山西省晉中市平遙縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)函數(shù)g(x)=e'+(l—G)x—aCaeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，定義在尺上的函數(shù)/(x)滿足/(—x)+/(x)=Y,

%1/(%)+12/(1一元)+%；，且/為函數(shù)y=g。)一%的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

且當(dāng)尤<0時(shí)，f\x)<X.若存在

a的取值范圍為()

(@}廠

A.—,+ooB.(Je,+oo)C.h/e,+oo)D.—,+oo

12J_2)

,2

2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足匕+丁<1,貝!1卜+曠-2|+￥+V-6x+7|的最小值等于()

2

A.6&-5B.672-7C.屈—后D.9-60

3.設(shè)復(fù)數(shù)貝!J|z|=()

l+3z

A1B也1VI

C.-D.—

3322

4.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()

H「-2-?<*<,2—玄H-2—?1

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

11

A.—B.4

3

13

C.—D.5

3

5.函數(shù)f(x)=sin2x+Msinx-卜3x在［生,工］上單調(diào)遞減的充要條件是()

A.m<-3B.m<-^C.m<--------D.m<4

3

6.已知雙曲線。：鳥(niǎo)-1=1（。>°，6>°）的右焦點(diǎn)為/，若雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為f，且點(diǎn)R到該漸近線

ab3

的距離為石，則雙曲線C的實(shí)軸的長(zhǎng)為

A.1B.2

7.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）.

A.2及生S，且26gsB.2正史S，且2退eS

C.2垃GS，且2百WSD.2A/2e5）且26eS

8.已知AABC的內(nèi)角A,瓦C的對(duì)邊分別是a,b,c,且不十六：1=2c?,若。為最大邊，則”的取值范圍

a2+b2c

9.已知拋物線C:V=6x的焦點(diǎn)為R，準(zhǔn)線為/,A是/上一點(diǎn)，3是直線AF與拋物線。的一個(gè)交點(diǎn)，若￡A=3M，

則1環(huán)|=()

75

A.-B.3C.-D.2

22

10.在正方體ABCD—44GR中，點(diǎn)尸、。分別為A3、AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作平面戊使用P〃平面a,人。〃平

面a若直線片2c平面，則號(hào)的值為（）

MD,

11.設(shè)a,b為非零向量，貝!1"卜+0=同+卜卜是“a與b共線”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.已知函數(shù)/(尤)=。卜2%—21nx)(a>0),D=若所有點(diǎn)(s,/⑺)，(s/e。)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為

e2—i，則。=()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知(2x-l)7=ao+aix+a*2+…+“7》7,則改=.

14.將函數(shù)/(%)=sinx的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=g(x)函數(shù)的圖象，則函數(shù)y=/⑴?g(x)的最大值

為.

15.在(=+?)"的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024,則展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值等于.

X

16.已知等比數(shù)列｛為｝滿足公比S”為其前〃項(xiàng)和，S],54,其構(gòu)成等差數(shù)列，則§2020=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)點(diǎn)方(1,0),動(dòng)圓尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)歹且和直線x=-l相切.記動(dòng)圓的圓心尸的軌跡為曲線W.

(1)求曲線W的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)/(0,2)的直線/與曲線W交于人、B兩點(diǎn),且直線/與x軸交于點(diǎn)C,設(shè)胚4=0AC，MB=0BC,

求證：a+,為定值.

18.(12分)如圖，直三棱柱ABC—4月。1中，底面ABC為等腰直角三角形，ABLBC,A41=2AB=4,M,N

分別為CG，8片的中點(diǎn)，G為棱AA上一點(diǎn)，若43,平面"NG.

(1)求線段AG的長(zhǎng)；

(2)求二面角5—MG—N的余弦值.

19.(12分)已知函數(shù)/(九)=|x+l|.

(1)求不等式〃%)44—|2%—3|的解集;

(2)若正數(shù)機(jī)、〃滿足根+2〃=zm,求證：f(m)+f(―2n)>8.

20.(12分)AABQ的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,4c,J.(sinA+sinB)(a-b)+bsinC=csinC.

(1)求A;

(2)若b=2c,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，且AD=@,求AABC的面積.

21.(12分)設(shè)橢圓C:J+J=l的右焦點(diǎn)為口，過(guò)歹的直線/與C交于A3兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)直線/的傾斜角為45。時(shí)，求線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)4關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,求證：M,B,C三點(diǎn)共線；

(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)拉的直線交橢圓于G,"兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得OG+OH=2OP(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)

力的取值范圍.

