天津市九校2024屆高三下學(xué)期聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知全集。={-1,0,1,2,3}，集合/={0,1,2},5={-1,0,1},貝I](為=

B.{°』}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3)

2.設(shè)〃：x>0,q：2、〉2，則。是夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

3.

4.已知2"=5,log83=6,則)

255

A.25B.5C.D.

~93

5.設(shè)"logo」0.2,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

6.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查高中生的寫作水平與喜好閱讀是否有關(guān),通過隨機(jī)詢問120

名高中生是否喜好閱讀，利用2x2列聯(lián)表，由計(jì)算可得/=4.236.

試卷第1頁，共4頁

p（r>*）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

參照附表，可得正確的結(jié)論是()

A.有95%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”

B.有99%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”

C.有95%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”

D.有99%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”

7.如圖，在正四棱柱/BCD-/4GA中，P是側(cè)棱cq上一點(diǎn)，且￡尸=2尸C.設(shè)三棱錐

尸-*8的體積為匕，正四棱柱/BCD-4片CQ的體積為匕則也的值為()

8.已知雙曲線方=1(°>0,6>0)的左頂點(diǎn)與拋物線/=2°x(p>0)的焦點(diǎn)的距離為4,

過雙曲線的右頂點(diǎn)且與漸近線平行的直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)(-2,2),則雙曲線的焦

星巨為()

A.百B.273C.V5D.2石

9.將函數(shù)/(x)=2sin(2x-：］的圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到

函數(shù)g(尤)的圖像，有下述四個結(jié)論：

①g(x)=2sin

②函數(shù)g(x)在［ogj上單調(diào)遞增

③點(diǎn),0)是函數(shù)g(x)圖像的一個對稱中心

試卷第2頁，共4頁

④當(dāng)xe時，函數(shù)g(x)的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②③B.②③C.①③④D.②④

二、填空題

10.設(shè)2=上」+2，，則|z|=______.

1+z

11.已知卜+於:的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

12.圓/+/一4x+4、-12=0與圓/+/=4的公共弦所在的直線方程為.

13.某批產(chǎn)品共10件，其中含有2件次品，若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件，則取出的3件

產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為;取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)x的期望是.

14.在梯形48CD中，ABHCD,豆AB=2CD,M,N分別為線段。C和的中點(diǎn)，若萬=1,

后=石,用限分表示赤=,若而工反,則NTU2余弦值的最小值

為.

,、lx2+x|,x<0..

15.函數(shù)/(x)=?/I、，關(guān)于x的方程/(力="有2個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。

ln(x+l),x>0

的取值范圍是.

三、解答題

16.已知"BC的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,6,c,且b=3,c=1,4=2瓦

(1)求。的值；

⑵求cos'/+胃的值.

17.如圖，邊長為2的等邊△尸CD所在的平面垂直于矩形N2C。所在的平面，BC=2也，

〃為8C的中點(diǎn).

試卷第3頁，共4頁

p

AB

(1)證明：AMLPM；

⑵求平面弘M與平面45C。的夾角的大小;

⑶求點(diǎn)D到平面AMP的距離.

(Q6fT)J

18.已知｛叫為等差數(shù)列，"，=74偶以，記S”，北分別為數(shù)列仇｝，也,｝的前〃項(xiàng)

和，S4=32,T3=16.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)證明:當(dāng)〃>5時,Tn>Sn.

22

19.已知橢圓C：W+《=1(a>方>0)的長軸長為4,離心率為;.

a2b22

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為G,過點(diǎn)G的直線與了軸正半軸交于點(diǎn)S,與橢圓

交于點(diǎn)H,且〃F_Lx軸，過點(diǎn)S的另一直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，若邑SMG=6S?sffiv，求

直線的方程.

20.已知函數(shù)/(x)=xe"*-e*.

⑴當(dāng)a=1時，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)尤>0時，f(x)<-l,求。的取值范圍；

,111,,,、

(3)設(shè)“eN",證明：/,+/,+…+/,>皿"+D.

