教學(xué)設(shè)計

課程基本信息學(xué)科（數(shù)學(xué)）年級（高二）學(xué)期(春季)課題(排列數(shù)（第一課時）)教學(xué)目標(biāo)1.能在排列基礎(chǔ)上給出排列數(shù)的定義和表示，并能區(qū)別排列與排列數(shù)。2.通過利用計數(shù)原理分析和解決具體的排列問題，得到排列數(shù)公式，并能利用公式求具體問題的排列數(shù)。3.通過借助具體問題的分析，提升學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點：1.排列數(shù)公式。

教學(xué)難點：1.排列數(shù)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

教學(xué)過程一.公式引入前面我們學(xué)習(xí)了排列的概念，那么從n個不同的元素中任取m個（m≤n)元素的排列總數(shù)是多少呢？我們不妨先從一些特殊的問題開始探究.問題1：從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有幾種不同的選法？.師生活動：可以分兩個步驟：第1步，確定參加上午活動的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定參加下午活動的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后，參加下午活動的同學(xué)只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3×2=6.這6種不同的選法如圖所示：3種2種第1位第2位3種2種第1位第2位3種2種上午下午問題2：從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？師生活動：可以分三個步驟來解決這個問題：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1，2，3，4這4個數(shù)字中任取1個，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的2個數(shù)字中去取，有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1，2，3，4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字按“百位、十位、個位”的順序排成一列，不同的排列方法種數(shù)為4×3×2=24.因而共可得到24個不同的三位數(shù).如圖所示.由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.（位置分析法）4種3種2種4種3種2種百位十位個位4種3種2種第1位第2位第3位問題3：以上涉及到的這些具體問題有什么共同特征？3種2種第1位第2位3種2種第1位第2位4種3種2種第1位第2位第3位師生活動：共同特征：問題1中提煉：從3個不同的元素中任取2個元素的排列總數(shù)為6.問題2中提煉：從4個不同的元素中任取3個元素的排列總數(shù)為24.一般地：從n個不同的元素中任取m個（m≤n)不同元素的所有排列個數(shù)：排列數(shù)定義排列數(shù)的定義和表示：把從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，并用符號表示.A是英文arrangement(排列)的第一個字母.追問:排列數(shù)與排列有何區(qū)別？排列數(shù)與排列的區(qū)別:排列：從個不同元素中取出個元素，并按照一定的順序排成一列，它不是數(shù)；排列數(shù)是所有排列的個數(shù)，它是一個數(shù).設(shè)計意圖：結(jié)合6.2.1節(jié)已解決的問題1、問題2，在排列基礎(chǔ)上給出排列數(shù)的定義和表示，并與相似的排列概念作對比，為引入排列數(shù)公式作鋪墊.突出位置分析法，為推導(dǎo)排列數(shù)公式作鋪墊.二．公式推導(dǎo)問題4：一般地，從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)是多少呢？從特殊情況開始探究，請結(jié)合2個具體實例說明你的研究思路和結(jié)果.師生活動：研究思路和結(jié)果：1.假定有排好順序的兩個空位.2.從3個不同元素中取出2個元素去填空,一個空位填上一個元素.3種2種第1位第2位3種2種第1位第2位4.反之，任何一種排列總可以由這種填法得到.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)，同理問題5：如何從兩個特殊排列數(shù)推廣到和？師生活動：：教師先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面求排列數(shù)的經(jīng)驗,求出排列數(shù),解決問題的關(guān)鍵是：假定有排好順序的兩個空位，從n個不同元素中取出2個元素去填空,一個空位填上一個元素,每一種填法就對應(yīng)一個排列；反之，任何一種排列總可以由這種填法得到.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)，利用分布乘法計數(shù)原理計算填法的種數(shù)，得到.再讓學(xué)生按照同樣的方法，發(fā)現(xiàn)求排列數(shù)，可以按依次填3個空位來考慮，得出.追問：你能類比求排列數(shù)和的方法，求排列數(shù)嗎?師生活動：教師先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面求排列數(shù)和的經(jīng)驗，得到:假定有排好順序的m個空位，從n個不同元素中取出m個元素去填空，一個空位填上一個元素，每一種填法就對應(yīng)一個排列.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).利用分步乘法計數(shù)原理計算填法的種數(shù)，得到排列數(shù)公式.設(shè)計意圖:通過利用計數(shù)原理求出具體問題的排列數(shù)，從特殊到一般，將具體排列數(shù)的結(jié)果歸納為一般形式，從而得出排列數(shù)公式.三.公式的辨析問題7：上述排列數(shù)公式有什么特點?師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下活動:(1)觀察公式的右邊，共有幾個因數(shù)？