2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)平面向量及其應(yīng)用小專題

一、單選題

1.己知空間向量&二（2T2）,2,1）,則向量B在向量Z上的投影向量是（）

A.B.(2,-1,2)

32]

3’3)

C.D.(1,-2,1)

2.設(shè)非零向量口石忑，滿足同=MHd,a+b=c,則向量仇彼的夾角等于（）

A.150°B.120°C,60。D.30。

=5|/@=12\AC\=13-77;

M,II,II,貝nlrj/C-8C=()

A.-25B.0C.25D.65

---?---?---?2

4.在“8C中，若BCCA+BC=0,則"8C的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.在A/8C中，a,bc分別是ZB,C的對(duì)邊.若且/=c?+加，則

-N的大小是（）

兀兀2兀5兀

A.6B.3C.3D.6

6.已知向量”（L2）,鼠否=5,1-4=2后，貝ijW等于（）

A.#1B.2右

C.5D.25

7.已知q,‘2是不共線的非零向量,則以下向量可以作為基底的是（）

Q

A.a=0,b=ex+e2B=3,+3%b=ex+e2

IWUf一一1mu_一一

>

Ca=ex-2e2b=ex-t-e2Da=ex-2e2b=25-4e2

8.如圖所示，已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與4C兩邊交于M,N兩

11

--1--

點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)。不重合），設(shè).=》在，而=歹就

則％V的值為（)

A

A.3B.4C.5D.6

二、多選題

sin/=3

9.在A43C中，角/,B,C,所對(duì)的邊分別為a,6,c,若。=4,5,tanC=7,

則下列結(jié)論正確的是()

cosA=±—B=—

A.5B.4

C.2D,"8C中的面積為7A歷

zc=-

10.已知“8C三個(gè)內(nèi)角/,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,6,c,且3,c=2.（）

A."BC面積的最大值為百

______2+逑

B.4。的最大值為3

cos5

C.cos/的取值范圍為（-2,+功

D.bcosA+acosB=42

11.設(shè)向量"=（2，°）,：則（）

B(a-b)Hb

71

Q(a-b).LbD.Z與石的夾角為Z

12.在03c中，角4瓦0所對(duì)的邊分別為a，a。，那么在下列給出的各組條件中，能確定三

角形有唯一解的是()

A.2=30。，b=5,c=2B.8=30。，6=2,c=4

C.3=30°,b=2,c=5D.4=75。,8=30°,6=2

填空題

13.設(shè)向量建（T2）,B=若+妨），則

14.已知向量l=（2J）/=（T2）,且力/石，貝/"一可=.

15.已知向量Z與向量石滿足：忖”W=2,且Z與石的夾角為3,則.

16.馬爾代夫群島是世界上風(fēng)景最為優(yōu)美的群島之一，如圖所示，為了測(cè)量48兩座島之間

的距離，小船從初始位置C出發(fā)，已知A在C的北偏西45。的方向上，3在C的北偏東15°的

方向上，現(xiàn)在船往東航行2百海里到達(dá)E處，此時(shí)測(cè)得8在E的北偏西30°的方向上，船再返

回到C處后，由C向西航行2戊百海里到達(dá)。處，測(cè)得A在D的北偏東22.5°的方向上，則

48兩座島之間的距離為,百海里.

答案：

1.A

【分析】根據(jù)投影向量的求解公式計(jì)算即可.

［詳解］因?yàn)槿f(wàn)=(2「12),B=(l-2D,所以力=6,忖=3,

a-b-

---2-

故向量石在向量z上的投影向量是卜

故選：A.

2.B

a-b=--lap

【分析】先將等式@+1=己兩邊平方，可得2l?,再用平面向量的夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】由等式萬(wàn)+3=5,兩邊平方得.0+斤=己2,

貝U同2+23石+|邛=同;且同咽=同.a-b=--Io

，所以2,

「一岳1

cos(tz,/?)=-------=—J-=——

'團(tuán),⑸同即(

2Z弓=120°

故選：B.

3.C

【分析】先判斷三角形是直角三角形，再結(jié)合向量線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算知識(shí)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】如圖所示，

BC

因?yàn)樵凇?C中，滿足叫=5,網(wǎng)=12因=13

所以網(wǎng)+,即N/8C=9

0。，

2

JCBC=(BC-BA\JC=BC2-0=SC=25

所以vJ

故選：c

4.C

【分析】利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即可.

22

布.伊+直卜就2^-BC+BC-BA+BC=Qn灰面=0

【詳解】由題意可知

所以8C_L氏4,即的形狀是直角三角形.

故選：C

5.A

［分析］由尸=。。，且/+6兒=/+*,得至a2+,2_/=石灰，利用余弦定理求解,

【詳解】因?yàn)椤?*,且。2+6兒=。2+時(shí),

所以〃+c2_/=#>bc,

"+°2_〃2

cosA=

所以2bc2,

因?yàn)?e（。，兀），所以A~6,

故選：A

6.C

【分析】求出H,對(duì)卜一"=2近兩邊平方可得答案.

【詳解】問(wèn)=6,0=5,

因?yàn)?2退，所以|力卜彳_2。.g+=20,

即57°+W=2。，解得他5.

故選：C.

7.C

【分析】由零向量與任意向量共線判斷A,根據(jù)：=3々判斷B,設(shè)￡=4，建立方程，根據(jù)

a=-b

方程解的情況判斷C,根據(jù)2判斷D.

