的概率為2.

①2"；

②若每天購(gòu)買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購(gòu)買過很多次這兩個(gè)系列的盲

盒，試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).

_1

22.已知函數(shù)/(x)=---------kx-1.

X

⑴若兀=1,求"X)在(0,+00)上的單調(diào)性；

⑵試確定上的所有可能取值，使得存在"0,對(duì)Vxe(0,力，恒有|/(無)|＜一.

參考答案：

1.A

【解析】

【分析】

先求出A,再根據(jù)交集的定義可求AB.

【詳解】

A={y|y＞。},故A8={1,2},

故選：A.

2.A

【解析】

【分析】

先根據(jù)?！η蟮镁旁俑鶕?jù)向量模的坐標(biāo)表示求得正確答案.

【詳解】

由于:〃力，所以lxy=2x(—2),y=-4,/?=(—2,-4),

3a+b=(3,6)+(-2,-4)=(1,2),

RQ+4=Vl2+22=.

故選：A

3.D

【解析】

【分析】

由已知可得%---1~佝9=(《+2d)+(%+2d)+(%+2d)++(%y+2d),即可得解.

【詳解】

由已知可得/+%+%"1%9=(4+2d)+(/+2d)+(%+2d)++(佝7+2d)

=q+4+%+?,,+%7+66d—50—132——82.

故選：D.

4.A

【解析】

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】

利用二倍角公式代入計(jì)算.

【詳解】

因?yàn)閟in2=走，所以cos；=l-2sin2；=:，從而得cosx=2cos2；-1=一].

4324329

故選：A

5.C

【解析】

【分析】

按照題中所給公式分別求出當(dāng)三=9時(shí)和當(dāng)三=161時(shí)的最大信息傳遞率即可求出答案.

NN

【詳解】

當(dāng)*=9時(shí)，最大信息傳遞率G=Wlog2(l+9)=Wlog2io=w+log25)

當(dāng)三=161時(shí)，最大信息傳遞率

N

44

C2=Wlog,(1+161)=Wlog2162=Wlog2(2X3)=W(log,2+log,3)=W(l+41og23)

C?二產(chǎn)(1+41。殳3)_7.32_22

G-W(l+log25)-3.32?~.

故選：C.

6.C

【解析】

【分析】

連接AA，3C],根據(jù)正方體的性質(zhì)，證得平面A3G2,得到可判定A

正確；連接AC,A用,2C，證得平面叫C,得到點(diǎn)尸在平面9c中，可判定B正

確；設(shè)正方體ABCD-A耳G2的棱長(zhǎng)為。，當(dāng)人=；時(shí)，求得NAPC>90,可判定C不正

確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得PAPC的坐標(biāo)，利用P4PC>0,求得力的范

圍，可判定D正確.

【詳解】

如圖(1)所示:

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

對(duì)于A中，正方體ABC。-A3G2中，連接4/）146,

因?yàn)槠矫鍭O04,且AOu平面AO￡?M，所以

又由ADLA。且ABAD,=A,所以4。，平面ABCB，

因?yàn)锽P=2BR,所以GPu平面ABGR,所以AO^GP，所以A正確；

對(duì)于B中，正方體AB。-4耳GA中，連接AC,AB|,BC，

可得8"_LAC,8￡）［_LA耳，且ACcA4=A,所以83,平面A^C,

若，平面PAC,可得點(diǎn)尸在平面做C中，可得2R=38P,

又由8尸=幾8口，所以彳=；,所以B正確；

對(duì)于C中，設(shè)正方體ABCD-ABCQI的棱長(zhǎng)為。，

當(dāng)尸為B2的中點(diǎn)時(shí)，即力=：時(shí)，可得PA=PC=W~a,AC=&i，

22

由余弦定理可得cosZAPC=4+PUYU=-1,可得ZAPC>90,

2PAPC3

所以若△PAC為鈍角三角形，則力是不正確的，故C不正確；

對(duì)于D中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

則A（1,o,0）,B（1,1,O）,C（O,1,O）,D（0,0,0）,A（1,0,1）,耳（1,1,1）,q（o,1,1）,2（0,0,1）,

可得明=（-1,-1,1）,BP=XBDx=（-2,-2,A）,PA=PB+BA=（A,A-1,-2）,

PC=PB+BC=（/l-l,Z,-2）,

由尸4PC=CM_1,W_1,XT）=X?（彳_1）+（X_1）/+（-4）?（Y）=彳（3彳-2）,

2

令〃34-2）>0,解得或/<o（舍去），

2

又由所以

2

即當(dāng)2e（1,l）時(shí)，尸A?尸C>0，即NAPC為銳角，

又因?yàn)椤鱌AC中，PA^PC,所以AR4c為銳角三角形，所以D正確.

