動態(tài)問題

專題知識回顧

一、動態(tài)問題概述

1.就運動類型而言，有函數(shù)中的動點問題、圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性

問題等。

2.就運動對象而言，幾何圖形中的動點問題，有點動、線動、面動三大類。

3.就圖形變化而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等。

4.動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求

解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分

析能力進行考察。所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學當中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。

另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能

力進行考察。所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學當中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。

二、動點與函數(shù)圖象問題常見的四種類型：

1.三角形中的動點問題：動點沿三角形的邊運動，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關系，判斷函數(shù)圖

2.四邊形中的動點問題：動點沿四邊形的邊運動，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關系，判斷函數(shù)圖象。

3.圓中的動點問題：動點沿圓周運動，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關系，判斷函數(shù)圖象。

4.直線、雙曲線、拋物線中的動點問題：動點沿直線、雙曲線、拋物線運動，根據(jù)問題中的常量與變量之

間的關系，判斷函數(shù)圖象。

三、圖形運動與函數(shù)圖象問題常見的三種類型：

L線段與多邊形的運動圖形問題：把一條線段沿一定方向運動經(jīng)過三角形或四邊形，根據(jù)問題中的常量與

變量之間的關系，進行分段，判斷函數(shù)圖象。

2.多邊形與多邊形的運動圖形問題：把一個三角形或四邊形沿一定方向運動經(jīng)過另一個多邊形，根據(jù)問題

中的常量與變量之間的關系，進行分段，判斷函數(shù)圖象。

3.多邊形與圓的運動圖形問題：把一個圓沿一定方向運動經(jīng)過一個三角形或四邊形，或把一個三角形或四

邊形沿一定方向運動經(jīng)過一個圓，根據(jù)問題中的常量與變量之間的關系，進行分段，判斷函數(shù)圖象。

四、動點問題常見的四種類型：

1.三角形中的動點問題：動點沿三角形的邊運動，通過全等或相似，探究構成的新圖形與原圖形的邊或角

1

的關系。

2.四邊形中的動點問題：動點沿四邊形的邊運動，通過探究構成的新圖形與原圖形的全等或相似，得出它

們的邊或角的關系。

3.圓中的動點問題：動點沿圓周運動，探究構成的新圖形的邊角等關系。

4.直線、雙曲線、拋物線中的動點問題：動點沿直線、雙曲線、拋物線運動，探究是否存在動點構成的三

角形是等腰三角形或與已知圖形相似等問題。

五、解決動態(tài)問題一般步驟：

（1）用數(shù)量來刻畫運動過程。因為在不同的運動階段，同一個量的數(shù)學表達方式會發(fā)生變化，所以需要分

類討論。有時符合試題要求的情況不止一種，這時也需要分類討論。

（2）畫出符合題意的示意圖。

（3）根據(jù)試題的已知條件或者要求列出算式、方程或者數(shù)量間的關系式。

專題典型題考法及解析

【例題1］（點動題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點E是BC中點，點F是邊CD上的任意

一點，當4AEF的周長最小時，則DF的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】如圖，作點E關于直線CD的對稱點E，，連接AE,,交CD于點F.

2

二y

?.?在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點E是BC中點，

.\BE=CE=CE,=4.

VAB±BC,CD±BC,

；.CF〃AB,ACE7F^ABEZA.

CEZ/BE'=CF/AB

4/(8+4)=CF/6

解得CF=2.

.".DF=CD-CF=6-2=4.

熱點二：線動

【例題2】(線動題)如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端

點N與點A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3。的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交

于點E,第24秒，點E在量角器上對應的讀數(shù)是.

【答案】144。

【解析】連接OE,VZACB=90°,

,,.A,B,C在以點0為圓心，AB為直徑的圓上.

...點E,A,B,C共圓.

3

VZACE=3°X24=72°,

.".ZA0E=2ZACE=144°.

.?.點E在量角器上對應的讀數(shù)是144°.

【例題3】(面動題)如圖Z10-4,將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2,寬為1的長方形CEFD

拼在一起，構成一個大的長方形ABEF.現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)至CE'F'D,,旋轉(zhuǎn)角

為a.