22.(10分)如圖，已知四棱錐尸—A5CD的底面是等腰梯形，AD//BC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,APAD

為等邊三角形，且點(diǎn)尸在底面ABC。上的射影為AD的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段上，且CE:￡B=1:3.

(1)求證：DEJ_平面上4D.

(2)求二面角A—PC—。的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先構(gòu)造函數(shù)T(x)=/(x)-gd,由題意判斷出函數(shù)T(x)的奇偶性，再對(duì)函數(shù)T(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求

出結(jié)果.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)T(x)=/(x)—

因?yàn)?(一力+/(X)=*，

所以T(x)+T(-x)=f(^)--x2+f(-%)--(-x)=f(%)+/(-x)-x2=0,

所以T(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)xWO時(shí)，T\x)=f\x)-x<0,所以T(x)在(—8,0]上單調(diào)遞減，

所以T(x)在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)榇嬖?e<x/(%)+^>/(l-x)+x>,

所以/(Xo)+g2/(l_Xo)+Xo，

1117

^rlUr(x0)+—xj+—>T(l-x0)+-(1-x0)+x0,

化簡(jiǎn)得T(/)?T(l_Xo)，

所以x0<l—%,即

令“⑺=g(x)-x=/-y/ex-a^x<g],

因?yàn)?。為函?shù)y=g(%)—x的一個(gè)零點(diǎn)，

所以人⑴在XVJ時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)

11

因?yàn)楫?dāng)工?5時(shí)，”(%)=ex-y[e<—y[e=0,

所以函數(shù)從￡)在％wg時(shí)單調(diào)遞減，

由選項(xiàng)知。>0,--廠<。<5，

所以要使h(x)在％Wg時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),

只需使丸=解得半，

所以〃的取值范圍為3-,+8,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，難度較大.

2、D

【解析】

設(shè)x=4icos0，y=sin。，去絕對(duì)值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出?

【詳解】

因?yàn)閷?shí)數(shù)x,丁滿足］+優(yōu),1,

設(shè)x=V^cos。，y=sin3，

x?+y~—21+1%2+-6x+7|=|2cos-0+sin~。-21+12cos-0+sin~0~6^/2-cos。+71=|-sin~3\+

2

|cos^-6A/2COS0+8|,

2

cos6-6A/2cos6?+8=(cos6-3回-10>0恒成立，

/.|+y~-21+1尤?+y~—6x+71=sin-。+cos-0—6A/^"COS6+8=9-6^/2-cos6..9-6>/21,

故貝!||/+/-2|+，+>2一6x+7|的最小值等于9—6五.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平.

3、D

【解析】

先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)，然后用模長(zhǎng)公式求z模長(zhǎng).

【詳解】

?2-z(2-z)(l-3z)-l-7z17.

7—-----------=------------------------------=---------------="-------------I

1+3，(1+3z)(l-3z)101010'

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐A-CRE放入長(zhǎng)方體中，利用體積分割求解即可.

【詳解】

如圖，三棱錐的直觀圖為A-C2E,體積

匕-⑷E=%:方體AG—%-ABC~^E-CClDl~~^E-AT\F^^D^-ADC

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了錐體的體積的求解，利用的體積分割的方法，考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.

5、C

【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則/‘(x)<0恒成立，對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)

63

和圖象，列不等式組求解可得.

【詳解】

依題意，/(x)=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1,

令cos』，則口耳當(dāng),故4r+〃+1?0在，乎］上恒成立;

4“x—1+mx—1+1…,0科，-4

42

結(jié)合圖象可知，，「，解得8右

/3V3

4x—+mx----FL1,0n—一7

42

.,8百

rum<-------?

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法：

⑴代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角"（或8,利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等

式求解；

⑵圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.

6、B

【解析】

雙曲線。的漸近線方程為y=±?x,由題可知？=tan工=6.

aa3

1國(guó)

設(shè)點(diǎn)E（c,0）,則點(diǎn)/到直線y=Gx的距離為=#),解得c=2,

所以，="+62=〃+3〃=442=4,解得。=1,所以雙曲線C的實(shí)軸的長(zhǎng)為2a=2,故選B.

7、D

【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長(zhǎng)度，進(jìn)一步求出個(gè)各棱長(zhǎng).