故選：C.

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

7.C

【解析】

【分析】

分類討論〃z>4和0<機(jī)<4,當(dāng)〃z>4時(shí)，根據(jù)離心率求出機(jī)=16,然后在橢圓上取兩點(diǎn)，

并寫出對(duì)應(yīng)的切線方程求出交點(diǎn)，進(jìn)而求出圓半徑即可；對(duì)于0<初<4的情況與〃?>4的方

法步驟一致.

【詳解】

若心4,則立，即機(jī)=16,所以C：《+t=l,

y/m2416

由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，

不妨取兩點(diǎn)（2,0）,（0,4）,則兩條切線為無=2和y=4,所以兩條切線的交點(diǎn)為（2,4）,且點(diǎn)

（2,4）在蒙日?qǐng)A上，所以半徑為存了不=而，所以蒙日?qǐng)A為x?+丁=20；

若0<〃?<4,貝IJ互互=1,即%=1,所以c：《+y2=l,

224-

由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，

不妨取兩點(diǎn)（2,0）,（0,1）,則兩條切線為x=2和y=l,所以兩條切線的交點(diǎn)為（2,1）,且點(diǎn)

（2,1）在蒙日?qǐng)A上，所以半徑為萬正=行，所以蒙日?qǐng)A為V+V=5；

綜上：橢圓C的“蒙日?qǐng)A”方程為x2+產(chǎn)=5或/+丁=20

故選：C.

8.A

【解析】

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】

利用募函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷的范圍，a利用基本不等式判斷》的范圍，構(gòu)造新函數(shù)

并利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出。的范圍，進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】

由。3<28,得即”<2丁7，所以ei'veis=e“

所以則2々<0,即々<0；

由g-1=〈山------1<0.184,即匕<°」84；

"1.22

設(shè)〃x)=ln尤-亞?。>0),則八尤)」=

所以/*)在(0,+⑹上單調(diào)遞增，且/(1)=0,

所以當(dāng)無€(1,+⑼時(shí)f(x)>。，即In尤〉生二D,

X+1

當(dāng)xe(0,l)時(shí)/(無)<0,即lnx<2(D,

x+1

又貝U20,-1)>0.095,

1.1+1

所以c=21nl.l>0.19,即c>0.19,

綜上，a<b<c.

故選：A

9.AC

【解析】

【分析】

根據(jù)共軟復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則逐一判斷即可.

【詳解】

因?yàn)閦=x+yi,所以z=x_yi.

A：因?yàn)閦+2=2x,所以z+彳eR,因此本選項(xiàng)正確；

B：因?yàn)閦-彳=2yi,y&R,y^0,所以因此本選項(xiàng)不正確;

C：因?yàn)閼?yīng)=/+;/,x,yeR,xy^0,所以zNcR,因此本選項(xiàng)正確;

zx+yi(x+yi)?x-y2xy.八八

D：因?yàn)?=F——r+——21￡民孫W。，

zx-yi(x-yi)(x+yi)x+yx+y

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

所以WzeR,因此本選項(xiàng)不正確，

Z

故選：AC

10.ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，結(jié)合面面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分

析，即可判斷和選擇.

【詳解】

根據(jù)題意，作圖如下：

因?yàn)樵谒倪呅蜛8C。中，AD//BC,AD=AB,/BCD=45。,ZBAD^90°,

所以3D_LCD,又平面ABD_L平面BCD且平面ABDc平面BCD=3D,

故CD_L平面AfiD,又ABu面ABD,則CD_LAB,又A￡>_LAB,

又8門4。=￡>,?！辏?4￡）<=面71￡）（7,故平面AOC,又ABu面ABC,

所以平面45。_1_平面4。0故D正確；

設(shè)AB=AD=1,則BD=垃,BC=2,CD=啦,

由CD_LAB,又AD_LAB,C￡>cAD=￡>,8,ADu面AOC,可得ABJ_平面AZJC,

又ACu面ADC,可得AB_LAC,AC="^T=百，

所以/Q4D為平面ABO與平面ABC所成角，且1血/。4。=匹=0,

AD

故二面角不為直角，故A錯(cuò)誤；

由上述證明可知，ZADB為平面AOC與平面BCZ）所成角，為45。，故B錯(cuò)誤；

若平面ABC，平面BCD,取BC的中點(diǎn)X,可得Da_L3C,則平面ABC,

A"u平面ABC,可得

而小皿7中，AD=1,DH=1,AH^l,顯然△AD"不為直角三角形，故C錯(cuò)誤.