各因數(shù)的大小有什么規(guī)律？公式的右邊是m個連續(xù)正整數(shù)的連乘積；(2)比較與的大小關(guān)系，并說明公式右邊的最后一個因數(shù)有什么特點?連乘積中最大因數(shù)為n，后面依次減1，最小因數(shù)是(n－m＋1).(3)利用排列數(shù)公式，計算并由此給出階乘的概念.1.全排列：把n個不同元素全部取出的一個排列叫做n個元素的一個全排列.全排列數(shù)為:2.階乘：正整數(shù)1到n的連乘積稱為n的階乘，用表示,即，規(guī)定設(shè)計意圖：通過辨析公式，把握公式的特點，以便更好地記憶公式，加深對公式的理解.并給出全排列和階乘的概念.四.公式的應(yīng)用例3.計算：(1);(2);(3)(4).師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考:(1)利用排列數(shù)公式求各排列數(shù)時，和的值分別是多少?右邊的因數(shù)分別有幾個?最后一個因數(shù)是幾?（2）如何求？師生共同計算出結(jié)果:;，即問題8：觀察這兩個結(jié)果，從中發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎?能否將它進(jìn)行推廣?師生活動：推廣得到公式，并加以證明.排列數(shù)公式的連乘形式排列數(shù)公式的階乘形式設(shè)計意圖：通過利用公式求排列數(shù)，以把握公式的結(jié)構(gòu)，加深對公式的理解，并通過對所求結(jié)果共性的歸納總結(jié)，得到排列數(shù)公式的另一種形式.追問：能否以現(xiàn)實生活為背景，以例3的或或為所研究問題的方法數(shù)，編幾道應(yīng)用題？（分4個小組討論，每組一個代表發(fā)言）師生活動：可能得到如下應(yīng)用題（1）從個同學(xué)中任選出3個人站一排拍照，有多少種不同的排法？（）（2）一個火車站有7股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放3列不同的火車，共有多少種不同停放方法（）（3）個人排成一列，其中甲乙丙丁4人從矮到高順序不變，有多少種不同的排法？（）（4）從7人中選出3個人排第一排，剩下4個人排第二排，有多少種不同的排法？（）注意：多排采用單排法設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)來源于生活，用于生活，通過自己編題更加理解公式和鞏固公式，提高分析和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).例4．用這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？追問：（1）這是不是一個排列問題?是師生活動：（1）分析：在這10個數(shù)字中，因為0不能在百位上，而其他9個數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個特殊的元素.一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題.（2）解題思路：引導(dǎo)學(xué)生分別=1\*GB3①按“百位數(shù)字不能是0”=2\*GB3②“0是否出現(xiàn)及出現(xiàn)的位置”=3\*GB3③“用從10個數(shù)中取出3個數(shù)的排列數(shù)減去其中百位是0的排列數(shù)”，給出三種解法，其中前兩種是直接法，第三種是間接法.解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第1步，確定百位上的數(shù)字，可以從這9個數(shù)字中取出1個，有種取法；第2步，確定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個，有種取法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為：解法2：如圖所示，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從1~9這9個數(shù)字中取出3個，有種取法，第2類，個位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和十位，有種取法，第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和個位，有種取法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，所求三位數(shù)的個數(shù)為解法3：從0~9這10個數(shù)字中選取3個的排列數(shù)為,其中0在百位上的排列數(shù)為，它們的差就是用這10個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求三位數(shù)的個數(shù)為追問：根據(jù)例4，你能歸納出求排列問題的一般步驟嗎？步驟:①判斷排列問題;②根據(jù)計數(shù)原理給出用排列數(shù)符號表示的運算式子；③利用排列數(shù)公式求出結(jié)果.追問：根據(jù)例4，你能總結(jié)排列問題的一般方法嗎？方法歸納：帶有限制條件的排列問題：“特殊”優(yōu)先原則位置分析法：以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置.直接法元素分析法：以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素.間接法：先不考慮限制條件，計算出來所有排列數(shù)，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，從而得出符合條件的排列數(shù)設(shè)計意圖：通過應(yīng)用公式解決問題，及時鞏固排列數(shù)公式，形成解決排列問題的一般方法.變式1：用這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)有多少種？變式2：用這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是奇數(shù)有多少種？五．課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容