第六節(jié)正弦定理和余弦定理內(nèi)容索引必備知識·自主學(xué)習(xí)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析核心素養(yǎng)·微專題核心素養(yǎng)測評【教材·知識梳理】1.正弦定理(1)定理:在△ABC中,其中R為△ABC的外接圓半徑.(2)運(yùn)用方法適用情形:兩角A,B及其對邊a,b(知三求一).列方程:.(3)變形:a=2RsinA,sinA=,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理(1)定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2accosB,c2=______________.

(2)運(yùn)用方法適用情形:三邊a,b,c,任一內(nèi)角A(知三求一).列方程:a2=b2+c2-2bccosA或cosA=___________.a2+b2-2abcosC(3)變形:cosA=

,b2+c2-a2=2bccosA等等.3.三角形面積公式(1)正弦定理推論:S△ABC=absinC=

bcsinA=

.

(2)其他常用公式方法S=底×高;S=

absinC;S=

×C×r,(C為周長,r為內(nèi)切圓半徑)等等.【知識點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求邊c. ()(2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形. ()(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要條件是A>B.()提示:根據(jù)正弦定理和余弦定理知(3)是錯誤的,(1)(2)是正確的.【易錯點(diǎn)索引】序號易錯警示典題索引1在三角形中,一個正弦值(正數(shù))對應(yīng)兩個角,一個余弦值對應(yīng)一個角考點(diǎn)一、T32忽視三角形內(nèi)角范圍,即0°<A<180°考點(diǎn)二、典例【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修5P51練習(xí)T1改編)在△ABC中,BC=1,AC=5,則AB= ()【解析】選A.在△ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,所以AB2=25+1-2×5×1×=32,所以AB=2.(必修5P52T5改編)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c<bcosA,則△ABC為 ()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形【解析】選A.依題意得sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B為鈍角,△ABC是鈍角三角形.3.(必修5P56A組T3改編)已知在△ABC中,A=,B=,a=1,則b等于 ()【解析】選D.由正弦定理4.(必修5P56A組T6改編)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=,則△ABC的面積等于

.

【解析】設(shè)△ABC中,角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c.由題意及余弦定理得解得c=2.所以答案:核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算——正余弦定理結(jié)合三角變換

【素養(yǎng)詮釋】數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括:理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.【典例】(2019·西安模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【素養(yǎng)立意】

與三角恒等變換相結(jié)合,考查正弦定理、余弦定理.【解析】(1)由asinA=4bsinB及得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理得(2)由(1)及A∈(0,π),可得sinA=

,代入asinA=4bsinB,得由(1)