(1)當點1恰好落在EF邊上時，求旋轉(zhuǎn)角a的值；

⑵如圖Z10-5,G為BC中點，且0°<a<90°,求證：GDZ=E，D；

⑶小長方形CEFD繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD'與能否全等？若能，直接寫出旋

轉(zhuǎn)角a的值；若不能，請說明理由.

【答案】見解析。

【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中

心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及三角形全

等的判定與性質(zhì).

⑴：長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE'F'

.'.CD'=CD=2.

在RtACED,中，CD'=2,CE=1,-,.ZCD,E=30°.

VCD/7EF,AZa=30°.

(2)證明：VG為BC中點，/.CG=1..\CG=CE.

?.?長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE,ID',

：.ZD'CE'=ZDCE=90°,CE=CE'=CG.

.".ZGCD7=ZE,CD=90°+a.

4

[CD'=CD.

在AGCD'和△￡'CD中*ZGCDr=Z￡fCD,

|cG=CE'，

：.hGCD'里△￡'CD(SAS),：.GD'=E'D.

(3)能.理由如下:

?.?四邊形ABCD為正方形，.\CB=CD.

VCD=CD,,

/.△BCD'與^DCDZ為腰相等的兩個等腰三角形.

當/BCD，=ZDCD,時，/SBCD'^△DCD,.

①當△BCD，與ADCD'為鈍角三角形時，

360°-90°

Za--\—二13優(yōu)

乙

②當aBCD'與ADCD'為銳角三角形時，

ABCD1=NDCD'=\zBCD=45°.

90a

AZ?=360o-y=315o.

綜上所述，當旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時，與ACBD'全等.

專題典型訓練題

一.選擇題

1.（2019?四川省達州市）如圖，邊長都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置，AB與EF在一條直線

上，點A與點F重合.現(xiàn)將4EFG沿AB方向以每秒1個單位的速度勻速運動，當點F與B重合時停止.在

這個運動過程中，正方形ABCD和4EFG重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象大致是（）

DC

EA(F\B

5

A.0B.°C.0D.O

【答案】C.

【解析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以寫出各段對應的函數(shù)解析式，從而可以判斷哪個選項中的圖象符合題意，

本題得以解決.

當0WtW2時，S=Etyy0°工4t2,即s與t是二次函數(shù)關系，有最小值（0,0）,開口向上,

當2<tW4時，s=4XSX；in61）一（4_>［兇一；”1皿60?！?加亭1）2,即S與t是

二次函數(shù)關系，開口向下，

由上可得，選項c符合題意。

2.（2019?山東泰安）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點,

連接PB,則PB的最小值是（）

【答案】D.

【解析】根據(jù)中位線定理可得出點點P的運動軌跡是線段PP，再根據(jù)垂線段最短可得當BPLPP時，PB

1212

取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BPLPP,故BP的最小值為BP的長，由勾股定理求解

1121

即可.如圖：

當點F與點C重合時，點P在P處，CP=DP,

當點F與點E重合時，點P在P處，EP=DP,

6

當點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP=FP

由中位線定理可知：PP〃CE且PP=工CF

112

.?.點P的運動軌跡是線段PP,

12

.?.當BPLPP時，PB取得最小值

12

?.?矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為AB的中點，

.?.△CBE、AADE,Z^BCq為等腰直角三角形，CP=2

AZADE=ZCDE=ZCPB=45°,ZDEC=90°

1

/DPP=90°

21

AZDPP=45°

12

.".ZPPB=90°,即BP_LPP,

21112

；.BP的最小值為BP】的長

在等腰直角肥匚中，CP=BC=2

ABP=272

APB的最小值是2機

3.（2019?山東濰坊）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D.設

運動的路程為x,ZSADP的面積為y,那么y與x之間的函數(shù)關系的圖象大致是（）

【答案】D.

7

191R

【解析】由題意當0WxW3時，y=3,當3VxV5時，y——X3X(5-x)=--x+——.由此即可判斷.