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，

如圖所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=2正,BE=7（272）2+22=273.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

,744多〃2所

由::=202,化簡(jiǎn)得到cosC的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.

a2+b2

【詳解】

a4+b4+c4+crb2得面+/)2+°4_//

由

a1+b2a2+b2

-r/亙2,22C2(a2+b2-c2)+a2b2

可得"+_c-=------------------------.

a2+b2

222222

病八殂(a+b-c)(c-a-^y+a^bn

分得-------------A------A------------------0，

a2+b2

整理得(1+〃—02)2=,所以￡+"-c12=J_,

lab4

因?yàn)镃為三角形的最大角，所以cosC=-=，

2

又由余弦定理c?=a?_|_b?—2abcosC—/+b?+ab—(Q+/?)2—ub

2(4+加2_("2)2=3(4+與2,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)，等號(hào)成立，

24

所以c〉走(a+力，即空出〈友，

2c3

又由a+Z?>c,所以?的取值范圍是(1,竽］.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)，余弦定理，以及基本不等式的綜合應(yīng)用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了

推理與運(yùn)算能力.

9、D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得|”卜6,由此求得忸目的長(zhǎng).

【詳解】

過(guò)3作3C，/,垂足為C,設(shè)/與x軸的交點(diǎn)為。.根據(jù)拋物線的定義可知忸司=忸。.由于工4=3所，所以

\AB\=2\BC\,所以NC4B=,所以|附=2即=6,所以|四=曰加=2.

本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

作出圖形，設(shè)平面a分別交42、G2于點(diǎn)E、F,連接。石、DF、EF,取CD的中點(diǎn)G,連接PG、Cfi,

連接AG交用2于點(diǎn)N,推導(dǎo)出5/〃GG,由線面平行的性質(zhì)定理可得出￡G〃。/，可得出點(diǎn)歹為C4的中點(diǎn),

MD,

同理可得出點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得看的值.

Mni

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)平面a分別交A。1、CQi于點(diǎn)E、F,連接。石、DF、EF,取CD的中點(diǎn)G,連接PG、QG,連接AC交

42于點(diǎn)N,

四邊形ABC。為正方形，P、G分別為A3、CD的中點(diǎn)，則BP//CG且BP=CG,

二四邊形3CGP為平行四邊形，；.PGHBC豆PG=BC,

B.CJ/BC且B〔Ci=BC,:.PG//BG且PG=耳6，則四邊形BgGP為平行四邊形,

ByP//Cfi,4P〃平面a,則存在直線au平面a,使得用巴/a,

若GGu平面a,則Ge平面a,又。c平面a,則C￡)u平面a,

此時(shí)，平面a為平面CDRG，直線4。不可能與平面a平行,

所以，。16<2平面",，。16〃。，，。16〃平面々，

CGu平面CDQG，平面平面e=D尸，，。尸〃GG,

.QF//DG,所以，四邊形C]GDB為平行四邊形，可得。]石=。6=^8=：。12,

11MD.1

二斤為G4的中點(diǎn)，同理可證E為A2的中點(diǎn)，BREF=M,.?.MDi=_DiN=—B[D],因此，--L=-.

24"43

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線段長(zhǎng)度比值的計(jì)算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面a與正方體各棱的交點(diǎn)位置，考

查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

11、A

【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.

【詳解】

若卜+q=M+W，則。與b共線，且方向相同，充分性；

當(dāng)a與b共線，方向相反時(shí)，,+匕卜卜|+同，故不必要.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.

12、D

【解析】

依題意，可得/'(x)>0,Ax)在1,1上單調(diào)遞增，于是可得Ax)在上的值域?yàn)閇a(e+2),e2a],繼而可得

a^e2-e-2^^1--=e2-1,解之即可.

【詳解】

解：/3=人二]=水x—2),因?yàn)?a>0,

所以尸(x)>0,〃尤)在-,1上單調(diào)遞增，

e

則“X)在pl上的值域?yàn)閇a(e+2),e2a],

因?yàn)樗悬c(diǎn)6/⑺)(取eD)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為e2-l,

所以a(e?-e-2)[1—1=

解得。=三，

e-2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到“(e2-e-2)(l-3=e2-1是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

e

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-84

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.

