高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試名師押題信息卷（3）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：A．2．已知復(fù)數(shù)，，若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，則，解得，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，因此，.故選：B.3．設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，、滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件，“”是“”的充分而不必要條件，故選：A.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．2023〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，所以，所以.又，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，所以，所以，所以.故選：A.5．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來(lái)臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，中心為O，四個(gè)半圓的圓心均在正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖2，若點(diǎn)P在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，即與在向量方向上的投影的積．由圖2知，點(diǎn)在直線上的射影是中點(diǎn)，由于，圓弧直徑是2，半徑為1，所以向量方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此的最大值是，最小值是，因此其取值范圍為，故選：D．6．已知，點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，令，則，則M.如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且垂直于直線時(shí)，有最小值，為，即直線到點(diǎn)M距離，為.故選：D.7．已知是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗由是上的偶函數(shù)，得，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，由，僅在時(shí)取等號(hào)，得在區(qū)間上為減函數(shù)，則在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)圖象的對(duì)稱性，由得，則C正確、D錯(cuò)誤．當(dāng)異號(hào)時(shí)，則或，即或，即選項(xiàng)A，B的結(jié)果不能確定，故選：C．8．在三棱錐中，，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積的最大值為時(shí)，其外接球的表面積為（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗如圖，設(shè)球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，則二面角的平面角為，點(diǎn)在截面圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在截面圓上運(yùn)動(dòng)，由圖知，當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)與是等邊三角形，設(shè)，則，，，，解得，所以，，，設(shè)，則，解得，∴，球的半徑，所求外接球的表面積為，故選B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知正方體中，E，F(xiàn)，G，H，I分別是線段，，，AB，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．〖答案〗AB〖解析〗以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體中，棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，，，，，，，，故A正確；，，，故B正確；，，故C錯(cuò)誤；，，故D錯(cuò)誤．故選：10．袋中裝有除顏色外完全相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，從袋中一次抓出個(gè)球，記事件“兩球同色”，事件“兩球異色”，事件“至少有一紅球”，則（

）A．事件與事件是對(duì)立事件 B．事件與事件是相互獨(dú)立事件C．若，則 D．若，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由對(duì)立事件的定義可知，事件、互為對(duì)立事件，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，顯然，故B不正確；對(duì)于C，，，由，可得，即，整理可得，因?yàn)椋獾?，故C不正確；對(duì)于D，由C知，，，故D正確，故選：AD.11．已知函數(shù)，其中a，b，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．在R上單調(diào)遞減 D．最大值為〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)?，即，?duì)A、B：又a，b，，則，所以，，故，在R上遞減，由，令，則在R上遞減，且，所以，，且，則對(duì)，恒成立，可得，故A，B正確；對(duì)C：取，，，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D：令，則今，則，且，∵，則，∴，故，可得，又∵在上單調(diào)遞增，且，故，即，所以，所以D錯(cuò)誤．故選：AB.12．對(duì)于兩個(gè)均不等于1的正數(shù)m和n，定義：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，，則〖答案〗BC〖解析〗選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，即，亦即；當(dāng)時(shí)，，即，亦即．綜上，當(dāng)時(shí)，或，則A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由及，得，即，即，即或，即或．由，得，從而可得，則B正確；選項(xiàng)C：若，則，而由，得，所以成立，則C正確；選項(xiàng)D：由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，且，可得；由冪函數(shù)是增函數(shù)，且，可得，于是，所以，同理，，所以，則D錯(cuò)誤．故選:BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___．（用數(shù)字作答）〖答案〗1792〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式，令，得，令無(wú)整數(shù)解，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗為：179214．寫出一個(gè)使等式成立的角的值為___________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)?，所以，則或，，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，，則橢圓的離心率的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗連接、．由關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，可知，，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由橢圓的定義可知，．在中，由，則，所以，則．在中，，在中，，由，得．由圖形可知，．令，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，所以，故橢圓的離心率的取值范圍為．故〖答案〗為：.16．對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實(shí)根，記，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項(xiàng)和，則______．〖答案〗1506〖解析〗當(dāng)時(shí)，，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上都是增函數(shù)，又，，所以函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，即，則，所以，方程，即為，即為，令，則，則有，令，則函數(shù)在上遞增，因?yàn)椋?