吉林省部分名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)試卷8.已知雙曲線，,一*=1(心0?〃〉())的右焦點為F,右頂點為人，過點F作/軸的垂線，垂

線與雙曲線E的一個交點為P，RF的中點為Q,直線AQ與直線OF(O為坐標(biāo)原點)的交點

在雙曲線E上，則雙曲線E的離心率為

注意事項：A.72B.3C.73IX2

1.答題前，考生務(wù)必將月己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題K匕二、選擇題:本題共“小題，每小題5分，共2。分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題「上對應(yīng)題「1的答案標(biāo)號涂求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

黑。如需改動,用橡皮擦干凈后.再選涂H他答案標(biāo)‘，九問答非選擇題時，將答案可在9.已知橢圓E：-；4”-1(“>—())的離心率，-g㈤.F,分別為它的左、右焦點,A,B分別

口「答題卡上。寫在本試卷上無效。WbZ

鏟

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。為它的左、右頂點,P是橢圓E上的一個動點.|山軍|一的最大值為26,則下列選

4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教A版選擇性必修第一?冊。項正確的是

A.當(dāng)。不Lj左、右端點重合時?△2居"的周長為定值4+2收

鼠一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合B.當(dāng)PF」BR時，行6尸］

題目要求的.

地1.已知向量a=(l,。,"［)，b=(—3,0,—2),且a〃b,則ni—C仃且僅彳4個點P,使得B為1T角?:角形

D.當(dāng)直線PA的斜率為1時,自線PB的斜率為一］

A2B---c—D—3

,3322

I郵

其2.雙曲線看一*=1的漸近線方程為10.宜線/經(jīng)過點(2.-4),II在:兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則出線/的方程可能緊

盤bloA.2/+y=0.B.2,x~\~y-8=0C.①一y—6=0D.1+?+2=0

A.,v=±-/3.rB..y」七條r11.如圖，在正方體AI3(、Q—中，P為4(、的中點，旗一砒“￡［()」］,則下列說

法正確的是

■EC.V=±3J-D.3=土;上A.PQ.1A.B

B.當(dāng)/=1時,PQ〃平面

3.直線山一4y+2=0與直線27一(a—2)jHa=0平行.則a=

熬

A.-2B.-3C—2或4I).1

C.當(dāng)/=：時,PQ與CD所成角的余弦值為印

4.拋物線-4.rz的準(zhǔn)線方程為

朝

A.1=七B.尸余C.i=一1=t當(dāng)尸［時..】垂直于平面

嶷D.AQPABi

1

榭5.已知向量a=(9,8,5),b=(2,—l,—1),則向量a在向量b上的投影向量c=12.已知拋物線E；y--U的焦點為F,過點尸作瓦和垂H的兩條白線與拋物線E分別交于點

A.("I".——B.(3?——AJi,C,l),P,Q分別為A",CD的中點,()為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論中正確的是

366221,11

AA?西所+可用二彳

r(__A旦)D(—―---)

,(3'6'6''I3，6*6)B.(IP?芭力5

6.已知尸為圓()：.產(chǎn)工>2=1上_.動點?為網(wǎng)M：Q—3)H(y—4)』64上一動點，則|PQ|的C.若卜,恰好為PH的中點,則江線PQ的斜率為土與

最小值為

A.4B.3C.2I).1D.直線PQ過定點(3,0)

7.已知F1是橢圓M：AAl(0VY2)的左焦點，第一象限內(nèi)的點。在M上，直線PF』三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線3.L,V卜6=。與兩坐標(biāo)軸圍成的?:用形的面積為_▲.

)軸交于點A,()為坐標(biāo)原點，且IPF1|=31AF；||CM|=4仇則b=14.若點(1?2)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為3.請篤出一個C的標(biāo)準(zhǔn)方程：—▲

卦

15.在直三棱柱A3C—45(；中./直、八二9(1.分別是小用,A}Ct的中點,8C=CA=

A/T3r/14「尺TA/58

K-rB--5—y('G，則％M與八N所成角的余弦值為_歪.

【C高二數(shù)學(xué)第l頁(共4頁9】【小高二數(shù)學(xué)第2列共I頁)6］

16.已知A,B是拋物線。：/2=工上的兩點,人與B關(guān)于z軸對稱,D(3,0),則|AB|2+|AD|220.（12分）

的最小值為▲.如圖，在四棱錐P-ABCD中,△PBC為等邊三角形,AB〃CD,A&LAD,AB=2AD=2CD

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.=>叵BC,E,F分別是BCPD的中點.