VI2+1V22+2sjn2+n

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【解析】本題根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】cj={-i,3},則(”)n八{(lán)f

故選：A

【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤.

2.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化簡命題4,再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】因函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，即有2工＞2?！罚?,則命題0：x＞l,

而命題尤＞0,顯然，q=p,且。&q,

所以。是夕的必要不充分條件.

故選：B

3.D

【分析】先判斷函數(shù)”X)是奇函數(shù)，排除A,C,再排除選項(xiàng)B,即得解.

【詳解】解：因?yàn)椤▁)=yV+-,所以=+3*-二3-4*+83*=-〃x).

X(-X)X

所以函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,c.

曰小,c、32+3-24134+3^81+3^1毋及江,否c

因?yàn)?(2)=——--=一，/(4)=——--=---------=6--5--6-2--＞4—=/(2),所以排除選項(xiàng)B.

233643646436

故選:D

4.C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，幕的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.

14。(2"Y^225

【詳解】因?yàn)?a=5,6=log83=-log23,即2?=3,所以4y=/=—=轉(zhuǎn)==.

54(2ibI3y

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較判斷.

【詳解】：6=e°3>2°3=c>l,0<a=logM0.2<logM0.1?1,：.b>c>a.

故選：C.

6.A

答案第1頁，共13頁

【分析】根據(jù)觀測值對照卡方表判定即可.

【詳解】由題意及表格知，觀測值三=4.236>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜

好閱讀有關(guān)”.

故選：A

7.C

【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用等體積法及錐體體積、柱體體積公式計(jì)算作答.

【詳解】在正四棱柱9co-/4GA中，p是側(cè)棱CG上一點(diǎn)，

則匕=VP-DlDB=VB-DlDP=|S.DQP-BC=^-DDcCDBC=^V,

所以也的值為J.

/6

故選：c

8.D

【分析】首先根據(jù)過雙曲線的右頂點(diǎn)且與漸近線平行的直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)，求

得。=2,接著根據(jù)平行線斜率相等求出6=1,最后求出焦距即可.

【詳解】因?yàn)檫^雙曲線的右頂點(diǎn)且與漸近線平行的直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)（-2,2）,

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為尤=-2,從而拋物線丁=2/（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,

22

因?yàn)殡p曲線5十=1（°>0,6>0）的左頂點(diǎn)為（-。,0）,所以2+。=4,解得a=2,

22

所以雙曲線※-/=1（〃>0,6>0）的左頂點(diǎn)為（2,0）,

又因?yàn)檫^雙曲線的右頂點(diǎn)且與漸近線平行的直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)（-2,2）,

所以2=2=,，即6=1,

a42

所以c=y/a2+b2=垂>,

雙曲線的焦距為2c=2石，

故選：D

22L

【點(diǎn)睛】雙曲線、-齊=1（。>01>0）的漸近線方程為y=±1x,而雙曲線

22卜

￡=1（。>0,6>0）的漸近線方程為〉=士￡》（即》=±?>）,應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.

9.B

答案第2頁，共13頁

【分析】根據(jù)圖象變換可得g(x)=2sin[x-gj,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可得：g(x)=2sin^-^,故①錯誤；

因?yàn)閯t,且了=sinx在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g(x)在(o,j上單調(diào)遞增，故②正確；

、1(4兀、_.f4TITI\_.?

因?yàn)間[丁J=2sm[----l=2smn=0,

所以點(diǎn)(7,0)是函數(shù)g(x)圖像的一個對稱中心，故③正確；

Li、r「兀1nl兀「4兀兀

因?yàn)?71,-,貝!|%―彳￡--，

_2」3|_3o_

所以當(dāng)x-：=T，即》=-兀時，函數(shù)g(x)的最大值為g(-兀)=2sin(-f|=G,故④錯

誤；

故選：B.

10.1.

【詳解】分析：首先求得復(fù)數(shù)z,然后求解其模即可.

詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有：

(l-z)(l-z)-2/

z="+2/=工——含一'-+2=―F21=

1+z(1+0G-02

則：|z|=|z|=l.