【詳解】

7rr

解：(2x-l)7的展開(kāi)式通式為：7；+i=C；(2x)-(-l)

當(dāng)r=5時(shí)，7；=C|(2x)2(-l)5=-84x2,

則a2——84.

故答案為：-84

【點(diǎn)睛】

本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題.

3

14、

4

【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)g(x)函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理/(x)g(x)的表達(dá)式，進(jìn)而

由三角函數(shù)值域求得最大值.

【詳解】

將函數(shù)/⑺=sinx的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=g(x)=sin函數(shù)的圖象,

=sinxflsinx-^cosXlsin^-^sinxcosx

貝！ly=/(x)g(x)=sinx

(22J22

l-cos2x_^.ll_lflV3J

=1sin2x=cos2x+sinl-lcosfx-^

22224212242I23)

所以，當(dāng)cos2x—f=-1函數(shù)最大，最大值為9=W

I3J424

..3

故答案為：一

4

【點(diǎn)睛】

本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式并求最值，屬于簡(jiǎn)單題.

15>15

【解析】

利用展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,

故［W+石)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+i=C'yr￡1。，令m-10=0,解得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)s=c，3=15,故填15.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

16、0

【解析】

利用等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】

由Sz，54,臬是等差數(shù)列可知

2s4=52+56=>2爐=1+/=>(爐—1^=0

因?yàn)?彳1,所以q=T,82020=0

故答案為：0

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)y2=4x；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)已知P點(diǎn)軌跡是以R為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得曲線W的方程；

2

(2)設(shè)直線方程為丁=履+2,kwO,則C(-7,0),設(shè)4>1，%),3。,,當(dāng))，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)

k

用韋達(dá)定理得西+々，X1X2>由MA=tzAC，用橫坐標(biāo)表示出然后計(jì)算并代入西+々，

七人2可得結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)動(dòng)圓圓心尸(X,y),由拋物線定義知：P點(diǎn)軌跡是以F為焦點(diǎn),直線l=-1為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為

y2^2px(p>0),則5=1,解得。=2.

曲線W的方程為V=4x；

2

(2)證明：設(shè)直線方程為丁二丘+2,心0,則C(—7,0),設(shè)4項(xiàng),弘)1(犬2，%)，

k

Y—+2

由《，得k2/+(4左_4)X+4=0,①，

y=4%

e4k—44

貝！J為+馬=--瓦一X1X2=②,

由M4=tzAC，MB=0BC，得

(%,%—2)=a(—%jj)，(%2,%-2)=B(—x、——,—y)>

kk2

—kx,〃~kx

整理得a=E'°=G7

.?.a+尸=二^+二^，代人②得

kx、+23+2kxxx2+2Z(x+%)+4

-724_4k—4、

一2kXyy-2左7X(—)

a+/3=——/---------

,24c74k—4.

女~x9+2左x(——)+4

【點(diǎn)睛】

本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問(wèn)題中的定值問(wèn)題.解題方法是設(shè)而不求的思想方

法,即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)4(為,％),3(々,％)，設(shè)直線方程＞=區(qū)+機(jī)，直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次

方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得士+%2，七%2，代入題中其他條件所求式子中化簡(jiǎn)變形?

18、(1)AG=1(2)6

5

【解析】

(1)先證得A3]J.GN,設(shè)43與GN交于點(diǎn)E,在ABNE中解直角三角形求得BE，4E,由此求得AG的值.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面3MG和平面NMG的法向量，計(jì)算出二面角5-MG-N的余弦值.

【詳解】

\B1平面MNG

(1)由題意,>^AB±GN,

GNu平面MNGi

設(shè)與GN交于點(diǎn)E,在ABNE中,可求得5E=竽，則4石=半

可求得AG=3,則AG=1

(2)以用為原點(diǎn)，8姿方向?yàn)閄軸，方向?yàn)閥軸，44方向?yàn)閆軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

5(4,0,0),M(2,2,0),G(3,0,2),N(2,0,0)

3M=(—2,2,0),3G=(—1,0,2),易得平面3MG的法向量為4=(2,2,1).

W=(0,2,0),NG=(1,0,2),易得平面MWG的法向量為巧=(2,0,—1).

設(shè)二面角3—MG—N為。，由圖可知。為銳角，所以

cos^_JA2kL_^__2/l

卬“"3.石一5.

即二面角3—MG—N的余弦值為倉(cāng).