17.(10分)(1)證明:EF〃平面PAB.

已知圓M經(jīng)過人(1,1),3(3,1),。(3,5)三點.(2)若ACJ_PB,求平面AEF與平面PBD夾角的余弦值.

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線I與直線AC垂直，且/與圓M相切，求/在,軸上的截距.

21.(12分)

如圖，第25屆中國機器人及人工智能大賽總決賽中，主辦方設(shè)計了一個矩形坐標(biāo)場地AB-

CD(包含地界和內(nèi)部),BC長為12米，在AB邊上距離B點5米的E處放置一只機器犬，在理

距離B點2米的F處放置一個機器人,機器人行走的速度為小機器犬行走的速度為2次若

18.(12分)

機器犬和機器人在場地內(nèi)沿著直線方向同時到達場地內(nèi)某點P,則機器犬將被機器人捕獲，沁

已知橢圓C：，+<=1(￡>6>0)的焦距為26,短半軸長為伍點P叫成功點.

(1)求在這個矩形場地內(nèi)成功點P的軌跡方程；才

(1)求橢圓。的方程；

(2)若N為矩形場地BC邊上的一點，若機器犬在線段EN上都能逃脫，問N點應(yīng)在何處？

(2)已知直線I交橢圓C于M,N兩點，且MN的中點為(一1,一1),求直線I的方程.A?--------------------?D

王

F........"胸

--------------------U

明

22.(12分)

圜

已知雙曲線C：￡一1=1(。>0,6>0)的右頂點為A,左焦點為F,過點F且斜率為1的直

19.（12分）

如圖，在直三棱柱AB￡—ABC中,AC_LAB,AC=2,AB=4,AAl=6,E,F分別為CAl，線與C的一條漸近線垂直,垂足為N,且|FN|=1.

AB的中點.(1)求C的方程.

(1)若^^=.7,瓦用B1(j+B1A*，求x-,y^z的值;(2)過點M(-2,0)的直線交C于2(為，》),(2(12，“)兩點，直線AP,AQ分別交了軸于點

(2)求8c與平面AEF所成角的正弦值.G,H,試問在I軸上是否存在定點了,使得TG±TH?若存在，求點T的坐標(biāo);若不存

在,請說明理由.

g高二數(shù)學(xué)第3頁(共4頁9】高二數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)a]

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案

1.A由題意得三=芻,所以〃?=京

J乙O

2.B雙曲線《一言=1的漸近線方程為產(chǎn)士筌z=士除m

b18718§

3.D由一(a—2)Q+8=0,解得。=一2或。=4.當(dāng)a=-2時,兩直線重合；當(dāng)a=4時，符合

題意.

4.B拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為一=一、,所以其準(zhǔn)線方程為3，=^

5.A因為向量。=(9,8,5),6=(2,—1,—1),所以向量a在向量力上的投影向量c=|a|?

cos〈*'〉?由=而?4腔=(,—石，—石)?

6.C由題意得圓M的圓心為M(3,4),得|OM|=5,圓。與圓M的半徑之差為8-1=7>5,

所以圓。與圓M的位置關(guān)系為內(nèi)含，所以|PQ|的最小值為8-5-1=2.

7.C由題意得6(—c,0),A(0,16).設(shè)P(7〃，")，則用=(機+c,〃)，三演=(c,[6).由印

(TTZ+C=3C,(m—2c,2"

=3幣,得13所以13即P(2c,1~6).因為點P在M上，所以(十誓=1,

得「看故—山(=寧?

**

8.B易知A(a,O),F(c,O)，不妨設(shè)P(c,-)，則QG3).設(shè)直線AQ與直線0P的交點為B,

a乙a

A2

因為B在雙曲線E上，所以B,P關(guān)于原點對稱，即

a

因為Q,A,B三點共線,所以前〃花.因為豆5=(a+c,f)渴=(c—

所以(a+c)?x-——?(c—a),所以3a—Cye=——3.

NQaa

9.ABD因為|PBITPB|的最大值為2月，所以2c=2西,c=悟.

因為e=￡=g,所以a=2,6=l,所以橢圓E的方程為T+*=i.

az4

因為△PBB的周長為|PBI+|PFz\+\F1FzI=2a+2c=4+2痣，所以A正確.

A217

當(dāng)PF」居Fz時，|PFi|=?=打，因為|PB|+|PFz|=2a=4,所以|PFzI=或，故B

正確.

因為NBPB的最大值為120°,所以存在4個點P,使得NBPF2=90°.