點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)模的計(jì)算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)

算求解能力.

11.80

【分析】根據(jù)題意，由各項(xiàng)系數(shù)之和可得〃，再由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意，令x=l,則3"=243,解得〃=5,

3

的展開式第『+1項(xiàng)&i=C；(xp2rC1X154廠

415-5r=0,解得r=3,所以C；2=10x8=80.

故答案為：80

12.x—y+2=0

答案第3頁，共13頁

【分析】兩式相減，即可得到兩圓公共弦所在的直線方程.

fx2+y2—4x+4y—12=0

【詳解】聯(lián)立2I，，兩式相減得無一了+2=0.

[x-+/=4

故答案為：尤-了+2=0

73

13.——

155

【分析】(1)先計(jì)算所有抽取產(chǎn)品的可能，再計(jì)算3件產(chǎn)品中且有一件次品的可能，用古典

概型的概率計(jì)算公式即可求得；

(2)先求得x的分布列，再求其期望即可.

【詳解】(1)從10件產(chǎn)品中，抽取3件，有喘=120種可能；

若取出的3件中恰有1件是次品，有C[C；=56種可能；

故滿足題意的概率P=2=A；

(2)根據(jù)題意，x=0,1,2,

7仆C：567?八Cl-Cl567?、、C'.C381

尸(x=0)=J=一=—；尸(x=l)=^~~-=——=—；尸(x=2)=-§~-=——=—,

''12012015'712012015\'12012015

故/)=31=|.

73

故答案為：—;—■

【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布中概率的計(jì)算，以及期望的求解，屬中檔題.

,.1-r2V2

14.-a-b——

43

【分析】空(1)使用向量線性運(yùn)算求解即可；

空(2)以往與彼為基底，用數(shù)量積的形式表示出加，瑟，再由基本不等式求解即可.

【詳解】

如圖，由已知，MN=AN—AM=-4B-(AD+DM)=—AB—ADDC

2,722

1—,—?11—?1―?―?1一

=-AB-AD——x-AB=-AB-AD=-a-b.

22244

答案第4頁，共13頁

??MN-~a~b.

4

設(shè)/D4B=e,即萬與B的夾角為。，

5C=&4+AD+DC=-AB+AD+-AB=--AB+AD=--a+b,

..............................222

若而jL反,則加.就^O，

［］一看）［1+〃=-92+%;-廬=-?司2+割歸卜058-Fl=0,

又?.?同>0,W>0,.?.由基本不等式，

同'8|印_」司、2同8y2也

6同同6^|6a~,6問6g3

\a\8b

當(dāng)且僅當(dāng)飛即同=2回回時，等號成立.

6M6a

1一2V2

故答案為：-a-b,

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題第2空的關(guān)鍵，是用以為夾角的兩個向量作為基底,

將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式，再借助基本不等式求解.

15.。4一1或

【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與直線＞=依的圖象有2個交點(diǎn)，畫出函數(shù)“X)的圖象，分

0=0、°＞0、°＜。討論，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】/'3="有2個不相等的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)了=/(力與直線尸數(shù)的圖象有2個交點(diǎn),

當(dāng)。=0時，函數(shù)了=/(力與直線＞=0的圖象有2個交點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)。＞0時，由x=0是函數(shù)了=/(x)與直線＞=磔的圖象的1個交點(diǎn)，

只需函數(shù)/(x)=ln(x+D(x＞0)與直線＞=如有i個交點(diǎn)即可，

當(dāng)直線片中與函數(shù)J(x)=ln(x+D(x＞0)相切時,

設(shè)切點(diǎn)為(尤o,%),可得/'(%)==7=。，且%=ln(x0+l),y0=ax0,

可得。一l=ln”,

因?yàn)閥=x-l與y=lnx的圖象只有1個交點(diǎn)(1,0),

答案第5頁，共13頁

yt

y=x-y/

=InX

可得。=1是a-l=ln。的解，

所以0＜。41時直線V="與＞=/(x)的圖象有2個交點(diǎn)，符合題意;

當(dāng)4＜0時，由Il(xVO),可得了2(%2+2x+l—〃2)=0,

y=ax

要使〉=/(力與＞="的圖象有2個交點(diǎn)，

只需/+2工+1-。2=0在》＜0只有一解即可，

可得0+0+1-/W0,解得aV-1.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是aV-1或0V。VI.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為函數(shù)了=/(力與直線＞=磔的圖象交點(diǎn)個數(shù)問

題，考查了學(xué)生的抽象思維能力.