222

由題意當0WxW3時，y=3,

當3Vx<5時，y=-X3X(5-x)=-&x+^.

222

4.(2019?湖北武漢)如圖，AB是。。的直徑，M、N是同(異于A.B)上兩點，C是前上一動點，/ACB的

角平分線交。。于點D,/BAC的平分線交CD于點E.當點C從點M運動到點N時，則C.E兩點的運動路徑

C.—D.在

22

【答案】A.

【解析】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內(nèi)心等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找點的

運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

如圖，連接EB.設0A=r.易知點E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運動軌跡是而，點C的運動軌跡是前，

由題意/M0N=2NGDF,設NGDF=a,貝此M0N=2a,利用弧長公式計算即可解決問題.

：AB是直徑，AZACB=90°,

YE是4ACB的內(nèi)心，；./AEB=135°,

,/ZACD=ZBCD,

8

AD—DB,AAD=DB^^T"^,NADB=90°，

易知點E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運動軌跡是GF,點c的運動軌跡是MN,

7ZM0N=2ZGDF,設NGDF=a,貝ljNM0N=2。

2Q?兀

.誦的長-180_歷

??贏底F?兀?每72.

5.（2019?湖南衡陽）如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=BC,E是AB的中點，過點E作AC和

BC的垂線，垂足分別為點D和點F,四邊形CDEF沿著CA方向勻速運動，點C與點A重合時停止運動，設

運動時間為t,運動過程中四邊形CDEF與4ABC的重疊部分面積為S.則S關于t的函數(shù)圖象大致為（）

【答案】C.

【解析】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是讀懂題意，學會

分類討論的思想，屬于中考?？碱}型.

根據(jù)已知條件得到AABC是等腰直角三角形，推出四邊形EFCD是正方形，設正方形的邊長為a,當移動的

距離＜a時，如圖1,5=正方形的面積-AEE'H的面積=球-《-tz；當移動的距離＞a時，如圖2,S=S

2

flC,=^r（2a-t）2=,t2-2at+2期根據(jù)函數(shù)關系式即可得到結論；

?.,在直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=BC,

.?.△ABC是等腰直角三角形，

VEFLLBC,EDXAC,

四邊形EFCD是矩形,

；E是AB的中點,

9

,-.EF=—AC,DE=—BC,

22

/.EF=ED,

四邊形EFCD是正方形，

設正方形的邊長為a,

如圖1當移動的距離＜a時，5=正方形的面積-AEE'H的面積=球-；3

當移動的距離＞a時，如圖2,S=S=L（2a-t）z=Lt2-2at+2a2,

△AC，Hg2

???S關于t的函數(shù)圖象大致為c選項。

6.（2019?浙江衢州）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4,點E是AB的中點，點P從點E出發(fā)，沿E-A-D-C

移動至終點C,設P點經(jīng)過的路徑長為x,4CPE的面積為y,則下列圖象能大致反映y與x函數(shù)關系的是

【答案】C

【解析】動點問題的函數(shù)圖象。結合題意分情況討論：①當點P在AE上時，②當點P在AD上時，③當點P

在DC上時，根據(jù)三角形面積公式即可得出每段的y與x的函數(shù)表達式.

①當點P在AE上時，

???正方形邊長為4,E為AB中點，

.\AE=2,

點經(jīng)過的路徑長為x,

10

/.PE=x,

y=S=k?PE?BC=kXxX4=2x,

△CPE七2

②當點P在AD上時，

???正方形邊長為4,E為AB中點，

.\AE=2,

?；P點經(jīng)過的路徑長為x,

.\AP=x-2,DP=6-x,

y-S—S—S-S—S,

△CPE正方形ABCDABECAAPEAPDC

=4X4-4X2X4-4X2X(X-2)-Jx4義(6-x),

Lz，

=16-4-x+2T2+2x,

=x+2,

③當點P在DC上時，

:正方形邊長為4,E為AB中點，

.\AE=2,

：P點經(jīng)過的路徑長為x,

；.P氏x-6,POlO-x,

y=S=4?PC?BC=4X（10-x）X4=-2x+20,

△CPE22

綜上所述：y與x的函數(shù)表達式為：

2i<0<x<2）

yf+2（2<rW6）

-2r+20（6<x<10）

7.（2019?甘肅武威）如圖①，在矩形ABCD中，AB<AD,對角線AC,BD相交于點0,動點P由點A出發(fā),

沿AB-BC-CD向點D運動.設點P的運動路程為x,AA0P的面積為y,y與x的函數(shù)關系圖象如圖②所示,

則AD邊的長為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B.