故選：ABC.

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

11.ABD

【解析】

【分析】

依據(jù)題意求得拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.解得拋物線C的準(zhǔn)線方程判斷選項(xiàng)A；解得參數(shù)b判斷

11

選項(xiàng)B；求得。08判斷選項(xiàng)C；求得網(wǎng)+網(wǎng)判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

點(diǎn)小°>0）,B（a,b）（b>0）在拋物線C上

則｛2,解之得《l

廿=/IM

則拋物線C：V=忘）

選項(xiàng)A：拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=.判斷正確；

4

選項(xiàng)B：匕=血.判斷正確；

uuruun、萬廣「廣、

選項(xiàng)C：0A=點(diǎn)+lx0=l+0.判斷錯(cuò)誤；

2

選項(xiàng)D：拋物線C的焦點(diǎn)/（孝,。），

則14尸|二J（乎-￥）2+（0T）2=彳6'

|BF|=J（—-V2）2+（0-V2）2=-72

1,12亞201672

則-------1-------=--------.判斷正確.

而十西3515

故選：ABD

12.AD

【解析】

【分析】

設(shè)上為不超過85的自然數(shù)，根據(jù)題意得%=公，對(duì)A,記前左次投籃中，投中的次數(shù)減去

m

不中的次數(shù)為4,得到|必M-歿|=1,通過分析即可判斷；對(duì)B,C,通過反例即可判斷;

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

對(duì)D,如果不存在加，使％=。.8,分析可得％=卷=0.8,推出矛盾，即可判斷.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：%=七,其中左為不超過85的自然數(shù)，且上

m

對(duì)A,記前左次投籃中，投中的次數(shù)減去不中的次數(shù)為七,

貝ljq——]<0,Goo=85—15>0,

又,除+=1，

，一定存在加，使得區(qū)“=。，此時(shí)％=0$,故A正確；

對(duì)B,前100次投籃中，若前15次投籃均不中，后面85次投籃均命中，

則對(duì)于m>15,方程與==上=0.6無整數(shù)解，故B錯(cuò)誤；

m

對(duì)C,若前14次不中，后面85次投籃均命中，最后一次不中，

則對(duì)于14<〃?<99,方程%="―上=0.7無整數(shù)解，故C錯(cuò)誤；

m

對(duì)D,如果不存在巾，使得%=0.8,

則前5次投籃中至少有2次不中，

前10次投籃中至少有3次不中，

前15次投籃中至少有4次不中，

依此類推，前70次投籃中至少有15次不中，

即前75次投籃中恰有15次不中，

從而%=尚=。.8,矛盾，故D正確.

故選：AD.

13.36萬

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)求出球。的半徑，再利用球的體積公式計(jì)算作答.

【詳解】

因邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。上，則正方形ABCD的外接圓是球。的截

面小圓，其半徑為「=逑，

2

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

令正方形ABC。的外接圓圓心為?！赣汕蛎娴慕孛嫘A性質(zhì)知，。。質(zhì)是直角三角形，且有

OO11AC,

而。4與對(duì)角線AC的夾角為45。，即△。。4是等腰直角三角形，球。半徑氏=收7=3,

4

所以球。的體積為V=-TTR3=36萬.

故答案為：36萬

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及求球的表面積、體積問題，利用球的截面小圓性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

14.83

【解析】

【分析】

k(k4-]\仁k+3k

根據(jù)題意可求得該數(shù)列的前1+2+…+1='\'項(xiàng)和;碎+'=一^，再根據(jù)

“2+弘

公^>46,求得k,即可求得答案.

4

【詳解】

解：該數(shù)歹U的前1+2+…+左二墳土D項(xiàng)和為

2

1+11+21+31+k

=---+----+----++----

2222

*（左+1）

/V12

2k+3k,

24

要使至〉46,當(dāng)左=12時(shí)，乂士主=45,貝必213,

44

「1234515?