，所以，使得，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以.故〖答案〗為：1；506.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知數(shù)列和滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和分別記作，且.（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以其前項(xiàng)和，又因?yàn)?，所以，，?）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，也適合通項(xiàng)公式，故.所以，所以.18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，的面積為，求邊BC的中線AD的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?所以,可得,又由兩角和差正弦公式可得,,，所以,.（2）因?yàn)?所以,因?yàn)橛嘞叶ɡ淼?又已知,可得,即得.因?yàn)锽C的中線AD,可得,，.19．在四棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，，，點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：∵，為的中點(diǎn)，∴又∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴（2）解：由，，可知四邊形為等腰梯形，易知，∵，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，平面的法向量為，設(shè)，則，，，∵直線與平面所成角為，∴，∴①∵點(diǎn)在棱上，∴，即，∴，，代入①解得或（舍去）.，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離20．馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒(méi)有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為.（1）求的分布列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求的期望.解：（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.21．已知，，動(dòng)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與的斜率之積為.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與曲線交于不同于，的點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，求最大時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo).解：（1）由題意得，且，，，所以，整理得曲線.（2）設(shè)，，，若直線平行于軸，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可知點(diǎn)在軸上，不符合題意，故設(shè)直線：，代入曲線中，得，則，，則，由，A，三點(diǎn)共線得，即，同理，由，B，三點(diǎn)共線得，消去，得，即，得，得，即對(duì)任意，，都有成立，故或，若，由，可得：所以即，矛盾，故，所以.所以直線：恒過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，當(dāng)與重合時(shí)，最大，此時(shí)軸，：，.所以當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.22．已知函數(shù)．（1）若是的極值點(diǎn)，求a；（2）若，分別是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，證明下面①，②中的一個(gè)．①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．注：如果選擇①，②分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．（1）解：因?yàn)?，所以，若是函?shù)的極值點(diǎn)，則，，即，此時(shí)，設(shè)，則，，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn).（2）證明：選擇①：因?yàn)榉謩e為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，，所以.當(dāng)時(shí)，，則，即因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，若，則只需證明，設(shè)，則設(shè)，則為增函數(shù)，且所以存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，所以，單調(diào)遞增，所以，則，等價(jià)于.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，所以當(dāng)時(shí)，成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，，即成立，綜上，若，分別是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.選擇②：因?yàn)榉謩e為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，，所以.當(dāng)時(shí)，，則，即若，即則只需證明，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.若，設(shè)，則，單調(diào)遞增，所以，所以，，所以只需證明.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，此時(shí)也有，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，，綜上，綜上，若，分別是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試名師押題信息卷（3）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：A．2．已知復(fù)數(shù)，，若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，則，解得，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，因此，.故選：B.3．設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，、滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件，“”是“”的充分而不必要條件，故選：A.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．2023〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，所以，所以.又，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，所以，所以，所以.故選：A.5．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來(lái)臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，中心為O，四個(gè)半圓的圓心均在正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖2，若點(diǎn)P在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，即與在向量方向上的投影的積．由圖2知，點(diǎn)在直線上的射影是中點(diǎn)，由于，圓弧直徑是2，半徑為1，所以向量方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此的最大值是，最小值是，因此其取值范圍為，故選：D．6．已知，點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，令，則，則M.如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且垂直于直線時(shí)，有最小值，為，即直線到點(diǎn)M距離，為.故選：D.7．