11

【解析】本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是分析三角形面積隨動點運動的變化過程，找到

分界點極值，結合圖象得到相關線段的具體數(shù)值.

當P點在AB上運動時，AAOP面積逐漸增大，當P點到達B點時，AAOP面積最大為3.

.?.LAB?上=3,即AB?BC=12.

22

當P點在BC上運動時，AAOP面積逐漸減小，當P點到達C點時，AAOP面積為0,此時結合圖象可知P點

運動路徑長為7,

AAB+BC=7.

則BC=7-AB,代入AB*BC=12,得ABe-7AB+12=0,解得AB=4或3,

因為AB<AD,即AB<BC,

所以AB=3,BC=4.

8.（2019甘肅省天水市）已知點P為某個封閉圖形邊界上一定點，動點M從點P出發(fā)，沿其邊界順時針勻速

運動一周，設點M的運動時間為x,線段PM的長度為y,表示y與x的函數(shù)圖象大致如圖所示，則該封閉

圖形可能是（）

【答案】D

【解析】y與X的函數(shù)圖象分三個部分，而B選項和C選項中的封閉圖形都有4條線段，其圖象要分四個部

分，所以B.C選項不正確；

A選項中的封閉圖形為圓，開始y隨x的增大而增大，然后y隨x的減小而減小，所以A選項不正確；

D選項為三角形，M點在三邊上運動對應三段圖象，且M點在P點的對邊上運動時，PM的長有最小值.

二、填空題

9.（2019?浙江嘉興）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，

AC=12cm.當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動.當點E從點A

滑動到點C時，點D運動的路徑長為cm；連接BD,則4ABD的面積最大值為c?.

12

【答案】(24-12揚，(2473+36^2-12遍)

【解析】本題考查了軌跡，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形

面積公式等知識，確定點D的運動軌跡是本題的關鍵.

,.,AC=12cm,ZA=30°,ZDEF=45°

.".BC=45/3cni,AB=8\/^cm,ED=DF=6j^cm

如圖當點E沿AC方向下滑時，得過點D'作D'NJ_AC于點N,作D'NLLBC于點M

.\ZMD，N=90°,且/E'D'F'=90°

：.ZE'D，N=ZF，D'M,且ND'NE'=ND'MF'=90°,E'D'=D'F'

.?.△D'NE'0Z\D'MF'(AAS)

，D'N=D'M,且D'N_LAC,D'M_LCM

.?.CD'平分/ACM

即點E沿AC方向下滑時，點D'在射線CD上移動，

/.當E'D'±AC時，DD'值最大，最大值=5/^1)-CD=(12-6a)cm

二當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長=2X(12-6>/2)=(24-12?)cm

如圖，連接BD',AD',

VS=S+S-S

△AD'BAABCAAD'CABD'C

AS=LBCXAC」XACXD，N-LxBCXD，M=246d(12-46)XD，N

△AD,B2222

13

當E'D'J_AC時，S,有最大值，

△ADB

.飛?最大值=2464（12-4>/3）X6>/2=（246+366-12而cm2.

10.（2019?四川省廣安市）如圖8.1,在四邊形A5CD中，AD//BC,N5=30。，直線/，A3.當直線/

沿射線BC方向，從點6開始向右平移時，直線/與四邊形ABCD的邊分別相交于點￡、b.設直線/向右

平移的距離為X，線段即的長為y,且y與X的函數(shù)關系如圖8.2所示，則四邊形ABCD的周長

是.