又---1--------1-------1--------1------=----->19

131313131313

所以對(duì)應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)N=乜/+5=83.

故答案為：83.

15.V3

【解析】

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】

由題意可得為等腰直角三角形，設(shè)|A8|=|眶|=心，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和雙曲

線的性質(zhì)，可得相=2缶，再在中，由余弦定理可得°=可，從而可求出離心率

【詳解】

因?yàn)樵翧83=0,|KA|=|KB|,

所以ABB為等腰直角三角形，

設(shè)|A局=忸叫=機(jī)，則k0機(jī)，

由雙曲線的定義可得MKHA同=20忸詞-|%|=2〃，

所以=2a+m,\BFl\=m-2a,

因?yàn)閨=|A周—忸周=O+2a)-(m-2a)=-Jim,

所以=2壺a，

所以|M|=2a+2缶=(2+2&)。，|巾=2缶，

在△4￡工中，由余弦定理得

閨耳『=\AFtf+\AF2f-2|A耳||A&|cosN/A巴，

所以4c2=[(272+2)af+(2缶了-2(2&+2)a-2①a.2=12a。,

所以c2=3a2,得c=6a，

所以離心率為e=￡=VL

a

故答案為：V3

"5~

16.萬忘,2%

【解析】

【分析】

先根據(jù)函數(shù)周期性的定義說明乃是函數(shù)/(無)=，2sin5+J2cos楙的一個(gè)周期，在利用導(dǎo)

數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而證明乃是最小正周期;

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

根據(jù)函數(shù)/(x)=,2sin5+，2cos；的單調(diào)性可求得最大值，再比較xeg萬時(shí)端點(diǎn)處的

函數(shù)值大小，即可求得答案.

【詳解】

故x=%為f(x)的一個(gè)周期,

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，/(力>0,當(dāng)時(shí)，/(x)<0,

故〃x)在［。弓］上單調(diào)遞增，在兀)上單調(diào)遞減，故〃x)的最小正周期為乃,

且在「可上的最大值為唱卜23而/⑺=&，/(|1=1+3S

故/任J>2>/(乃)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2?

~5

故答案為：萬；0，2區(qū)

17.(1)??=2"

⑵(=〃2'+i

【解析】

【分析】

(1)由題意，4a2=4%+%,利用基本量%,?表示，運(yùn)算即得解;

(2)乘公比錯(cuò)位相減法求和，即得解

(1)

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

依題意，4a2=4a；+a3,貝l]401g=44+

/.q2-4(/+4=0,(q-2)2=0,q=2

%=2.2"T,：.a?=2"

(2)

a?=2",(〃+l)=Qz+1)2",

由題意可得(=2x2^+3x22+4x23++”27+("+1)2”①

27；,=2X22+3X23+4X24++〃2”+(“+1)2用②

①一②得到—彳,=2?2]+2?+23+2"—(a+1)2向

1+1

：.-Tn^2)+2+^+2"-(n+l)2"+2

?,f=巧|^-(〃+1)2e+2

,!+1+1

-Tn=2向一2-(“+1)?2+2=-n-2"

+1

/.Tn=n-2"

18.(1)5

(2)15A/2+7

【解析】

【分析】

(1)先通過余弦定理求出AC,再借助正弦定理求AD即可；

(2)直接表示出周長(zhǎng)，借助余弦定理求出。C+ZM的最大值，即可求出周長(zhǎng)的最大值.

(1)

在,ASC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC

=5-+22-2x5x2x(—―)=45,得AC=3A/^.

,43

因?yàn)閏osZABC=—y,0<ZABC<7i,所以sinZABC=g.

因?yàn)锳,8,C,￡)四點(diǎn)共圓，所以NABC與角/ADC互補(bǔ)，

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

34

所以sinZ.ADC=—,cosZADC=—

A。AC

在△AC。，由正弦定理得:

sinZACDsinZADC

3小T

ACsin/ACO

所以AO=

sinZADC

5

(2)

因?yàn)樗倪呅蜛BC。的周長(zhǎng)為。C+ZM+3C+B4=OC+ZM+7,

在△ACD中，由余弦定理得：AC2=DA1+DC2-IDA-DC-cosZADC,

Q1Q

即45=DA2+DC2--DADC=(DA+DC)2--DADC

2DADC2

>(DA+DC)-y(+)2=-L(DA+DC)

.-.(ZM+PC)2<450,:.DA+DC<\5-J1,

當(dāng)且僅當(dāng)ZM=DC="/時(shí)，(D4+DC)1mx=150,

所以四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值為15忘+7.