5

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長(zhǎng)，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

19、(1){%|0<%<2};(2)見(jiàn)解析

【解析】

X<—1

⑴/(x)<4-|2x-3|等價(jià)于(I)<-(x+l)-(2x-3)44或(11).2或(in)

(x+l)-(2x-3)<4

3

%〉一

2,分別解出，再求并集即可;

(x+l)+(2x-3)<4

(2)利用基本不等式及加+2"=〃?〃可得加+2”28,代入/(m)+/(-2〃)=W+l|+卜2"+112M+24可得最值.

【詳解】

3

x<—1-l<x<-

(1)/(x)<4—|2x—3|等價(jià)于(I)</八八八，/或(n)<2或(ni)

-(x+l)-(2x-3)<4

(x+l)-(2x-3)<4

(x+l)+(2x-3)<4

x<—1

由(I)得：<2nx

I3

一3

—1V%<—3

由(II)得：\2^0<x<-

.>02

x>_3

由(in)得：\2^-<x<2.

2

X<2

???原不等式的解集為{%|0<%<2};

(2)m>0,n>0,m+2n=mn9

1/、1(m+2nf

:.m+2n=—(m-2n)<—x-------,

2V724

/.m+2n>8,

m=2n\m=4-

當(dāng)且僅當(dāng)。，即。時(shí)取等號(hào)，

m+2n=mn[n=2

/(m)+f(—2n)=|m+1|+1—2n+1|>|m+2n|>8,

當(dāng)且僅當(dāng)—2〃+l<0即”2」時(shí)取等號(hào)，

2

.1./(m)+/(-2n)>8.

【點(diǎn)睛】

本題考查分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式，考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題.

20、(1)A=|；(2)5^=273.

【解析】

(1)利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求解即可.

UUUUUUUUIU

⑵為AD為AABC的中線，所以2AD=AB+AC再平方后利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解，再代入b=2c可解得

c=2,。=4，再代入面積公式求解即可.

【詳解】

(1)由(sinA+sinB)(a-^)+￡>sinC=csinC,

可得/-/+慶=。2,

由余弦定理可得cosA="+L-礦=

2bc2

故A=&.

3

UUIUuuuuuu

(2)因?yàn)锳Q為AABC的中線，所以2AD=A5+AC,

222

兩邊同時(shí)平方可得4AD=AB'+AC+2\AB\-\AC\cosA,

^28=c2+b2+bc.

因?yàn)閎=2c,所以c=2,b=4.

所以MBC的面積S—：后"=25

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問(wèn)題，同時(shí)也考查了向量在解三角形中的運(yùn)用，屬于中檔題.

2

21、(1)43的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;；(2)證明見(jiàn)解析；(3)(-2,2)

【解析】

y=x-l

(1)因?yàn)橹本€/的傾斜角為45。，尸(L。)，所以直線A3的方程為了=%-1,聯(lián)立方程組一「消去y并整理,

—+V=1

I2，

得3%2—4X=0,貝!=

323

2

故線段A3的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為§.

(2)根據(jù)題意得點(diǎn)Ca,-

若直線的斜率為0,則直線的方程為y=0,A、C兩點(diǎn)重合，顯然M,B,C三點(diǎn)共線；

若直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為》=%+1,

x=my+1

聯(lián)立方程組f2消去X并整理得(m2+2)y2+2my-1=0,

---by=1

12/

2m1

則乂+%=——2—，%%=——S一-，設(shè)直線BM.CM的斜率分別為kBM、kCM,

m+2~m'+2

則

k_k=f_X=%-2)+x(%-2)=%(孫-1)+必(妝2T)=2町%一(％+%)=

BMCM2-々2-占(占-2)(%-2)(租％-1)1-鞏％+%)+"/%%

-2m2m

-2------12

m-+2m-+2=0)即演“二自材，即M,B,C三點(diǎn)共線.

12mm

l+—;------石——

m+2m+2

(3)根據(jù)題意，得直線G"的斜率存在，設(shè)該直線的方程為'=內(nèi)工-2),

設(shè)尸(%,%),G(X3,%)，8(X4,%)，

y=k(x-2)

聯(lián)立方程組尤2,,消去丁并整理，得(1+2/)無(wú)2_8/》+8/_2=0,

—+V=1

12，

1只白2O7,2_Q

由4=64/-4(1+2左2)(8左2一2)>0,整理得人?<一,又三+%=-^^,退匕——T，