圖8.1

【答案】10+2/

【解析】由題意和圖像易知BC=5,AD=7-4=3

當BE=4時（即F與A重合），EF=2,又因為/，45且/B=30°,所以AB=2jW,

因為當F與A重合時，把CD平移到E點位置可得三角形AED，為正三角形，所以CD=2,故答案時10+2^3.

11.（2019?山東濰坊）如圖，直線y=x+l與拋物線y=X2-4x+5交于A,B兩點，點P是y軸上的一個動點，

【答案】5

【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題，解答本題的關鍵是明確題

意，利用數(shù)形結合的思想解答.

根據(jù)軸對稱，可以求得使得4PAB的周長最小時點P的坐標，然后求出點P到直線AB的距離和AB的長度,

14

即可求得4PAB的面積，本題得以解決.

"y=x+l

y=x-4x+5

???點A的坐標為（1,2）,點B的坐標為（4,5）,

AB=7（5-2）2+（4-1）2=啦,

作點A關于y軸的對稱點A，,連接A，B與y軸的交于P,則此時4PAB的周長最小,

點A'的坐標為（-1,2）,點B的坐標為（4,5）9

設直線A，B的函數(shù)解析式為y=kx+b,

/2,得

l4k+b=5匕工

直線A，B的函數(shù)解析式為丫=?^42，

55

1q

當x=0時，y="—,

5

即點P的坐標為（0,絲），

5

將x=0代入直線y=x+l中，得y=L

???直線y=x+l與y軸的夾角是45°,

.?.點P到直線AB的距離是：（"-1）Xsin45°_8vV2_W2

X9

5525

麗義華'12

??.△PAB的面積是：--------5_=華，

9.5

/彳,

三、解答題

15

12.(2019?湖北省仙桃市)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形0ABC的頂點坐標分別為0(0,0),A(12,

0),B(8,6),C(0,6).動點P從點0出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊0A向終點A運動；動點Q

從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動.設運動的時間為t秒，PQ=y.

(1)直接寫出y關于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍：；

(2)當PQ=3、/^時，求t的值；

(3)連接0B交PQ于點D,若雙曲線y=K(kW0)經(jīng)過點D,問k的值是否變化？若不變化，請求出k的

【答案】見解析。

【解析】本題考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性

質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：(1)利用勾股定理，找出y關于t的函數(shù)解析式；

(2)通過解一元二次方程，求出當PQ=3\后時t的值；(3)利用相似三角形的性質(zhì)及解直角三角形，找出

點D的坐標.

(1)過點P作PELBC于點E,如圖1所示.

當運動時間為t秒時(0WtW4)時，點P的坐標為(3t,0),點Q的坐標為(8-2t,6),

；.PE=6,EQ=|8-2t-3t|=|8-5t|,

，PQ=PE2+EQ=62+|8-5t|2=25t2-80t+100,

.\y=25t2-80t+100(0WtW4).

故答案為：y=25t2-80t+100(0WtW4).

(2)當PQ=3近時，25t2-80t+100=(3&)2,

整理,得：5t2-16t+ll=0,

解得：t=1,t="^r".

125

(3)經(jīng)過點D的雙曲線丫=K(kWO)的k值不變.

X

16

連接OB,交PQ于點D,過點D作DFL0A于點F,如圖2所示.

V0C=6,BC=8,

.-.OB=^OC2+BC2=1O.

,/BQ//OP,

.,.△BDQC-AODP,

.BD=BQ=2t_=2.

??而一而一寶一耳’

0D=6.

VCB/70A,

ND0F=NOBC.

在RtZXOBC中，sinZ0BC=—,cosZ0BC=—=—=1

OB104OB105

424

3,=28

0F=0D*cosi/0BC=6X—=,DF=OD?sin/0BC=6X

55

.?.點D的坐標為

直平分AC.點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向

勻速運動，速度為lcm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點P作PELAB,交BC于點E,過

點Q作QF〃AC,分別交AD,0D于點F,G.連接OP,EG.設運動時間為t(s)(0<t<5),解答下列問題:

(1)當t為何值時，點E在/BAC的平分線上？

(2)設四邊形PEGO的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關系式；

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，

請說明理由；

(4)連接OE,0Q,在運動過程中，是否存在某一時刻t,使OELOQ?若存在，求出t的值；若不存在，請

17

說明理由.