已知是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗由是上的偶函數(shù)，得，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，由，僅在時(shí)取等號(hào)，得在區(qū)間上為減函數(shù)，則在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)圖象的對(duì)稱性，由得，則C正確、D錯(cuò)誤．當(dāng)異號(hào)時(shí)，則或，即或，即選項(xiàng)A，B的結(jié)果不能確定，故選：C．8．在三棱錐中，，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積的最大值為時(shí)，其外接球的表面積為（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗如圖，設(shè)球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，則二面角的平面角為，點(diǎn)在截面圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在截面圓上運(yùn)動(dòng)，由圖知，當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)與是等邊三角形，設(shè)，則，，，，解得，所以，，，設(shè)，則，解得，∴，球的半徑，所求外接球的表面積為，故選B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知正方體中，E，F(xiàn)，G，H，I分別是線段，，，AB，的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．〖答案〗AB〖解析〗以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體中，棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，，，，，，，，故A正確；，，，故B正確；，，故C錯(cuò)誤；，，故D錯(cuò)誤．故選：10．袋中裝有除顏色外完全相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，從袋中一次抓出個(gè)球，記事件“兩球同色”，事件“兩球異色”，事件“至少有一紅球”，則（

）A．事件與事件是對(duì)立事件 B．事件與事件是相互獨(dú)立事件C．若，則 D．若，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由對(duì)立事件的定義可知，事件、互為對(duì)立事件，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，顯然，故B不正確；對(duì)于C，，，由，可得，即，整理可得，因?yàn)椋獾?，故C不正確；對(duì)于D，由C知，，，故D正確，故選：AD.11．已知函數(shù)，其中a，b，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．在R上單調(diào)遞減 D．最大值為〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)?，即，?duì)A、B：又a，b，，則，所以，，故，在R上遞減，由，令，則在R上遞減，且，所以，，且，則對(duì)，恒成立，可得，故A，B正確；對(duì)C：取，，，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D：令，則今，則，且，∵，則，∴，故，可得，又∵在上單調(diào)遞增，且，故，即，所以，所以D錯(cuò)誤．故選：AB.12．對(duì)于兩個(gè)均不等于1的正數(shù)m和n，定義：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，，則〖答案〗BC〖解析〗選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，即，亦即；當(dāng)時(shí)，，即，亦即．綜上，當(dāng)時(shí)，或，則A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由及，得，即，即，即或，即或．由，得，從而可得，則B正確；選項(xiàng)C：若，則，而由，得，所以成立，則C正確；選項(xiàng)D：由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，且，可得；由冪函數(shù)是增函數(shù)，且，可得，于是，所以，同理，，所以，則D錯(cuò)誤．故選:BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___．（用數(shù)字作答）〖答案〗1792〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式，令，得，令無(wú)整數(shù)解，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗為：179214．寫出一個(gè)使等式成立的角的值為___________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)椋?，則或，，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，，則橢圓的離心率的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗連接、．由關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，可知，，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由橢圓的定義可知，．在中，由，則，所以，則．在中，，在中，，由，得．由圖形可知，．令，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，所以，故橢圓的離心率的取值范圍為．故〖答案〗為：.16．對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實(shí)根，記，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則______；若，為的前n項(xiàng)和，則______．〖答案〗1506〖解析〗當(dāng)時(shí)，，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上都是增函數(shù)，又，，所以函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，即，則，所以，方程，即為，即為，令，則，則有，令，則函數(shù)在上遞增，因?yàn)椋?，所以，使得，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以.故〖答案〗為：1；506.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知數(shù)列和滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和分別記作，且.（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以其前項(xiàng)和，又因?yàn)?，所以，，?）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，也適合通項(xiàng)公式，故.所以，所以.18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，的面積為，求邊BC的中線AD的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?所以,可得,又由兩角和差正弦公式可得,,，所以,.（2）因?yàn)?所以,因?yàn)橛嘞叶ɡ淼?又已知,可得,即得.因?yàn)锽C的中線AD,可得,，.19．在四棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，，，點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：∵，為的中點(diǎn)，∴又∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴（2）解：由，，可知四邊形為等腰梯形，易知，∵，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，平面的法向量為，設(shè)，則，，，∵直線與平面所成角為，∴，∴①∵點(diǎn)在棱上，∴，即，∴，，代入①解得或（舍去）.，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離20．馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒(méi)有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為.（1）求的分布列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求的期望.解：（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所