【詳解】對(duì)于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；

對(duì)于B：因?yàn)?=39+302,b=el+e2＞所以：=3'所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；

__Jl=4

對(duì)于C：設(shè)￡=4，即q-2ez=',+'),則［-2=2,所以無(wú)解，所以此兩個(gè)向量不共線,

可以作為一組基底；

對(duì)于D：設(shè)°=e「2e2,b=2et-4e2j所以,所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；

故選：C.

8.A

【分析】利用平面向量基本定理計(jì)算即可.

、^^=AM+MG=AM+U1N=AM+A(AN-AM}

【詳解】設(shè)MG=AMN,貝IJV)

=(l-A)AM+AAN=x(l-A)AB+yAAC

—?1―?1—?

AG=—AB+—AC

又因?yàn)镚是“的重心，故33

x(T)=；]i

=—I—=3(1-4)+3A=3

yA=—%>

所以有13

故選：A

9.BC

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和sin8=sin("+C)判斷cos/的符號(hào)，即可判斷A選

a_b

項(xiàng)；由cos'=-cos("+C),求8的值，即可判斷B選項(xiàng)；由正弦定理一擊反求b的

—absinC

值，即可判斷C選項(xiàng)；利用2求面積，即可判斷D選項(xiàng).

?,4彳?3

sm%=—cosZ=±—

【詳解】解：由5,得5,

sinC=2(2L

由tanC=7,得C為銳角且10,C=-10,

8S」1772

sin5=sin(4+C)=sinAcosC+cos4sinC=一<0

若5則50

cosH

與sin8>°矛盾，故5,故A錯(cuò)誤;

33V2475/2V2

cos力=y時(shí)cosB=cos[兀一(/+C)]=-cos(/+C)=-—x-----1——x--------=------

5105102,

B=—

因?yàn)?￡(0,兀)，所以4,故B正確;

ab,V24,,5>/2

_____—____4X___=__hr)-_____

由正弦定理sin/sing,即asinB=bsin/,得2___5,即2,故c正確;

1,.1.5V27>/2?

___—a/?sinC=—x4x---x---=7

所以的面積為22210,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.AB

【分析】由余弦定理、三角形面積公式及基本不等式計(jì)算判斷A；由正弦定理，向量數(shù)量積

的定義，三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解判斷B；利用三角恒等變換結(jié)合正切函數(shù)的

性質(zhì)計(jì)算判斷C；利用余弦定理計(jì)算判斷D.

Z_C=—

【詳解】對(duì)于A,由3,c=2,彳導(dǎo)4=a?+按一ab22ab—ab=ab,當(dāng)且僅當(dāng)

。=6=2時(shí)取等號(hào)，即成的最大值為4,

S=—aZ>sinC<—x4x—=拒

則“8。面積222,即面積的最大值為百,A正確;

上=工=迪ismSB=^-A

對(duì)于B,由正弦定理得sinBsinC3,貝|3,3

LA-nA8A/32TI

AC-AB=becosA-----smBcosA------cosAsin(------A)

333

8上“G,1.八/2,46.,,

=-----cos4——cosZ+—smZ)=4cosA-x--------smAcosA

3223

C/1C2A/3._.4^3,I._.V3....4A/3..71..

=2(1+cos2/)H-------sin24—------(—sin2/H------cos2/)+2=------sin(2/H—)+2

332233

AC“4兀兀。彳兀5兀

0<A<—0<2A<——<2A+—<——2A+-=-

顯然3,有3,333,則當(dāng)32,

/J一一述+2

即12時(shí)，/C23取得最大值為3,B正確;

「cos(-----A)cos——cosA+sin--sin/,仄

cos83331V3由人吟

--------二------------------=-------------------=——+—tan^

對(duì)于C,cosAcosA------------------cosA-----------------22

得tan/€(-/,一?)u(0,+co),因此嬴7的取值范圍為一叱―。一5'十0°),C錯(cuò)誤;

bcosA+acosB=b----------------Fa----------------=c=2

對(duì)于D,由余弦定理得2bclac,D錯(cuò)誤.

故選：AB

11.CD

【分析】求出阿書(shū)可判斷A；求出力的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B；由向量

垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；利用向量夾角公式計(jì)算可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,忖=2，W=g=&,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?%（2，°）-（U）=（LT）,所以lxJ（T）xl=2,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)?I。，。）-。-），所以（力A'-1x1=0,所以（力評(píng)，故

C正確；

/-7\ci'b2V2

對(duì)于D,""RT運(yùn)。因?yàn)椤Ｆ降?/p>

兀

所以￡與坂的夾角為故D正確.

故選：CD.

12.BD

【分析】用6與點(diǎn)/到邊2c的距離及。的長(zhǎng)比較大小可判斷A,B,C；求三角形各邊及角

可判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A,點(diǎn)/到邊8C的距離是1,?/<血<2,.?.三角形有兩解；

選項(xiàng)B,點(diǎn)/到邊8C的距離是2與b相等，，三角形是直角三角形，有唯一解;

選項(xiàng)C,點(diǎn)N到邊8C的距離是2.5>6,三角形無(wú)解；

選項(xiàng)D,根據(jù)已知可解出。=兀-/-8=75。，a=c=V6+V2,

三角形有唯一解.

故選：BD.

13.-3

【分析】根據(jù)“,9+序），利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?（T2）,B=（T，1）,

以a+kb—（-4-k>2+k）

?b_L（a+kb>\

又因?yàn)?lt;）,

LL…3.仿+歷）=4+左+2+左=0

所以v7,

解得k=-3,

故-3

14.3石

【分析】由向量平行的充要條件求出參數(shù)，進(jìn)而由模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即可得解.

【詳解】由題意'=（2，'）/=（T