A

【答案】見解析。

【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，多邊

形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

(1)在RtZkABC中,VZACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,

AC=22=6

*'-V10-8(cm),

?.?0D垂直平分線段AC,

0C=0A=3(cm),ND0C=90°,

VCD/7AB,

???NBAC=NDCO,

?.?NDOC=ZACB,

AADOC^ABCA,

.AC=AB=BC

??而一而一而，

._6=10=_8_

??彳―CD~OD'

.\CD=5(cm),0D=4(cm),

VPB=t,PEJ_AB,

易知：PE=§t,BE=gt,

44

當點E在/BAC的平分線上時，

VEP±AB,EC±AC,

.\PE=EC,

18

?二t=4.

???當t為4秒時，點E在NBAC的平分線上.

(2)如圖，連接OE,PC.

S=S+S=S+(S+S-S)

四邊形OPEG△OEGAOPEAOEGAOPCAPCEA0EC

14141KqiH

=^—?(4--t)*3+*3*(8~~~t)i1?(8-t--*3*(8-)

252524524

O-1r

―-《t+16(0<t<5).

33

(3)存在.

VS=-兇(t-&)2+—(0<t<5),

323

;.t=W■時，四邊形OPEG的面積最大，最大值為毀.

23

(4)存在.如圖，連接0Q.

?/OE±OQ,

AZE0C+ZQ0C=90°,

VZQ0C+ZQ0G=90",

NE0C=NQOG,

tanZEOC=tanZQOG,

.EC=GQ

"OC0G，

53

,8V工

.丁一工

5

整理得：5t2-66t+160=0,

解得t=”或10(舍棄)

5

.?.當t=』0秒時，OEJ_OQ.

5

19

A

14.（（2019山西）綜合與探究

如圖，拋物線曠=取2+云+6經(jīng)過點A（-2,0）,B（4,0）兩點，與y軸交于點C,點D是拋物線上一個

動點，設點D的橫坐標為力（1（加＜4）.連接AC,BC,DB,DC.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

3

（2）4BCD的面積等于△A0C的面積的二時，求機的值；

（3）在（2）的條件下，若點M是x軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,

使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明

理由.

【答案】見解析。

【解析】(1)拋物線y+8x+c經(jīng)過點A(-2,0),B(4,0),

.__3

4?-2Z?+6=0a~4

解得V1，

16a+4b+6=0,3

ib=—

l2

33

.?.拋物線的函數(shù)表達式為y=-丁尤2+x+6

42

(2)作直線DE_Lx軸于點E,交BC于點G,作CFLDE,垂足為F.

?.?點A的坐標為(-2,0),/.0A=2

由x=0,得y=6,點C的坐標為(0,6),；.OC=6

20

11339

??.S=_O40C=_x2x6=6,VS=-S=-x6=-

△OAC22ABCD4AAOC4?

設直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+nf

,3

r4k+幾=0k=――

由B,C兩點的坐標得＜，,解得＜2

n=6,

i[n=b

3,

?,?直線BC的函數(shù)表達式為y=~-x+6.

3

???點G的坐標為+6),

3333

/.DG=--m2+—m+6-—m+6)=--m2+3m

4224

:點B的坐標為(4,0),.\0B=4

SABC1＞SACDG4-SABDG-^DGCF+^DGBE=^-DG(CF+BE)=L-DGBO

133

=—(一-機2+3m)x4=--7〃2+6m

242

39

A--im+6m=-,解得加=1(:舍)，機=3,...機的值為3

2212

(3)M(8,0),M(0,0),M(^/14,0),M(-",0)

1234

如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖

以BD為邊進行構圖，有3種情況，采用構造全等發(fā)進行求解.

c15、15

：D點坐標為(3,丁)，所以N,N的縱坐標為二

4124

33,15

--x2+-x+6=—,解得x=-l,x=3(舍)

42412

可得N(-1,^),(0,0)