16.(1)2A/3;

4血-76

18

【分析】(1)由/=25得siib4=sin2b再利用正弦定理和余弦定理角化邊即可求解；

(2)利用余弦定理可求cosZ,從而可求sirU及cos24、sin24,結(jié)合兩角和差的余弦公式進(jìn)行

求解即可.

【詳解】(1)由4=25,知sin/=sin2＞=2sin8cos8,

答案第6頁，共13頁

22_i2

由正、余弦定理得a=26"°一”

2ac

,:b=3,c=l,a2=12貝!Ja=2百；

(、、i+tA口六^工用4日Ab2+c2-a29+1—121

(2)由余弦定理得cos/=----------=--------=--

2bc63

\*0<A<n,sin^=Vl-cos2A=「1=逑

93

故sin2A=2sin4cosA=_生旦，cos24=2cos2A-\=~

99

兀兀兀4也-7出

cos(27l+—)=cos224cos——sin24sin—=

66618

17.（1）證明見解析

(2)45°

⑶平

【分析】（1）以。為原點(diǎn)，0/為X軸，DC為夕軸，過。作平面48co的垂線為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明/MLP"；

（2）求出平面/BCD的法向量和平面*W的法向量，利用向量法能求出平面尸與平面

48co夾角的大??；

（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)。到平面的距離.

【詳解】（1）證明：等邊APCD所在的平面垂直于矩形/BCD所在的平面，

以。點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線D4,。。為x軸、了軸，過。作平面48CD的垂線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（其他建系方法按步驟給分）

依題意，可得。（0,0,0）,尸（0,1,6）,C（0,2,0）,/（2也,0,0）,“（四,2,0）

PA?=（V2,1,-73）,AM=（-72,2,0）,

:.PM-AM=（⑨,-百）.（-72,2,0）=0,

即PM1U7，AM1PM；

答案第7頁，共13頁

y

（2）解：設(shè)力=（X，%Z）為平面口〃的法向量,

n-PM=O也x+y-jz-0

則一

n-AM=O—x/2x+2y=0

取y=l,得五=(￡1,■')，

取力=（0。1）,顯然萬為平面的一個法向量,

,‘一一、n-p百41

.?吟"尸麗=TT3'

故平面以M與平面ABCD的夾角的大小為45。；

（3）解：設(shè)點(diǎn)。到平面的距離為心

由⑵可知n=（61,6）與平面B4M垂直，

(2V2,0,0).(V2,LV3)|2屈

貝ijd=

1?1

即點(diǎn)D到平面NVP的距離為亞1.

3

18.(1)。〃=2〃+3；

（2）證明見解析.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,用q,d表示S“及北，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S.，b?,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出北，并與S”作

差比較作答；方法2,利用（1）的結(jié)論求出S,,bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式

求出（，并與S“作差比較作答.

答案第8頁，共13頁

?—6,〃=2左一1*

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛。“｝的公差為d,而，=〃，左EN*,

2an,n-2k

則bx=ax-6,b2=2a2=24+2d,b3=a3-6=ax+2d-6,

S=4a,+6d=32

于是44=4%+4d-12=16'解得4=%=2,+3,

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式是=2〃+3.

2n—3,n=2k—1.