19.(1)證明見解析；

⑵存在，DP=^DM,P(0,^y/3,y-).

【解析】

【分析】

(1)先由勾股定理證OOLOM,易得DOLEF,即得證；

(2)連接OC,過E作ENIIOC交BC于N,如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一沖z,設(shè)

DP=ADM(0<A<V)<再利用向量法求解.

(1)

證明：在△DOM中，易得。。=代，OM=—,DM=—,

22

由。河2=0。2+0用2,得OO_LOA/,

又，AE=AF^2,AB=AC=3,:.EFHBC,

又加為BC中點(diǎn)，：.AMIBC,:.DO±EF,

因?yàn)镋FOM=O,￡F,OMu平面￡BCF,

:.DOL平面EBCF.

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

（2）

解：連接0C,過E作EN〃OC交BC于N,OCu平面。OC,W平面DOC,則

E7V〃平面DOC,

又。E//CN,，四邊形。硒C為平行四邊形，:.OE=NC=\,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-邙，設(shè)5P=2￡）M（0<A<1）>

由題得平面RVB的法向量為:=（o,o,1）.

設(shè)平面E2VP的法向量為7=（X,y,z），

由題得D(0,0,^),M(0,y-,0),DM=(0,y-,-V3),

所以DP=(0,—所以小=詬+DP=(-1,立4石-血).

22

由題得E(l,0,0),N(-d，0)，所以原=(-巧￥，0),

m-EN=--x+^-y-0.3

所以，所以旭=(]____2)9

m-EP=-l+|2+(5/3-V32)z=0，，6-扇

因?yàn)槎娼荘—EN—B的大小為60°,

I_2_I

所以不一_o解之得4=2（舍去）或2=

1--A

r3+(?)2

->633r-6/—3

止匕時(shí)DP=?DM=(0,—指,一—6),P(0,—

7777

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

（2）存在N（1,O）

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、|/用=忸同及葉=C2-T可求解;

（2）直線「。：尤=沖+40片0）,與雙曲線聯(lián)立，由條件可知有即N+%N=,結(jié)合韋達(dá)定

理可求解.

⑴

h2

依題意，。=2,〃+c=—，b1=c2-a2

a

解得c2_2c—8=0,得c=4,&2=i2.

22

???U上一匕=1.

412

⑵

假設(shè)存在N（〃,0）,*4,0）,設(shè)尸（4%）,。（程％），

x=my+4

設(shè)直線PQ：x=ay+4（，"0）,貝叫好y1,得（3加之—l）y2+24磔+36=

-----=1

1412

3根2—iwO

A=（24m）2-4x36（3m2-1）>0

則24m，且（%1+4）（叼2+4）＞16,

3m-1

36

3m-1

3m2-8m

即席（乂+%）+47”（必+%）＞。，即Rn——5——>0,

3m2-1

依題意，kPN+%N=。，

即———?———=0,yx（my2+4—n）+y2{myx+4—n）=0,

X[AZX?〃

36（4-n）x24m

2〃%%+（4-〃）（％+%）=0,2m-=0,

3m2-13m2-1

即3根一根（4—九）=。，m^O,:.n=l,

故存在N（l,o）.

答案第15頁(yè)，共18頁(yè)

21.（1）P（E6）=|y,P（^）=y|;⑵①+|；②應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒40

個(gè)，乙系列盲盒60個(gè).

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意，集齊4，4，4玩偶的個(gè)數(shù)可以分三類情況：A，4，4玩偶中，每個(gè)

均有出現(xiàn)兩次、A，4，4玩偶中，一個(gè)出現(xiàn)一次，一個(gè)出現(xiàn)兩次，一個(gè)出現(xiàn)三次、

A，4，4玩偶中，兩個(gè)出現(xiàn)一次，另一個(gè)出現(xiàn)四次討論計(jì)算，并根據(jù)古典概率計(jì)算即

可；對(duì)于尸（月），先考慮一次性購(gòu)買"個(gè)乙系列盲盒沒有集齊耳，生玩偶的概率再求解.

（2）①根據(jù)題意，2=（,當(dāng)"22時(shí)，,再根據(jù)數(shù)列知識(shí)計(jì)算

即可；

②由①得購(gòu)買甲系列的概