242

]53315

:.N,N的縱坐標為——時，——元2+—%+6=——,x=1—^14,x=1+J14

1

3444242

N(l+g，T),，M(g。)，N(1-714,(-714,0)

34

3444

以BD為對角線進行構圖，有1種情況，采用中點坐標公式進行求解

21

V2V(-1,M(3+4-(-1),15+0--),.1.M(8,0)

i4i44i

15.(2019?湖南岳陽)操作體驗：如圖，在矩形ABCD中，點E.F分別在邊AD.BC上，將矩形ABCD沿直線

EF折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點。處.點P為直線EF上一動點(不與E.F重合)，過點P

分別作直線BE.BF的垂線，垂足分別為點M和N,以PM、PN為鄰邊構造平行四邊形PMQN.

(1)如圖1,求證:BE=BF；

(2)特例感知：如圖2,若DE=5,CF=2,當點P在線段EF上運動時，求平行四邊形PMQN的周長；

(3)類比探究：若DE=a,CF=b.

①如圖3,當點P在線段EF的延長線上運動時，試用含A.b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關系，并證明；

②如圖4,當點P在線段FE的延長線上運動時，請直接用含A.b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關系.(不

要求寫證明過程)

【答案】見解析。

【解析】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形

的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，學會利用

面積法證明線段之間的關系，屬于中考壓軸題.

(1)證明/BEF=/BFE即可解決問題(也可以利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可).證明：如圖1中，

22

圖1

?.?四邊形ABCD是矩形，

AD〃BC,；.ZDEF=ZEFB,

由翻折可知：ZDEF=ZBEF,

NBEF=NEFB,；.BE=BF.

(2)如圖2中，連接BP,作EIUBC于H,則四邊形ABHE是矩形.利用面積法證明PM+PN=EH,利用勾股

定理求出AB即可解決問題.

如圖2中，連接BP,作EH_LBC于H,則四邊形ABHE是矩形，EH=AB.

VDE=EB=BF=5,CF=2,

.,.AD=BC=7,AE=2,

在RtZkABE中,VZA=90°,BE=5,AE=2,

**?AB=452一？2=/21，

VS=S+S,PM±BE,PN±BF,

△BEFAPBEAPBF

1,.BF-EH=X-BE-PM+工?BF-PN,

222

VBE=BF,.\PM+PN=EH=V21，

???四邊形PMQN是平行四邊形，

四邊形PMQN的周長=2(PM+PN)=2j五.

(3)①如圖3中，連接BP,作EHLBC于H.由S-S=S,可得工BE?PM-L?BF?PN=L?BF?EH,

AEBPABFPAEBF229

由BE=BF,推出PM-PN=EH=療二由此即可解決問題.

②如圖4,當點P在線段FE的延長線上運動時，同法可證：QM-QN=PN-PM=^a2_b2.

23

①證明：如圖3中，連接BP,作EFUBC于H.

AED

?.?ED=EB=BF=a,CF=b,

.\AD=BC=a+b,

???AE=AD-DE=b,

.-.EH=AB=A/a2_b2,

VS-s=s,

△EBPABFPAEBF

.?ABE?PM-上?BF?PN=LBF?EH,

222

：BE=BF,

.\PM-PN=EH=^a2.b2,

?..四邊形PMQN是平行四邊形，

.*.QN-QM=(PM-PN)=J2_b2.

②如圖4,當點P在線段FE的延長線上運動時，同法可證：QM-QN-PN-PM=^a2_b2.

16.(2019?湖南邵陽)如圖，二次函數(shù)y=-gxz+bx+c的圖象過原點，與x軸的另一個交點為(8,0)

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)在x軸上方作x軸的平行線％=m,交二次函數(shù)圖象于A.B兩點，過A.B兩點分別作x軸的垂線，垂

足分別為點D.點C.當矩形ABCD為正方形時，求m的值；

(3)在(2)的條件下，動點P從點A出發(fā)沿射線AB以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同的

速度從點A出發(fā)沿線段AD勻速運動，到達點D時立即原速返回，當動點Q返回到點A時，P、Q兩點同時停

止運動，設運動時