(2)方法1：由(1)知，S?=〃(5+；〃+3)=r+4”,b“=AeN*,

4n+6,n=2k

當(dāng)n為偶數(shù)時，%+6“=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6^+1)n

7"2I▲J,

22

371

22

當(dāng)〃>5時，Tn-Sn=(―A?+—H)—(n+477)=—n(n—1)>0,因此(>S”,

3735

22

當(dāng)〃為奇數(shù)時，T；=^+1-^+i=-(?+l)+-(?+l)-[4(n+l)+6]=-/7+-77-5,

3s1

22

當(dāng)〃>5時，Tn—Sn=(—n+—^―5)—(77+Ari)=—(w+2)(H—5)>0,因此北>S“,

所以當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

2n—3,n=2k—1

方法2：由（1）知，S.=〃（5+｝+3）=/+而,bn=火￡N*,

4〃+6,〃=2左

當(dāng)〃為偶數(shù)時,

-l+2(n-l)-3n14+477+6n

T=(b+b+---+b_)+(b+b+---+b)=

nl3nl24n2,22222

371

22

當(dāng)〃〉5時，Tn—Sn={—n+—n)—(n+4/z)=—n(n—1)>0,因此<>5”,

當(dāng)〃為奇數(shù)時，若〃上3,則

T/7L7XZ77—1+2n—3〃+l14+4(7?-1)+6n-\

1=(61+a+--+%)+32+“+?一+〃_1)=-----------------------------—+

22

Qsa5「

=5,顯然7；=4=-1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時，+-n-j,

2

351

22

當(dāng)〃>5時，Tn—Sn={—n+—n—5)—(w+4AI)=—(w+2)(w—5)>0,因此

所以當(dāng)〃〉5時，Tn>Sn.

答案第9頁，共13頁

19.(I)—+—=1;(II)y=^-x+1,y=-^-x+1.

4322

【分析】(I)由橢圓的長軸長為4,離心率為列方程組，解得。，b,c,進(jìn)而可得答

案.

(II)由(I)知=-1,代入橢圓的方程可得為/,進(jìn)而可得H點(diǎn)坐標(biāo)，的長，又由

于箓=要，解得OS,進(jìn)而可得S點(diǎn)坐標(biāo)，推出罷=2，分兩種情況，當(dāng)直線的斜

HFGFSG2

率存在時，當(dāng)直線的斜率不存在時，討論直線九W的方程，利用已知條件和三角形的面

積公式，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)分別求解即可得出答案.

2a=4

c1

【詳解】(I)根據(jù)題意可得—=彳，

a2

a1=b2+c2

解得a=2,c=l,b=VJ，

22

所以橢圓。的方程為土+匕=1.

43

(II)由(I)知尸(-1,0),G(2,0),

因?yàn)橛容S，所以“=-1,

因?yàn)镾在了軸的正半軸，所以“在x軸上方,

因?yàn)辄c(diǎn)H在橢圓上，所以工+兇_=1，解得力=：,

432

所以BPHF=|,

OS2

因?yàn)槎?3,解得OS=1,

HFGF—

所以S(0,1),所以粵=：,

S(J2

當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線血W的方程為＞=丘+1,

設(shè)”(再,必)，N(x2,y2),

y=kx+\

聯(lián)立；%2y2,(3+4左之+8丘-8=0,

[43

所以苞+%=一號T①'苫也=三記②,

答案第10頁，共13頁

因?yàn)镾^SMG=6SASHN，

所以J?|SMHSG|?sinaMSG=6?；|依卜|耽卜sinZHSN,

所以|5A/|.|SG|=6|7/S|.|5W|,所以|S"|=3|SN|,

所以市=3而，

所以(-%,1-%)=3(々,%一1),

即項(xiàng)=-3工2③，

由①②③，解得左=±如，

2

所以直線跖V的方程為無+1,y=-^x+l,

當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線九W的方程為x=0,

此時SM\蜀V=3司+1=2+反r不合題思.

綜上可得，直線初V的方程為y/x+1,y=-^-X+\.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解決本題的

關(guān)鍵點(diǎn)是由器=胎解得⑹進(jìn)而可得s點(diǎn)坐標(biāo)，推出ej分直線班的斜率存

在和不存在兩種情況，利用已知條件和三角形的面積公式，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)分別求解即

可，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.(1)/(力的減區(qū)