【日高二數(shù)學(xué)?參考答案第1頁(共6頁)公]

又因為存在2個點P使/PKF?=90°,2個點P使/PFzK=90°,

所以存在8個點P,使得△PBB為直角三角形，故C錯誤.

22

因為為（一2,0）,B（2,0）,設(shè)P（JCO，Vo）,則號+2=1，所以.=1一8,

］_逋

所以kpAkpB=-9"—笠2=I"=—一~\=—"T"因為左PA=1,所以kpB=kpAkpB=-4->

刈一2網(wǎng)十/XQ一4就一444

故D正確.

10.ACD當(dāng)直線I的截距為0時,直線/的方程為、=一27,即2H+?=0.

-，-

當(dāng)直線/的截距不為。時，設(shè)直線/的方程為三十蘆=1,則4ab解得彳或

ab［。=一6

［IQ1=16

Ja=-2,

\b=—2.

（Q=6,

若《則直線l的方程為2—y=6,即%—、-6=0；

若I；［；：'則直線1的方程為皂+4=1，即z+y+2=o.

11.ABC建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,則QCt,

0,力），所以9=（｝—/,0，：一力,初=（1,0,—1）,所以吊.3=

0,所以PQ，4B,A正確.

當(dāng)t時，訪=（0,2，0）=（配，所以PQ〃BC,從而PQ〃平面

BCCi3,B正確.

當(dāng)時,9=（卷，2，/），黃=（1,0,0），所以PQ與CD所成角的余弦值為

cos〈黃,Q?〉=/J,C正確.

當(dāng)時，真益?/=（1,（）,一告）?（l,0,l）W0,所以4Q不垂直于AB-所以4Q不

垂直于平面PA3,D錯誤.

12.ABD設(shè)直線AB的方程為久=機）+1（mWO）,A（?,、1）,B（rr2，的），

聯(lián)立方程組《得）2—4a）-4=0,則了1+、2=4相，方”=—4,

iy=4i,

所以|AB|=，（1+*）［（丁+〃）2—=4（加+1），同理可得|CD|=4（.,1）,所以

m

亮到+目1=:'故人正確，

【日高二數(shù)學(xué)?參考答案第2頁（共6頁）公］

因為P，Q分別為AB,CD的中點，所以P(2〃+1,2%),Q(W9+1，一二9)，

mm

所以8?60=1+2川+與>5,當(dāng)且僅當(dāng)初=士1時，等號成立，故B正確.

m

因為F為PB的中點，所以y2=-2m.因為2+2=4加,所以泗=6%.

因為川北=T2/=—4,所以/=4，所以&-44=，故C錯誤.

當(dāng)直線PQ的斜率存在時，砒=，所以直線PQ的方程為2租=Y4①一2W—D,

m一1m一1

整理得V=Tr(z—3),所以直線PQ過定點(3,0)；

m十1

當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,〃?=±1,直線PQ的方程為久=3,過點(3,0),所以直線PQ過

定點(3,0).故D正確.

13.6直線與y軸交于點(0,6),與7軸交于點(一2,0),所以圍成的三角形的面積為［X6><2

=6.

14.丁=8力(本題答案不唯一*,y2=8x,y2=—16%,力2=”,力2——20y任選一^個即可)由題意

得拋物線C的準(zhǔn)線可能為直線1=—2,久=4~=—1r=5,所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為/=

=一162,冗2=4了,冗2=一2()況

15.如圖，以G為坐標(biāo)原點,E，CX,云的方向分別為①,

Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=CA=JcG=2,則

A(0,2,4),B(2,0,4),M(l,l,0),N(0,l,0).因為寂=(0,—1,—4),

加=(T,L—4),所以cos〈冰，麗〉=^^=熱.

16.苧設(shè)A"』)，則行=處，夙?.一加)，所以1AB"|AD|2=/B、

222

(2^I)+(Xi—3)+5=jcl—6?+9+5>i=—6為+9+5耳二云—乃+9=(xi—)+

；，因為?〉0,所以當(dāng)處=1時/AB|z+|AD12取得最小值,且最小值為彳.

17.解：(1)由題意得九=(2,0),祝=(0,4).

因為◎?就=0,所以AB_LBC,則AC是圓M的直徑.........................2分

易得AC的中點的坐標(biāo)為(2,3),|AC|=，(3—1)?+(5—=2店...............4分

故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(3—3尸=5....................................5分

(2)由題意得%AC=|E^=2,所以/的斜率為>=一........................7分

J-1欠AC乙

設(shè)/：、=—［z+6,即7+2y—26=0.

【日高二數(shù)學(xué)?參考答案第3頁(共6頁)公］

由點M到/的距離為屋曼"2回=西，得6=,或?qū)W,9分

/十2,乙乙

所以/在y軸上的截距為|■或?qū)W...........................................10分

18.解：（1）因為2c=2乃,6=伍，.................................................2分

所以/=62+02=8,....................................................................................................................4分

22

故橢圓C的方程為3+5=1................................................................................................5分

oZ

（2）易知直線/的斜率存在,設(shè)直線/的斜率為旌M（①i，，i）,N（q，V2）,

因為MN的中點為L.1）,所以仁一一］,........................1。分

所以直線/的方程為，+1=一7+1）,即z+4y+5=0..............................................12分

19.解：（1）（方法一）因為肝=*—碇=5嵇一!（區(qū)范+4C）=—［瓦室+!（期一五）

--J.K,..........................................................................3分

所以H=：,，=一；,z=0..............................................................4分

（方法二）連接AG,BG,則EF是△ABG的中位線.

因為防最='（9一六）=（簫一［*,...........3分

所以7=《,'=一^|>z=0...............................................................4分

注:也可以通過建系來求解.

（2）以4為原點，以AiG，A】Bi,AiA所在直線分別為z,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示，則A(0,0,6),C(2,0,6),5(0,4,0),EQ,0,3),FC0,2,6),................................6分

所以叱=(2,—4,6),左=(1,0,—3),京=(0,2,0)......................................................7分

ffi?—3z^=09

設(shè)平面AEF的法向量為〃=(i，v，N),則4―史

[n?A戶=2.=0,

取1=3,可得。=0,2=1,所以匕=(3,0,1)?......................................................................9分

設(shè)耳C與平面AEF所成的角為心則sm吐答;…12分

【日高二數(shù)學(xué)?參考答案第4頁（共6頁）公］

20.（1）證明：取AD的中點G,連接GE,GF.................1分

因為48〃3）,￡：，,6分別是_8。11）,49的中點，

所以GE〃AB,GF〃PA..................................................2分

因為PAnAB=A,GEnGF=G，所以平面GEF〃平面

PAB...................................................................................3分

因為EFU平面GEF,所以EF〃平面PAB................4分

（2）解:不妨設(shè)AB=2AD=2CD=VlBC=4.

因為AB_LAD,AD=CD=2,所以AC=2打.

因為AB=4,BC=2畬,所以AC?+BC2=AB2,即AC±BC.

13AC±PB,BCCiPB=B,!^UAC±^f?PBC..........................................................5分

連接PE,因為△PBC為等邊三角形，所以PE±BC,

所以PE，平面ABCD............................................................................................................6分

以C為坐標(biāo)原點,C5,&的方向分別為軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝I]A（2慮',0,0）,B（0,2后0）,D（后-反0）,E（0,原',0）,P（0,成

.................................................................................................................................................7分

設(shè)平面AEF的法向量為〃=（11.，21）,因為區(qū)5=（—2加\北\0）,女？=（一呼＞0,彳），

fn?A￡=-21rl+/^yi=0,

所以13/2/g令?=1,則〃=（1,2,西）.....................9分

\n-A?=——rrid--=0,

設(shè)平面PBD的法向量為m—（g，之2），因為6力=（y/2,—3y/2,0）,P、=（0,一層）,

[m?—3A/2V2=0,「「

所以1令臣=1，則根=（3形,西，1）..................................11分

=

[帆?~Bp=42y20,

=m-/=6偌=3

因為cos（m,n）

I機“川272X73162

所以平面AEF與平面PBD夾角的余弦值為注算...........................12分

21.解：（1）如圖，分別以BC,BA所在直線為了,y軸，建立平

面直角坐標(biāo)系，則E（0,5）,F（0,2）,設(shè)成功點P（x,y）,

.................................................................1分

可得............................2分

VLV

3分

化簡得12+（丁-1）2=4.............................................................................................................5分

【￡高二數(shù)學(xué)?參考答案第5頁（共6頁）￡】

因為點P需在矩形場地內(nèi)，所以故所求軌跡方程為興+0—1)2=4(0(XW2).

.................................................................................................................................................6分

91

⑵當(dāng)線段EN與(1)中的圓相切時,sin/BEP=(=看，........................8分

W3

所以/BEP=30°,所以|BN|=5tan30°=.............................................................10分

若機器犬在線段EN上都能逃脫，則N點橫坐標(biāo)的取值范圍是(寺，12]................12分

22.解：(1)因為FN的斜率為1,且FN±ON(O為坐標(biāo)原點)，

所以---=—l,a=b.